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第三章谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)

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第3章 谓词逻辑

第3章 谓词逻辑

【谓词公式的类型】根据公式与解释的关系，可以把谓词公式分为三种 类型：永真式、矛盾式和可满足式。 定义 3.13 若公式 A 在任何解释下均为真，则称 A 为永真式。 定义 3.14 若公式 A 在任何解释下均为假，则称 A 为矛盾式(或永假式)。 定义 3.15 若(至少)存在一个解释使公式 A 为真，则称 A 为可满足式。
例3.5 用谓词公式表示下列命题： (1) 所有人都吃饭 (2) 存在不吃饭的人 (2) 没有不吃饭的人
令 M (x) 表示： x 是人
E (x) 表示： x 吃饭 （1） x ( M ( x ) E ( x)) （2） x( M ( x) E ( x)) （3） (x( M ( x) E ( x)))
• 存在量词：表示个体变元在个体论域中取某个值 的量词称为存在量词
符号 加上一个个体变元表示。如 x, y
量词
所有的、任意的、一切的、每一个 有些、至少有一个、某一些、存在
x
x
3.2 谓词公式
定 义 3.5 设 P 是 一 个 n 元 谓 词 ， t1 , t2 ,, tn 是 项 ， 则
P(t1 , t2 ,, tn ) 构成一个谓词公式，称为原子谓词公式。
F(x): x 是奇数 H(x,y): x 大于 y L(x,y): x 比 y 聪明
定义 3.6 谓词逻辑中的合式公式定义如下： (1) 任何一个原子谓词公式都是合式公式； (2) 若 A 是合式公式，则 ( A ) 也是合式公式； (3) 若 A， 是合式公式， ( A B ) ， A B ) ， A B ) ， B 则 ( ( ( A B ) 都是合式公式； (4) 若 A 是合式公式，则 ( xA ) ， ( xA ) 也是合式公式； (5) 仅由(1)—(4)在有限步内产生的公式才是合式公式。

第三章：谓词逻辑

第三章：谓词逻辑

§3.1.1 谓词和量词
于是，用谓词的概念可将三段论做如下 的符号化： 令 H(x)表示 “x是人”， M(x)表示 “x必死”。
则三段论的三个命题表示如下： P： H(x)M(x) Q： H(张三) R： M(张三)
§3.1.1 谓词和量词
例如我们想得到 “命题”P的否定 “命 题”，应该就是“命题”P。但是，
TI(H) = TI(P(2)Q(2，2)P(3)Q(3，2)) =0110 =0
定义3.2.5 公式G称为可满足的，如果存 在解释I，使G在I下取1值，简称I满足G。 若I不满足G，则简称I弄假G。
定义3.2.6 公式G称为是恒假的(或不可满 足的)，如果不存在解释I满足G；公式G称 为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。
是项，则f(t1, …, tn)是项； 4) 所有项都是有限次使用1)，2)，3)生成
的符号串。
定义3.2.2
若P(x1,…,xn)是n元谓词符号，t1,…,tn是 项，则P(t1,…,tn)是原子。
定义3.2.3 公式
谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：
1) 原子是公式； 2) 若G，H是公式，则(G)，(GH)，(GH)，
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
定义3.3.2 设G，H是公式，称G蕴涵H， 或H是G的逻辑结果，如果公式GH是恒 真的，并记以GH。
显然，对任意两个公式G，H，G蕴涵H 的充要条件是：对任意解释I，若I满足G， 则I必满足H。
同样，命题逻辑中的基本蕴涵式仍成立。
§3.3.1 公式的等价和蕴涵
证令明G：1 =H是x(GH1(x)G2M的(逻x))辑，结G2果=H。(a)，H=M(a) 张因三为)，，且设II满是足GG1 ，1GG22，，H即的I满一足个解释(I指定a为

第3章谓词逻辑

第3章谓词逻辑

第3章谓词逻辑谓词逻辑原子命题是命题逻辑中最基本的组成单元，不能对它再作进一步的分解，但同时也无法反映出某些原子命题的共同特征和相互关系。

例如，用p表示命题“小李是大学生”，用q表示命题“小王是大学生”，在命题逻辑的范畴中它们是两个独立的原子命题，p和q之间没有任何关系。

但是，命题“小李是大学生”和“小王是大学生”之间有着相同的结构和内在的联系，它们都具有相同的谓语（及宾语）“是大学生”，不同的只是主语，它们都描述了“是大学生”这样一个共同的特性；而使用原子命题表示时并没有能将这一共性刻画出来。

再如著名的苏格拉底三段论：凡是人都是要死的。

苏格拉底是人。

所以苏格拉底是要死的。

这个推理显然是正确的。

但是，如用p、q、r分别表示上面3个命题，由于p∧q?r不是永真式，因此它不是正确的推理；也就是说，当p和q都为真时，得不出r一定为真。

其根本原因在于命题逻辑不能将命题p、q、r间的内在的联系反映出来。

为了克服命题逻辑的局限性，引入了谓词和量词对原子命题和命题间的相互关系做进一步的剖析，从而产生了谓词逻辑。

谓词逻辑亦称一阶逻辑，它同命题逻辑一样，是数理逻辑中最基础的内容。

§3.1谓词、量词与自然语句形式化§3.1.1 谓词在谓词逻辑中，一般将原子命题分解为个体词和谓词两个部分。

定义3.1个体词（individual）是一个命题里表示思维对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体。

