第3章 谓词逻辑

第一节：命题符号化及联结词※引言命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分，是谓词逻辑的基础，而数理逻辑是一门用数学方法研究推理过程的科学。

逻辑学主要研究各种论证，建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规则，按照这些规则就可以确定任何特定论证是否有效，这些规则通常称为推理规则。

在逻辑学中与其说注重的是论证本身，不如说注重的是论证形式，这样可以依据各项规则并使用机械方法，不难确定论证的有效性，但是，使用这种方法推理时，所遵循的规则一定不能具有二义性。

为表示任何成套规则或者理论，都需要为其配置一种语言。

所以，应制定一种形式语言，在这种形式语言中必须明确地和严格地定义好它的语义和语法，为了避免出现二义性，在形式语言种将使用一些符号，并给这些符号做出明确的定义，同时使用符号还有另外的含义：符号容易书写和处理。

※命题符号化及联结词数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，所以，表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。

【定义1】命题：能判断真假的陈述叫做命题注意：(1)命题的判断只有两种可能：正确的判断与错误的判断，前者称为命题的真值为真；后者称为命题的真值为假，(2)命题的真值通常使用大写英文字母T和F表示，或使用1和0表示(3)命题必须是具有唯一真值的陈述句【例题1】判断下列语句中哪些是命题(1)2是素数(2)雪是黑色的(3)532=+(4)明年十月一日是晴天(5)3 能被2整除(6)这朵花真好看呀！(7)明天下午有会吗？(8)请关上门！(9)5>+y x(10)地球外的星球上也有人其中：(1)(2)(3)(4)(5)(10)为命题【方法】(1)命题必须是陈述句，所以：非陈述句不是命题(2)命题必须有确定的真值，凡无确定真值的陈述句不是命题，特别注意：真值是否确定与我们是否知道它的真值是两码事(3)注意悖论：如：我正在说谎。

