实数与向量相乘教案

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。

实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。

三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。

2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。

2.实数与向量相乘的运算规则。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT和板书设计。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。

例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。

4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。

5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。

实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。

2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。

3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。

精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。

用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。

例4、下列语句中，错误的是（ ） A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。

1. 实数与向量相乘的意义：
一般地，设 为正整数， 为向量，我们用 表示 个 相加；用 表示 个 相加.又当 为正整数时， 表示与 同向且长度为 的向量.
要点诠释：
设P为一个正数，P 就是将 的长度进行放缩，而方向保持不变；-P 也就是将 的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数 与向量 的相乘所得的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
【答案】A．
【解析】
解：如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴BD=DC，
∵ = ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = + = + ．
故选：A．
类型二、向量的线性运算
例题3．（1）3( - )-2( +2 )； （2）2(2 +6 -3 )-3(-3 +4 -2 )
【答案与解析】
解：（1）原式＝（3 -3 )+（－2） +（－2）2
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底 表示为 形式，叫做向量的分解，当 相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3)以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 .
要点诠释：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量 叫做这一平面内所有向量的一组基底.

24．6实数与向量相乘1．教学目标（1）通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。

（2）知道实数与向量相乘的运算律，会依据运算律对向量算式进行计算、化简。

（3）知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。

2．教材分析及教学建议本节的主要内容是实数与向量相乘的定义、运算律及其初步运用。

内容的展开，以问题、例题为载体，从特殊到一般、从具体到抽象，注重基本知识的归纳和形成。

在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同的向量连加”与“几个相同的数连加”类比，引进了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的含义，再给出实数与向量相乘的定义。

联想向量的加法和实数的乘法都有它们的运算律，接着就对实数与向量相乘的运算律进行探讨，通过例题讨论，归纳得到实数与向量相乘满足实数与向量相乘的交换律、对于实数加法的分配律、对于向量加法的分配律，从而建立了实数与向量相乘的运算结构。

根据实数与向量相乘的意义，可知实数与向量相乘的积是平行于已知向量的一个向量；于是考虑：如果两个非零向量是平行向量，那么其中一个向量能否用某一实数与另一个向量相乘来表示？利用具体图形，通过具体问题讨论，得到了平行向量定理。

这样，“两个向量平行”与“实数与向量相乘”就可以相互表示，为今后向量工具解决几何问题提供了一个思考依据。

在实数集中，0和1是两个特殊的数。

在平面向量中，已经规定了零向量（0），现在再引进单位向量（e），是建立向量代数结构的需要。

（通常，这类集合中含零元和单位元。

）在教学中，要注意以下几点：（1）关于实数与向量相乘的运算的引进，课本中是从数的乘法切入，引导学生进行类比联想和归纳，形成认知基础，然后给出实数与向量相乘的定义，这是一条代数的思路，可能比较容易纳入学生已有的知识结构。

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。

教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。

但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。

2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。

2.实数与向量相乘的方法和应用。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。

2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。

3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材和教学参考书。

2.教学PPT或者黑板。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。

2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。

重 点
实数与向量相乘的几何意义
难 点
实数与向量相乘的几何意义
教 学
准 备
多媒体
学生活动形式
讲练结合
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
“向量” 既有大小,又有方向的量叫做向量.
________的两个向量叫做相等的向量.
1. 如图
(1), ,若用 、 、 表示 ,则 =_____.
2. 如图(2),
,则 __________=_____________.
学生学情分析：学生对向量比较难理解，往往只用到线段的长度，不考虑方向。
课 型
新授课
教
学
目
标
1．通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量.
2．领悟类比思想，增强概括能力
本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用．
本例题引导学生初步认识两个平行向量的代数表达形式
知识呈现：
新课探索一（1）
猜想
小杰：
几个相同的数连加的运算是乘法,例
2+2+2=3×2;a+a+a=3a.
n个a连加可表示为na(其中n为正整数).
你认为小杰猜想的答案正确吗?
请运用向量加法运算的法则通过作图来验证.
实数与向量相乘
课 题
24.6(1)实数与向量相乘
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法，会根据与向量相乘的意义判别两个非零向量平行，知道实数与向量相乘的运算律，知道向量的线性运算的意义，会运用有关运算的法则和运算律进行向量的线性运算或化简算式。知道平行向量定理，理解单位向量的意义。

第四节 平面向量的线性运算§24.6实数与向量相乘教学目标(1)理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。

(2)知道实数与向量相乘的运算律，会根据运算律对向量算式进行计算、化简。

(3)知道平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；知道单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。