简单地讲，个体词就表示各种事物，相当于汉语中的名词。

具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用a、b、c表示；抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般用x、y、z表示。

个体变项的取值范围称做个体域或论域（domain of the discourse），宇宙间一切事物组成的个体域称做全总个体域（universal domain of individuals）。

注：本书在提及论域时，如未特别说明，指的都是全总个体域。

《离散数学》谓词逻辑

《离散数学》谓词逻辑

§3.5 前束范式
§3.6 谓词逻辑的推理
4
谓词与量词
个体词（individual）是一个命题里表示思维
对象的词，表示独立存在的具体或抽象的客体
具体的、确定的个体词称为个体常项，一般用
a, b, c 表示
抽象的、不确定的个体词称为个体变项，一般
用 x, y, z 表示
个体变项的取值范围称作个体域或论域
那么在解释2下该命题是真命题。

24
谓词公式及分类
类似于命题逻辑，也可以对谓词逻辑
公式进行分类：
设 A 为一个谓词公式，若 A 在任何解
释下真值均为真，则称 A 为普遍有效
的公式或逻辑有效式（logically valid
formula）
例
(x)
(P(x)∨P(x))
(x) P(x) P(y)
第三章 谓词逻辑
《离散数学及应用》
第三章 谓词逻辑
苏格拉底三段论：
凡是人都是要死的。
苏格拉底是人。
所以苏格拉底是要死的。
p∧q r
重言式？正确的推理？
2
第三章 谓词逻辑
为了克服命题逻辑的局限性，引入了
3
谓词和量词对原子命题和命题间的相
互关系做进一步的剖析，从而产生了
为谓词。这是一元（目）谓词，以
P(x), Q(x), …表示。
例
Human
(Socrates)
Mortal (Socrates)
7
谓词与量词
如果在命题里的个体词多于一个，那
么表示这几个个体词间的关系的词称
作谓词。这是多元（目）谓词，有 n
个个体的谓词 P(x1, …, xn) 称 n 元（目）

第三章 谓词逻辑与归结原理

第三章 谓词逻辑与归结原理

以正向推理所得结果作为假设进 行反向推理
退出
是 还需要正向推理吗？
否
2014-4-9
18
华北电力大学
概述-推理的控制策略
搜索策略
推理时，要反复用到知识库中的规则，而知识库中 的规则又很多，这样就存在着如何在知识库中寻找 可用规则的问题 为有效控制规则的选取，可以采用各种搜索策略 常用搜索策略：
归结推理方法在人工智能推理方法中有着很重 要的历史地位，是机器定理证明的主要方法
2014-4-9
25
华北电力大学
归结法的特点
归结法是一阶逻辑中，至今为止的最有效的半可 判定的算法。也是最适合计算机进行推理的逻辑 演算方法 半可判定 一阶逻辑中任意恒真公式，使用归结原理，总 可以在有限步内给以判定（证明其为永真式） 当不知道该公式是否为恒真时，使用归结原理 不能得到任何结论
(5) 上下文限制
上下文限制就是把产生式规则按它们所描述的上下文分组，在某种 上下文条件下，只能从与其相对应的那组规则中选择可应用的规则
2014-4-9
22
华北电力大学
概述-推理的控制策略
推理的控制策略
3．冲突解决策略
(6) 按匹配度排序
在不精确匹配中，为了确定两个知识模式是否可以进行匹配，需要 计算这两个模式的相似程度，当其相似度达到某个预先规定的值时，就 认为它们是可匹配的。若有几条规则均可匹配成功，则可根据它们的匹 配度来决定哪一个产生式规则可优先被应用
如专家系统、智能机器人、模式识别、自然语言理解等
推理
按照某种策略从已有事实和知识推出结论的过程。 推理是由程序实现的，
称为推理机
医疗诊断专家系统
• 知识库中存储经验及医学常识 • 数据库中存放病人的症状、化验结果等初始事实 • 利用知识库中的知识及一定的控制策略，为病人诊治疾病、开出医疗处方就 是推理过程

离散数学讲义第三章谓词逻辑.ppt

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题函数。 例如 H（x），L（x,y,z）均是简单命题函数。
（P(x,y)∨L(x,y,z)） P（y, x）是一复合命题函数
在命题函数中，个体变元的取值范围称为个体域。
例4 P（x,y）表示“2 x+y=1”，若x,y的个体域为正整数集，
则总是假；
若x,y的个体域为有理数集，则y=1―2x，对任意的有理数k ， 在x= k，y =1―2k时，P（ k，1―2k）为真。
6
三、量词和全总个体域
1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x” x D（x），
7
如“所有人都是要死的。”可表示为 x的个体域为全体人的集合。
15
3.4 变元的约束
例1 令 P（x, y）：“ x<y ”，Q（x）：x是有理数；F（x）：
x可以表示为分数。判断下列式子那些是命题函数，那些 是命题？ P（x, y） P（x, y）∧ Q（x） Q（x） → F（x）
x(Q( x) F ( x))
例2 令H(x)：x是人;M(y):y是药;S(x，y)：x对y过敏。判断：
3.1、 3.2 谓词的概念与表示; 命题函数和量词 3.3 ~ 3.5 谓词演算的合适公式; 变元的约束 ; 谓词公式的解释 3.6 谓词演算的永真式 3.7 谓词演算的推理理论
1
3.1、3.2 谓词、命题函数和量词 例 判断下述论断的正确性
“苏格拉底三段论” ： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 类似的例子 还有许多。 例如：

谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)

谓词逻辑(第一部分)(Chapter3PredicateLogic)
P1: 代表“杭州是一个城市”
P2: 代表“上海是一个城市”
P3: 代表“北京是一个城市”
………
ห้องสมุดไป่ตู้
事实上，上述命题只要用一个谓词CITY(X) 即可表示，其中X能够是杭州、上海、北京……，
上述三个命题变为：
P1: CITY(杭州)
P2: CITY(上海)
P3: CITY(北京)
（2）谓词能够代表变化着的情况，而命 题只能 代表某种固定的情况。
对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如：
P：杭州是一个城市 P之值恒真
Q：鸵鸟会飞
Q之值恒假
然而，谓词值的真假却可因参数而异。例如：
P1：CITY(杭州)
P1之值为真
P2：CITY(鸵鸟)
P2之值为假
（3）能够利用谓词在不同的知识之间建立联系。
例如：
HUMAN(X) X是人
LAWED(X) X受法律管制
谓词逻辑（第一部分） （Chapter3PredicateLogic）
一阶谓词演确实是一种形式语言， 其全然目的在于把数学中的逻辑论证 符号化，之因此有用是其给出了一种
数学演绎方法：
旧知识 ——数学演绎— 新知识
参考书：
[1]俞瑞钊. 数理逻辑. 浙江大学出版社.
[2]Chang, C. L., Lee, R.C.T. Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving. Academic Press, 1973.
最重要的三类谓词演算的相互关系：
命题演算 一阶谓词演算 二阶谓 词演算 【注】：本课程对二阶谓词演算不予 讨论。
3.1 谓词演算
3.1.1 命题逻辑及其局限性

第三讲 谓词逻辑

第三讲 谓词逻辑

（7）有的展品，每个参观者都欣赏它。
（7′）y (Gy x (Fx H(x,y))) （8）有的展品，有的参观者欣赏它。 （8′）y (Gy x (Fx H(x,y)))
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
准确地理解和应用关系命题形式，要注意 以下几点: 第一，关系命题中主词的前后顺序，如关 系的主动者和关系的承受者。
传递关系 反传递关系 不定传递关系
xyz(R(x,y) R(y,z)R(x,z))
xyz(R(x,y) R(y,z) R(x,z)R(x,z))

§3.2.2 关系命题的谓词表达式
关系项 全同 真包含(于) 交叉 全异 矛盾 反对 蕴涵 对称性 对称 反对称 对称 对称 对称 对称 不定对称 对称 传递性 传递 传递 不定传递 不定传递 反传递 不定传递 传递 传递
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
第三，为了关系推理，需要确定关系项的 性质。主要有：自返性、对称性和传递性。 自返性 R(x,x) ？

自返关系 反自返关系
xR(x,x) xR(x,x) xR(x,x) xR(x,x)


不定（非）自返关系
§3.2.2 关系命题的谓词表达式
xFx
§3.4 谓词逻辑的推理规则
“引进主词假设”规则 全称量词规则
存在量词规则
量词交换规则
§3.4.1 “引进主词假设”规则
传统逻辑在处理直言命题推理时，实际上已 经隐含了“主词存在”的假设。 现代谓词逻辑，不允许有隐含的规则参与推 理和论证的过程，因此，不断定或假设主词的存 在，形式证明将无法建立。
特称命题不能表示为蕴涵式，如：
有人有一千只手。
1. x (Sx Px)，即存在一x，x是人并且x有一 千只手。

