子午线收敛角的计算

工程技术研究2021年第7期242陀螺定向中子午线收敛角的计算方法李泽军中铁一局集团天津建设工程有限公司，天津 300000摘　要：陀螺仪定向是提高隧道定向精度的必要手段，其定向精度不随距离的长短产生误差传递，子午线收敛角γ计算结果的精度直接影响坐标方位角的精度。

文章结合实例计算，表明采用公式γ=sin B ·L 和公式γ=Ky 分别计算得到的子午线收敛角和陀螺推算方位角均可满足工程施工精度要求，因此陀螺定向可为隧道内平面控制网联测和开挖方向的正确性提供检测复核依据，适用于地下工程定向测量。

关键词：子午线收敛角；坐标方位角；陀螺仪中图分类号：P213文献标志码：A文章编号：2096-2789（2021）07-0242-021 子午线收敛角的概念以真子午线为参考，坐标系纵轴X 北端在其东侧时，子午线收敛角为正，反之则为负。

地面上的点纬度B 和中央子午线的距离经差ΔL 决定了子午线收敛角的大小，计算其角值可以用如下近似计算公式：γ=ΔL ·sin B （1）在一个投影带内，高斯平面子午线收敛角的变化遵循一定规律。

距离中央子午线越远，收敛角越大，在中央子午线上收敛角等于零；距离赤道线越远，收敛角越大，在赤道线上收敛角等于零。

2 坐标方位角的换算陀螺仪北方向与真北方向间存在角度偏差，角度的偏差值就是陀螺仪的仪器常数，偏东为正、偏西为负。

坐标北方向与真北方向间的角度偏差就是子午线收敛角，相对真北方向，坐标方位角偏东为正、偏西为负。

陀螺北、真北、坐标北方向关系如图1所示。

陀螺北、真北、坐标北方向之间的角度关系可用如下公式表示：午线与坐标纵线之间的夹角。

坐标纵线东偏为正，西偏为负。

图1陀螺北、真北、坐标北方向关系示意图图2 子午线收敛角概述图赫里斯托夫给出的展至第7次项的计算公式：γ=cos B ×t ×L +cos 3B ×t (1+3η2+2η4)L 3÷3+cos 5B ×t (2t 2+15η2-15η2t 2)L 5÷15+cos 7B ×t (17-26t 2+2t 4)L 7÷315+O(L 7)（3）式中：t =tan B ；η=e′×cos 2B ，e′为第二偏心率；B 为纬度；L 为经差。

子午收敛角计算
（实用版）
目录
1.子午收敛角的定义
2.子午收敛角的计算方法
3.子午收敛角的应用
正文
一、子午收敛角的定义
子午收敛角，又称为子午聚光角，是指在光学系统中，光线通过透镜或反射镜等光学元件后，汇聚于一点时的入射光线与出射光线之间的夹角。

子午收敛角通常用符号α表示，单位为度（°）。

二、子午收敛角的计算方法
子午收敛角的计算方法有多种，下面介绍两种常用的计算方法：
1.公式法
对于一个理想的凸透镜，其子午收敛角可以通过以下公式计算：
α = (n - 1) * β
其中，n 为透镜的折射率，β为入射光线与光轴的夹角。

2.作图法
对于一个理想的凹透镜，其子午收敛角可以通过作图法计算。

具体步骤如下：
（1）画出凹透镜的轴截面图，并标出光轴和两个曲率半径 R1 和 R2；
（2）画出入射光线，并标出入射光线与光轴的夹角β；
（3）从透镜的顶点向入射光线作一条射线，与入射光线的延长线相
交；
（4）在射线与入射光线的延长线相交处作一个圆，圆的半径为 R1；
（5）连接圆上的两个交点，得到出射光线；
（6）测量出射光线与光轴的夹角，即为子午收敛角α。

三、子午收敛角的应用
子午收敛角在光学系统中有着广泛的应用，例如：
1.在照相机中，通过调整透镜的子午收敛角，可以控制照片的景深；
2.在望远镜中，通过调整透镜的子午收敛角，可以提高望远镜的成像质量；
3.在激光器中，通过调整透镜的子午收敛角，可以调整激光束的聚焦性能。

子午收敛角计算
摘要：
一、子午收敛角的概念与意义
二、子午收敛角的计算方法
1.基本公式
2.修正公式
3.特殊情况的处理
三、子午收敛角的实际应用
1.地理信息系统
2.导航定位系统
3.遥感技术
正文：
在我们生活中，子午收敛角是一个不可或缺的概念。

