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2020年精品试题芳草香出品第一章 解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b＝4，cos C ＝45，则△ABC 的面积是( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝35， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6. 答案：B2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°解析：4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以4·12bc sin A ＝2bc cos A ， 所以tan A ＝1，又因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝45°.答案：A3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32C. 3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32. 答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113， 所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin C cos C ＝－12＝－2 3. 答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0，所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bc cos A，解得c＝2，b＝4，因为cos A＝78，所以sin A＝15 8，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×4×2×158＝152.答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sin C；②cos(B＋C)＋cos A表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.。
三角形中的几何计算【知识与技能】1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S =21； （2）S =21ab sin C =21 =21； （3）S =21·r · (r 为三角形内切圆半径)；（4）2a b c S p ++⎫==⎪⎭其中(海伦公式)；（5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A BS B C=== ; （6）4abcS R=(其中R 为三角形外接圆半径)。
类型1 三角形中的面积计算问题【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ，∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2×10x cos60°,∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16。
第3课时 三角形中的几何计算A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝5，b ＝4，cos C ＝45，则△ABC的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：因为cos C ＝45，C ∈(0，π)，所以sin C ＝35，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×4×35＝6.答案：B2．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A 等于( )A.2393B.2293C.2633D ．3 3解析：面积S ＝3＝12bc sin A ＝12×1×c ×32，所以c ＝4，因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4×12＝13，所以a sin A＝1332＝2393.答案：A3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( )A ．8B ．16C ．18D ．32解析：在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65， 即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65，①在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17，②又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41. 因为平行四边形的周长为18， 所以AB ＋AD ＝9，又AB 2＋AD 2＝41， 所以AB ＝4，AD ＝5或AB ＝5，AD ＝4.所以cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22·AB ·AD ＝35，所以sin A ＝45，故平行四边形的面积为12×AB ×AD ×sin A ×2＝16.答案：B4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( )A. 3B ．－ 3C ．－2 3D ．－2解析：S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·c ·32＝3，所以c ＝4，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，所以sin C ＝1213， 所以tan C ＝sin Ccos C ＝－12＝－2 3.答案：C5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15C ．2D ．3解析：因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0， 所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4，因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.答案：A 二、填空题6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 答案：637．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a －b ＝4，所以a ＞b ， 又因为a ＋c ＝2b ，所以b ＋4＋c ＝2b ， 所以b ＝4＋c ，所以a ＞b ＞c . 所以最大角为A ，所以A ＝120°，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2＝－b (b －4)， 即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b ＝－b 2＋4b ， 所以b ＝10，所以a ＝14，c ＝6. 故周长为30. 答案：308．在△ABC 中，A ＝π6，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长是________．解析：设∠BCD ＝θ，因为S △BCD ＝4＝12·CD ·CB ·sin θ，所以sin θ＝255，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±55.在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋CB 2－2CD ·CB ·cos θ，从而BD ＝42或BD ＝4.当BD ＝42时，由BD sin θ＝CDsin B得sin B ＝CD ·sin θBD ＝1010，又由AC sin B ＝BCsin A得AC ＝BC sin Bsin A＝22，当BD ＝4时，同理可得AC ＝4. 综上，AC ＝4或AC ＝2 2. 答案：4或2 2 三、解答题9.在△ABC 中，∠B ＝π4，AB ＝42，点D 在BC 上，且CD ＝3，cos ∠ADC ＝55.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)因为∠ADC ＋∠ADB ＝π， 且cos ∠ADC ＝55， 所以cos ∠ADB ＝－55， 所以sin ∠ADB ＝1－cos 2∠ADB ＝255， 由∠B ＋∠ADB ＋∠BAD ＝π得， sin ∠BAD ＝sin(∠B ＋∠ADB )＝sin ∠B cos ∠ADB ＋cos ∠B sin ∠ADB ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋22×255＝1010. (2)在△ABD 中，由正弦定理得，BD sin ∠BAD ＝ABsin ∠ADB，所以BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝42×1010255＝2，由正弦定理得AD sin ∠B ＝ABsin ∠ADB，所以AD ＝42×22255＝25，在△ADC 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠ADC ＝20＋9－2×25×3×55＝17， 所以AC ＝17.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且满足b sin A ＋b cos A ＝c . (1)求B ；(2)若角A 的平分线与BC 相交于D 点，AD ＝AC ，BD ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意，利用正弦定理可得sin B sin A ＋sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， 整理可得sin B ＝cos B ，所以B ＝π4.(2)由AD ＝AC ，可知∠ACD ＝∠ADC . 