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习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518第一篇：第5章大数定律及中心极限定理习题及答案0518 第 5 章大数定律与中心极限定理一、填空题：2.设ξ1,ξ2,Λ,ξn是n个相互独立同分布的随机变量，nE(ξi)=μ,D(ξi)=8,(i=1,2,Λ,n)对于ξ=∑i=1ξin，写出所满足的切彼雪夫不等式P{|ξ-μ|≥ε}≤D(ξ)ε2=8nε2，并估计P{|ξ-μ|<4}≥1-12nnD(ξ)=∑i=1D(ξi)n=σn=8n3.设随机变量X1,X2,Λ,X9相互独立且同分布, 而且有EXi=1,9DXi=1(i=1,2,Λ,9), 令X=∑i=1Xi, 则对任意给定的ε>0, 由切比雪夫不等式直接可得PX-9<ε}≥1-9ε解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X满足：E(X)=μ与D(X)=σ2都存在, 则对任意给定的ε>0, 有P{|X-μ|≥ε}≤σε22, 或者P{|X-μ|<ε}≥1-σε.由于随机变量X1,X2,Λ,X9相互独立且同分布, 而且有EXi=1,DXi=1(i=1,2,Λ9), 所以⎛9⎫μ=E(X)=E ∑Xi⎪=⎝i=1⎭i∑E(Xi=19)=∑1=9,i=19σ⎛9⎫=D(X)=D ∑Xi⎪=⎝i=1⎭∑D(Xi=1i)=∑1=9.i=1p是事件A在每次试验中出现的概率，7、设ηn表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，则由中心极限定理（D－L）P{a<ηn≤b}＝P<≤41b-np≈np(1-p)a-npnp(1-p)12πe-tdt8.设随机变量ξn,服从二项分布B(n,p), 其中0<p<1,n=1,2,Λ, 那么, 对于任一实数x, 有limP{|ξn-np|<x}=n→+∞由中心极限定理（D－L）limP{|ξn-np|<x}=limPn→+∞n→+∞<=limPn→+∞|ξ-np|<=lim[Φn→+∞-Φ(-=limPn→+∞<=lim[2Φn→+∞-1]=2Φ(0)-1=0二．计算题：3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.解：某时刻所使用的终端数ξ~b(120,0.05),np=6,npq=5.7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知10-6P{ξ≥10}=1-P{ξ<10}≈1-Φ≈1-Φ(1.67)=0.0475.5．随机地掷六颗骰子，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于9且不超过33点的概率。
第五章 定积分习题及答案(简单层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x ，求()⎰-21dx x f 。
高一数学下第5章《空间向量及其运算》解析及答案巩固基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是:存在唯一的实数对x 、y,使p =x a +y b .3.空间向量基本定理:如果三个向量a 、b 、c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序数组x 、y 、z,使p =x a +y b +z c .{a,b,c }叫做空间的一个基底,a 、b 、c 叫做基向量,(x,y,z)叫做p 关于基底{a,b,c }的坐标.4.把|a||b|cos 〈a,b 〉叫做向量a 、b 的数量积,记作a·b ,即a·b =|a|·|b|cos 〈a,b 〉,其性质有:(1)a ⊥b ⇔a ·b =0;(2)cos 〈a,b 〉=||||b a ba ∙(a 、b 均为非零向量); (3)a 2=a ·a =|a |2; (4)|a ·b |≤|a |·|b |.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有( ) a+b·c a·(b·c) a(b·c) |a·b|=|a||b| A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析:根据数量积的定义，b·c 是一个实数，a+b·c 无意义.实数与向量无数量积,故a·(b·c)错，|a·b|=|a ||b ||cos 〈a,b 〉|，只有a(b·c)正确. 答案:A2.设向量a 、b 、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A.{a+b,b-a,a } B.{a+b,b-a,b } C.{a+b,b-a,c } D.{a+b+c,a+b,c }解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c 不共面,故可作为空间的一个基底, 故选C 。
09高等数学A（上）习题册《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 1第一章函数与极限第一节映射与函数1、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)?lgx2,g(x)?2lgx;f(x)?x，g(x)?x2.2、求函数y?3?x?arctan1x 的自然定义域。
3、已知f(x)?11?x，求f[f(x)]的定义域。
4、设f(x)??lgx,x?0?；g(x)??1,x?0?x?1,x?0?，求f[g(x)]。
1,x?05、已知f(x)?3x?5，且f[g(x)]?2x，求g(x)。
第二节数列的极限1、观察一般项xn如下的数列{xn}的变化趋势，判断它们是否存在极限。
如果存在极限，写出它们的极限，如果不存在极限，请写出原因：xn1n?(?1)n x1n?2?n2xn=(?1)n?1 xn?n=sin2(5)xn?n?1n x?1n?nn?1nxn?2?13nxn=(?1)n?1?n《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 2n2、证明数列354n?(?1)2，23，4，5?，的极限是1n3.根据数列极限的定义证明：limn2?9．n??n?1第三节函数的极限1、根据函数极限的定义证明：lim(3x?1)?8.x?32、根据函数极限的定义证明：lim1?x3??2x3?12. x3、求f(x)?xxx,g(x)?x当x?0时的左、右极限，并说明它们在x?0时的极限是否存在。
《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 34、证明：若limf(x)?A，则limf(x)?A，但反之不真。
第五节极限运算法则x?x0x?x0第四节无穷小与无穷大1、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之。
