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基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
第七章 刚体的平面运动一、是非题1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。
（ ）2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。
（ ）3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。
（ ）4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。
（ ）5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。
（ ）6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。
（ ）7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。
（ ）二、选择题1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。
①u B sin ；②u B cos ；③u B /sin ；④u B /cos 。
2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。
已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度 0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度 1r应为。
① 1r=（r2/ r1） 0（逆钟向）；② 1r=（r2/ r1） 0（顺钟向）；③ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）；④ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。
3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。
①可能；②不可能；③不确定。
4．图示机构中，O1A=O2B。
若以 1、 1与 2、 2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。
① 1= 2， 1= 2；② 1≠ 2， 1= 2；③ 1= 2， 1≠ 2；④ 1≠ 2， 1≠ 2。
三、填空题1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑）作；杆BC作；杆CD作；杆DE作。
并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬心。
2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的速度方向。
3．已知 =常量，OA=r，u A= r=常量，在图示瞬时，u A=u B，即u B= r，所以 B=d(u B)/dt=0，以上运算是否正确？，理由是。
4．已知滑套A以10m/s的匀速率沿半径为R=2m的固定曲杆CD 向左滑动，滑块B 可在水平槽内滑动。
则当滑套A 运动到图示位置时，AB 杆的角速度 AB =。
5．二直相长度均为1m ，在C 处用铰链连接、并在图示平面内运动。
当二杆夹角 90 时，u A AC ，u B BC 。
若 BC =1.2rad/s ，则u B =。
6．半径为r 的圆盘，以匀角速度 沿直线作纯滚动，则其速度瞬心的加速度的大小等于；方向。
7．小球M 沿产径为R 的圆环以匀速ur 运动。
圆环沿直线以匀角速 顺时针方向作纯滚动。
取圆环为动参考系，则小球运动到图示位置瞬时：①牵连速度的大小为；②牵连加度的大小为；③科氏加速度的大小为（各矢量的方向应在图中标出）。
四、计算题1．机构如图，已知：OA=OO 1=O 1B=L ，当 =90º时，O 和O 1B 在水平直线上，OA 的角速度为 。
试求该瞬时：（1）杆AB 中点M 的速度M V ；（2）杆O 1B 的角速度 1。
2．平面机构如图所示。
已知：OA=AB=BC=L ，2/3L BD ，DE=3L/4，杆OA 的角速度为 。
在图示位置时， =30°，O 、B 、C 三点位于同一水平线上。
试求该瞬间滑块C 的速度。
3．平面机构如图所示。
已知：等边三角形板ABO 边长L=30cm ，A 端与半径r=10cm 的圆盘中心铰接，圆盘可沿R=40cm 的固定圆弧槽作纯滚动，BC=60cm 。
在图示位置时，OA 铅垂，BC 水平，盘心A 的速度u A =20cm/s 。
试求该瞬时滑块C 的速度。
4．图示平面机构中，A 和B 轮各自沿水平和铅垂固定轨道作纯滚动，两轮的半径都是R ，BC=L 。
在图示位置时，轮心A 的速度为u ， =60°，AC 水平。
试求该瞬时轮心B 的速度。
