最新高中数学必修2培优辅导专题

第六章平面向量及其应用6.2.2向量的减法运算一、基础巩固1．设非零向量，a b满足|a＋b|＝|a－b|,则（）A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|【正确答案】A【详细解析】利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中,设AB＝a,AD＝b,=,如图所示.由|a＋b|＝|a－b|知AC DB从而四边形ABCD为矩形,即AB⊥AD,故a⊥b..2．在五边形ABCDE中（如图）,AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【正确答案】B 【详细解析】AB BC DC AB BC CD AD +-=++=.3．如图,,E F 分别为正方形ABCD 的边,DC BC 的中点,设,AB a AD b ==,则EF =（ ）A ．1122a b + B ．1322a b C ．3344a b -D ．1122a b -【正确答案】D 【详细解析】EF =AF AE -AB BF AD DE =+--=1122AB AD AD AB +-- 1122AB AD =- 1122a b =-。

4．若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,给出下列式子:①AB CD BC DA +=+,②AC BD BC AD +=+,③AC BD DC AB -=+．其中正确的有（ ）． A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【正确答案】B详细解析:①式的等价式是AB DA -=BC -CD ,左边=AB +AD ,右边=BC +DC ,不一定相等; ②AC BD BC AD +=+的等价式是:AC -AD =BC -BD ,左边=右边=DC ,故正确; ③AC BD DC AB -=+的等价式是:AC AB -=BD +DC ,左边=右边=BC ,故正确;5．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点,则AO OB AD +-等于（ ）A ．AB B ．BCC ．CDD ．DB【正确答案】D 【详细解析】 数形结合可知:AO OB AD +-AB AD DB =-=.6．如图,在空间四边形OABC 中, OA a =, OB b =, OC c =．点M 在OA 上,且2OM MA =,N 是BC 的中点,则MN =（ ）A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．112223a b c +-D ．221332a b c +-【正确答案】B 【详细解析】由题,在空间四边形OAB , OA a =, OB b =, OC c =． 点M 在OA 上,且2OM MA =, N 是BC 的中点,则1122ON c b =+ ． 所以211322MN ON MO a b c =+=-++ 7．在平行四边形ABCD 中,AB AD AB AD +=-,则必有（ ）. A ．0AD = B ．0AB =或0AD = C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是正方形【正确答案】C 【详细解析】在平行四边形ABCD 中, 因为AB AD AB AD +=-, 所以AC DB =,即对角线相等, 因为对角线相等的平行四边形是矩形, 所以ABCD 是矩形.8．在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN ＝12NC ,P 是BN 上的一点,若AP ＝m AB ＋29AC ,则实数m 的值为( ) A ．19B ．13C ．1D ．3【正确答案】B 【详细解析】 设NP NB λ= ,AP AN NP =+13AC NB λ=+=1()3AC NA AB λ++ 11()33AC AB λλ=-+ 所以112,339λ-= 所以1.3λ=9．（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量,b 与c ⃗是共线向量,则a 与c 是共线向量C ．a b a b +=-,则a ⊥bD ．若a 与b 单位向量,则|a |=|b | 【正确答案】AB 【详细解析】长度为1的所有向量都称之为单位向量,方向可能不同,故A 错误; 因为零向量与任何向量都共线,当0b =,a 与c 可以为任意向量,故B 错误;a b a b +=-,设a 与b 起点相同,利用平行四边形法则做出a b a b +-，,如图所示,根据向量加法和减法的几何意义可知此平行四边形对角线相等,故为矩形,所以邻边垂直,即a ⊥b若a 与b 单位向量,则11a b ==，,|a ∴ |=|b | 10.（多选）下列命题不正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量,b 与c 是共线向量,则a 与c 是共线向量C ．a b a b +=-,则a b ⊥D ．若a 与b 是单位向量,则a b = 【正确答案】AB. 【详细解析】解:对A,D 由单位向量的定义知:单位向量的模为1,方向是任意的,故A 错误,D 正确; 对B,当0b =时,a 与c 可以不共线,故B 错误;对D,a b a b +=-,即对角线相等,此时四边形为矩形,邻边垂直,故D 正确. 11．（多选）下列各式中,结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-【正确答案】BD 【详细解析】对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确; 对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确; 对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;对于选项D :()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.12．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,则下列结论中正确的有（ ） A ．OA OD +与11OB OC +是一对相反向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量 D ．1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量 【正确答案】ACD 【详细解析】∵O 为正方体的中心,∴1OA OC =-,1OD OB =-,故()11OA OD OB OC +=-+, 同理可得()11OB OC OA OD +=-+,故()1111OA OB OC OD OA OB OC OD +++=-+++,∴A 、C 正确; ∵OB OC CB -=,1111OA O A D D =-, ∴OB OC -与11OA OD -是两个相等的向量,∴B 不正确; ∵11OA OA AA =-,111OC OC C C AA -==-, ∴()11OA OA OC OC -=--,∴D 正确. 二、拓展提升13．作图验证:()a b a b -+=--． 【正确答案】见详细解析 【详细解析】当,a b 中至少有一个为0时,()a b a b --=-+显然成立（图略）; 当,a b 不共线时,作图如图（1）,显然()OB OB a b a b '--+=-==-; 当,a b 共线时,同理可作图如图（2）所示．14．如图,在ABC 中,4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,点D ,E 分别在边,AB AC 上,且2,3AB AD AC AE ==.（1）若1124BF AB AC =-+,试用AD ,AE 线性表示AF ; （2）在（1）的条件下,求AD AF ⋅的值. 【正确答案】（1）34AF AD AE =+;（2）112.【详细解析】 解:（1）∵1124BF AB AC =-+,∴1124AF BF BA AB AC =-=+, 又2,3AB AD AC AE ==,∴34AF AD AE =+. （2）由（1）可得34AD AF AD AD AE ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭, ∵2,3AB AD AC AE ==,∴311448AD AF AD AD AE AB AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭ 11111646cos60482︒=⨯+⨯⨯⨯=. 15．如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD ,E ,F ,G 分别是BC ,CD ,DB 的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果.（1）AB BC DC +-; （2）AB DG CE --.【正确答案】（1）AB BC DC AD +-=;作图见详细解析;（2）AB DG CE AF --=;作图见详细解析.【详细解析】（1）AB BC DC AB BC CD AC CD AD +-=++=+=,如图中向量AD . （2）AB DG CE AB GD EC AB BG EC AG GF AF --=++=++=+=, 如图中向量AF .。