(4)在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想；在实数与向量相乘和平行向量定理的学习中体会代数与几何的联系。

教学重点引进实数与向量相乘的运算，使学生掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法。

引进实数与向量相乘的运算律，并用于化简关于向量的算式。

引进平行向量定理和单位向量，并让学生了解利用向量关系式判断两个向量平行的方法。

知识精要1.实数与向量相乘的意义：一般地，设n 为正整数，a 为向量，那么我们用na 表示n 个a 相加；用na -表示n 个a -相加。

又当m 为正整数时，n a m 表示与a 同向且长度为na m的向量。

2.实数与向量相乘的运算规定：设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向。

如果0k =或0a ≠，那么0ka =。

根据实数与向量相乘的意义，可知//ka a 。

ka 实际上将a 的长度进行放缩，方向与a 相同或相反。

ka 表示实数k 与a 相乘的运算，规定应把实数写在向量的前面并省略乘号；注意不要将表示向量的箭头写在数字上面。

3.同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差正；相反向量的和向量为零向量。

4.一般地，如果m n 、是非零实数，a 是非零向量，那么 ()m n a ma na +=+。

实数与向量相乘【学习目标】1．实数与向量的数量积的几何意义。

2．正确掌握实数与向量的乘法原理，掌握作图方法。

3．理解实数与向量乘积的意义，知道m的大小、方向与的大小、方向之间的关系。

4．掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。

5．掌握两个非零向量，平行的充要条件是=m，解决简单的几何问题。

【学习重难点】1．理解数量积的原理，掌握作图方法。

2．实数与向量的乘积的计算方法。

3．理解实数与向量乘积的意义，知道m的大小、方向与的大小、方向之间的关系。

4．掌握实数与向量积的结合律和两条分配律。

5．掌握两个非零向量，平行的充要条件是=m，解决简单的几何问题。

【学习过程】一、引入新课1．实数与向量的乘积：设为任意实数，为任意的非零向量。

与的乘积是一个向量，记作______。

模：的模等于的_____倍。

方向：（1）当>0时，规定与的方向______。

（2）当=0时，规定=______。

（3）当<0时，规定与的方向______。

由于规定了的模| |与的方向，这样就能确定了。

2．根据实数与向量的乘积的定义，可知与是____________的向量。

3．两个非零向量与平行的充要条件是：存在非零实数m，使______。

4．实数与向量的乘积满足以下运算律：设m、n为实数，则：（1）mn=mn ；（2）mn=mn；（3）m=mm。

5．已知非零向量的单位向量______，方向与向量______。

例1：下列结论中：（1）是两向量，则的关系必为,,a b a b a b >=<三者中的一个。

（2）两个相等的向量，当它们的起点不同时，终点也一定不同。

（3）平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量。

（4）温度有零上与零下，因此温度是向量。

其中正确的序号为__________。

二、练习（一）选择题。

1．下面给出四个命题：对于实数m 和向量、恒有：()b m a m b a m -=-；②对于实数m ，n 和向量，恒有：()n m n m -=-；③若b m a m =m ∈R ，则有：b a =；④若a n a m =m 、n ∈R ，0≠a ，则m=n 。

2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角 线相交于点 M，且A→B＝a，A→D＝b.试用 a， b 表示M→A、M→B、M→C和M→D. 解 在▱ABCD 中， ∵A→C＝A→B＋A→D＝a＋b，D→B＝A→B－A→D＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴M→A＝－12A→C＝－12(a＋b)＝－12a－12b， M→B＝12D→B＝12(a－b)＝12a－12b， M→C＝12A→C＝12a＋12b， M→D＝－M→B＝－12D→B＝－12a＋12b.
预习测评
1．下列计算正确的个数为
( )．
①(－7)×6a＝－42a; ②|－2 010a|＝2 010|a|；
③a＋b－(a＋b)＝0; ④a－2b＋(2a＋2b)＝3a.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案 C 2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝___b( )．
5 A.7
B．－57
(1)|λa|＝___|λ_|_|a_|__．
(2)λa(a≠0)的方向
当__λ_>_0__时，与a方向相同 ;
当__λ_<_0__时，与a方向相反
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝___0_或λ0 ＝__0__．
2．平行向量
(1)平行向量：方向相___同__或__相__反_的_非__零_向量叫做平行向量．
－3e2＝5(e1＋e2)＝5A→B，
∴A→B、B→D共线，它们有公共点 B.
∴A、B、D 三点共线．
(2)解 ∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， ∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有kλk－－λ＝1＝0，0，则 k＝±1. 点评 本题以正反两方面考查了向量共线，即若b与非零 向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝ λa(λ∈R)，则b与a共线．

