离散数学习题解答-第3章谓词逻辑

a t a t i m e an dA l lt h i ng si nt h ei r be i ng ar eg oo df o r so me t hi n 3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。

解：Z 1={<a,s>}Z 2={<b,s>} Z 3={<c,s>}Z 4={<a,s>,<b,s>} Z 5={<a,s>,<c,s>} Z 6={<b,s>,<c,s>}Z 7={<a,s>,<b,s>,<c,s>}3-5.2 在一个有n 个元素的集合上，可以有多少种不同的关系。

解 因为在X 中的任何二元关系都是X ×X 的子集，而X ×X=X 2中共有n 2个元素，取0个到n 2个元素，共可组成22n 个子集，即22|)(|n X X =⨯℘。

3-5.3 设A ＝{6：00，6：30,7：30，…, 9：30,10：30}表示在晚上每隔半小时的九个时刻的集合，设B={3,12,15,17}表示本地四个电视频道的集合,设R 1和R 2是从A 到B 的两个二元关系，对于二无关系R 1，R 2，R 1∪R 2，R 1∩R 2，R 1⊕R 2和R 1-R 2可分别得出怎样的解释。

解：A ×B 表示在晚上九个时刻和四个电视频道所组成的电视节目表。

R 1和R 2分别是A ×B 的两个子集，例如R 1表示音乐节目播出的时间表，R 2是戏曲节日的播出时间表，则R 1∪R 2表示音乐或戏曲节目的播出时间表，R 1∩R 2表示音乐和戏曲一起播出的时间表，R 1⊕R 2表示音乐节目表以及戏曲节目表，但不是音乐和戏曲一起的节日表，R 1-R 2表示不是戏曲时间的音乐节目时间麦。

3-5.4 设L 表示关系“小于或等于”，D 表示‘整除”关系,L 和D 刀均定义于解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L ∩D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>}3-5.5对下列每一式，给出A 上的二元关系，试给出关系图：a){<x,y>|0≤x ∧y ≤3}，这里A={1,2,3,4}；b){<x,y>|2≤x,y ≤7且x 除尽y ,这里A ＝{n|n ∈N ∧n ≤10}c) {<x,y>|0≤x-y<3}，这里A={0,1,2,3,4}；d){<x,y>|x,y 是互质的}，这里A={2,3,4,5,6}解：a) R={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>, <1,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>, <2,0>,<2,1>,<2,2>,<2,3>, <3,0>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,} 其关系图b) R={<2,0>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,0>,<3,3>,<3,6>, <4,0>,<4,4>, <5,0>,<5,5>,i m e an dA l lt h in gs in th ei r be i ng ar eg oo df o rsa）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的；b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的；c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的；d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。

第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。

集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。

在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。

集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。

集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。

同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。

接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。

集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。

第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。

一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。

通常用大写英文字母表示集合。

例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。

用小写英文字母表示集合内元素。

若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。

集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。

表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。

1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。

这种表述方式为列举法。

例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。

且集合元素之间没有次序关系。

一个集合可以作为另个集合的元素。

例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。

因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。

,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。

当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。

离散数学第三章习题详细答案3.9解：符号化：p：a是奇数.q：a是偶数.r：a能被2整除前提：(p→¬r),(q→r)结论：(q→¬p)证明：方法2（等值演算法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔((p∧r)∨¬p)∨((q∧¬r)∨¬q)⇔(r∨¬p)∨(¬r∨¬q)⇔¬p∨(r∨¬r)∨¬q⇔1即为成佛该式为重言式，则原结论恰当。

方法3（主析取范式法）(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r)→(¬q∨¬p)⇔(p∧r)∨(q∧¬r)∨¬q∨¬p⇔m0+m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7所述该式为重言式，则结论推理小说恰当。

