大地测量学课程第21讲-高斯投影坐标反算公式

高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程 学号：X51414012：超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差围的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。

高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。

由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。

高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。

二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件 1）中央子午线投影后为直线 2）中央子午线投影后长度不变 3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。

2）由于高斯投影是换带投影，在每带经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。

3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224 sin cos (6158)720cos cos (1)6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l NB B t t l Ny N B l B t l NB t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。

高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化高斯平面直角坐标系与大地坐标系转换 1. 高斯投影坐标正算公式(1) 高斯投影正算:已知椭球面上某点的大地坐标(L，B)，求该点在高斯投影平面上的直角坐标(x，y)，即(L，B)->(x，y)的坐标变换。

(2) 投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线; 中央子午线投影后长度不变; 投影具有正形性质，即正形投影条件。

(3) 投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点P 1 和P 2 ，它们的大地坐标分别为(L，B)及(l，B)，式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线(L 0 )的经度差:l=L-L 0 ，P 点在中央子午线之东，l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P 1 ’(x,y)和P 2 ’(x,-y)。

(4) 计算公式 4 ' ' 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 9 5 ( cos sin 2 sin 2 l t B B N Bl N X x 5 ' ' 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 ' ' ' ' ' ' ) 18 5 ( cos 120 ) 1 ( 6 cos l t t B N l t B N Bl N y 当要求转换精度精确至0.001m时，用下式计算: 6 ' ' 4 2 5 6 ' ' 4 ' ' 4 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 58 61 ( cos sin 720 ) 4 9 5 ( cos sin 24 sin 2 l t t B B N l t B B N Bl N X x5 ' ' 2 2 2 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 3 ' ' ' ' ' ' ) 58 14 18 5 ( cos 720 ) 1( cos 6 cos l t t t B N l t B N Bl N y2. 高斯投影坐标反算公式(1) 高斯投影反算:已知某点的高斯投影平面上直角坐标(x,y)，求该点在椭球面上的大地坐标(L,B)，即(x,y)->(L,B)的坐标变换。

高斯平面直角坐标系与大地坐标系相互转化高斯平面直角坐标系与大地坐标系转换 1. 高斯投影坐标正算公式 (1) 高斯投影正算:已知椭球面上某点的大地坐标(L ，B)，求该点在高斯投影平面上 的直角坐标(x ，y)，即(L ，B)->(x ，y)的坐标变换。

(2) 投影变换必须满足的条件 中央子午线投影后为直线; 中央子午线投影后长度不变; 投影具有正形性质，即正形投影条件。

(3) 投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点P 1 和P 2 ，它们的大地坐标分别为(L ，B)及(l ， B)，式中l 为椭球面上P 点的经度与中央子午线(L 0 )的经度差:l=L-L 0 ，P 点在中央子午 线之东，l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P 1 ’ (x,y)和P 2 ’ (x,-y)。

(4) 计算公式 4 ' ' 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 9 5 ( cos sin 2 sin 2 l t B B N BlN X x 5 ' ' 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 ' ' ' ' ' ' ) 18 5 ( cos 120 ) 1 ( 6 cos l t t B N l t B NBl N y 当要求转换精度精确至0.001m 时，用下式计算: 6 ' ' 4 2 5 6 ' ' 4 ' ' 4 2 2 3 4 ' ' 2 ' ' 2 ' ' ) 58 61 ( cos sin 720 ) 4 9 5( cos sin 24 sin 2 l t t B B N l t B B N Bl N X x5 ' ' 2 2 2 4 2 5 5 ' ' 3 ' ' 2 2 3 3 ' ' ' ' ' ' ) 58 14 18 5 ( cos 720 ) 1( cos 6 cos l t t t B N l t B N Bl N y2. 高斯投影坐标反算公式 (1) 高斯投影反算:已知某点的高斯投影平面上直角坐标(x,y)，求该点在椭球面上 的大地坐标(L,B)，即(x,y)->(L,B)的坐标变换。

高斯投影坐标正反算公式未知2010-04-03 10:47:15 本站§高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。

1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为的偶函数， y 为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛。

（ 8-33 ）式中是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。

由第三个条件知：(8-33) 式分别对和 q 求偏导数并代入上式(8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即(8-35)(8-35) 是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数。

由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当时有：(8-36)顾及 ( 对于中央子午线 )得：(8-37,38)(8-39)依次求得并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式(8-42)1.2 高斯投影坐标反算公式x,y B,投影方程：(8-43)满足以下三个条件：①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