【定义2】原子命题：不能分解为更简单的陈述句叫做原子命题或简单命题【定义3】命题常项：对于简单命题如果它的真值是确定的，则：称其为命题常项或命题常元命题变项：真值可以变化的陈述句成为命题变项或命题变元，用小写的英文字母表示注意：命题变项不是命题【定义4】复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合构成的命题叫做复合命题【定义5】联结词类型(1)否定：设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记做：P如果P为T，则：P⌝为F；如果P为F，则：P⌝为T〖注意〗自然语言常用“非”、“不是”等(2)合取：两个命题P和Q的合取是一个复P∧合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为T时，QP∧的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“既……又……”、“不仅……而且……”、“虽然……但是……”等【例题2】将下列命题符号化(1)李平既聪明又用功(2)李平虽然聪明，但不用功(3)李平不但聪明，而且用功(4)李平不是不聪明，而是不用功〖解答〗用p：表示李平聪明，q：表示李平用功则：(1)(2)(3)(4)分别符号化为：∧⌝⌝⌝∧(∧)q∧qppqqpp⌝【练习】将下列命题符号化(1)苹果是红的与香蕉是黄的(2)他打开箱子，并拿出一件衣服(3)张小明和张小华是堂兄弟(4)4是偶数且是素数注意：(3)是简单命题(3)析取：两个命题P和Q的析取是一个复P∨合命题，记做：Q当且仅当P和Q同时为F时，QP∧的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“或”表示，注意或具有双义性，可以是兼容或，也可以是排斥或【例题3】将下列命题符号化(1)我选修英文课或数学课(2)灯泡有故障或开关有故障(3)通过电视看杂技或到剧场看这场杂技（异或）(4)小李或小张可以解答这个问题(4)条件：两个命题P和Q，其条件命题是P→一个复合命题，记做：Q当且仅当P的真值为T，且Q的真值为F时，QP→的真值为F，否则为T〖注意〗自然语言常用“只要……就……”、“……仅当……”、“只有……才……”、“如果……则……”等【例题4】将下列命题符号化(1)只要不下雨，我就骑车上班(2)只有不下雨，我才骑车上班(3)如果422=+，则：太阳从东方升起(4) 如果422≠+，则：太阳从东方升起(5)双条件（等价）：两个命题P和Q，其复P↔叫做等价命题合命题Q当且仅当与Q的真值相同时QP↔的真值为T，否则为F〖注意〗自然语言常用“当且仅当”等【例题5】将下列命题符号化3是奇数(1) 4+当且仅当22=(2) 422=+当且仅当3不是奇数(3) 422≠+当且仅当3是奇数(4) 422≠+当且仅当3不是奇数(5)两圆的面积相等当且仅当他们的半径相等(6)两角相等当且仅当它们是对顶角上述介绍的五种联结词成为逻辑联结词，在命题逻辑中，可用这些联结词将各种各样的复合命题符号化，其具体步骤是：(1)分析出各简单命题，将其符号化(2)使用合适的联结词，把简单命题逐个联结起来，组成复合命题的符号化表示【例题6】将下列命题符号化(1)小王是游泳冠军或百米赛冠军(2)小王现在宿舍或在图书馆(3)选小王或小李中的一个人当班长(4)如果我上街，我就去书店看看，除非我很累(5)小王是计算机系的学生，他生于1968年或1969年，他是三好学生〖解答〗(1) 用p：表示小王是游泳冠军，q：表示小王是百米冠军，命题可符号化为：qp∨(2) 用p：表示小王在宿舍，q：表示小王在图书馆，命题可以符号化为：qp∨(3) 用p：表示小王当班长，q：表示小李当班长，命题可以符号化为：⌝p∧∧⌝∨(q)q()p(4)用p：表示我上街，q：表示我去书店看看，r：表示我很累则：命题可以符号化为：)⌝(q→r→p (5) 用p：表示小王是计算机系的学生，q：表示小王生于1968年，r：表示小王生于1969年，s ：表示他是三好学生 则：命题可以符号化为：()p q r s ∧∨∧五种联结词符也称为逻辑运算符，它与普通的数的运算符一样，可以规定运算的优先级，规定：优先级的运算顺序是：↔→∨∧⌝，如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的顺序运算；如果有括号，先进行括号中的运算第二节：命题公式及分类 ※命题公式由联结词q p q p q p q p p ↔→∨∧⌝,,,,和多个命题常项可以组成更复杂的复合命题，如果在复合命题中，r q p ,,等不仅可以代表命题常项，也可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式叫做命题公式 抽象的讲，命题公式是由命题常项、命题变项、联结词、括号等组成的符号串【定义1】合式公式：(1)单个命题常项或变项1,0,,,,,,,, i i i r q p r q p 是合式公式(2)如果A 是合式公式，则：)(A ⌝也是合式公式(3)如果B A ,是合式公式，则：也是合式公式(4)只有有限次使用(1)、(2)、(3)组成的符号串才是合式公式可以将合式公式称为命题公式，简称公式〖注意〗(1)为方便起见，规定：)(A ⌝，)(),(),(),(B A B A B A B A ↔→∨∧的外层括号可以省略不写(2)根据定义，可知：r q p r q p q p ↔∧→→∨⌝)(),(),(等是命题公式，但r q p r pq →∨⌝→),等不是命题公式一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，此时其真值唯一确定，由此引出解释或赋值的定义【定义2】解释或赋值设A 为一个命题公式，n p p p ,,,21 为出现在A中的所有的命题变项，给n p p p ,,,21 指定一组真值，称为对A 的一个解释或赋值。

