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非线性系统的分析与控制一、引言非线性系统是指系统的输入与输出之间存在着非线性关系的一类系统。
非线性系统由于其复杂性和多样性，已经成为了现代自动控制与系统工程中的一个热门研究领域。
非线性系统的分析与控制是目前自动控制领域研究的重点之一。
本文主要介绍非线性系统的分析和控制方法。
二、非线性系统的描述非线性系统是指系统输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统可以用数学模型来描述。
常见的一些非线性数学模型有：常微分方程、偏微分方程、差分方程、递推方程等。
非线性系统的特性可以归纳为以下几个方面：1.非线性系统的输入和输出之间存在非线性关系，即输出不是输入的线性函数。
2.非线性系统的行为不稳定，其输出随时间而变化。
3.非线性系统的行为是确定的，但是通常不能被解析地表示。
4.一些非线性系统可能会表现出周期性或者混沌现象。
三、非线性系统的分析方法对非线性系统进行分析是了解和掌握其行为的前提。
主要的分析方法有线性化法和相平面法。
1.线性化法线性化法是将非线性系统在某一特定点附近展开成一系列的一阶或者二阶泰勒级数，然后用线性系统来代替非线性系统，进而对非线性系统进行分析。
线性化法的优点是简单易行，但是必须要求非线性系统在特定点附近的行为与线性系统相似，否则线性化法就失效了。
2.相平面法相平面法通过画出非线性系统的相图来表示系统的行为，较常用的是相轨线和极点分析法。
相轨线是用非线性系统的相图来描述其行为。
相图是将系统的状态表示为一个点，它的坐标轴与系统的每个状态变量相关。
极点分析法则是在相平面上找出使系统输出输出的状态点，然后找出与这些状态点相关的所有极点，以确定出系统的稳定性。
四、非线性系统的控制方法目前，非线性系统的控制方法主要包括反馈线性化控制、自适应控制、滑动模式控制和模糊控制等。
1.反馈线性化控制反馈线性化控制方法以线性控制理论为基础，将非线性系统通过反馈线性化方法转化为等效的线性控制系统，以便使用线性控制理论进行控制。
线性与非线性控制系统的性能比较与分析引言：控制系统是指通过一系列的输入和输出信号间的相互关系来实现对被控对象的控制。
其中，线性控制系统和非线性控制系统是两种常见的控制系统类型。
本文将对线性控制系统和非线性控制系统的性能进行比较与分析，以帮助读者更好地了解两者的优劣之处。
一、线性控制系统的性能：1. 频率响应特性：线性控制系统的频率响应特性较为简单，可以使用传统的频率域分析方法进行系统的设计和分析。
例如，可以使用Bode图和Nyquist图等工具评估系统的幅频和相频特性，进一步优化系统的性能。
2. 稳定性分析：线性控制系统的稳定性分析相对较为简单，可以通过分析系统传递函数的根位置来判断系统的稳定性。
常见的稳定性准则包括Routh-Hurwitz准则和Nyquist稳定性判据等。
这使得线性控制系统的设计与分析更加便捷。
3. 控制性能指标：线性控制系统可以使用传统的性能指标来评估其控制性能。
常用的性能指标有超调量、调节时间和稳态误差等。
这些指标可以帮助工程师在系统设计过程中更好地优化系统的性能。
二、非线性控制系统的性能：1. 非线性特性：与线性控制系统相比，非线性控制系统具有更为复杂的特性。
由于非线性元件的存在，系统的频率响应不再是简单的幅频和相频特性。
因此，频域分析方法在非线性系统的设计和分析中会遇到困难。
2. 稳定性分析：非线性控制系统的稳定性分析比线性控制系统更为复杂，常常需要使用数值方法进行分析。
例如，可以使用Lyapunov稳定性准则来评估非线性系统的稳定性。
此外，也需要考虑系统的局部和全局稳定性。
3. 控制性能指标：非线性控制系统的性能评估相对复杂。
由于系统的非线性特性，传统的性能指标可能不再适用。
因此，需要根据实际情况选择相应的性能指标来评估非线性控制系统的性能。
