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有界对称域上Ω代数中的Jackson定理王志军;陈英伟【摘要】对多复变Cn中有界对称域Ω上球代数的中心逼近性质进行了研究.通过建立多项式偏差估计,最终获得了Jackson型定理.【期刊名称】《河北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(034)004【总页数】5页(P342-346)【关键词】Ω代数;Jackson定理;光滑模;有界对称域【作者】王志军;陈英伟【作者单位】河北经贸大学数学与统计学学院,河北石家庄050061;河北经贸大学数学与统计学学院,河北石家庄050061【正文语种】中文【中图分类】O174.41在逼近论中，中心逼近定理即为Jackson定理和Bernstein定理，其揭示了插值空间理论和整函数理论的紧密联系.Jackson定理［1］是逼近论中处理函数关于多项式偏差的重要结果.经典的结果主要是在连续函数及周期连续函数，然而，通过全纯扩展或考虑周期连续函数在单位圆盘中的调和延拓，自然会考虑单位圆盘上函数的逼近定理.基于此，Lipschitz函数类中的Jackson定理已拓展到复平面上的Jordan域［2］及单位圆盘上Qp空间［3］中.更多的结果可见文献［1，4－8］.对于多复函数空间，最近，多复变专家利用向量形式把新的Jackson定理延拓到多圆柱上的一些全纯函数空间［9］，例如Bergman型空间，Hardy空间［10］.笔者也曾推广至另一些空间［11－12］.令U表示复平面C上的单位圆盘.Sewell考虑了圆盘代数上的多项式逼近A（U）：＝H（U）∩C定理1［13］对任f∈A（U），k∈N，有其中Mk为次数不超过k的多项式集.问题是如何利用高阶光滑模在更广的定义域上建立更广义Jackson定理.本文中，Ω表示Cn中的有界对称域.本文目的是引入球代数A（Ω）函数空间，拓展了Jackson定理，并得到Lipschitz函数类的正逼近结果.定义1 代数A（Ω）为Ω中的全纯函数集合且连续开拓至Ω边界，模为在Ω代数中，函数逼近采用了如下高阶光滑模.定义2 令χ为Ω上具有半模‖·‖x的函数空间.对任f∈χ，δ＞0，r∈N，f的r阶光滑模定义3 定义Ek（f，χ）：＝inf‖f－Mk‖χ为最佳多项式逼近，其中下确界取为遍历次数不超过k的多项式集Mk.本文中，C表示与k和z无关的正常数，不同的地方取值可能不同.1 多项式逼近为构造最佳逼近多项式，引入上的一种复测度，其和Jackson核联系紧密.固定a＞0，ρ∈（0，1］和k∈N.该复测度定义为测度（φ）为上单位化测度，可从稍后引理1（f≡1和r＝0）知.当ρ＝1，记dvk：＝（φ）.其全变差可表示成广义Jackson核形式令r∈N∪｛0｝，引入重要积分算子将作为最佳逼近多项式.这里（φ）为广义Jackson核引理1 令为f∈H（Ω）的齐次展开式，则其中证明：对任固定ρ∈（0，1），取变量变换λ＝ρeiφ，可得对任｜ω｜＜1，由二项展开，易得故，上述积分可分为2部分注意到第2项在单位圆盘｜λ｜＜1上全纯，由留数定理可知其在｜λ｜＝ρ上积分为0.从第1项可得易知gm（λ）在单位圆盘上除原点外全纯，由留数定理得为计算留数，利用f的Taylor展开和二项展开可得式（2）右侧的Laurent展开从而结合式（3）和式（1），知故此即证明了ρ∈（0，1）的情况.当ρ＝1时可通过极限得到.引理得证.引理2［1］令k，β∈N，1）存在常数Cl，β（k）满足2）存在常数Cβ满足引理3［1］设0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（U），则引理4 设0＜δ，λ＜＋∞，f∈A（Ω），则证明：对任ζ∈∂Ω，考虑f的slice函数fζ，其中fζ（w）＝f（wζ），w∈U，则引理3可得由定义2，对任ζ∈∂Ω，ωr（δ，fζ，A（U））≤ωr（δ，f，A（Ω）），故再由定义2得2 偏差估计回忆上的测度，对任0＜ρ＜1，η＞0和a＞0，由定义，知定理2 对任k－1∈N，f∈H（Ω），有证明：对任ρ∈（0，1），由引理1得其中从而其中易知［14－15］，对任0＜η≤1都存在非负常数C（η）满足：对任h∈H和0＜r＜1，有在式（5）中取h（λ）＝g（λ，z）并结合式（4），得其中需要指出定理2对情况0＜η≤1也是成立的，其一般情况也具有其应用价值.3 Jackson定理现在给出本文的主要结果（即A（Ω）中的Jackson定理）如下.定理3 设f∈A（Ω），则对任k－1，r∈N，有证明：对任ζ∈∂Ω，由的定义和定理1知故即注意到Ik［f］（z）为次数不超过k－1的多项式.再由引理4（取λ＝k｜φ｜和δ＝1／k）可得故，结合引理2可得故得证.