离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假；5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0；2.基：集合A中别同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系；8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称那个元素是B的上界(若存在，也许别唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称那个元素是B的下界(若存在，也许别唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种别同的关系，有m n种别同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn 数；2.在一具有n个元素的集合上，能够有22n种别同的关系，有n n种别同的函数，有n!种别同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m,满脚f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元别能是生成元；5.任何一具循环群必然是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 汲取律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配别等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模别等式a≤c av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满脚a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必然是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，假如a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一具补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一具有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平庸图：惟独一具孤立点构成的图；4.简单图：别含平行边和环的图；5.无向彻底图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向彻底图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向彻底图有n(n-1)/2条边，有向彻底图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必然是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必然包含一条回路；12.可达：关于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称iv与j v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v i的路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一具方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必然是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图别连通了，假如删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：假如一具点构成点割集，即删去图中的一具点后所得子图是别连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为ij列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为i列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只拜访每个节点一次，通过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种办法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②挑选一具与v邻接且未被拜访过的节点1v；③从v动身按邻接方向接着拜访，当遇到一具节点所有邻接1点均已被拜访时，回到该节点的前一具点，再寻求未被拜访过的邻接点，直到所有节点都被拜访过一次；广度优先：①选定起始点v；②拜访与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一具节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被拜访过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种办法：克鲁斯卡尔办法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔办法①将所有权值按从小到大罗列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，挑选时要满脚别能浮现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被拜访过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被拜访过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，假如最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直截了当连接，否则退回1。

第三章确定性推理方法习题参考解答3.1 练习题3.1 什么是命题？请写出3个真值为T 及真值为F 的命题。

3.2 什么是谓词？什么是谓词个体及个体域？函数与谓词的区别是什么？3.3 谓词逻辑和命题逻辑的关系如何？有何异同？3.4 什么是谓词的项？什么是谓词的阶？请写出谓词的一般形式。

3.5 什么是谓词公式？什么是谓词公式的解释？设D= {1,2} ，试给出谓词公式（ x）（ y）（P（x,y） Q（x,y））的所有解释，并且对每一种解释指出该谓词公式的真值。

3.6对下列谓词公式分别指出哪些是约束变元？哪些是自由变元？并指出各量词的辖域。

（1）( x)(P(x, y) ( y)(Q(x, y) R(x, y)))（2）( z)( y)(P(z, y) Q(z, x)) R(u, v)（3）( x)(~ P( x, f (x )) ( z)(Q(x,z) ~ R(x,z)))（4）( z)(( y)(( t)(P(z, t) Q(y, t)) R(z, y))（5）( z)( y)(P(z, y) ( z)(( y)(P(z, y) Q(z, y) ( z)Q(z, y))))什么是谓词公式的永真性、永假性、可满足性、等价性及永真蕴含？3.7什么是置换？什么是合一？什么是最一般的合一？3.8判断以下公式对是否可合一；若可合一，则求出最一般的合一：3.9（1）P(a,b) ，P(x, y)（2）P(f(z),b) ，P(y, x)（3）P(f(x), y) ，P(y, f(a))（4）P(f(y), y,x) ，P(x, f(a), f(b))（5）P(x, y) ，P(y, x)什么是范式？请写出前束型范式与SKOLEM 范式的形式。

3.10什么是子句？什么是子句集？请写出求谓词公式子句集的步骤。

3.113.12谓词公式与它的子句集等值吗？在什么情况下它们才会等价？3.13 把下列谓词公式分别化为相应的子句集：(1)( z)( y)(P(z, y) Q(z, y))(2)( x)( y)(P(x, y) Q(x, y))(3)( x)( y)(P(x, y) (Q(x, y) R(x, y)))(4)( x)( y)( z)(P(x, y) Q(x, y) R(x, z))(5)( x)( y)( z)( u)( v)( w)(P(x, y,z,u,v,w) (Q(x, y, z,u, v, w) ~R(x, z, w)))3.14 判断下列子句集中哪些是不可满足的：(1)S {~ P Q,~ Q,P,~ P}(2)S {P Q,~ P Q,P ~ Q,~ P ~ Q}(3)S {P(y) Q(y), ~ P(f(x)) R(a)}(4)S {~ P(x) Q(x), ~ P(y) R(y), P(a),S(a),~ S(z) ~ R(z)}(5)S {~ P(x) ~ Q(y) ~ L(x, y), P(a), ~ R(z) L(a, z), R(b), Q(b)}(6)S {~ P(x) Q(f(x), a), ~ P(h(y)) Q(f(h(y)), a) ~ P(z)}(7)S {P(x) Q(x) R(x),~ P(y) R(y),~Q(a),~ R(b)}(8)S {P(x) Q(x),~ Q(y) R(y), ~ P(z) Q(z),~ R(u)}3.15 为什么要引入Herbrand 理论？什么是H 域？如何求子句集的H 域？3.16 什么是原子集？如何求子句集的原子集？3.17 什么是H 域解释？如何用域D 上的一个解释I 构造H 域上的解释I *呢？3.18 假设子句集S＝{P(z) ∨Q(z),R(f(t))} ，S 中不出现个体常量符号。