(逻辑学课程课件)谓词逻辑

(逻辑学课程课件)谓词逻辑
例如：在F（x）和G（x，y）中，x，y都是自由个体变项； 在∀x F（x）和∃x ∀yG（x，y）中，x，y都是约束个体变项；∀xG（x，y）中，x是约束个体变项，y是 自由个体变项。
这样，为了确定一个个体变项是自由的还是约束词的辖域】。我们约定紧靠量词的括号内的符号表达式 是该量词的辖域，括号外的则不是；如果紧靠量词没有括号，那么，靠近量词的不包 含逻辑联结词的表达式是该量词的辖域，其他的则不是。例如：
命题形式经过解释，就成为命题。
一个命题形式的解释自然不是惟一的，而是无穷的。在不同的解释下，从命题 形式得到的命题可以出现不同的真假情况。
一个命题形式，如果在任一解释下都得到一个真命题，则称为【普遍有效式】。 一个命题形式，如果在至少一种解释下能得到真命题，则称为【可满足式】。
一个命题形式，如果在任一解释下都不能得到一个真命题，则称为【不可满足 式】。
二、量词
一个包含个体变项的谓词表达式不是命题。例如，例句（1）F（x）断定“x是 红的”，但由于x是个体变项，因而F（x）没有真假，不是命题。如何使F（x）这样 的表达式具有真假呢？有两种方法：
第一，用个体常项取代个体变项。例如令a表示“这朵牡丹”，那么F（a）就表 示“这朵牡丹是红的”，这是命题，有真假。这种方法称为解释，后面将对此进一步 解释。
上述各式的逻辑性质是直观的。但对较复杂的命题形式，难以凭直观作出断定， 这就需要新的方法。这正是谓词逻辑所要研究的。
有了谓词和量词的抽象以后，我们就获得了对自然语言及其表达的思维进行逻 辑分析和符号刻画的更有力的工具。
第二节 自然语言的谓词表达式
一、直言命题的表达式
将下列语句符号化： （1）所有的人都是要死的。 （2）有的天鹅是黑的。 （3）所有的宗教都不是科学。 （4）有的新闻报道不是真实的。 在（1）中，令P（x）表示“x是人”，D（x）表示“x是要死的”。则（1）式的 符号表达式是： ∀x （P（x）→ D（x）） 它的含义是，对所有客体x而言，如果x是人，那么x是要死的。注意，这里的含义 仅仅是：对所有客体x而言，如果x是人，那么x是要死的；至于作为人的x是否存在， 没有得到断定，即也可能存在，也可能不存在。 这样的表达是否反映了自然语言中全称命题的原意呢？确实，自然语言中当我们 断定“所有的人都是要死的”，除了断定上述符号式所断定的含义外，事实上我们还 断定“人是存在的”。但这不具有一般性。例如：“所有不受外力作用的物体都保持 匀速直线运动。”这个命题仅仅断定：对所有物体而言，如果它不受外力作用，那么 它保持匀速直线运动；至于不受外力作用的物体是否存在，没有得到断定。事实上， 这样的物体是不存在的。这说明，全称命题的语言形式自身并不包含主项存在的断定； 有的全称命题所包含的主项存在的断定，是语境附加的，例如，在词项逻辑中就是这 样。但是，为了不失一般性，全称命题的符号表达式不应包含主项存在的形式刻画。

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义谓词逻辑（PredicateLogic）是一门用来描述和研究语言中最根本的组成部分的逻辑学。

它属于高等数学中的一门分支，自古以来便被认为是一种实用的语言，用来描述数学结构。

其被广泛地应用于科学和计算机科学领域，也常常用来作为基础，以表达更复杂的逻辑概念。

谓词逻辑由大量的典型符号组成，有些是该领域最早采用的元素，而有些则是用来表达更复杂的概念的。

一般来说，谓词逻辑的核心元素包括变量、函数、正则表达式、关系以及动词。

每一个元素都有其特定的含义，它们构成了谓词逻辑的基础。

变量是谓词逻辑的重要元素，通常以字母（X，Y，Z等）开头，用来指代任意可能的值。

函数也是一种重要的元素，它是由变量和常数组成的关系，其结果是一个特定的值。

正则表达式用来定义特定类型的变量，而关系则是把变量之间连接起来，形成了一种特殊的关系。

最后，动词从句就是用来表达这种特定关系的，它通常以“动词+物体”的格式出现，为变量之间的关系进行解释。

谓词逻辑的最终目的，是研究在不同的语言环境中，哪些元素能够结合起来组成真正有意义的句子，以及怎样读取和理解更复杂的句子。

为了达到这一目的，谓词逻辑的术语和符号分析经常用到，以研究不同语言的特点，提出各种有效的结构和概念，以实现各种自然语言操作。

谓词逻辑在大规模应用方面，也有着延伸的实用价值。

它们被广泛使用在人工智能系统、语音识别、推理机和知识表示等领域，为这些系统提供解决问题的方法和解决方案。

此外，谓词逻辑还被广泛应用于程序设计上，以便编写出更复杂的程序来表达更复杂的语言概念。

总之，谓词逻辑提供了一种既有趣又实用的方法来理解和描述语言的核心结构，并且有许多实用价值。

通过对谓词逻辑系统的认识和了解，可以更好地掌握不同语言的特点，从而更好地掌握其它领域的知识。

人工智能第3章谓词逻辑与归结原理

人工智能第3章谓词逻辑与归结原理

人工智能第3章谓词逻辑与归结原理
1、谓词逻辑是什么？
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种通用的符号化语言，用来表达
和分析各种谓词命题（Propositional Statements）的逻辑关系。