第八章 立体几何初步8.4.1 平面一、基础巩固1．下列命题的符号语言中,不是公理的是（ ）A ．a α⊥,b a b α⊥⇒∥B ．P α∈,且P l βαβ∈⇒=,且P l ∈C ．∈A l ,B l ∈,且A α∈,B l αα∈⇒⊂D ．a b ∥,a c b c ⇒∥∥2．如图所示,用符号语言可表达为（ ）A ．m n A m A n αβα=⊂⊂⊂，，， B ．m n A m A n αβα=∈∈∈，，， C ．m n m n A αβα=⊂=，， D ．m n m n A αβα=∈=，，3．如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱1,AB CC 的中点,则在平面11ADD A 内与平面1D EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条4．下列说法正确的是（ ）A ．任意三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D ．一条直线和一个点确定一个平面5．如图,四棱锥P ABCD -,ACBD O =,M 是PC 的中点,直线AM 交平面PBD 于点N ,则下列结论正确的是（ ）A ．,,,O N P M 四点不共面B ． ,,,O N M D 四点共面C ． ,,O N M 三点共线D ． ,,P N O 三点共线6．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形7．在空间四边形ABCD 的各边AB BC CD DA 、、、上的依次取点E F G H 、、、,若EH FG 、所在直线相交于点P ,则（ ）A ．点P 必在直线AC 上B ．点P 必在直线BD 上C ．点P 必在平面DBC 外D ．点P 必在平面ABC 内8．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则α与β的位置关系为（ ）A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．垂直9．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1BB 的中点,用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ． 10．在正方体1111ABCD A B C D -中,P ,Q ,R 分别是AB ,AD ,11C D 的中点,那么正方体过P ,Q ,R 的截面图是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形11．如图所示,ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体,O 是B 1D 1的中点,直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ,则下列结论正确是( )A ．A,M,O 三点共线B ．A,M,O,A 1不共面C ．A,M,C,O 不共面D ．B,B 1,O,M 共面12．下列说法中正确的个数是（ ） ①空间中三条直线交于一点,则这三条直线共面;②平行四边形可以确定一个平面;③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等;④若,AA αβ,且l αβ=,则A 在l 上. A ．1B ．2C ．3D ．4 二、拓展提升13.如图所示,在空间四面体ABCD 中,,E F 分别是AB ,AD 的中点,,G H 分别是BC ,CD 上的点,且11,33CG BC CH DC ==.求证:（1）,,,E F G H 四点共面;（2）直线FH EG AC ，，共点.14.已知A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是BC,AD 的中点．( 1)求证:直线EF 与BD 是异面直线;( 2)若AC ⊥BD,AC ＝BD,求EF 与BD 所成的角． 15.如图所示,在正方体1111ABCD A B C D 中,E 为AB 的中点,F 为1AA 的中点.求证:（1）1,,,E C D F 四点共面;（2）1,,CE D F DA 三线共点.。