设∠BAD ＝∠DAC ＝α，∠ACD ＝∠ADC ＝β，则⎩⎪⎨⎪⎧45°＋2α＋β＝180°，α＋2β＝180°， 所以α＝30°，β＝75°，△ABD 中，由正弦定理可得AB sin 105°＝AD sin 45°＝2sin 30°，所以AB ＝6＋2，AD ＝22，所以AC ＝22， 所以S △ABC ＝12AB ·AC ·sin 2α＝3＋ 3.B 级 能力提升1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2解析：设另两边长为8x ，5x ， 则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12， 解得x ＝2.所以两边长是16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.答案：A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan Atan B ＝2cb，则角C 的值为________．解析：由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin Csin B ，即sin （A ＋B ）sin B cos A ＝2sin Csin B，所以cos A ＝12，A ∈(0，π)，A ＝π3，sin A ＝32，由asin A ＝c sin C 得sin C ＝22，又c <a ，C <A ，所以C ＝π4. 答案：π43．已知x 、y 均为正实数，且x 2＋y 2－3＝xy ，求x ＋y 的最大值．解：构造△ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为x ，y ，3，C ＝60°，由余弦定理知x 2＋y 2－3＝xy ，即x 、y 满足已知条件．因为x sin A ＝y sin B ＝3sin 60°＝2，所以x ＝2sin A ，y ＝2sin B ， 所以x ＋y ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin A ＋12cos A＝23sin(A ＋30°) 因为0°<A <120°，所以当A ＝60°时，x ＋y 有最大值2 3.。
高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2解三角形的实际应用举例1.2.2三角形中的几何计算学案【课前自主学习】预习课本P16～18，思考并完成以下问题(1)已知三角形的两边及内角怎样求其面积？(2)已知三角形的面积如何求其他量？【新知探究•夯实知识基础】三角形的面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示a边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[点睛]三角形的面积公式S＝12ab sin C与原来的面积公式S＝12a·h(h为a边上的高)的关系为：h＝b sin C，实质上b sin C就是△ABC中a边上的高．【学练结合】1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公式S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()解析：(1)正确，S＝12ab sin C适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积．答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32 B.332 C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( ) A ．60°或120° B ．60° C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得 32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817.答案：817【学以致用•探究解题方法】题型一 三角形面积的计算[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32.∵AB >AC ，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，A＝90°，S△ABC ＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC ＝12AB·AC sin A＝ 3.故△ABC的面积为23或 3.[解题规律总结][活学活用]△ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且2A＝B＋C，a＝3，△ABC的面积S△ABC＝32，求边b的长和B的大小．解：∵A＋B＋C＝180°，又2A＝B＋C，∴A＝60°.∵S△ABC ＝12bc sin A＝32，sin A＝32，∴bc＝2.①又由余弦定理得3＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2×2×1 2，即b2＋c2＝5.②解①②可得b＝1或2.由正弦定理知asin A＝bsin B，∴sin B＝b sin Aa＝b2.当b＝1时，sin B＝12，B＝30°；当b＝2时，sin B＝1，B＝90°.题型二三角恒等式证明问题[典例]在△ABC中，求证：a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.证明：[法一化角为边]左边＝a－c(a2＋c2－b2)2acb－c(b2＋c2－a2)2bc＝a2－c2＋b22a·2bb2－c2＋a2＝ba＝2R sin B2R sin A＝sin Bsin A＝右边，其中R为△ABC外接圆的半径．∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[法二化边为角]左边＝sin A－sin C cos Bsin B－sin C cos A＝sin(B＋C)－sin C cos Bsin(A＋C)－sin C cos A＝sin B cos Csin A cos C＝sin Bsin A＝右边(cos C≠0)，∴a－c cos Bb－c cos A＝sin Bsin A.[解题规律总结][活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (A ＋B )－sin B cos A sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C .法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b 22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.题型三 与三角形有关的综合问题命题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b 2. (1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得， sin A cos B －sin C ＝sin B2，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B2＋cos A sin B ＝0. 因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12， 因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ， 得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 命题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0， 即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围是(1,2]．命题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc .(1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由sin (A －B )sin (A ＋B )＝b ＋cc ，得sin (A －B )sin (A ＋B )＝sin B ＋sin Csin C .又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C ＝3R 2sin B ·sin C ＝3R 2sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝32R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝a sin A ＝6sin 2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S .解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C . ∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ，∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝20－16cos A，在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC cos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－12，∴A＝120°，∴S＝16sin A＝8 3.[解题规律总结]高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 32．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.873．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．15．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 26．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．9．在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．82．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．33．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________. 6．