它可以
用来表达抽象概念和客观真理，并以精确的形式描述这些概念和真理。

谓
词逻辑最重要的功能是，它能够发现和解决各种类型的逻辑问题，这在人
工智能中显得尤为重要。

2、归结原理是什么？
归结原理是一种认识论。

它提出的基本原则是，如果要获得B给定A，应当给出一个充分陈述，即必须提供一系列真实可信的参数，以及由此产
生B的能力证明，在这种情况下A必须是正确的。

因此，归结原理会被用
来推理。

例如，通过归结原理，如果一个具体的概念被认为是正确的，那
么人们可以得出结论，即所有概念的结果也是正确的。

离散数学-谓词逻辑.ppt

离散数学-谓词逻辑.ppt

客体与之相联系。
而命题“3 大于 2”中的谓词“大于”与两个客体联结， 是一个二元谓词。
9
谓词与命题的关系
一般来说，谓词不是命题，它的真值无法确定；
为了使得它成为命题，必须：
西
华 指定某一谓词常项代替P；
大 学
指定n个个体常项a1,a2,…..,an分别代替n个个体变项
x1,x2,…..,xn。
例如：L（x，y）是一个2元谓词，它不是命题；当令
可以是具体事物也可以是抽象概念。个体域
（D）：个体取值的范围。 全总个体域。
个体
谓词
谓词：用于刻画个体的性质或者个体间的关系； －－谓词部分
量词(、) 量词的辖域（作用域）
6
例如
“猫是动物”一句中的“是动物”就是一个
西 华
谓词，而“猫”是客体。
大 学
“3 大于 2”中“大于”是一个谓词。3和2
是客体。
17
1.所有人都是要死的。 2.有些人长寿。(续)
如果1符号化为：x（H(x) ∧ F(x) )
西 华
2符号化为：x (H(x ) → G (X))
大
学 显然是错的。
F（x）：x是要死的。G（x）：x长寿。
H(x):x是人
一般而言，在使用全称量词时，特性谓词 总是作为蕴涵式的前件；在使用存在量词时， 特性谓词总是作为一个合取式的合取项。
在命题逻辑中，命题演算的基本
单位是命题，不再对原子命题进行
分解，故无法研究命题语句的结构、
西 华
成份和内在的逻辑特征。
大 如果任何两个原子命题具有一些
学 共同特征，那么欲表达这些共同特
征，显然是不可能的事。这就使得
在命题逻辑中，甚至无法处理一些 简单而又常见的推理过程。

Predicate logic谓词逻辑课件

Predicate logic谓词逻辑课件

Predicate logic
• Bruce is a moose. • This sentence says something about an individual. • This individual is Bruce, and he has the property of being a moose. • Such sentences are called predications (谓语句)—— one predicates something (e.g. a property) of an individual.
•The smallest English sentence is formed by combining a verb with a subject.
•In Predicate Logic, the smallest proposition is formed by combining a predicate with an individual.
M (x) In this expression, x is not an individual constant but an individual variable. x does not stand for a particular individual but for any individual.(x stands for an arbitrary individual.)
“主目”这个术语，在这里用来指那些在语法术语中所讲的主语和宾语。
Predicate logic
• The individual terms that follow the predicate in an expression in predicate is called the arguments of that predicate. • If a predicate takes one argument, it is called a one-place predicate; if it takes two arguments, it is called a two-place predicate, and so on. • P(t) one-place predicate • P(t1, t2) two-place predicate • P(t1, t2…t3) three-place predicate • P(t1, t2, t3…tn) n-place predicate

第三章一阶谓词逻辑PPT课件

第三章一阶谓词逻辑PPT课件

；公式只有经过指派才与现实联系起来，才有意义。
；解释I称为公式G在论域D上的一个解释。
；对应每个解释，公式G都有.一个真值{T，F}。
17
；一阶谓词的公式解释数目：
一阶谓词的公式解释数通常是相当可观的，是一种排列 组合。
设个体域有m个元素，则：
每个常量有m个取值，n个常量有 mn 种取值的可能性，
解释I：三个赋值规定：
（1）对公式G，为每个常量指派D中的一个元素；
.
16
解释I：三个赋值规定：
（2）对公式G，为每个n元函数指派一个Dn →D的映射， 其中
Dn ={（x1, x2, … xn）/ x1, x2, … xn∈D}
（3）对公式G，为每个n元谓词指派一个Dn →{T，F}的 映射；
则称这些指派为公式G在D上的一个解释。
• 永假性（或不者可不满能确足保性在、有限不的相时容间内性判）定
– 若谓词公式P对非空个体域D上的任一解释都有真值 F，则称P在D上是永假的
即：P在任何非空个体域上均永假，则称P永假
.
23
3.3谓词公式的等价性与永真蕴含
3.3.1等价性含义
定义：设Ｐ与Ｑ是两个谓词公式，Ｄ是它们共同的个 体域，若对于Ｄ上的任何解释，Ｐ和Ｑ都有相同的真值， 则称Ｐ与Ｑ在个体域D上是等价的，如果D是任意个体域， 则称P和Q是等价的，记作：P Q
定义 具有确定真值的陈述句，称为命题。
例：(1)2是素数。 (2)雪是黑的。 (3)今年的十二月一号是个晴天。 (4)X+Y>5
命题若是简单的陈述句，不能分解成更简单的句子，我们称
这样的命题为简单命题或原子命题。可以用英文字母P，Q，
R，…或是带有下标的大写英文字母Pi等表示简单命题，将命题

谓词逻辑表示知识的一般步骤

谓词逻辑表示知识的一般步骤

谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式化的逻辑体系，用于表示和推理关于事物及其关系的陈述。