第七章 复数7.1.2 复数的几何意义一、基础巩固1．设i 虚数单位,复数12z i =+,则||z =（ ）A 5B ．5C ．1D ．2【正确答案】A【详细解析】 2||125z =+=2．复数(1)z i i =-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【详细解析】 (1)1z i i i =-=+,所以对应的点坐标为(1,1)在第一象限,3．已知a 为正实数,复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2,则a 的值为（ ）A 3B ．1C ．2D ．3【正确答案】A【详细解析】 0a >,由已知条件可得22112ai a +=+=,解得3a =4．在复平面内,复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【详细解析】复数1i +的共轭复数为1i -, ∴其对应的点()1,1-位于第四象限.5．已知复数3i z =+,则2z z -在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()5,5-B ．()5,5-C ．()5,5D ．()5,5--【正确答案】C【详细解析】由题得()()()213255z z z z i i i -=-=++=+, 在复平面内对应的点的坐标为()5,5,6．若13z i =-,则z z的虚部为（ ）A B C ． D ． 【正确答案】A【详细解析】解:由,1010z z ==+7．在复平面内,复数2334i i++的共辄复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【正确答案】B【详细解析】2334i i ++=()()()3349121612113434252525i i i i i ---=-=--+-, 其共轭复数为1612+2525i -,在复平面内对应点的坐标为1612,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限, 8．设复数z 满足|(1)|1z i -+=,则||z 的最大值为 （ ）A 1B 1C ．2D ．3【正确答案】B【详细解析】设,,z a bi a b R =+∈,()|(1)|111z i a b i -+=-+-=,()()22111a b -+-=, 22||z a b =+相当于圆22111x y 上的点到原点距离的最大值,即圆心到原点距离加半径:21+.9．如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A ,B 对应的复数分别是1z ,2z ,则12z z -=（ ）A ．2B ．22C ．2D ．8 【正确答案】B【详细解析】由图象可知1z i =,22z i =-,则1222z z i-=-+, 故2212|22|(2)222z z i -=-+=-+=10．（多选）设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |5=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【正确答案】AC【详细解析】 22||(1)(2)5z =-+-=正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确. 11．（多选）复数21i z i+=-,i 是虚数单位,则下列结论正确的是（ ） A ．|z |5=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限【正确答案】CD【详细解析】由题得,复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-,可得||2z ==,则A 不正确;z 的共轭复数为1322i -,则B 不正确;z 的实部与虚部之和为13222+=,则C 正确;z 在复平面内的对应点为13(,)22,位于第一象限,则D 正确.综上,正确结论是CD.12．（多选）已知i 为虚数单位,则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+,则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数,则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ,都有20z【正确答案】AB【详细解析】解:对于A ,复数34z i =+的模||5z ==,故A 正确;对于B ,若复数34z i =+,则34z i =-,在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-,在第四象限,故B 正确; 对于C ,若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数,则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩,解得1m =,故C 错误; 对于D ,当z i 时,210z =-<,故D 错误．二、拓展提升13．实数m 取什么值时,复数()224z m m i =+-在复平面内对应的点: （1）位于虚轴上.（2）位于第一、三象限.【正确答案】（1）0m =（2）2m <-或02m <<【详细解析】复数z 对应点的坐标为2(2,4)m m -,（1）若点位于虚轴上,则22040m m =⎧⎨-≠⎩,解得0m =. （2）若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限,则()2240m m ->, 解得2m <-或02m <<.14．已知复数22(815)(328)(z m m m m i i =-+++-是虚数单位）,当实数m 为何值时. （1）复数z 对应的点在第四象限;（2）复数0z <.【正确答案】（1）73m -<<;（2）4.【详细解析】（1）由题意,2281503280m m m m ⎧-+>⎨+-<⎩,解得73m -<<; （2）由0z <,得2281503280m m m m ⎧-+<⎨+-=⎩,解得4m =. 15．已知0m ≠,复数()()229z m m i =-+-. （Ⅰ）若z 在复平面内对应的点在第一象限,求m 的取值范围;（Ⅱ）若z 的共轭复数z 与复数85i m+相等,求m 的值. 【正确答案】（Ⅰ）3m >;（Ⅱ）2m =-.【详细解析】解:（Ⅰ）由题意,22090m m ->⎧⎨->⎩, 解得3m >;（Ⅱ）由()()229z m m i =-+-, 得()()229z m m i =---, 又z 与复数85i m+相等,28295m m m ⎧=-⎪∴⎨⎪-=⎩,解得2m =-.。