逻辑学第二版何向东引言逻辑学是一门研究思维和推理的学科，它可以帮助我们理解和分析复杂的问题。

本文将介绍《逻辑学第二版何向东》这本以何向东教授为主编的逻辑学教材。

本教材在第一版的基础上进行了全面修订，增加了新的案例和示例，以帮助读者更好地理解逻辑学的概念和原理。

第一章：逻辑学概述本章介绍逻辑学的基本概念和研究对象。

逻辑学是类似数学的一门学科，它研究的是推理和论证的规则。

本章通过案例分析和实例引导读者了解逻辑学的重要性以及学习逻辑学的目的。

第二章：命题逻辑本章讲解命题逻辑的基本原理和符号表示方法。

命题逻辑是逻辑学的基础，它研究的是简单命题之间的逻辑关系。

本章将详细介绍命题的定义、逻辑运算和真值表，以及常见的命题逻辑推理规则。

第三章：谓词逻辑本章介绍谓词逻辑的概念和应用。

谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是复杂命题和量词的逻辑关系。

本章将介绍谓词的定义和符号表示、逻辑联结词的运算规则，以及谓词逻辑推理的方法和策略。

第四章：命题演绎本章主要讲解命题演绎的方法和技巧。

命题演绎是一种逻辑推理方法，它通过对前提和规则进行推理，得出结论的正确性。

本章将通过案例分析和实例演示介绍命题演绎的基本原理和步骤。

第五章：谓词演绎本章讲解谓词演绎的原理和应用。

谓词演绎是一种用于处理复杂命题的推理方法，它结合了谓词逻辑和量词的概念。

本章将介绍谓词演绎的规则和步骤，并通过实例演示谓词演绎的应用。

第六章：归纳推理本章介绍归纳推理的概念和方法。

归纳推理是一种从特殊到一般的推理方法，它通过观察和总结具体情况，得出普遍规律或结论。

本章将通过案例分析和实例引导读者学习归纳推理的基本思路和步骤。

第七章：演绎推理与归纳推理的关系本章讨论演绎推理和归纳推理的区别和联系。

它们是逻辑学研究的两种基本推理方法，各自有不同的特点和适用范围。

本章将通过案例分析和实例引导读者理解演绎推理和归纳推理在解决问题中的不同作用。

结论《逻辑学第二版何向东》是一本全面介绍逻辑学原理和应用的教材。

《逻辑学》全套教案第一章：逻辑学概述1.1 教学目标了解逻辑学的定义、起源和发展历程。

理解逻辑学在学术和日常生活中的重要性。

掌握基本逻辑术语和概念。

1.2 教学内容逻辑学的定义和起源逻辑学的发展历程逻辑学在日常生活中的应用基本逻辑术语和概念介绍1.3 教学方法讲授法：讲解逻辑学的定义、起源和发展历程。

案例分析法：分析日常生活中常见的逻辑学应用。

小组讨论法：讨论基本逻辑术语和概念。

1.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。

作业评估：布置相关逻辑学练习题，检验学生掌握程度。

第二章：命题逻辑2.1 教学目标理解命题逻辑的基本概念和规则。

学会构造和分析命题逻辑表达式。

掌握命题逻辑推理的基本方法。

2.2 教学内容命题逻辑的基本概念和规则命题逻辑表达式的构造和分析命题逻辑推理的基本方法2.3 教学方法讲授法：讲解命题逻辑的基本概念和规则。

练习法：通过练习题让学生掌握命题逻辑表达式的构造和分析。