3.10.解：符号化：p：a就是负数.q：b就是负数.r：a、b之四维负前提：r→(p∧¬q)∨(¬p∧q)结论：¬r→(¬p∧¬q)方法1（真值法）证明：方法2（主析取范式法）证明：(r→(p∧¬q)∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))⇔¬(¬r∨(p∧¬q)∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))⇔r∨(¬p∧¬q)⇔m0+m2+m4+m6+m7只不含5个极小项，课件完整不是重言式，因此推理小说不恰当3.11.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

解：③：①②谓词三段论⑤：③④谓词三段论⑦：⑤⑥假言推理小说3.12.填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

离散数学测验题(谓词逻辑部分)一、符号化下列命题。

(20分，每题10分)1. 任何两个不同的人都性格不相同。

解：设F(x):x是人,H(x,y), x与y相同丄(x,y): x与y性格相同则原命题对应的谓词公式为：-x(F(x)厂y(F(y) -H(x,yH 1L(x,y)))或-x-y(F(x) F(y) ~H(x,y) ‘-L(x,y))2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。

解：设M(x): x是人，C(x): x爱吃西瓜，则原命题可以表示为前后两个原子命题之间的合取,有些人爱吃西瓜”可以表示为：x M (x) C(x)；不是所有人都爱吃西瓜”可以表示为--X M (x) 、C(x)，或者x M(x) -C(x)则原命题对应的谓词公式为：x M (x) C(x) x M (x)-； C(x)，或者x M(x) C(x) x M (x) -C(x)二、说明下列推理的有效性。

(45分，每题15分)1. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。

解：设B(x): x是乌鸦，M(x): x是天鹅，F(x): x黑色的。

则此推理可以表示为：-x B(x)—；F(x) , -x M (x) —；| F(x) = - x M(x)—；「B(x).证明：(1) -x ( M ( x ) —? F ( x )) P规则⑵ M ( y ) —? F ( y ) US(1)⑶-x ( B( x ) — F ( x )) P规则WB( y ) —F ( y US(3)(5)? F ( y ) —?y ) (4)假言易位⑹ M ( y ) -B?( y ) (2)(5)假言三段论⑺—x( M( x ) -B?( x )) UG(6)，证毕。

利用反证法证明:12(I) 一- x M (x) ，—B(x),⑵ x M(x) B(x), (3)M(c)B(c),⑷ M(c),(5)B(c),⑹-x M (x) ‘ —F (x), ⑺M(c)》-F(c), (8) -F(c), (9) -x B(x) > F(x), (10) B(c) > F(c), (II) F(c), 与(8)矛盾，所以假设错误。