①由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ), 对应的有底点处的等量纬度，求 x,y 与的关系式，仿照 (8-10) 式有，由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数，必是 y 的奇函数。

(8-45)是待定系数，它们都是 x 的函数 .由第三条件知：，， (8-21)(8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等，第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为。

高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。

二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。

高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。

而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。

编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。

（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("a.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1，西安80=2，WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一，第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B))*100.0)*60.0+( g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L))*100.0)*60.0+(g [i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i].L0))*100.0)*60. 0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100.0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n*n *n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/720;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度// main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L0)!=EOF)//文件为空，无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径，子午圈曲率半径//double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球，2=1975国际椭球，3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球，求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B*C)-g[i] .y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28 *B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度//int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒%d 度%d分%lf秒\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1 )/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2; }。

1 高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知椭球面上某点的大地坐标，求该点在高斯投影平面上的直角坐标，即的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程在椭球面上有对称于中央子午线的两点和,它们的大地坐标分别为（）及（），式中为椭球面上点的经度与中央子午线的经度差：, 点在中央子午线之东, 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为和。

（4）计算公式当要求转换精度精确至0.OOlm时，用下式计算：2 高斯投影坐标反算公式（1）高斯投影反算：已知某点的高斯投影平面上直角坐标，求该点在椭球面上的大地坐标，即的坐标变换。

（2）投影变换必须满足的条件坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。

（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度，接着按计算（）及经差，最后得到、。

（4）计算公式当要求转换精度至时，可简化为下式：3高斯投影相邻带的坐标换算（1）产生换带的原因高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。

因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。

在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用带、带或任意带，而国家控制点通常只有带坐标，这时就产生了带同带（或带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如图所示：（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。

首先把某投影带（比如Ⅰ带）内有关点的平面坐标，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，利用投影正算公式换算成相邻带的（第Ⅱ带）的平面坐标。

在这一步计算时，要根据第Ⅱ带的中央子午线来计算经差，亦即此时。

算例在中央子午线的Ⅰ带中，有某一点的平面直角坐标，，现要求计算该点在中央子午线的第Ⅱ带的平面直角坐标。

高斯投影正反算姓名：王义文班级：四班学号：2009301610135程序说明：本程序基于MFC基本对话框，由于MFC程序构建框架的代码冗长，打印出来恐怕影响阅读效率，所以下面的代码是经过剔除之后的一些核心代码，希望老师谅解！界面关联变量说明：纬度值的度、分、秒分别与B_DD,B_MM,B_SS相关联，缺省项自动设定为0。

经度值的度、分、秒分别与L_DD,L_MM,L_SS相关联，同上。

L0_DD则表示为L0的值，单位：度。

x,y分别与坐标值关联，且y为加500KM以后的值。

单位：米。

m_keshi=1是克氏椭球，=0为IAG椭球，且此处不能缺省。

m_zheng=1表示正算，=0为反算，且此处不能缺省。

核心代码说明：void C高斯投影正反算4Dlg::OnBnClickedRadio3() //此处为正算的设定，如果正算，设定输入焦{ 点在B_DD。

x,y为只读项。

m_zheng=1;((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT1))->SetFocus();((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT1))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT2))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT3))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT4))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT5))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT6))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT7))->SetReadOnly(FALSE);((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT8))->SetReadOnly();((CEdit*)GetDlgItem(IDC_EDIT9))->SetReadOnly();}void C高斯投影正反算4Dlg::OnBnClickedRadio4() //反算的设定：设置输入焦点在L0_DD，且B，{ L的角度值为只读。

高斯投影坐标正反算一、基本思想：高斯投影正算公式就是由大地坐标（L ，B ）求解高斯平面坐标（x ，y ），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x ，y ）求解大地坐标（L ，B ）。

二、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e a= 椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央子午线经度。

高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程学号：X51414012姓名：孙超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。

高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。

由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。

高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。

二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件1）中央子午线投影后为直线2）中央子午线投影后长度不变3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。

2）由于高斯投影是换带投影，在每带内经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将 X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。

3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y ∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩L L 经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224sin cos (6158)720cos cos (1) 6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l N B B t t l N y N B l B t l N B t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。

「高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式」高斯投影坐标正反算公式是用于计算高斯投影坐标的数学公式。