5．图示偏置曲柄机构，已知：曲柄OA 以匀角速度 =1.5rad/s 转动，OA=40cm ，AB=50cm ，h=30cm 。
试求OA 在图示水平位置时，滑块B 的速度和加速度。
6．在图示椭圆规机构中，已知：OC=AC=CB=R，曲柄OC以匀角速度 转动。
试用刚体平面运动方法求 =45°时，滑块B的速度及加速度。
7．在图示四杆机构中，已知：AB=BC=L，CD=AD=2L， =45°。
在图示瞬时A、B、C成一直线，杆AB的角速度为 ，角加速度为零。
试求该瞬时C点的速度和加速度。
8．在图示平面机构中，已知：BC=5cm，AB=10cm，A点以匀速度u A=10m/s沿水平运动，方向向右；在图示瞬时， =30°，BC杆处于铅垂位置。
试求该瞬时：（1）B点的加速度；（2）AB杆的角加速度；（3）AB杆中点D的加速度。
9．平面机构中在图示 =30°位置时，杆AB及O2C分别处于水平及铅垂位置，O1A为铅垂线，O1A=O2C=L=10cm，u A=8cm/s， A=0。
试求此瞬时：（1）连杆BC的角速度 BC；（2）杆O2C的角速度 2；（3）杆O1B的角加速度 1。
10．半径为R的圆盘沿水平地面作纯滚动，细杆AB长为L，杆端B可沿铅垂墙滑动。
在图示瞬时，已知圆盘的角速度 0，角加速度为 0，杆与水平面的夹角为 。
试求该瞬时杆端B的速度和加速度。
11．在图示平面机构中，曲柄OA以匀角速度 =3rad/s绕O轴转动，AC=L=3m，R=1m，轮沿水平直线轨道作纯滚动。
在图示位置时，OC为铅垂位置， =60°。
试求该瞬时：（1）轮缘上B点的速度；（2）轮的角加速度。
12．平面机械如图所示。
已知：直角刚杆AOB的一边长为OB=15cm，BC=30cm。
半径r=10cm的圆盘在半径R=40cm的固定圆弧面上作纯滚动，匀角速度 =2rad/s。
在图示位置时OB铅垂， =30°。
试求该瞬时（1）BC杆的角速度和角加速度；（2）滑块C的速度和加速度。
13．平面机构如图所示。
套筒在轮缘上B点铰接，并可绕B转动，DE杆穿过套筒。
已知：r=h=20cm，OA=40cm。
在图示位置时，直径AB水平，杆DE铅垂，OA杆的角速度 =2rad/s。
试求该瞬时杆DE的角速度。
14．平面机构如图所示。
AB杆可沿气缸F滑动，而气缸FO1C可绕O1轴摆动。
已知：OA =r=10cm，O1C=40cm，CD=402cm，DE=AB=30cm。
在图示位置时， = =45°，=2rad/s，A与O1C处于同一水平线，AO1=40cm，DE水平。
试求该瞬时杆DE的角速度。
15．平面机构如图所示。
套筒B与CB杆相互垂直并且刚连，CB杆与滚子中心C点铰接，滚子在车上作纯滚动，小车在水平面上平动。
已知：半径r=h=10cm，CB=4r。
在图示位置时， =60°，OA杆的角速度 =2rad/s，小车的速度u=10m/s。
试求该瞬时滚子的角速度。
16．机构如图，已知：OA=2b；在图示瞬时，OB=BA， =60°， =30°，∠A=90°，OA的角速度为 。
试求此瞬时套筒D相对BC的速度。
第七章 刚体的平面运动参考答案一、是非题1．对 2．对 3．错 4．对 5．对 6．对 7．对 8．错二、选择题1．④ 2．② 3．②；① 4．③三、填空题1．答：轮A 作平面运动；杆BC 作平面运动；杆CD 作瞬时平动；杆DE 作定轴转动（图略）。
2．答：略3．答：最后一式：a B =du B /dt=0不正确。
∵加速度应为速度函数对时间的导数而非某瞬时值的导数。
4．答： AB =0。
5．答：1.2m/s6．答：大小：a=r 2。
7．r k e e u a R a R u 2 ; ;22 （图略）。
四、计算题1．解：V A =L因为杆AB 的速度瞬心在O 点，故AB =V A /L=V M =OM · AB= L 521 （垂直OM 偏上） 01B =V B /O 1B=OB · AB /O 1B=2 （逆时针）2．解：60cos 30cos B A u u AB 平面运动水平向左平面运动L u u u BC L u u C C B A B 5.130cos 333．解：等边三角形板作定轴转动u B =u A =20cm/s它与水平夹角 =60°BC 杆作平面运动 u C =u B ·cos =10cm/s →4．解：轮A 平面运动，瞬心P 点u PC u R u A C A 2 ,/BC 平面运动u c cos15°=u B cos30°， u B =1.58u 铅直向上5．解：取点B 为基点，则有cm/s 75)5/4/(60cos /)(cm/s 45)3050(305.140 2/122 A AB A B ABB A V V tg V V V V V 得取点A 为基点，则有BA n BA A B a a a a将上式投影到A B 方向，得222cm/s 231 )4/()5( cos / cm/s 63.230cos /)cos (cos cos AB V OA a a a a a a a a a nAB nBA A B nBA A B nBAA B 故 6．解：取杆AB ，根据速度投影定理，有V B cos45°=V C R V V C B 22 （↑） 杆AB 的速度瞬心在点P ，它的角速度0// R R CP V C AB 顺时针 取点C 为基点，则有BC n BC c B a a a a 将上式投影到A B 方向，得)(222 45cos 22 R R a a a a AB n BC B nBCB7．