三、线性与非线性控制系统性能比较与分析：1. 频率响应：线性控制系统的频率响应特性较为直观，可以使用传统的频域分析方法进行判断和优化。
非线性系统的分析和控制非线性系统是指其输入和输出之间不符合线性关系的系统，这种系统常见于生命科学、经济学、工程学以及实际应用中的复杂系统中。
非线性系统的分析和控制是科学技术领域长期以来的研究热点之一，随着计算机技术和控制理论的发展，一些传统的控制方法已经无法有效地处理非线性系统。
如何对非线性系统进行有效的建模并进行控制，一直是控制理论领域的难题之一。
非线性系统的数学特性在进行非线性系统的分析和控制之前，我们需要了解它的数学特性。
通常，非线性系统具有以下特征：1. 非线性系统的响应与输入存在非线性关系，即系统响应不是简单地随着输入线性变化的。
2. 非线性系统可能存在多个平衡状态，即一种变化处于平衡状态的状态对应多个输入。
3. 非线性系统的动力学特性可能十分复杂，存在混沌和震荡等现象。
对于非线性系统，我们通常采用数学模型来描述其动态特性和响应。
非线性系统的建模是非常复杂的，通常采用状态空间模型或微分方程来描述，这样可以比较容易地掌握系统动态特性。
对于一些复杂的非线性系统，需要采用数值计算方法来分析其特性。
非线性系统的控制方法针对非线性系统的控制，传统的 PID 控制方法或者模型预测控制等经典控制方法已经不再适用。
针对非线性系统的复杂性和不确定性，需要采用先进的非线性控制技术。
现代的非线性控制方法主要可以分为如下几种：1. 自适应控制自适应控制通常采用基于反馈控制的方法，通过实时监控系统响应情况来调节控制器的参数和结构，以适应非线性系统的变化。
自适应控制的优点是可以自动适应非线性系统的动态特性，但其监控过程可能会引入不必要的噪声，需仔细考虑控制系统的稳定性和易用性。
2. 非线性模型预测控制非线性模型预测控制(NMPC) 通常采用优化方法来设计控制器，其基本思想是通过预测未来状态来确定最优的控制序列。
NMPC的主要优点是具有非线性系统的预测能力，能够预测系统的响应变化，但其计算开销较大，需要较高的计算资源和算法设计。
第8章非线性控制系统的分析
自测题
1. 变增益控制系统结构图及其非线性元件G N的输入输出特性分别如T图8-1和8-2所示，该系统开始处于零初始状态，若输入信号r(t)=R⨯1(t)，且R>e0，kK<1/4T<K，试绘出系统相平面图，并分析变增益放大器对系统的影响。
T图 8-1 T图 8-2
2. 设非线性系统如T图8-3所示，输入为单位斜坡函数，试在e
e
-平面上作出相轨迹。
T图 8-3
3.具有非线性阻尼的控制系统结构图如T图8-4所示，假设系统开始处于静止状态，系统常数为K＝4，K0＝1，e0＝0.2。
试分析在速度输入函数r(t)=0.5+0.1t作用下的根轨迹。
·
43·
·44·
y
T 图 8-4
4. 非线性系统结构图如T 图8-5所示，a =0.5，K =8，T =0.5s ，K 1=0.5，要求：
（1）当开关打开时，e (0)=2，0)0( e
的相轨迹； （2）当开关闭合时，绘制相同初始条件的相轨迹，并说明测速反馈的作用。
T 图 8-5
5. 将T 图8-6和8-7所示非线性系统简化成典型结构形式，并写出线性部分的传递函数。
T 图 8-6
T 图 8-7
6. 根据已知的非线性描述函数，求T 图8-8所示各种非线性的描述函数。
·45·
(a) (b)
T 图8-8
7. 已知系统的结构图如T 图8-9所示，K ＝4，M ＝1，k =1，r (t )=1(t )，c(0)=0，
0)0(=c。
在e e - 平面上画出相轨迹，并画出c (t )的曲线，且说明运动情况(若有稳态误差，则计算其值，若有振荡，则计算振荡周期)。
T 图 8-9
8. 系统结构图如T 图8-10所示，试将其归化为一个非线性环节和一个线性部分串联的典型结构。
T 图 8-10
9. 在T 图8-11所示系统中，
（1）确定使系统稳定的开环放大倍数K ； （2）分析滞环宽度h 对极限环工作周期的影响；
·46·