实数与向量相乘教学内容：1、实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka 。

如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时ka 与a 反方向，如果0k =或0a =，那么0ka =。

2、 实数与向量相乘满足的运算律：设m 、n 为实数，则（1）实数与向量相乘的结合律：()()m na mn a =；（2）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：()m n a ma na +=+；（3）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：()m a b ma mb +=+。

3、平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =。

4、单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则1e =。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a 。

由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =。

精解名题：例1、如图，已知非零向量a ，求作：（1）223a a -+； (2) 532a a - −→−a例2、 计算：（1）33()22a a b -+-； （2） 1112()5(2)324a b a b +-+（3）(3)2(3)a b c a b c +--+- （4）3(22)(32)a b c a b ----例3、如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC a =， AD b =。

用a 、b 表示下列向量：（1）AB ；（2）CA ；（3）BE ；（4）CF 。

例4、下列语句中，错误的是（ ）A ．单位向量与任何向量都平行；B ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；C ．已知a 、b 、c 是非零向量，如果2a b c +=，3a b c -=，那么a 与b 是平行向量；D ．对于非零向量a ，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0a ，由实数与向量的乘积，可知015a a =． 例5、如图，在△ABC 中，AB a =，ACb =，延长AB 到点1B ，使15AB AB =，延长AC 到点1C ，使15AC AC =，连接11B C ，求BC 和11B C ，并判断BC 与11B C 是否平行。

实数与向量相乘【教学目标】1．知识目标：知道实数与向量相乘的运算律，会运用运算律对向量算式进行计算、化简； 2．能力目标：经历实数与向量相乘运算律的验证过程，领悟类比思想，发展归纳、推理等能力。

【教学重难点】会依据运算律对向量算式进行计算和化简；实数与向量相乘运算律的理解与验证。

【教学过程】一、温故知新1．已知：非零向量a ，求作：13,22a a a -，。

二、探索新知1．已经知非零向量a ，求作→→--+a a a a a a 21)4(,27)3(,223)2(,321)1( 。

问题1：观察、比较（1）与（3），（2）与（4）的结果，你有什么发现？归纳：同向的两个向量相加，和向量的方向取同向，长度取和；反向的两个向量相加，和向量的方向同较长向量，长度取差（正）；相反向量的和向量为零向量。

问题2：实数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，实数与向量相乘有类似的运算律吗？归纳：一般地，如果n m ,是非零实数，→a 是非零向量，那么n m a n m +=+)(，这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律。

2．如图，已经知非零向量a 、b 。

（1）等式b a b a 33)(3+=+成立吗？作图验证所得的结论； （2）设实数0>k 指出对算式)(b a k +去括号的法则。

a b说明：本题为了探讨实数与向量相乘对于向量加法的运算律而设计，从特殊到一般分层递进。

问题3：若实数0<k ，那么等式b k a k b a k +=+)(还成立吗？归纳：一般地，对于任意实数k 和非零向量→a 、b ，总有()k a b ka kb +=+，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律。

问题4：)3(2a =？;a )32(⨯=？;(2)(3)a --=？;(2(3a --））=？它们与a 6有什么关系？ 归纳：任意的非零实数n m ,和非零向量a ，总有a mn a n m )()(=，这是实数与向量相乘的结合律。