子午收敛角，顾名思义，是指地球子午线上的收敛角。

通俗地说，就是地球表面上的一条经线与地球轴线之间的夹角。

这个角度在地理信息系统、导航定位系统、遥感技术等领域具有广泛的应用。

子午收敛角的计算方法有基本公式、修正公式和特殊情况处理。

首先，我们来了解子午收敛角的基本公式。

子午收敛角α的计算公式为：α= arcsin(R × sin(φ))
其中，R为地球半径，φ为测点纬度。

接下来，我们介绍子午收敛角的修正公式。

由于地球不是一个完美的球
体，而是稍微扁平的椭球体，因此需要对基本公式进行修正。

修正公式为：α" = α + δα
其中，δα为地球扁平度引起的收敛角修正值。

最后，我们来看特殊情况。

当测点位于地球的极地时，子午收敛角为90度；当测点位于地球的赤道时，子午收敛角为0度。

子午收敛角在实际应用中具有重要意义。

地理信息系统（GIS）利用子午收敛角进行地理数据的投影转换，确保地图数据的准确性。

导航定位系统（如GPS）利用子午收敛角计算卫星信号的传播路径，从而实现精确定位。

遥感技术中的光学遥感影像处理也需要子午收敛角来纠正影像的几何变形。

总之，子午收敛角在地球科学、地理信息处理和遥感技术等领域具有广泛的应用。

子午线收敛角计算公式及计算精度分析以《子午线收敛角计算公式及计算精度分析》为标题，本文将对子午线收敛角的定义、物理意义和计算公式进行详细分析，并对子午线收敛角计算的精度做出评估。

子午线收敛角是一种定义在空间曲率理论上的角度，它描述在一个曲率空间中两个不同子午线之间角度的变化情况。

它被用来描述万有引力场的形状，如地球表面的地貌等。

子午线收敛角是非常重要的度量，具有重要的物理意义。

子午线收敛角的计算公式可以从拉格朗日系数表示法中推出：$$ phi= frac{1}{2} sum_{i=1}^{3} (gamma_{ii} - gamma_{jj}) cdot Delta theta_{ij} $$其中，$gamma_{ij}$表示拉格朗日系数; $Delta theta_{ij}$表示两个子午线之间的夹角。

这里要计算子午线收敛角可以使用上述公式。

此公式计算结果对于子午线收敛角的精度有一定要求，如果计算结果误差大，会对实际应用造成影响。

为了评估子午线收敛角的计算精度，一种常用的方法是使用仿真数据。

在仿真实验中，通过改变空间曲率参数，产生不同子午线收敛角的情况，从而获得理想的测量结果。

用这些理想结果与计算结果比较，就可以评估子午线收敛角计算的精度了。

此外，为了提高子午线收敛角计算精度，还可以使用多种数值计算方法，比如拉格朗日元法、二阶中心差分法等。

这些方法都可以得到更精确的子午线收敛角计算结果，可以提供更准确的计算结果以满足应用需求。

综上所述，子午线收敛角是一种定义在空间曲率理论上的角度，可以用来描述万有引力场的形状，具有重要的物理意义。

计算子午线收敛角可以使用拉格朗日系数表示法中推导出的公式。

为了评估子午线收敛角计算的精度，可以使用仿真数据，也可以使用多种数值计算方法来提高计算精度。

本文根据子午线收敛角的定义、物理意义和计算公式，以及计算精度，对子午线收敛角做出了全面分析。

平面子午线收敛角
平面子午线收敛角，又称偏向角，是指平面子午线在连续大地测
量中，会收敛到一条折线上。

其中包括两个重要的参数，即收敛角θ
和收敛率R，它们是衡量子午线收敛情况的重要指标。

收敛角θ，是指在地理坐标系中，当子午线收敛时，该折线与位
置轴夹角的弧度值，通常用弧度表示，表示的是子午线的收敛变化趋势。

收敛率R，是指在地理坐标系中，当子午线收敛时，该折线每百米
收敛量的值，通常用弧度表示，表示子午线沿着某一方向的收敛速率。

平面子午线收敛角的计算通常是靠曲率半径的积分计算，也就是说，当子午线收敛时，它的收敛率和收敛角的值会随每百米的曲率变
化而变化，而每百米的曲率变化又是由曲率半径的积分计算得到的。