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C .(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2,2cos2B＋C2＋sinA＝4 5.(1)若满足条件的△ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当△ABC的周长取最大值时，求b的值.高中数学人教A版必修5第一章解三角形1.2应用举例1.2.2三角形中的几何计算同步检测解析基础达标题1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.12 B.32 C.3 D．2 3解析：选B S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－78 B.78C．－87 D.87解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos θ＝4a2＋4a2－a28a2＝78.3．在△ABC中，已知面积S＝14(a2＋b2－c2)，则角C的大小为()A．135°B．45°C．60°D．120°解析：选B∵S＝14(a2＋b2－c2)＝12ab sin C，由余弦定理得：sin C＝cos C，∴tan C＝1.又0°<C<180°，∴C＝45°.4．在△ABC中，若cos B＝14，sin Csin A＝2，且S△ABC＝154，则b＝()A．4 B．3 C．2 D．1解析：选C依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sin B＝1－cos2B＝154，又S△ABC ＝12ac sin B＝12×b2×b×154＝154，所以b＝2，选C.5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为()A．40 3 B．20 3 C．40 2 D．20 2解析：选A设另两边长为8x,5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cos C＝13，0<C<π，∴sin C＝223，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC ＝3，则AB＝________.解析：在△ADC中，cos C＝AC2＋DC2－AD22·AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C<180°，∴sin C＝53 14.在△ABC中，ACsin B＝ABsin C，∴AB＝sin Csin B·AC＝5314×2×7＝562.答案：56 28．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝1 3，则a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝9，∴a＝3.又∵sin A＝1－cos2A＝22 3，∴外接圆半径为R＝a2sin A＝32·223＝928.答案：92 89．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°， 由正弦定理，得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922.能力达标题1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C 如图，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152 B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°， ∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC的面积S＝3，A＝π3，则AB·AC＝________.解析：S△ABC ＝12·|AB|·|AC|·sin A，即3＝12·|AB|·|AC|·32，所以|AB|·|AC|＝4，于是AB·AC＝|AB|·|AC|·cos A＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ba＋ab＝6cos C，则tan Ctan A＋tan Ctan B＝________.解析：∵ba＋ab＝6cos C，∴a2＋b2ab＝6×a2＋b2－c22ab，∴2a2＋2b2－2c2＝c2，又tan Ctan A＋tan Ctan B＝sin C cos Asin A cos C＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin C(sin B cos A＋cos B sin A)sin A sin B cos C＝sin C sin(B＋A)sin A sin B cos C＝sin2Csin A sin B cos C＝c2ab cos C＝c2aba2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝4.答案：47．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知sin A sin B＝sin C tan C.(1)求a2＋b2c2的值；(2)若a＝22c，且△ABC的面积为4，求c的值．解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b2c 2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sinA ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解：2cos 2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15. 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010 ，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到． 此时b ＝asin A sin B ＝10.。
第十三章三角形中的边角关系、命题与证明13.2命题与证明第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、2一、教学目标1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2；2．了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处；3．经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力．二、教学重点及难点重点：根据具体的证明过程，填写推理的理由.难点：将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题.三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《三角形内角和定理》图片、《例题1》图片、《练习1》图片．五、教学过程【课堂导入】教师提问：在前面的学习中，我们已经知道三角形的内角和等于180，你还记得这个结论的探索过程吗？学生回答：1.度量法2.折叠法3.剪拼法教师总结：但有的时候，观察和实验得到的结论并不一定可靠，这样就需要进行几何证明.那么什么是几何证明，如何进行几何证明呢，接下来我们一起来学习一下.设计意图：通过回顾之前的知识，引出本节课的内容.【新知讲解】1．三角形内角和定理的证明．教师提出问题：如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.插入图片《三角形内角和定理》解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．设计意图：通过对相应的例题的讲解，让同学们熟悉证明的一般过程，应用第四种证明三角形内角和为180°的方法，开拓同学们的视野，启发他们的思想.2．证明命题的一般步骤．教师总结：(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据条件画出图形并在图形上标出字母;(3)结合图形和命题写出已知和求证;(4)分析因果关系,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.设计意图：通过对证明命题步骤的详细讲解，帮助学生记忆与理解.3．推论．教师下定义：由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形.设计意图：给出推论的定义，以及两个三角形内角和定理的相关推论，为下面典型例题及练习的证明做了铺垫.【典型例题】例1直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝12(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出∠AOB，即为两角平分线的夹角．插入图片《例题1》如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠OAB＋∠OBA＝12∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．设计意图：深化对定理的理解．【随堂练习】1. 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？插入图片《练习1》解析：要判断△AHC的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC和∠DCA，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB∥CD.解：△AHC是直角三角形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.又∵AH，CH分别平分∠BAC和∠DCA，∴2∠1＝∠BAC，2∠2＝∠DCA，∴2(∠1＋∠2)＝∠BAC＋∠DCA，∴∠1＋∠2＝90°，∴△AHC为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1．三角形内角和定理的证明.2．证明命题的一般步骤——六步.3．两个推论推论1:直角三角形两锐角互余.推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形设计意图：通过小结，回顾本节课所学新知，加深印象.七、板书设计第3课时三角形内角和定理的证明及推论1、21. 定理2. 证明与推理。