小组讨论法：讨论命题逻辑推理的基本方法。

2.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。

作业评估：布置相关命题逻辑练习题，检验学生掌握程度。

第三章：谓词逻辑3.1 教学目标理解谓词逻辑的基本概念和规则。

学会构造和分析谓词逻辑表达式。

掌握谓词逻辑推理的基本方法。

3.2 教学内容谓词逻辑的基本概念和规则谓词逻辑表达式的构造和分析谓词逻辑推理的基本方法3.3 教学方法讲授法：讲解谓词逻辑的基本概念和规则。

练习法：通过练习题让学生掌握谓词逻辑表达式的构造和分析。

小组讨论法：讨论谓词逻辑推理的基本方法。

3.4 教学评估课堂参与度评估：学生参与小组讨论和提问。

作业评估：布置相关谓词逻辑练习题，检验学生掌握程度。

第四章：演绎推理4.1 教学目标理解演绎推理的基本概念和规则。

学会运用演绎推理解决实际问题。

掌握演绎推理的常见错误和辨析方法。

4.2 教学内容演绎推理的基本概念和规则演绎推理在实际问题中的应用演绎推理的常见错误和辨析方法4.3 教学方法讲授法：讲解演绎推理的基本概念和规则。

人工智能课后答案第三章本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March1.基于谓词逻辑的机器推理方法：自然演绎推理，归结演绎推理，基于规则的演绎推理。

2. 求下列谓词公式的子句集(1) x y(P(x,y) Q(x,y))解：去掉存在量词变为：P(a,b)Q(a,b) 变成子句集{ P(a,b),Q(a,b )}(2) x y(P(x,y) Q(x,y)) 解：去掉蕴涵符号变为：x y(¬ P(x,y)Q(x,y)) 去掉全称量词变为：¬ P(x,y) Q(x,y) 变成子句集{ ¬ P(x,y) Q(x,y)}(3) {()[(,)(,,)]}x P x y zQ x z zR x y z ∀→∃∀∨∀()(,)(,(),)P x Q x z R x f x z ⌝∨∨(4)((,,,,,)(,,,,,)(,,,,,))x y z u v w P x y z y v w Q x y z y v w R x y z u v w ∃∀∃∃∀∃∨∧ {p(a,y,f(y),y,v,g(y,v)) Q(a,y,f(y),y,v,g(y,v)), p(a,x,f(x),x,z,g(x,z))R(a,x,f(x),h(x),z,g(x,z))} 3. 试判断下列子句集中哪些是不可满足的（1）使用删除策略（2）归结 4.用合一算法求下列公式集的最一般合一。

（1）W={Q(a,x),Q(y,b)} 最一般合一为:{a/y,b/y} （2）{()((,))}W Q x y z Q u h v v u =，，，，，最一般合一为：{z/u,h(v,v)/y,z/x}或{x/u,h(v,v)/y,x/z}5.用归结原理证明，G 是否可肯定是F 的逻辑结果。

(1) F 1 (x)(P(x)(Q(x)∧R(x)) F 2 (x) (P(x) ∧S(x) G (x)(S(x) ∧R(x)) 证明：利用归结反演法，先证明F 1 ∨ F 2 ∨¬G 是不可满足的。