表示知识的一般步骤如下：
1. 定义命题符号：确定用于表示事实和关系的基本命题符号。

这些符号通常表示对象、性质、关系等。

2. 定义谓词符号：引入谓词符号，用于描述对象之间的关系或属性。

谓词符号包含一个或多个参数，表示关系的参与者。

3. 定义量词：引入全称量词(∀) 和存在量词(∃)，用于表示某种性质或关系是否对所有对象成立或是否存在至少一个对象满足。

4. 建立谓词逻辑语句：使用定义好的命题符号、谓词符号和量词构建逻辑语句。

这些语句用于表示关于对象、关系和属性的陈述。

5. 表示规则和知识：使用谓词逻辑语句表示领域中的事实、规则和知识。

这可能涉及到使用特定的谓词符号和量词来表达领域特定的关系和规则。

6. 建立推理规则：定义基于谓词逻辑语句进行推理的规则。

这可能包括经典的逻辑规则、蕴含规则、量词约束等。

7. 应用推理规则：利用定义好的推理规则，对谓词逻辑语句进行推理，从而得到新的结论。

8. 知识库：将所有定义、事实、规则和推理结果组织成一个知识库。

知识库用于支持对领域知识的查询和推理。

这些步骤提供了一种形式化的方法来表示和推理关于世界的知识，谓词逻辑作为一种强大的逻辑体系在人工智能和计算机科学领域得到广泛应用。

谓词逻辑的概念与基本要素

谓词逻辑的概念与基本要素

谓词逻辑的概念与基本要素谓词逻辑（Predicate Logic），也称一阶逻辑（First-order Logic），是逻辑学中的一个重要分支。

它是对命题逻辑的扩展，通过引入谓词和变量，使得我们能够更加准确地描述自然语言的复杂逻辑关系。

本文将介绍谓词逻辑的概念与基本要素，帮助读者理解和运用这一逻辑工具。

一、概念1. 谓词逻辑的定义谓词逻辑是一种用来描述对象之间关系的逻辑系统。

它通过引入谓词和变量来表示命题中的主体和特性，以更加细致和准确的方式分析和推理。

2. 谓词谓词是用来描述对象特性或关系的符号。

在谓词逻辑中，谓词可以是单个个体或者多个个体之间的关系。

例如，谓词"P(x)"表示x具有性质P，谓词"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。

3. 变量变量用来表示命题中的主体，可以是个体、集合或其他对象。

变量在谓词逻辑中是可以被替换的，通过替换不同的变量，我们可以针对不同情况进行推理。

二、基本要素1. 基本命题在谓词逻辑中，基本命题由谓词和变量构成。

它们可以是简单的描述性语句，也可以是较为复杂的逻辑判断。

例如，命题"P(x)"表示x具有性质P，命题"R(x, y)"表示x与y之间存在关系R。

2. 量词量词用来限定变量的范围。

谓词逻辑中有两种常见的量词：全称量词（∀，表示“对于所有”）和存在量词（∃，表示“存在某个”）。

全称量词用来表示命题在所有情况下都成立，存在量词用来表示命题在某些情况下成立。

3. 逻辑连接词逻辑连接词用来连接不同的命题，以构成更复杂的逻辑表达式。

谓词逻辑中常见的逻辑连接词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等值（↔）。

这些逻辑连接词能够帮助我们表达命题之间的逻辑关系。

4. 推理规则推理规则是谓词逻辑中用来推导新命题的方法。

常见的推理规则有：全称推理规则、存在推理规则、析取引入规则、蕴含引入规则和等值引入规则等。

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义

谓词逻辑定义谓词逻辑（PredicateLogic）是一种语言学对语言句子和理解文本的有效工具，它可以帮助我们更好地审视概念和把握原则。

而它的定义，则是一种把句子的结构转化成可用来证明概念论断的形式的方式，因此也被称为“论证谓词”。

首先，谓词逻辑涉及定义一个符号语言，一种以符号标记句子的结构的文本。

比如对于一个简单的句子“杰克很高兴”，可以标记为p(Jack)，其中p表示“很高兴”。

在谓词逻辑中，用两个谓词连接起来组成一个子句，比如句子“如果Jack快乐，他就会笑”可以标记为[Happy(Jack)→Smile(Jack)]，表示“Jack如果快乐，他就会笑”。

使用谓词逻辑的最大优势是它可以更清楚地定义概念和证明主张。

在谓词逻辑中，它可以将一个概念或者原理用符号表示，并且用精确陈述描述这些概念及其关系，比如我们可以把日常生活中经常遇到的“如果A，就B”这样的句子用谓词逻辑表示：[if A then B]，可以用来证明概念及其论断。

另外，使用谓词逻辑也可以使你对文中的概念有更深刻的理解。

比如我们可以用谓词逻辑来定义“偶然性”：[ A is true if and only if B is not true ]，这句谓词逻辑表明，当且仅当B不发生时，A 才会发生，它可以帮助我们更具体地理解文中的概念。

此外，谓词逻辑还可以帮助我们把握复杂的逻辑关系。

比如对于一个有三个以上的逻辑要素的论断，比如：如果A且B均为真，C才为真，我们可以用谓词逻辑来表述如下：[if A and B, then C]，而这可以帮助我们清晰地把握这一复杂的逻辑关系。

最后，谓词逻辑也有一些缺点。

首先，它有时可能无法解释抽象概念，或者概念之间有着复杂而精辟的联系，而谓词逻辑本身也有可能表达不出这些复杂的联系，所以我们必须小心使用谓词逻辑，使用时也应该考虑到本身的局限性。

总之，谓词逻辑是一种有效的表达句子结构和把握原理的工具，既可以帮助我们定义概念，用精确的陈述来定义概念和证明论断，也可以帮助我们把握复杂的逻辑关系。

谓词逻辑(PredicateLogic)