课题（四）§4.3.1 向量与实数相乘的概念教案设计目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行重点：向量数乘运算及其几何意义，两个向量平行的含义 难点：向量数乘运算的几何意义的理解 学习过程 一、课前准备 （一）预习（预习教材8784~P P ，找出疑惑之处） （二）讨论（书84P 例1）（三）复习：向量的加减法、实数与实数的运算法则二、新课导学（一）知识探究问题1（书84P 例1）思考向量与实数相乘的意义是什么？ （1）在OA 在正向上取||5.1||OA OB =的意义是【是的5.1倍，记为5.1=】（2）B O 5.1-='的意义是【在有向线段OA 的反向延长线上||5.1||OA B O ='】（3）M 是OA 的中点的意义是【OA OM 21=】 （4）M O 21-='的意义是【在有向线段OA 的反向延长线上||21||OA M O ='】 结论1（1）将向量v 乘一个正数λ，得到一个向量v λ，与v 同向，长度||v λ是||v 的λ倍 （2）将向量v 乘一个负数λ，得到一个向量v λ，与v 异向，长度||v λ是||v 的||λ倍 （3）向量v 乘0得到的v 0是零向量 点评（1）当1-=λ时，a a -=-)1(为a 的相反向量； （2）数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向伸长或缩短； （3）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算（如a +λ，a -λ无法运算）；（4）向量与实数相乘和数与数相乘的区别：前者是一个向量，后者是一个实数. 练习、已知R ∈μλ，，0 ≠a ，判断正误 （1）0<λ时，a λ与a 的方向一定相反（ ） （2）0>λ时，a λ与a 的方向一定相同（ ） （3）0>λμ时，a λ与a μ的方向一定相同（ ） （4）0<λμ时，a λ与a μ的方向一定相反（ ）练习（书87P ）练习：1（作数乘向量） 问题2（书85P 例2）（探究数乘向量与原向量的位置关系）已知向量OA（1）作向量2-=【在一条直线上】（2）在OA 上作OA C O 5.1='【在一条直线上】（3）在OA 外作OA B O 211-=，OA C O 5.111=【在与OA 平行的直线上】 结论2（1）当非零向量b a ，方向相同或相反时，称b a ，共线，也称为b a ，平行（记b a ∥）（2）规定：零向量与所有向量平行（零向量的方向任意） （3）b a ∥⇔a b λ= 【证明】（书86P ）“⇐”若a b λ=，则b 与a 同向或异向，所以b a ∥（a a λ∥） “⇒”若b a ∥，则当0 =a 时，b a 0=；当0 =b 时，a b 0= 当0 ≠a 且0 ≠b 时，取||||a b =λ，则当b a ，同向时a b λ=，当b a ，异向时a b λ-= 综上，b a ∥⇔a b λ=练习、如图，G F E 、、分别是正ABC △的边AB 、BC 、AC 的中点（1）在以G F E D C B A 、、、、、、为起点或终点的向量中，找出与向量 EF 共线的向量（2）在以C B A 、、为起点，以G F E 、、为终点的向量中，找与向量的模相等的向量（3）在以G F E 、、为起点，以C B A 、、为终点的向量中，找出与向量EG 相等的向量O 'O '11O 1O A BB 'M M '（二）知识应用例1（书86P 例3）点评：平面几何中的共线和平行关系均可用向量与实数之乘法来描述，进而为应用向量证明几何问题奠定了基础. 练习（书87P ）练习：2（证明梯形） 例2（书87P ）练习：3、设b a ，不平行向量，试确定b k a e +=2，b a j -=2平行的充要条件 【解】设)2(2b a b k a -=+λ，得1-=k . 练习、设21e e ，是两个不共线的向量，则向量212e e a -=与向量21e e b λ+=共线的充要条件是=λ三、知识小结 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ 规定：a λ的长度：||||||a a λλ= a λ的方向：0>λ时a λ与a 同向，0<λ时a λ与a 异向，0=λ时0 =a λ（任意方向） 几何意义：a λ表示将向量a 伸长或缩短（同向或异向）的与原向量共线的向量 两个向量平行（共线）的充要条件：b a ∥⇔a b λ=四、作业1（书91P ）习题3：1、2、3； 1、对于非零向量b a ，，“0 =+b a ”是“b a ∥”的 条件【充分不必要条件】2、设在四边形ABCD 中，有21=，且|||=，则这个四边形是 形【等腰梯形】 3、已知点G 是ABC △的重心，则=++GC GB GA 【0 】 4、在ABC △中，a BC =，b =，c AB =，三边BC 、CA 、AB ，的中点为D 、E 、F ，用c b a ，，表示AD 、、CF 【解】a c BD AB AD 21+=+=，b a CE BC BE 21+=+= c b 21+=+= 5、四边形ABCD 是一个梯形，且CD AB ∥，CD AB 2=，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知a AB =，b AD =，用b a ，表示向量和 【解】a b BC 21-=，b a MN -=41 6、在平行四边形ABCD 中，设对角线a =，b =试用b a ，表示， 【法1】b a 2121-=+= a b OC BO BC 2121+=+= 【法2】设y BC x AB ==，，则a y x =+，b y x =-，)(21b a x -=，)(21b a y +=b D E FB AC c O a。