logic使用手册逻辑使用手册第一章：基本概念1.1 逻辑的定义1.2 命题和命题逻辑1.3 谓词和谓词逻辑1.4 命题与谓词逻辑的关系第二章：命题逻辑2.1 命题的基本运算2.1.1 否定2.1.2 合取2.1.3 析取2.1.4 条件2.1.5 双条件2.2 命题的等价与蕴含2.2.1 等价2.2.2 蕴含2.3 命题的简化与合取范式2.3.1 极小项与极大项2.3.2 卡诺图2.3.3 合取范式2.4 命题的推理2.4.1 假言推理2.4.2 拒取推理2.4.3 析取三段论2.4.4 假言三段论第三章：谓词逻辑3.1 谓词逻辑的基本概念3.1.1 谓词3.1.2 量词3.2 谓词的基本运算3.2.1 否定3.2.2 合取3.2.3 析取3.2.4 条件3.2.5 双条件3.3 谓词的等价与蕴含3.3.1 等价3.3.2 蕴含3.4 谓词的简化与前束范式3.4.1 极小项与极大项3.4.2 前束范式3.5 谓词的推理3.5.1 全称推理3.5.2 特称推理3.5.3 全称三段论3.5.4 特称三段论第四章：逻辑推理4.1 形式逻辑与实质逻辑4.2 形式逻辑的证明4.2.1 直接证明4.2.2 间接证明4.3 形式逻辑的推理规则4.3.1 假言推理4.3.2 拒取推理4.3.3 析取三段论4.3.4 全称推理4.3.5 特称推理4.4 形式逻辑的证明方法4.4.1 数学归纳法4.4.2 反证法4.4.3 构造法第五章：逻辑推理的应用5.1 逻辑推理在数学中的应用5.2 逻辑推理在科学中的应用5.3 逻辑推理在哲学中的应用5.4 逻辑推理在日常生活中的应用附录：逻辑符号表附录A：命题逻辑符号表附录B：谓词逻辑符号表本使用手册旨在全面介绍逻辑的基本概念、命题逻辑和谓词逻辑的运算规则、推理方法以及逻辑推理在各个领域的应用。

通过学习本手册，读者将能够掌握逻辑的基本原理，提升逻辑思维能力，并应用逻辑推理解决实际问题。

人工智能第3章谓词逻辑与归结原理
1、谓词逻辑是什么？
谓词逻辑（Predicate Logic）是一种通用的符号化语言，用来表达
和分析各种谓词命题（Propositional Statements）的逻辑关系。

它可以
用来表达抽象概念和客观真理，并以精确的形式描述这些概念和真理。

谓
词逻辑最重要的功能是，它能够发现和解决各种类型的逻辑问题，这在人
工智能中显得尤为重要。

2、归结原理是什么？
归结原理是一种认识论。

它提出的基本原则是，如果要获得B给定A，应当给出一个充分陈述，即必须提供一系列真实可信的参数，以及由此产
生B的能力证明，在这种情况下A必须是正确的。

因此，归结原理会被用
来推理。

例如，通过归结原理，如果一个具体的概念被认为是正确的，那
么人们可以得出结论，即所有概念的结果也是正确的。

《离散数学》教学大纲一、教学目的与要求（一）目的本课程教学的目的是培养学生的数学思维能力，使学生得到良好的数学训练，提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，为从事计算机的应用提供坚实的理论基础。

通过教学，最终使学生能够在众多的概念中要找出最重要的，在众多的定理中找出最根本的，将这些少量的概念和定理能够透彻地理解，自如地运用。

（二）要求1. 有效地掌握该门课程中的所有概念。

通过讲课和布置一定数量的习题使学生能够使用所学的概念对许多问题作出正确的判断。

2. 通过课程中许多定理的证明过程复习概念，了解证明的思路，学会证明的方法，并使学生掌握定理的内容和结果。

3. 通过介绍各种做题的方法，启发学生独立思维的能力。

创造性的提出自己解决问题的方法，提高学生解决问题的能力。

4．通过该门课程的学习使学生掌握逻辑思维和逻辑推理的能力，培养学生正规的逻辑思维方式。

二、教学重点及难点（一）重点1．集合论：集合恒等式，关系运算，关系性质，等价关系，偏序关系2．数理逻辑：等价演算，推理理论3．代数系统：代数系统，群的性质，子群，陪集与拉格朗日定理，循环群，置换群4．图论：图的基本概念，图的矩阵，根树，有向树和有序树。

5．代数系统：代数系统，群的性质，子群，陪集与拉格朗日定理，循环群，置换群（二）难点关系的运算，偏序关系,一阶逻辑推理，陪集，置换群，根树的应用三、教学方法采用多媒体和板书相结合，采用启发式和案例教学，以知识为载体，培养学生分析解决问题的思维方式和方法，激发学生创造性思维。