谓词逻辑(PredicateLogic)
Q：苏格拉底是人； R：苏格拉底是要死的。 前提：P,Q，结论：R。 则(P∧Q)→R表示上述推理， 这个命题公式不是重言式。
前言
在谓词逻辑中，如果 设： H(x)： x是人。
M(x)： x是要死的。 a： 苏格拉底。
前提：(x)(H(x) →M(x))，H(a) 结论：M(a) (x)(H(x)→M(x))∧H(a)M(a)
前言
主语
谓语
客（个）体
谓词
客体可以独立存在，它可以是具体的，也可 以是抽象的。
而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。
为了刻画命题内部的逻辑结构，就需要研究 谓词逻辑（Predicate Logic）。
前言
比如： P：张三是大学生 Q：李四是大学生 以上这些命题都具备有一个共同的特征就是： x是大学生。 P(x)就可以代表这一类的命题。
第二章 谓词逻辑 Predicate Logic
前言
苏格拉底三段论(Socrates syllogism)： 所有人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 （Socrates, 古希腊哲学家,公元前470~前 399） (孔子,中国伟大哲学家,公元前551~前479)
前言
在命题逻辑中，如果 设： P：凡人都是要死的；
P(x) ： x是大学生，a：张三， b：李四， P(a)：张三是大学生 P(b)：李四是大学生
2-1 谓词的概念与表示
2-1.1 谓词的概念 定义1：谓词（predicate） 在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系
的词即是谓词，谓词相当于命题中的谓语部分。 例如： (1) 他是三好学生
比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了 一个真命题“2小于3”。而 L(5,1)表示了一个假命 题“5小于1”
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例如：“任何整数或者为正或者为负”
( ) [ () ) ] () ( ()
常用的谓词公式表示方法对照表：
() () () () () () ()
,
（加上划线） ·
() () () () (, )
() () () () ( )
合适公式的性质 若, 是两个合适公式，则真值表为：
标准形的作用
在定理的机械化证明（一种机械 化的、在计算机上实现的推理）过程中， 我们面临的首要问题是如何建立推理规则。
例如：假设由命题逻辑描述的命 题, , 和，要求证明在 成立的条 件下成立。或者说要证明 是定理（重言式）
然而，要证明 是矛盾式（永假式）， 就要遇到量词（包括存在量词和全称量词）的 问题，为此，需要将 化成标准形，进而 建立“子句集”，方可使用（海伯伦）定理和 归结（）原理来证明 是不可满足的。 因此， 标准形是利用定理和归结（）原理 等进行定理机械化证明的基础，具有非常重要 的地位和作用。
(, ) (, )
蕴涵：用“ ”连接两个公式所构成的公式， 其中，蕴涵的左式称为“前项”，右式成为“后 项”。
蕴涵真值的确定： ) 若前项取值为假（），不管其后项的真值如 何( )，则蕴涵取值为真()。 ) 若后项取值为真（），不管其前项的值为如 何( )，则蕴涵取值为真()。 ) 只有在前项为真，后项为假时，蕴涵为假。
第二步：消去存在量词，只剩下全称量词。
化为前束范式的步骤是：
. 把 “ ”化成 ( ) ( )
( ) ( )
或 ()()
. 把 （或 ）化成 () ()
. 把 （或 ）化成
或
. 利用下列式子消去或移入“非”符号
() 把 化成
合适公式转换成标准形举例
例. 试将 ( )( )( ) (( () ())化成标准形（即“与或式”）。 解：令
则
()) ()
(, , )
( )(
(
)(
()
())
) (, , )
可知，已是前束形了，需将(, , )化成合取范式。 得 (, , ) 于是 ( )( )( ) (( () ()) (()) ())) ( () ()) (()) ())
事实上，上述命题只要用一个谓词()即可表 示，其中可以是杭州、上海、北京……，上述三 个命题变为： : (杭州)
: (上海)
: (北京)
（）谓词可以代表变化着的情况，而命 题只能 代表某种固定的情况。
对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如： ：杭州是一个城市 ：鸵鸟会飞 之值恒真 之值恒假
但是，谓词值的真假却可因参数而异。例如：
() 变量符号（项） ：允许不必明确涉及 是哪一个实体，如(, ), , 即为变量。 () 函数符号：表示论域内的函数。例如 函数符号可表示某人与他或她母亲的映射。 原子公式举例：
“李的父亲与他的母亲结婚”
[(), ()]
说明： () 一般可用大写字母串表示谓词符号， 如, 。
() “大写字母＋数字短串”即可表示谓词 符号，也可作为常量符号。如，, , … () 常量符号与谓词符合的区别要通过上 下文来区分。 () 小写字母表示函数符号，如,
由上述可知，表示知识的陈述性形式称为命 题。
带有参数的命题叫谓词，比起命题来，谓词 有更强的表达能力。谓词逻辑可以表达那些无法 用命题逻辑表达的事实。因为： （）命题没有概括能力。
为了表达：“是一个城市”，则有多少个城市就 要用多少个命题来表示： : 代表“杭州是一个城市”
: 代表“上海是一个城市” : 代表“北京是一个城市” ………
句法和语义 谓词逻辑的基本组成部分：
谓词符号、变量符号、函数符号、 常量符号，并用（）、[ ]、{ }和，隔开， 以表示论域内的关系。例如：
(,
)
谓词符号
常量符号
表示：机器人在号房间（）内。
() 原子公式：由若干谓词符号和项组成。 () 常量符号（项）：表示论域内的物体 或实体，可以是物、人、概念或事情。
事实上，由第一判断推不出第二判断。例如：
() 晁盖劫了生辰纲，违犯了宋王朝的法律，受 到官府的追究。
() 高俅强抢民女，同样违犯了宋王朝的法律， 却可以横行无忌。
从第二判断看，可以解释得通： () 晁盖是人而受到法律管制。对晁盖来说，第 二判断的前提成立，因此要治罪。
() 高俅同样是人而不受法律管制。而对高俅来 说，第二判断的前提不成立，故可逍遥法外。