平面子午线收敛角有助于对空间坐标系中的经纬度坐标信息进行
精确的转换，例如，在地图投影过程中，可以将经纬度坐标转换为相
对应的实际空间坐标，而收敛角θ和收敛率R，就是在此过程中所使
用的重要工具。

子午线收敛角计算公式及计算精度分析子午线收敛角，也叫做子午线弯曲角，是衡量地球的一种重要的球面度量。

当地球的子午线既不是完全水平也不是完全垂直的时候，它就会产生弯曲，这种弯曲就叫做子午线收敛角。

子午线收敛角的弯曲大小决定了地球的子午线的收缩和延伸，从而决定地球的经纬度系统及坐标坐标形式。

子午线收敛角的计算方法有多种，其中最常用的就是基于子午线收敛角的计算公式。

1.子午线收敛角的计算公式基于子午线收敛角的计算公式有两种，第一种是WaIters公式（WaIters formula），它的公式为：$$Δ= arccos(frac {s_1-s_2}{s_1+s_2} )$$其中，Δ是子午线收敛角，s1、s2分别是子午线两点的大圆距离。

WaIters公式利用大圆距离来计算子午线收敛角，它可以用来计算椭圆面子午线收敛角，但是它计算精度受到大圆距离精度的限制，其精度为1分。

第二种是瓦特斯-贝塞尔公式（Waters-Bessel formula），它的公式为：$$Δ＝arccos(frac {s_1^2-s_2^2}{s_1^2+s_2^2})$$ 其中，Δ是子午线收敛角，s1、s2分别是子午线两点的球面坐标的经纬差。