四、教学时数54学时，每周3学时五、考试或考察方式本课程为考试课考试方式六、学时安排序号章节内容学时1 第一章集合与关系122 第二章命题逻辑123 第三章谓词逻辑94 第四章图论125 第五章代数系统9合计54第一章集合与关系 1.1 集合的概念与运算一、教学目的及要求：1、掌握集合的两种表示法2、判别元素是否属于给定的集合3、判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系4、掌握集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算）并能化简集合表达式二、教学难点及重点：教学重点：1. 集合的两种表示法2. 集合之间的包含、相等、真包含等关系3. 集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算）教学难点：集合的运算三、教学基本内容：1．集合的概念，集合的两种表示法2．元素与集合的关系3．两个集合之间的关系：包含、相等、真包含等关系4．空集，全集，幂集的概念5. 集合的基本运算（幂集运算，普通运算和广义运算），化简集合表达式四、作业习题1.1 2、3、5、7、9第一章集合与关系(1.2,1.3)一、教学目的及要求：1．掌握有序对的定义2．掌握笛卡儿积运算和性质3．熟练掌握二元关系的定义4．掌握二元关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法5. 掌握关系的逆和合成运算二、教学难点及重点：教学重点：1．有序对的定义2．笛卡儿积运算和性质3．二元关系的定义4．二元关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法5. 关系的逆和合成运算教学难点：笛卡儿积运算和性质、关系的合成三、教学基本内容:1.有序对的概念2.有序对的性质3.有序n元组4.笛卡儿积的定义5.笛卡儿积的运算和性质6.二元关系的概念7.集合A到B的关系、集合A上的关系的定义8.关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法9.关系的逆和合成运算四、作业习题1.2 1、3、4、5、6 习题1.3 1、2、7、11第一章集合与关系(1.4)一、教学目的及要求：1．掌握二元关系的基本性质及其关系矩阵、关系图上的体现2．掌握二元关系的各种性质存在的充要条件3．了解二元关系各种性质与集合运算的关系4．掌握自反性、对称性、传递性的证明方法二、教学难点及重点：教学重点：1．二元关系的基本性质：自反性，非自反性，对称性，反对称性，传递性2．二元关系的各种性质存在的充要条件3．二元关系的基本性质在关系矩阵、关系图上的体现4．二元关系各种性质与集合运算的关系5．自反性、对称性、传递性的证明方法教学难点：1.二元关系的各种性质存在的充要条件2.自反性、对称性、传递性的证明方法三、教学基本内容:1．自反性的定义及关系矩阵、关系图的特征2．非自反性的定义及关系矩阵、关系图的特征3．对称性的定义及关系矩阵、关系图的特征4．反对称性的定义及关系矩阵、关系图的特征5．传递性的定义及关系矩阵、关系图的特征6.二元关系的各种性质存在的充要条件7.集合的并、交运算对自反性的保持8.集合的并、交运算对对称性的保持9.集合的并、交运算对传递性的保持10.二元关系性质的证明四、作业习题 1.4 1、2、3、4、8第一章集合与关系(1.5) 一、教学目的及要求：1．掌握二元关系闭包的含义2．掌握二元关系闭包的性质3．掌握二元关系闭包的计算方法二、教学难点及重点：教学重点：1．二元关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包2．二元关系的闭包计算的基本定理3．利用关系矩阵和关系图计算闭包4．二元关系的闭包的性质教学难点：二元关系闭包的求法三、教学基本内容:1．闭包的定义：自反闭包、对称闭包、传递闭包2．利用集合与闭包的关系计算闭包3．利用关系矩阵和关系图计算闭包4．二元关系的闭包的性质5．闭包与闭包之间的关系6. 集合、关系矩阵、关系图之间的转换四、作业习题1.5 1、2、3、9第一章集合与关系(1.6) 一、教学目的及要求：1．掌握等价关系及其条件2．掌握等价关系与划分的联系二、教学难点及重点：教学重点：1．等价关系及充要条件2．等价关系与划分的联系教学难点：等价关系的划分三、教学基本内容:1．等价关系的定义2．利用矩阵表示等价关系3．等价关系的充要条件4．等价类与商集的定义5．等价关系与划分的联系四、作业习题 1.6 2、4、5、6第一章集合与关系(1.7) 一、教学目的及要求：1．了解序关系的概念2．掌握偏序与拟序3. 掌握哈斯图4. 掌握全序与良序二、教学难点及重点：教学重点：1．偏序与拟序2．哈斯图3. 全序与良序教学难点：全序与良序三、教学基本内容:1．序关系的概念：偏序关系、拟序关系2．偏序的充分必要条件3．拟序的充分必要条件4．覆盖的定义5．哈斯图6.极大元与极小元7.全序结构与良序结构四、作业习题 1.7 2、5、8第二章命题逻辑(2.1、2.2) 一、教学目的及要求：1．分清简单命题（既原子命题）与复合命题2．深刻理解5种常用联结词的涵义，每种联结词的真值3．分清“相容或”与“排斥或”4. 掌握命题公式及其真值表5. 掌握命题公式的类型与判定二、教学难点及重点：教学重点：1. 命题的概念2．简单命题（既原子命题）与复合命题3. 5种常用联结词4. “相容或”与“排斥或”5. 命题公式及其真值表6. 命题公式的类型与判定教学难点：“相容或”与“排斥或”逻辑区别、命题公式的判定三、教学基本内容:1．命题的概念，真命题，假命题，真值2．命题的判断，简单命题的符号化3．联结词4．每个联结词表示的逻辑关系5．每个联结词的真值6. 命题公式的真值表7. 命题公式的类型8. 命题公式的判定四、作业习题2.1 2、3、4 习题2.2 1、2、3、5第二章命题逻辑(2.3) 一、教学目的及要求：1．掌握命题公式的等价2．掌握命题公式的蕴含3．理解置换定理与对偶定理二、教学难点及重点：教学重点：1．命题公式的等价2．命题公式的蕴含3．置换定理与对偶定理教学难点：命题公式的关系及真值表演算三、教学基本内容:1．命题公式的等价2．命题公式的蕴含3．置换定理与对偶定理四、作业习题2.3 1、2、3、4第二章命题逻辑(2.4)一、教学目的及要求：1．了解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式，合取范式，主析取范式与主合取范式等概念。