, , ..., 消去存在量词的算法如下：
() 若是，则移向下一个，原不变动。
其中，每个或是，或是，从始，到止。
() 若是，则消去 ，并且
) 若前没有全称量词，则把后面公式中的所来自有同名换成一个从未出现过的常数名；
) 若前有个全称量词，则把后面公式中的所 有同名换成(, ..., )，其中， 是从未出现过的函数 名， , ..., 是这个全称量词管辖的变量名； ) 做完第个（最后一个）量词后算法停止。 此时，实际上把所有的存在量词都去掉了， 剩下的变量都有全称量词在管着它，这时得到的 公式称作合适公式的标准形。
例. 把论断“世上决没有无缘无故的爱，也没有 无缘无故的恨。”表示成谓词公式的形式。 解题思路：把论断的表示形式“分细”，即知 识的模块化问题。在下列不同程度上予以细分： 步. ——表示整个论断（即命题） 步. 分解为个命题： 没有无缘无故的爱 步. 否定词分出来： 存在无缘无故的爱 恨 存在无缘无故的 没有无缘无故的恨
第二判断： ()
()
表示：只要犯了罪，就要受到惩罚。这里不一定 是人，可以是人，也可以是某种动物。
进一步，还可把这两个高级知识单元联成更高级 的知识单元： {[() ()]
[()
()]}
错误的理解： “因为人人都受法律的管制，所以任何人犯 了罪一定要受到惩罚。” 正确的意思： “如果【由于某个是人而受到法律管制】， 则这个人犯了罪就一定要受到惩罚。”
步. ( (, ))]} 步. (, )
( ) {() ())]}
(( ) (, )
步.
() {() () () () [() (, ) (, ) ()]}
说明： （）()和()分别表示集合，集合； （）(, )表示集合的“模”为，同样 (, )表示集合的“模”为； （）(, )表示的值大于的值。
更有甚者，第二判断还包括这样的意思：
“如果不是人，则犯了罪就一定要受到惩罚。” 例如：兔子犯罪要受到惩罚。 这是因为，如()为假，则不论()如何，第二判断的 前提自然为真，其结论又必然为真。
需特别注意的是：谓词公式对于同名参数置 换的一致性要求使得不同论断之间可以建立起内 在联系。但是这样做的时候必须特别小心，否则 很容易把意思搞错。
() 原子公式的真、假。对已定义了某个 解释的一个原子公式，只有当其对应的语句 在定义域内为真时，才具有真值；反之，也
连词和量词 原子公式是谓词演算的基本“积木 块”，应用连词 （与）、 （或）、蕴 涵（隐含） 或 ()连词 表示“合取”，组成复 合句子。例如： “我喜爱音乐和绘画”
(, )
(, )
() 约束变量：经过量化的变量 自由变量：未经量化的变量 我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
注意：在讨论一阶谓词运算时，不允许对谓 词符号或函数符号进行量化。如下面的表示是不 允许的： ( )() 错误！！
谓词公式 谓词公式的定义 原子公式（原子谓词公式）： (, , … , ) 分子谓词公式：用连词（ , , 等）把原子谓词公式组成的复合谓词公 式。

() 否定之否定: 注： () 或 () 狄•摩根( )定律
(
)
表示“等价与”
(
(
)
)
() 分配率
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
() 交换率
() 结合率 ( ) ( )
(
)
(
)
() 逆否律
()
(
) ()
(
)[
()]
() 全称量词、局部量词的分配率 ( ( ) [() ) [() () ] () ] ( ( )() ) () ( ( ) () ) ()
步. 存在量词分出来：
步. 把“爱”和“恨”的概念分出来： [爱() 无缘故 ()] [爱() 无缘故 ()]
步. 把“缘故”的否定词分出来： [爱() 故 ()] 有缘故 ()] [爱() 有缘
步. 把“是的原因”这个概念中的和分解开来：
[爱() 缘故 (, )] 缘故 (, )] [爱()
注意：一般地，分得越细，所含的知识越丰 富，但推理效率也越低，究竟分到什么程度， 应视需要而定。
谓词演算 命题逻辑及其局限性 命题：不带参数的谓词 谓词：带参数的命题 我们可以很容易地把客观世界的各种 事实表示为逻辑命题，用命题逻辑把各种 命题写成合适公式（），也称“谓词公 式”。例如： 晴天: 表示为
雨天：
表示为
“若为雨天，则非晴天”
表示为
“张三是工人”
表示为
“毛泽东生于年”
表示为
注：上述连字符，只是为了便于阅读，可有可无。
“李住在一幢黄色的房子里”
() 连词 例如：
表示“析取”，表示可兼有的“或”。
“李明打篮球或踢足球”
(, )
(, )
() 真值的确定
每个合取项都为真（），则合取值为真。 若析取项中至少又一个取真，则析取值为 真（），否则为假()。
() 连词
表示“如果…那么…”。例如：
“如果兔子跑得最快，那么它取得冠军”
（部分） () ()
一阶谓词演算是一种形式语 言，其根本目的在于把数学中的 逻辑论证符号化，之所以有用是 其给出了一种数学演绎方法：