瓦特斯-贝塞尔公式利用球面坐标经纬差计算子午线收敛角，是WaIters公式的一种改进，它可以用来计算椭圆及偏心率修正后的球体子午线收敛角，其精度可以达到1厘米。

2.子午线收敛角计算精度分析子午线收敛角的计算精度受多种因素的影响，其中最主要的是地球的椭球体模型精度和地理坐标测量精度。

（1）影响地球椭球体模型精度的因素地球椭球体模型的精度受到各种因素的影响，例如，地球的大小、形状、弹性模量、重力系数、质量、质心定位等。

由于这些因素都是比较复杂的物理模型，因此，地球椭球体模型精度受到较大的影响，其精度通常在3到5厘米之间。

（2）影响地理坐标测量精度的因素地理坐标测量精度受多种因素的影响，如地理坐标测量仪器、标定结果、大圆距离测量精度等。

真子午线与中央子午线的收敛角真子午线与中央子午线的收敛角其实是测量地球表面上两条纵向线之间的角度，它们的区别在于位置不同。

真子午线是指贯穿地球北极和南极的线，也就是地球表面上的0度经线；而中央子午线则是指某个特定区域内经度为中心的经线。

在测量中，真子午线与中央子午线的收敛角是非常重要的参考参数。

此处，我们将从以下四个方面来探讨真子午线与中央子午线的收敛角：一、概念定义真子午线收敛角与中央子午线收敛角都是指地球表面上两条经线（纵向线）之间的角度。

其中，真子午线收敛角是指两条经线穿过地球两极的情况下的角度，而中央子午线收敛角则是指任意两条经线之间的角度。

二、计算方法真子午线收敛角和中央子午线收敛角的计算方法是不同的。

计算真子午线收敛角时，需要考虑地球的椭球形状，以及两条经线间的距离。

而计算中央子午线收敛角时，则只需要考虑两条经线之间的距离。

三、影响因素真子午线与中央子午线的收敛角都受到多种因素的影响。

其中，地理位置、对地面的曲率半径、大气密度、温度等因素都会对收敛角产生一定的影响。

由于真子午线跨越了整个地球，因此受到的影响也更加复杂和多样。

四、实际应用真子午线与中央子午线的收敛角在实际应用中也有较为广泛的应用。

例如，对于地图绘制和GPS导航等场景，在计算距离和方位角时都需要考虑真子午线与中央子午线的收敛角，以获得更为准确的结果。

综述以上四点，真子午线与中央子午线的收敛角是测量地球表面上两条纵向线之间的角度，它们的计算方法、影响因素以及在实际应用中的重要性都各有不同。

对于地理信息、航海、测量等领域的专业人士来说，熟练掌握真子午线与中央子午线的收敛角是十分必要的。

子午线收敛角名词解释子午线收敛角是指表示光波在子午线方向上辐射能量减弱的程度。

1子午线收敛角的概念及其定义子午线收敛角是指表示光波在子午线方向上辐射能量减弱的程度。

子午线又称经线，是经过地球表面两点并与纬线垂直相交的直线，它把地球平分为南北两半球。

子午线与经线垂直，并与纬线垂直相交形成两个大圆，把地球平分为东西两半球。

每条子午线长度都相等。

子午线收敛角是指表示光波在子午线方向上辐射能量减弱的程度。

2。

计算子午线收敛角的基本原理及主要公式：当子午线收敛角的数值较小时，在给定方向上测量所得的真实面积、表面积或总体积与给定的面积之比很接近于理想表面面积。

此时测量结果更接近于真实表面面积。

3。

用子午线收敛角估算被测物体面积时应注意的问题： 3。

用子午线收敛角估算被测物体面积时应注意的问题：(1)准确求出物体表面与待估表面的面积。

(2)根据被测物体与理想表面面积关系式确定待估表面面积。

(3)选取适当参数。

(4)计算精度的误差分析和提高的方法。

在实际应用中，一般不使用理想表面，而是直接采用近似表面面积计算。

在特殊情况下，必须保证计算的精度时，则需引入理想表面进行换算。

1.高斯-波尔兹曼原理：由高斯公式和波尔兹曼公式可知，被测物体表面面积（ s）的二次积分与测量长度L的平方根成正比，且成正弦级数的形式关系，即：(2)(3)(4)应用时，将式(4)按实际尺寸在其边界上任意点取样，利用理想和近似表面面积公式求出几何表面的面积S(D)，代入公式(1)计算物体表面的面积S(D)。

(5)作为评价估算方法的精度指标，估算的表面面积越接近于实际的表面面积，测量的精度越高。

4。

测量工具误差对子午线收敛角的影响：测量工具对子午线收敛角的影响有多种形式。

一般说来，测量工具越粗糙、越简单，子午线收敛角测量的精度就越高。

对于已知子午线收敛角的区域，测量工具在给定方向上的相对移动会引起子午线收敛角发生变化，因此测量工具的质量对子午线收敛角也有影响。

8.5平⾯⼦午线收敛⾓§8.5平⾯⼦午线收敛⾓8.5.1定义，⽤途。

8.5.2公式1由l B ,求r 的公式。

由于正形投影的关系，B=常数(或q=常数)与x=常数直线在P /点所组成的⾓也是r 。

设P /沿B=常数(或q=常数)的曲线移到P /1，P /与P /1⽆限接近，dydxtgr = （8-77）对),(),(21l q f y l q f x ==全微分dllydy dllx dq q f dl l f dx ??=??=??+??=11 因此有：根据C-R 条件⼜有(8-77)1qx qy tgr -=(8-77)2上两式⽤于由l B ,求r 。

根据(8-42)式求偏导数ly l x ,，求ly ??1并代⼊上式得tgr ，再按反正切展开即得由l B ,求r 的(8-81)式。

llx tgr =()()+-++++=25542332cos sin 151231cos sin 31sin t Bl B Bl B Bl r ηη分析(8-81)式:①在中央⼦午线上l=0,r=0；在⾚道上B=0,r=0。

②r 为奇函数，有正负，当描写点在中央⼦午线以东时，经差为正，r 也为正；当描写点在中央⼦午线以西时，经差为负，r 也为负。

③在同⼀经线上(l=常数)纬度愈⾼，r 也愈⼤，在极点处最⼤；在同⼀纬线上(B=常数)l愈⼤r也愈⼤。

2由xy 求r 的公式式(8-81)中经差l ⽤(8-57)2式代⼊，纬度B 须化算为底点纬度f B 。

)(B B B B f f --=()[]() +-?-=--=B B B B B B B B f f f f f cos sin sin sin由(8-57)1式，只取主项，即22y N M t B B ff f f ?=-()22222)1(sin 2cos cos y N B y N M t B B B B ff f ff f f f f ?+?-=??-=-?-η()+-=222121sin sin f f f N y B B η,+=f f f f N M y t B B 21cos cos 22 将上两式及(8-57)2代⼊(8-81)式，忽略5y 以上的⼩项，得精确⾄1//的计算⼦午线收敛⾓式(8-82)。