专题4.2 等差数列知识储备知识点一 等差数列的概念 思考1 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20. (2)4,4,4,4，…. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数. 思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 【答案】插入的数分别为3,2，a ＋b2，0.思考2 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 【答案】∵x ，A ，y 组成等差数列， ∴A －x ＝y －A ，∴2A ＝x ＋y ， ∴A ＝x ＋y 2.知识点三 等差数列的通项公式思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 【答案】n －1思考2 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，你能用a 1和d 表示a n 吗？ 【答案】a n ＝a 1＋(n －1)d .知识点四 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?【答案】设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ， 变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a mn －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？【答案】等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点.d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a mn －m . 知识点五 等差数列的性质思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？ 【答案】利用1＋100＝2＋99＝….思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….注意到上式中的序号1＋n ＝2＋(n －1)＝…，有：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .知识点六 由等差数列衍生的新数列思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论： 若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有此处以{a n ＋a n ＋k (a n ＋1＋a n ＋k ＋1)－(a n ＋a n ＋k )＝a n ＋1－a n ＋a n ＋k ＋1－a n ＋k ＝2d . ∴{a n ＋a n ＋k }是公差为2d 的等差数列.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶，∴1651=150n n +.∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201【答案】A【解析】由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100【答案】C 【解析】易得a n ＝1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n ＞0则2n －5＞0，∴n ≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C【解析】∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4， ∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n ＞0，∴41－2n ＞0， ∴n ＜412， ∴n ≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝1()2m m a a +＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210＞200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28【答案】C【解析】设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， 即6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又因为S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以126n +＝5，解得n ＝18. 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d <－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝1122a a +×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d <0，A 选项正确．且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得－247<d <－3，B 选项正确． 由于S 13＝1132a a +×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n ≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n ≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，nnS a <0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D.10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B ．a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4 D ．S 4＝S 5【答案】BC 【解析】由S 7＝177()2a a +＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C. 11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d d S n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．12．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】ABD【解析】由题意得：插入()*k k ∈N个数，则11ab =，22k a b +=，323k a b +=，434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列，且角标是以1为首项，k +1为公差的等差数列，所以1(1)(1)n n k a b +-+=， 因为9b 是数列{}n a 的项，所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈，当2n =时，解得7k =， 当3n =时，解得3k =， 当5n =时，解得1k =，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.【答案】5【解析】∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 【答案】8 【解析】∵a n ＝11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.16. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 【答案】(1)4n －3 (2)－12【解析】(1)∵S 4＝28，∴14()42a a +⨯＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝n S n c+＝22n nn c -+，∴b 1＝11c +，b 2＝62c+，b 3＝153c +.又∵{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62c +＝11c+＋153c +，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝13n ＋(1)2n n -×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(131)42+⨯－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ 【解析】(1)S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝12n ＋(1)2n n -×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－2132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n } 中有12项大于零．20．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6. 【解析】∵S n ＝n 2－2n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－2n －[(n －1)2－2(n －1)]＝n 2－2n －(n －1)2＋2(n －1)＝2n －3， ∴a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6 ＝(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)－a 4 ＝2a 4＋2a 4－a 4＝3a 4 ＝3×(2×4－3)＝15.21．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67662⨯×12＝27 135.。