第三章 谓词逻辑习题3.11．解 ⑪个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。

⑫个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。

⑬个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。

⑭个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。

2． 解 ⑪设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。

命题符号化：)(a F 。

⑫设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。

命题符号化：)(a F 。

⑬设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。

命题符号化：)(a F 。

⑭设)(x F ：x 身体很好；a ：我。

命题符号化：)(a F 。

3．解 ⑪选取个体域为整数集合。

设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。

命题符号化：)()(x G x F →。

⑫选取个体域为所有国家的集合。

设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。

命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。

⑬选取个体域为所有人的集合。

设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。

命题符号化：))()((x G x F x ⌝→⌝⌝∀⑭选取个体域为所有人的集合。

设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。

命题符号化：∃x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。

⑮选取个体域为所有猫的集合。

设M (x )：x 是好猫；F (x )：x 捉耗子。

命题符号化：∃x ⌝M (x )∧∀x (F (x )→M (x ))。

4．解 ⑪①设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车。

命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。

②设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车；)(x M ：x 是人。

命题符号化：))()(())()((x G x M x x F x M x ∧∃∧∧∃。

⑫①设)(x F ：x 必须学好数学。

离散数学形成性考核作业3数理逻辑部分的概念及性质判断题●含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧R)∨(P Q∧┐R)．( ) 对●命题公式┐(P→Q)的主析取范式是P∨┐Q．( ) 错●命题公式┐P∧(P→┐Q)∨P为永真式．( ) 对●命题公式┐P∧(P∨Q)⇒Q成立．( ) 对●命题公式┐P∧P的真值是T．( ) 错●命题公式P→(Q∨P)的真值是T．( ) 对●设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，那么命题“有人去上课．”为∃x(P(x)→Q(x))．( ) 错●设P(x)：x是人，Q(x)：x学习努力，那么命题““所有的人都学习努力．”为(∀x)(P(x)∧Q(x))．( ) 错●设P：他生病了，Q：他出差了，R：我同意他不参加学习．那么命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P∨Q) →┐R．( ) 错●设P：我们下午2点去礼堂看电影，Q：我们下午2点去教室看书．那么命题“我们下午2点或者去礼堂看电影或者去教室看书”符号化的结果为P∨Q．( ) 错●设P：小王来学校，Q：他会参加比赛．那么命题“如果小王来学校，则他会参加比赛”符号化的结果为P→ Q．( ) 对●设P：昨天下雨，Q：今天下雨．那么命题“昨天下雨，今天仍然下雨”符号化的结果为P∧Q．( ) 对●设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为T．( ) 对●设个体域D＝{1,2, 3, 4}，A(x)为“x大于5”，则谓词公式(∀x)A(x)的真值为T．( ) 错●设个体域D＝{a, b},那么谓词公式∃xA(x)∨∀yB(y)消去量词后的等值式为A(a)∨B(b)．( ) 错●设个体域D＝{a, b}，则谓词公式(∀x)(A(x)∧B(x))消去量词后的等值式为(A(a)∧B(a))∧(A(b)∧B(b))．( ) 对●谓词公式┐(∀x)P(x) ⇔(∃x) ┐P(x)成立．( ) 对●谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x))∨C(y))中的自由变元为x．( ) 错●谓词命题公式(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x，y))中的约束变元为x．( ) 对●下面的推理是否正确．( )(1) (∀x)A(x)→B(x)前提引入(2) A(y)→B(y) US (1) 错单选∀的辖域是( )．B．P(x, ●表达式(∀x)(P(x，y)∨Q(z))∧∃y (R(x, y) →∀z Q(z))中x。

§2.2 谓词公式及其解释习题2.21. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）))()((y x Q x P x ，→∀（2）)()(y x yQ y x xP ，，∃→∀ （3）)())()((z y x xR z y Q y x P y x ，，，，∃∨∧∃∀解 （1）x ∀中的x 是指导变元；量词x ∀的辖域是),()(y x Q x P →，其中x 是约束变元，y 是自由变元。

（2）x ∀中的x ，y ∃中的y 都是指导变元；x ∀的辖域是)(y x P ，，y ∃的辖域是)(y x Q ，；其中)(y x P ，中的x 是x ∀的约束变元，y 是自由变元；)(y x Q ，中的x 是自由变元，y 是约束变元。

（3）x ∀中的x ，y ∃中的y 以及x ∃中的x 都是指导变元；x ∀的辖域是))()((z y Q y x P y ，，∧∃，y ∃的辖域是)()(z y Q y x P ，，∧，x ∃的辖域是)(z y x R ，，；其中)(y x P ，中的x ，y 都是约束变元；)(z y Q ，中的y 是约束变元；z 是自由变元，)(z y x R ，，中的x 为约束变元，y ，z 是自由变元。

2. 设个体域}21{，=D ，请给出两种不同的解释1I 和2I ，使得下面谓词公式在1I 下都是真命题，而在2I 下都是假命题。

（1）))()((x Q x P x →∀ （2）))()((x Q x P x ∧∃解（1）解释1I ：个体域}21{，=D ，0:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

（2）解释2I ：个体域}21{，=D ，2:)(,0:)(>>x x Q x x P 。

3. 对下面的谓词公式，分别给出一个使其为真和为假的解释。

（1）)))()(()((y x R y Q y x P x ，∧∃→∀（2）)),()()((y x R y Q x P y x →∧∀∀解 （1）成真解释：个体域D ＝{1,2,3},0:)(<x x P ,2:)(>y y Q ,3:),(>+y x y x R 。