谓词逻辑（Predicate Logic）是一种形式化的逻辑体系，用于表示和推理关于事物及其关系的陈述。

表示知识的一般步骤如下：
1. 定义命题符号：确定用于表示事实和关系的基本命题符号。

这些符号通常表示对象、性质、关系等。

2. 定义谓词符号：引入谓词符号，用于描述对象之间的关系或属性。

谓词符号包含一个或多个参数，表示关系的参与者。

3. 定义量词：引入全称量词(∀) 和存在量词(∃)，用于表示某种性质或关系是否对所有对象成立或是否存在至少一个对象满足。

4. 建立谓词逻辑语句：使用定义好的命题符号、谓词符号和量词构建逻辑语句。

这些语句用于表示关于对象、关系和属性的陈述。

5. 表示规则和知识：使用谓词逻辑语句表示领域中的事实、规则和知识。

这可能涉及到使用特定的谓词符号和量词来表达领域特定的关系和规则。

6. 建立推理规则：定义基于谓词逻辑语句进行推理的规则。

这可能包括经典的逻辑规则、蕴含规则、量词约束等。

7. 应用推理规则：利用定义好的推理规则，对谓词逻辑语句进行推理，从而得到新的结论。

8. 知识库：将所有定义、事实、规则和推理结果组织成一个知识库。

知识库用于支持对领域知识的查询和推理。

这些步骤提供了一种形式化的方法来表示和推理关于世界的知识，谓词逻辑作为一种强大的逻辑体系在人工智能和计算机科学领域得到广泛应用。