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高一数学《必修一》《必修二》培优班讲义专题一、三个二次（一元二次方程、二次函数、一元二次不等式）一元二次不等式及其解法设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：判别式acb 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或两根之外⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<两个之间∅∅1、解下列关于x 的不等式（1）062>--x x ；（2）01442>+-x x ；（3）0322>++-x x （4）0942>+-x x （5）10732≤-x x （6）0322>-+-x x 2、求函数)23(log 2)(23x x x x f -++-=的定义域.3、若0＜a ＜1，则不等式()1)0(x a x a--＜的解是______.4、已知不等式220ax bx ++>的解集为11 23x x ⎧⎫-<<⎨⎩⎭，则a b +的值为______.5、方程2(21)0mx m x m +++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______.6、不等式20x mx n ++≤的解集是{}|23x x -≤≤，则m =__，n =__.7、函数的定义域为22--=x x x f )(______________8、对于任意实数x ，一元二次不等式()()2()21140m x m x m -+++-＞恒成立，则实数m 的取值范围是______9、函数()f x =的定义域为R ，则a 的取值范围是_________10、若不等式组222304(1)0x x x x a ⎧--≤⎪⎨+-+≤⎪⎩的解集不是空集，则实数a 的取值范围是11、已知一元二次不等式()0f x ≤的解集为132x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或，则()0x f e >的解集为12、关于x 的一元二次不等式25005x x a ->-的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a 等于13、解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>14、已知关于x 的不等式20x bx a c ++<的解集是122x x x ⎧⎫<->-⎨⎩⎭或，求关于x 的不等式20x bx a c +>-的解集.15、若不等式2234133kx kx x x -+>-+的解集为R ，求k 的取值范围.16、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{},x x αβ<<其中0βα>>，求不等式20cx bx a ++<的解集.17、要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值，至少满足不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，求实数a 的取值范围.18、已知不等式212x px x p ++>+.（1）如果不等式当2p ≤时恒成立，求x 的取值范围；（2）如果不等式当24x ≤≤时恒成立，求p 的取值范围。