（3）试提出一个可实现的设计方案，使K 为确定数值（如K ＝10）时系统能稳定工作。
T 图 8-11
10. 一非线性系统如T 图8-12所示，且知非线性元件的描述函数A
M
A N π4)(=
，初始条件h c =)0(，0)0(=c
，要求： （1）用描述函数法求解系统的自激振荡周期； （2）再用解析法求解系统的自激振荡周期；
（3）求用描述函数法所得计算结果的误差(设用解析法所得结果为精确值)。
T 图 8-12
11. 已知非线性系统结构图如T 图8-13所示，图中非线性环节的描述函数为
)()(02
6
>++=
A A A A N ，试用描述函数法确定： （1）该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K 值范围： （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅与频率。
T 图 8-13
M a t lab 在非线性系统分析中的应用
本节主要介绍四种最常见的非线性环节的仿真模型。
·47·
1．饱和非线性特性
M 图8-2所示的饱和非线性环节的数学描述为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<--≤-=s
u s s u s u
s u s x 根据上述关系，由M ATLAB 编写的饱和非线性函数为 f unct io n x = sa tu ra t io n (u ,s) if (abs(u ) > = s)
if(u > 0) x = s;
e ls e x = -s; M 图 8-1 饱和非线性环节 en d e ls e x = u ; en d
2. 死区非线性特性
M 图8-2所示死区非线性环节的数学描述为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<<--≤+=s
u s u s u s s u s u x 0
根据上述关系，由M ATLAB 编写的死区非线
性函数为
f unct io n x = d e adzo ne (u ,s)
if (abs(u ) > = s)
if(u > 0) x = u - s;
M 图 8-2 死区非线性环节 e ls e x = u + s;
en d e ls e x = 0; en d
3. 滞环非线性特性
M 图8-3所示滞环非线性环节的数学描述为
·48·
⎪⎩
⎪
⎨⎧-<<+>>-=其他
且且])1[(00)(00)()(T k x x u s
kT u x u
s kT u kT x 根据上述关系，由M ATLAB 编写的滞环非线 性函数为
f unct io n [x ,u 1] = ba c klash(u 1,u ,x 1,s) if (u > u 1)
if((u - s) > = x 1)x = u – s;e ls e x = x 1;en d
e ls e i
f (u < u 1)
if((u + s) < = x 1)x = u + s;e ls e x = x 1;en d M 图 8-3 滞环非线性环节 e ls e x = x 1; en d en d u 1 = u ;
其中 ，u 1和u 分别为可k -1时刻和k 时刻的输入量，x 1和x 分别为k -1和k 时刻的输出量。
4．继电器非线性特性
如M 图8-4所示的继电器非线性环节的 数学描述为
⎩⎨
⎧<->=0
u s
u s
x 根据上述关系，由M ATLAB 编写的继
电器非线性函数为
f unct io n x = si gn (u ,s)
if(u > 0) x = s;en d M 图 8-4继电器非线性环节 if(u < 0) x = -s;en d
以上几种非线性环节的共同点是只需要一个参数s 就能反映出该环节的非线性特点，不过要注意到，各种非线性环节的放大倍数均假定为1，若不为1，则将其设法合入其前后的线性环节中。