24.6实数与向量相乘（1）一、教学内容分析在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同向量连加”与“几个相同数的连加”类比，引入了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的意义.二、教学目标设计1．通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量2．领悟类比思想，增强概括能力三、教学重点及难点实数与向量相乘的几何意义，． 四、教学用具准备 实物投影仪、多媒体设备 五、教学流程设计六、教学过程设计（一）温故知新复习：1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？2． a已知：向量b a ,求：（1）b a +（2） b a - （二）探索新知1．思考：已知=++a a a 3a ，那么=++→→→a a a ？几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？b例题1 已知向量a ，如何求（1）a a a++a学生动手画图验证猜测结论并归纳. 变式：（2）求)()()(a a a-+-+-=？2．归纳我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算： 一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n表示n 个a 相加；用a n -表示n 个-相加．.又当m 为正整数时，a m n表示与同向且长度为a m n的向量.[说明] 例题1是根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量例题2 已知非零向量a，求作,3,3,25a a a--并指出他们的长度和方向.a例题3 已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 、分别是各边的中点EG 与FH 相交于点O.设b a ==,请用向量a 或b 表示向量,，并写出图中与向量OE 相等的量.ABCD EH GFO[说明]本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用．例题4 已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 与AC 上DE ∥BC ，3AD=4DB ，试用向量BC 表示向量.[说明]本例题引导学生初步认识两个平行向量的代数表达形式（三）巩固练习1、→a k 表示实数k 与向量→a 相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）→a k 表示为k ×→a 或者k ·→a （ ） （2）→a k 表示→a k （ ） （3）→a k 表示a k →（ ） 2、已知非零向量a ，求作4→a ，-2→a ，-21→a ，并指出他们的长度和方向.3．如图，矩形ABCD 中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，设b DA a AB==,试用向量b a ,表示向量AD AE ,，并写出图中与DA AE ,向相等的向量（四）反思小结1、这节课你学会了什么？2、你还有什么疑惑吗？（五）、作业布置练习册：习题 24.6（1）BCC。

新课探索六
课内练习:书p47
课堂小结：1.利用“数与向量相乘”的意义来研究几何中的两直线平行及线段长度问题.
2.平行向量定理
如果向量b与非零向量a平行,那么存在唯一的实数,使b=ma.
(m的符号,由b与a同向还是反向来确定.)
3.单位向量
长度为1的向量叫做单位向量.
(设e为单位向量,则e =1.)
课外
新课探索一
如果a是一个非零向量,b=ma,那么根据数与向量相乘的意义,可知向量b与a同向或反向,得b∥a或b与a重合.
设AE=a,BF=b,由b=ma还可以进一步看到,直线BF与AE平行或重合.
这个结论可用于研究几何中有关两直线平行及线段长度的问题.
利用上述结论来证明三角形中位线定理.
新课探索二
新课探索三
作业
预习
要求
时间
安排
教师主导活动时间：
学生主体活动时间：
教学
后记
实数与向量相乘
课题
24.6实数与向量相乘（3）
课型
新授课
教学
目标
1、理解平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；
2、理解单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系.
重点
根据实数与向量相乘的意义判别两个向量是否平行
难点
平行向量定理的探索过程．.
教学
准备
多媒体
学生活动形式
讲练结合
思考如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF是梯形的中位线,AD=2,BC=3,设AD=a,请用a来表示向量BC,FE.
新课探索四
新课探索五
一种特殊的向量“ ”.
长度为1的向量叫做单位向量.设e为单位向量,则∣ ∣=1.

沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》这一节主要介绍了实数与向量相乘的概念和性质。

学生需要掌握实数与向量相乘的定义，理解实数与向量相乘的几何意义，并能熟练运用实数与向量相乘解决相关问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了实数和向量的相关知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于实数与向量相乘的概念和性质的理解还需要进一步引导和深化。

三. 教学目标1.理解实数与向量相乘的定义和性质。

2.掌握实数与向量相乘的几何意义。

3.能够运用实数与向量相乘解决相关问题。

四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。

2.实数与向量相乘的几何意义。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和性质，激发学生的兴趣和积极性。

同时，运用案例分析和问题解决的方法，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的几何意义。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。

2.准备多媒体教学材料，如PPT等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过向学生提问：“实数与向量有什么关系？”引导学生回顾已学的实数和向量的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）向学生介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过示例和讲解，让学生理解实数与向量相乘的几何意义。

3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用实数与向量相乘的知识，巩固所学的内容。

4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固实数与向量相乘的概念和性质。

5.拓展（5分钟）引导学生思考实数与向量相乘的应用，如在几何图形中的运用等。

6.小结（5分钟）让学生总结实数与向量相乘的概念和性质，以及解题方法。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业题，让学生巩固所学的内容。

8.板书（5分钟）板书实数与向量相乘的定义和性质，以及解题方法。

本节课通过问题驱动法和案例分析法，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和性质。