5.2 导数的运算考点一 初等函数求导【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ （4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x = （6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+ (2)2()2f x x x a '=-+ (3)()sin 1f x x '=-+ (4)1()23f x x x'=--+ (5)cos y x '= (6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈ ，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则 'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【一隅三反】1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【答案】（1）22sin cos y x x x x '=+（2）211y x x'=-（3）2665y x x '=-+【解析】（1）2sin y x x =22sin cos y x x x x '=+（2）n 1l y x x =+211y x x'=-（3）322354y x x x x =-+-2665y x x '=-+2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e x y x =.【答案】（Ⅰ）14sin x x x+-；（Ⅱ）()233e xx x +.【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得()212(ln )(cos )4sin y x x x x x x'=++=+-'''.（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得()()()3323e e 3e x xx y x x xx ''=+=+'.3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x =++ ，1x =； （2）2cos 1sin x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y x x -'=-++，12x y ='=（2）21sin y x+'=，21ln2x y π==+'考点二 复合函数求导【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：（1）2=e x y ；（2）()313y x =-.【答案】（1）22x e ；（2）29(13)x --或281549y x x '=-+-．【解析】（1）2'22e (2)e 22e x x x y x =⋅=⋅='；（2）()()22'313(13)913y x x x =--=--'．或281549y x x '=-+-． 【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，；(2)(ln y x =+；(3)11x x e y e +=-；(4)2)2(+5y xsin x ＝．【答案】（1）()1'221n y n x -=+；（2）'y =；（3）()221xxe y e-'=-；（4）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.【解析】(1)()()()11'2121'221n n y n x x n x ⋅－－＝＋＋＝＋；（2）1y ⎛=+= ⎝'（3）∵12111xx xe y e e +==+--∴()()222211xxx xe e y e e'-=-=--；（4）()()2sin 254cos 25y x x x =+'++.2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：（1）ln(32)y x =-；（2）()212x x f x ee e -+=++（3）y【答案】（1）332y x '=-；（2）21()2x x f x e e -+'=-+.（3）y '=【解析】（1）因为ln(32)y x =-令32t x =-，ln y t =所以()()1332ln 332y x t t x '''=-⋅=⋅=-（2）()21221,()2x x x x f x e f x ee e e -+-+∴'=-+++= .（3）令212t x =-，则12y t =，所以112211()(4)22y t t t x -'''==⋅=-=；考点三 求导数值【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()3(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=A ．12-B ．12C ．1-D ．e【答案】A【解析】()()31ln f x xf x '=+ ，求导得()()131f x f x''=+，则()()1311f f ''=+，解得()112f '=-.故选：A.【一隅三反】1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数()cos x f x x =，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭'（ ）A ．2π-B ．2πC ．3πD ．3π-【答案】A【解析】()cos x f x x = ，()2sin cos x x x f x x --'∴=，因此，2sin 22222f πππππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭'-==- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数()()22co 102s x f x x f x '=++，则6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．6πC ．3πD ．π【答案】B【解析】因为()()20sin 1f x x f x ''=-+，所以令0x =，则()01f '=，所以()2sin 1f x x x '=-+，则66f ππ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故选： B.3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数2()f x x x =+，则()1f '=（ ）A ．3B ．0C ．2D ．1【答案】A【解析】由题得()21(1)3f x x f ''=+∴=，.故选：A 考点四 求切线方程【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线31433y x =+（1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程【答案】（1）440x y --=；（2）20x y -+=或440x y --=．【解析】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率2|4x k y ='==，∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020|x x k y x =='=，∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在该切线上，∴2300244233x x =-+，即320340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =．故所求切线方程为440x y --=或20x y -+=．【一隅三反】1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =-【答案】A【解析】2xy x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2xy x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.2．（2020·河南高三其他（理））曲线()21ln 22y x x =-在某点处的切线的斜率为32-，则该切线的方程为（）A ．3210x y +-=B ．3210x y ++=C ．6450x y +-=D ．12870x y +-=【答案】D【解析】求导得1y x x '=-，根据题意得132y x x '=-=-，解得2x =-（舍去）或12x =，可得切点的坐标为11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以该切线的方程为131822y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得12870x y +-=.故选：D.3．（2020·北京高二期末）过点P （0，2）作曲线y ＝1x 的切线，则切点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（2，12）C ．（3，13）D ．（0，1）【答案】A【解析】设切点001(,)x x ,022001112(0)y x x x x '=-∴-=--Q 01x ∴=,即切点(1,1)故选：A4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4．(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x －y －4＝0（2）x －y －4＝0或y ＋2＝0【解析】(1)∵f′(x)＝3x 2－8x ＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0．(2)设切点坐标为(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∵f′(x 0)＝3x 02－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 02－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 03－4x 02＋5x 0－4)，∴x 03－4x 02＋5x 0－2＝(3x 02－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0．考点五 利用切线求参数【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线()ln xy e ax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，则k =（）A ．1-B ．0C ．1D ．e【答案】D【解析】令()()ln xy f x eax x ==-，则()()1ln x xf x e ax x e a x'=-+-（，所以()12f ea e ='-，因为曲线()ln xy eax x =-在点()1,ae 处的切线方程为y kx =，所以该切线过原点，所以()12f ea e ae ='-=，解得1a =，即k e =.故选：D.【一隅三反】1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数()2ln xf x ax x=-，若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =______.【答案】12-【解析】因为函数()2ln x f x ax x =-，所以()21ln 2xf x ax x-'=-，又因为曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与直线210x y -+=平行，所以()1122f a '=-=，解得12a =-，故答案为：12-2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线(1)x y ax e =+在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a ＝_____.【答案】1【解析】 (1)x y ax e =+，∴(1)x y ax a e '=++ 012x y a =∴=+='，1a \=.故答案为：1.3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线y x b =+是曲线3x y e =+的一条切线，则b =________.【答案】4【解析】设()3xf x e =+，切点为()00,+3xx e ，因为()xf x e '=，所以01x e =，解得00x =，所以0034y e =+=，故切点为(0,4)，又切点在切线y x b =+上，故4b =.故答案为：4。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---三视图和直观图授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体结构；②能画出简单的空间图形的三视图，能识别三视图说表示的立体模型；③能通过三视图求出空间几何体的体积和表面积。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂（一）几何体的结构特征及分类名称定义图形特征分类棱柱一个多边形的点沿相同方向移动相等距离形成的多面体。