高斯投影坐标是一种地理坐标系统，常用于测量和测绘工作中。

高斯投影坐标正算是指已知一个点的经纬度坐标，通过公式计算出该点的高斯投影坐标。

而高斯投影坐标反算是指已知一个点的高斯投影坐标，通过公式计算出该点的经纬度坐标。

一、高斯投影坐标正算公式：已知一个点的经纬度坐标(φ,λ)，其中φ为纬度，λ为经度，以及椭球体参数a、f和中央经线经度L0，可以通过以下步骤计算出该点的高斯投影坐标(X,Y)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。

2.计算黄赤交角ε：ε = atan(b / a)3.计算辅助量t：t = tan(π/4 - φ/2) / [(1 - f' * sin²φ)⁰.⁵ * (1 + e' *sinφ)⁰.⁵]其中，e'=f'*(2-f')是椭球体的第一偏心率。

4.计算辅助量η：η = e'^2 * cos²φ5.计算系数A、B、C和D：A = (L - L0) * cosφC = (L - L0) * cos⁵φ * (5 - tan²φ + 9e'^² + 4e'^⁴ - 24e'^² * tan²φ - 45e'^⁴ * tan²φ)D = (L - L0) * cos⁷φ * (61 - 58tan²φ + tan⁴φ + 270e'^² - 330e'^² * tan²φ)6.计算高斯坐标X和Y：X=k0*a*(A+B/2+C/4+D/6)Y=k0*a*(C/2+D/8)其中，k0是比例系数，一般情况下取1二、高斯投影坐标反算公式：已知一个点的高斯投影坐标(X,Y)，以及椭球体参数a、f、中央经线经度L0、比例系数k0和起始经度L1，可以通过以下步骤计算出该点的经纬度坐标(φ,λ)：1.计算扁率f'：f'=(a-b)/a其中，b=a*(1-f)是椭球体的短半轴。

高斯投影计算内容地面观测归算到椭球面上以后，可以通过两种途径获得各点的高斯平面直角坐标1：按第五章所述方法解算到球面三角形，推算个边大地线长度和大地方位角，解算出各点的大地坐标，然后利用高斯投影坐标计算公式解算出各点的高斯平面直角坐标。

2：将椭球面上的起算元素和观测元素归算到高斯投影平面上，然后解算平面三角形，推算各边的边长和坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的高斯平面直角坐标系。

两种方法比较两种方法解算出的结果是一样的，只是第一种计算量大。

所以通常采用第二种方法，将控制网直接归化到高斯投影平面上，在平面上进行平差和各种计算工作。

以三角网为例由于高斯投影为等角投影，所以椭球面上大地线之间的夹角与高斯平面上相应的投影曲线之间的夹角相等，但是各大地线的长度与它们在投影平面上的投影曲线长度并不相等，因为投影存在长度变形。

为了在平面上进行三角网的平差和计算必须把椭球面上以大地线构成的三角网，换算到高斯投影平面上以直线边构成的三角网。

为此应进行以下计算：（1）将起算点的大地坐标（B，L）换算成高斯投影平面上其投影的平面直角坐标（x,y），称为高斯投影坐标计算。

（2）将起算边的大地方位角A换算成投影平面上的平面坐标方位角T。

若由大地方位角转换平面坐标方位角，必须先计算该大地线起点处的平面子午线收敛角和方向改正。

T12=A12-γ+δ（3）将起算边的大地线长度归算到高斯平面的直线长度，其中，由大地线长度改化为高斯平面上直线长度时加入的改正数，成为距离改正D12=S12+∆S（4）对于椭球面上三角网的各观测方向和边长分别进行方向改正和距离改正，归算至高斯投影平面上的直线方向和直线距离，组成由平面三角形构成的三角网，进行平差计算，解算平面三角形，推求各控制点的平面直角坐标。

综上可知，高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改正计算，将此统称为高斯投影计算。

高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。

二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。

高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。

而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。

编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。

（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("a.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1，西安80=2，WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一，第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B))*100.0)*60.0+( g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L))*100.0)*60.0+(g [i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i].L0))*100.0)*60. 0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100.0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n*n *n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/720;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度// main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L0)!=EOF)//文件为空，无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径，子午圈曲率半径//double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球，2=1975国际椭球，3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球，求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B*C)-g[i] .y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28 *B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度//int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒%d 度%d分%lf秒\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1 )/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2; }。