最后给出球代数空间A（Ω）中的一类子空间具体的Jackson不等式.定义4Lipschitz型空间Lipγ（A（Ω）），0＜γ≤1，包含所有全纯函数f∈A（Ω）且满足这里L＞0被称为Lipschitz常数.易知对任f（z）∈A（Ω）和0＜γ≤1，推论1 设f∈Lipγ（A（Ω）），则对任k－1∈N，r＝1，有参考文献：［1] DEVORE R A，LORENTZ G G.Constructive approximation［M］.Berlin：Springer－Verlag，1993.［2] ANDERSSON J M，HINKKANEN A，LESLEY F D.On theorems ofJackson and Bernstein type in the complex plane［J］.Constr Approx，1988，4：307－319.［3] CHEN Yingwei，REN Guangbin.Jackson's rheorem in Qpspaces ［J］.Science in China Series A：Mathematics，2010，53：367－372. ［4] ANDRIEVSII V.Harmonic version of Jackson's theorem in the complex plane［J］.J Approx Theory，1997，90：224－234.［5] KRYAKIN Y，TREBELS W.q－moduli of continuity in Hp（D），p＞0，and an inequality of Hardy and Littlewood［J］.J Approx Theory，2002，115：238－259.［6] KOSTOVA V A.On a generalization of Jackson's theorem in Rm ［J］.Math Balkanica：N S，1998，12：109－118.［7] REN Guangbin，CHEN Yingwei.Gradient estimates and Jackson's theorem in Qμspaces related to measures［J］.J Approx Theory，2008，155：97－110.［8] ZYGMUND A.Trigonometric series［M］.Cambridge：Cambridge Univ Press，1959.［9] REN Guangbin，WANG Mingzhi.Holomorphic Jackson's theorems in polydiscs［J］.J Approx Theory，2005，134：175－198.［10] RUDIN W.Function theory in polydiscs［M］.New York：Benjamin，1969.［11] 陈英伟，王志军，刘玉军.Hardy型空间Aμ中Jackson定理［J］.河北师范大学学报：自然科学版，2013，37（2）：113－118.CHEN Yingwei，WANG Zhijun，LIU Yujun.Jackson's theorem in Hardy type Aμspaces［J］.Journal of Hebei Normal University：Natural Science Edition，2013，37（2）：113－118.［12] CHEN Yingwei，WANG Zhijun，DONG Wenlei.Jackson's theorem in Hardy－Sobolev type space in the unit polydiscs［J］.ICICA2012，CCIS，2012，307：360－367.［13] SEWELL W E.Degree of approximation by polynomials in the complex domain［M］.Princeton：Prinston Univ.Press，1942.［14] GARNETT J B.Bounded analytic functions［M］.New York：Springer，2007.［15] STOROŽENKOÈA.Approximation of functions of class Hp，0＜p≤1［J］.Math USSR－Sb，1978，34：527－545.。
lipschitz常数求法Lipschitz常数是函数分析和数学优化领域中的一个重要概念，它描述了函数的导数变化的上限。
Lipschitz常数的计算对于优化算法、最优控制和机器学习等许多领域都具有重要意义。