解：杆BC 的速度瞬心在点C ，故VC=0),( 3/34 3/)(32 30cos /)(30cos ,,//222偏上垂直得轴将上式投影到则有为基点取点CD L L L a a a a a a X a a a B L L BC V nCB B C n CBB C CB n CB C B BC8．解：（1）求a B 和 AB方向如图示为基点则选求逆时针由图中几何关系得则为基点选杆作瞬时平动不垂直于且常量 cm/s 3/3203/45)2(/3/4 10/3/40/cm/s 3/340)2/3/(25 30cos /cos / ,A rad/s 25/10/,0,,||0,22AB 222 AB DA D DAn DA A D DBA BC n B BA B BAn BA A B n B B BC AB A B A A A DA a a a a a a A a s rad AB a BC a a a a a a a a BC V AB V AB V V a V9．解：由速度投影定理 AB B AB A V V ][][ 0/ 0)/60sin (2 60sin 60cos ),0(cm/s 34.6cm/s 8.1220/16/a rad/s8.010/8/, rad/s 6.110/16/ rad/s 8.020/16/ cm/s16 ,C cm/s 1660cos /860cos / 11122222212B 1122BC B O a B O V AB a a a a a a a a a A BA a B O V A O V O AB CO V BC V V V V V V V V V B B AB B nBA n B B n BA BA n B B A AB n BA B n A AB C BC B BC C BC C B A B得将上式向水平轴投影则有为基点取点有故杆的速度瞬心为点顺时针顺时针故则得为基点取点得10．解：（1）求B VC 1为圆盘速度瞬心，故V A =R 0 ∵C 2为杆AB 速度速度瞬心，故铅直向下方向方向有上式投影在则为基点选求铅直向下:)sin /( sin /)cos ( cos sin , ,)2( sin /cos sin //32020********L R ctg R L R a a a a BA a a a a A R a a ctg R L R L BC V L R AC V AB B nBA A B BA n BA A B A BAB B A AB11．解：AC 杆速度瞬心在O 点，故AC =V A /AO=V C =CO · AC =23轮子速度瞬心在C 1点，故C =V C /R=23 /RVB=BC1· C =2R ·23 /R=14.7 cm/s 方向如图 选A 为基点，则CA n CA A C a a a a上式投影在CA 方向，有顺时针rad/s 54/2 60cos /cos /222R a L AC a a C C AC n CA C 12．解：圆盘作平面运动，P 点为速度瞬心 u A =r =20cm/sA =0A n =u A 2/OA=40/3cm/s 2直角刚杆AOB 定轴转动2B 2cm/s 3/2021,0cm/s 1021n A n B A B u u BC 杆瞬时平动，其角速度 2=0 cm/s 55.11 rad/s 44.0/BC cm/s 3/40sin / 0 cm/s 10 222222 ctg BC BC u u nB C CB n B CB n CB n CB CB n B c B c 逆时针杆的角加速度得式中 13．解：轮作平面运动 u A =OA · =80cm/s以A 为基点： CA A C u u uu C =u A cos60°=40cm/s以C 为基点： BC C B u u u动点：铰链B ，动系：DE r e B u u u即 BC C u u =r e u u得 u e =u C∴ DE =u e /DB=1 rad/s 逆时针14．解：动点：A ，动系：气缸FO 1CA u =r e u u顺时针rad/s 0.47 /30210/u u cm/s 210u cm/s 21022145cos C D c ED u u r u u D ED e A e15．解：轮、BC 杆作平面运动，以D 为基点 C u =CD u u即 u C =r D －u以C 为基点： BC C B u u u动点：套筒B ，动系：OAB u =r e u u即 BC C u u =r e u u向 方向投影 u c cos30°=u e （r D －u ）cos30°=OB ·OB=803/3 cm∴ D =11.67rad/s 顺时针16．解：以滑套B 为动点，OA 为动系11r e B V V V由速度平行四边形得 3/3230cos /1b V V e B AD 杆作平面运动，据速度投影定理，有 3/3430cos /b V V A D再以套筒D 为动点，BC 杆为动系 D V 11r e V V =r B V V将上式向水平方向投影得r V b b 32313/34 解得 3/32 b V r。