1）侧棱平行且相等；2）底面平行且全等；3）不相邻侧棱截面是平行四边形。

1）直棱柱和斜棱柱；2）正棱柱和非正棱柱；3）三棱柱、四棱柱等。

棱锥一个面是多边形，其余各面有一个公共点的三角形的多面体。

棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，面积比等于高平方之比。

1）三棱锥、四棱锥等；2）正棱锥和非正棱锥；棱台平行于底面的平面截去棱锥的多面体。

1）两个面相互平行的多边形；2）其余各面是梯形，且相邻梯形的腰线共点。

1）三棱台、四棱台等；2）正棱台和非正棱台。

体系搭建圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的几何体。

1）两个底面是平行且全等的圆；2）轴截面是全等的矩形。

无圆锥以直角三角形的一直角边为轴，其余各边旋转而成的曲面所形成的几何体。

轴截面都是全等的等腰三角形。

无圆台直 等腰直角梯形垂直于底边 的腰所在的直线为轴，其 其余各边旋转而成的曲 面 面几何体。

轴截面都是全等的等腰梯形。

无球到定点的距离等于或小于定长的点集合。

1）大圆：截面过球心； 小圆：截面不过球心； 2）球心与不过球心的截面；3）平面截球面，截面是一个圆。

无（二）简单组合体组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.①多面体与多面体的组合体：由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体．②多面体与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的．③旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的．典例分析考点一:简单几何体的结构特征例1、判断下列说法是否正确．（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．例2、有下面五个命题：（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；（4）正四面体就是正四棱锥；（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．其中正确命题的个数是（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例3、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例．例4、判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？考点二:几何体中的基本计算例1、一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2．求（1）圆台的高；（2）截得此圆台的圆锥的母线长．考点三:简单几何体的组合体例1、（1）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是（）A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④（2）如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题例1、长方体ABCD-A1B1C1D1（如图）中，AB=3，BC=4，A1A=5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C．来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．例2、根据下图所给的平面图形，画出立体图形．考点五：空间几何体的三视图例1、如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．例2、将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）A． B． C． D．例3、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C．8 D．4例4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5π考点六：空间几何体的直观图例1、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（ ）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a例2、如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、下列命题中正确的是（）A．正方形的直观图是正方形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台2、若一个圆锥侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥底面的面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π3、如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的直观图是（）4、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为 ( )A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱5、三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2 B．4 C． D．166、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm37、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图则原平面图形的面积为（）A．2 B．3 C．8 D．➢课后反击1、以下四个命题中，正确的有（）① 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；③ 在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④ 一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥．A．① ② ④ B．② ③ C．④ D．② ④2、下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（）A．棱台的侧面一定不会是平行四边形B．棱锥的侧面只能是三角形C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥3、有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成（如图），则这个几何体含有的正方体的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．44、扇形的半径为3，中心角为120°，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（）A．π B． C． D．5、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C． D．36、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A． B．1C． D．21、棱柱概念的理解对于棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；2、正棱锥概念的理解顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都相等；3、三角形的直观图的面积与原平面图形的面积比是多少？对于一边上的高为h的三角形，其直观图的高22 224hh ⨯=。