在本文中，我们将介绍Lipschitz常数的定义以及两种常用的求解方法。
1. Lipschitz常数的定义Lipschitz常数用来衡量函数的导数变化的上限。
对于一个实数域上的函数 f(x)，如果存在一个常数 L，使得对于任意的 x1 和 x2，都有： |f(x1) - f(x2)| ≤ L |x1 - x2|则称函数 f(x) 是Lipschitz连续的，而常数 L 就是该函数的Lipschitz常数。
2. 间隔法（Interval Method）间隔法是一种较为直观的Lipschitz常数求解方法。
它通过计算一个函数在给定区间内的变化率来估计Lipschitz常数。
假设我们要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的Lipschitz常数，首先可以在该区间上随机选择两个点 x1 和 x2，并计算其对应函数值之间的差值和 x1、x2 之间的差值的比值。
然后，通过遍历区间内的每一对点，取所有比值的最大值作为Lipschitz常数的估计。
即可得到：L = max(|(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)|)3. 二次插值法（Quadratic Interpolation Method）二次插值法是一种更精确的Lipschitz常数求解方法，它利用了函数的二阶导数信息。
假设 f(x) 是定义在 [a,b] 区间上的二次可微函数，并且其二阶导数满足 Lipschitz 条件，即存在 L > 0，对于所有 x∈[a,b]，都有|f''(x)| ≤ L。
在该条件下，可以得到 Lipschitz 常数的上限估计 L = L_f =max(|f''(x)| : x∈[a,b])。
hilbert schmidt定理
Hilbert-Schmidt定理在数学中有多个含义，以下是其中两个主要的：
1. Hilbert-Schmidt定理是对称核线性积分算子的基本定理，由德国数学家David Hilbert 和Erhard Schmidt所建立。
这一定理在对称核线性积分方程理论中起重要作用。
2. Hilbert-Schmidt定理，又称特征向量展开定理，涉及到有限秩线性算子与安普伯格Hilbert空间的理论。
具体说来，它证明了有限维情形下的内积和无限维情形下的内积的等价性。
在数学中，无限维情形下的内积不再等价于一般线性算子，而是引进了Hilbert-Schmidt 线性算子的概念，并提出了Hilbert-Schmidt定理。
此外，还有一个与Hilbert-Schmidt定理相关的概念，即Hilbert-Schmidt独立准则。
这是一个数学领域里的重要定理，它在一个Hilbert空间中，为判断两个互不相交的线性子空间的向量在经过某种映射后是否仍然相互独立提供了判定方法。
这个准则在量子力学和机器学习算法等领域有广泛应用。
总的来说，Hilbert-Schmidt定理和Hilbert-Schmidt独立准则是数学中的重要概念，它们在多个领域中都有广泛的应用。
以上内容仅供参考，如需更专业的解释，建议查阅数学专业书籍或咨询数学专家。
lipschitz函数
Lipschitz函数是一类在数学中出现比较频繁的函数，它可以给出一些有价值的信息，为我们求解数学问题提供了一些帮助。
本文将介绍Lipschitz函数的定义和其特征，并给出一些典型的有关Lipschitz函数的应用实例。
1、 Lipschitz函数的定义
Lipschitz函数是由莱布尼茨（Rudolf Lipschitz）提出的，它定义为满足以下不等式的函数：
设$f(x)$是定义在实数域$D$上的函数，若对任意$x$,$y in D$都有
$$|f(x)-f(y)| leq K|x-y|$$
其中，$K$是实数常数，则称$f(x)$是Lipschitz函数。
2、Lipschitz函数特征
Lipschitz函数具有一般函数没有的一些重要特性。
首先，Lipschitz函数是连续函数，因此它不会出现断点（突变）。
同时，具有K类Lipschitz条件的函数还具有解析性和非常强的可微性。
根据Lipschitz函数的性质，可以证明它的单调性，也可以证明它的准确性和稳定性。
3、应用实例
Lipschitz函数被广泛应用于数学和工程领域。
例如，它可以用来求解多变量函数的极值。
另一个例子是，在工程中，Lipschitz函数可以用来求解最优化问题，例如某元件在给定约束条件下的设计参
数优化等。
另外，它还用于有关积分方程数值求解、量子力学的计算等。
总之，Lipschitz函数对于数学的研究和工程的应用具有重要的意义，它有助于我们更好地理解和求解复杂的数学问题。