2、求下列极限并说明理：lim5x?10 x??xlim4?x2x?22?x3、函数y?xcosx在内是否有界？这个函数是否为x 时的无穷大？为什么？1、计算下列极限：(1)lim(x?h)2?x2h?0h(2)lim(1?1?11n??24)2n(3)lim1?2?3(n?1)n??n2limxxxxx??《高等数学A》习题册姓名：班级：学号： 4limx2sin1x?0xlimn?3nx??(?2)n?1?3n?17）lim??1?1?x1?22?3??1?n(n?1)?? ?8）lim?xn?3n?n?n???第六节极限存在准则两个重要极限1、计算下列极限： limsin5xx?04xlimx?0cotxlimsinx3x?0(sinx)2lim(1?1x??x)kxlim?x?0?1?x?x?1?x?1、利用极限存在准则证明：limn(1?11)?n??n2??n2?2?n21。
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
第五章 中值定理与导数的应用习题5.1（A ）9、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，而且0)('≠x f ，证明：在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(')()]()([222ξξf b a b f a f -=-。
证明：令2)(x x F =，)()(x f x G =，在区间],[b a 上应用柯西中值定理，)(')(')()()()(ξξG F a G b G a F b F =--，整理即得)(')()]()([222ξξf b a b f a f -=-。
10、设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，而且0>ab ，证明：在开区间),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(')()()(ξξξf f ab b af a bf -=--。
证明：所要证明的等式可以转化为221)(')(11)()(ξξξξξ---=--f f b a b b f a a f从中可以看出，令xx f x F )()(=，x x G 1)(=，在区间],[b a 上应用柯西中值定理即可。
（B ）、证明方程0122=--x x恰有三个不同的实根。
解： 令2()21xf x x =--，则：2()2ln 22,()2(ln 2)2x x f x x f x '''=-=-因为()f x ''只有一个实零点，()f x '最多只有两个不同的实零点（事实上假设()f x '有三个不同的实零点，由罗尔定理可知()f x ''至少有两个实零点，矛盾），从而()f x 最多只有三个不同的实零点 又 1(1)0,()0,(2)10,(5)02f ff f -<>=-<> 所以()f x 在11(1,),(,2),(2,5)22-中有实零点，即()0f x =至少有三个不同的实根．因此，()0f x =即原方程恰有三个不同的实根，如图所示：3、设函数)(x f 、)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且0)('≠x g ，证明存在),(b a ∈ξ，使得)(')(')()()()(ξξξξg f g b g a f f =--。
证明：作辅助函数)()()()()()()(x f b g x g a f x g x f x F --=，则)()()(a f b g a F -=， )()()(a f b g b F -=由罗尔中值定理可以知道，必有),(b a ∈ξ，使得0)('=ξF ，整理后即为所证。
8、若非常数函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可微，)()(b f a f =，证明存在),(,21b a ∈ξξ 分别使0)(,0)(21<'>'ξξf f ．证明：由题设，存在0(,)x a b ∈，使0()()f x f a ≠当0()()f x f a >时，由拉格朗日中值定理，存在12,ξξ使得01100()()()0f x f a f a x x aξξ-'=><<-，02020()()()0f x f b f x b x bξξ-'=<<<-．当0()()f x f a <时，同理可证．9、设()f x 在],[b a 上二次可微，过点A (,())a f a 与B (,())b f b 的弦与()y f x =有一交点，证明存在),(b a c ∈使0)(=''c f ．证明：弦AB 的斜率为()()f b f a b a--.设弦AB 与()y f x =的交点为P 00(,())x f x ，在0[,]a x 上应用拉格朗日定理有01100()()(),(,)f x f a f a x x aξξ-'=∈-；在[]0,x b 上应用拉格朗日定理有 020()()(),f b f x f b x ξ-'=-20(,)x b ξ∈；而A 、P 、B 三点共线，故00()()f x f a x a --与00()()f b f x b x --均为弦AB 的斜率，所以12()()f f ξξ''=．在[]12,ξξ上对()f x '应用罗尔定理有12(,)(,)c a b ξξ∈⊂，使得()0f c ''=．习题5.2（A ）3、计算下列极限（5）x x x ln lim 0+→，解：（5）x x x ln lim 0+→=0/1ln lim0=+→xxx 。
（B ）2、计算下列极限（3）301tan 1limx x x x +-+→， （5）)1(tan sin lim 20--→x x e x xx 。
解：（3）301tan 1limx x x x +-+→=)1tan 1(tan lim 30+++-→x x x x x x =30tan lim 21x x x x -→=2203cos 11lim 21x x x -→ =20)1)(cos 1(cos lim 61x x x x +-→=201cos lim 31x x x -→= 61-。
（5）)1(tan sin lim20--→x x e x xx =30tan sin lim x x x x -→=20cos 11lim x x x -→=201cos lim x x x -→=21-。
3、计算下列极限（4）arcsin 0lim xx x +→，（5）sin 01lim xx x +→⎛⎫⎪⎝⎭。
解：（4）arcsin 0lim xx x +→=arcsin ln 0lim x xx e +→=1。
（5）xx x sin 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=xx x e sin ln 0lim -→+=1。
习题5.3（B ）3、设函数)(x f 在],[b a 上n 阶可导，)1,,2,1,0(,0)()(-==n k a f k ，0)(=b f ，利用Taylor 公式证明存在点),(b a ∈ξ，使得0)()(=ξn f。
证明：将)(b f 在点a x =0处展开为1-n 阶Taylor 公式。
n n n k kk a b n f a b k a f b f )(!)()(!)()()(1)(-+-=∑-=ξ即，存在点),(b a ∈ξ，使得0)()(=ξn f 。
6、设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(=f ，证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0)0('0)()(x f x xx f x g 具有一阶连续导数。
证明：由于 )(lim 0x g x →=x x f x )(lim→=xf x f x )0()(lim 0-→=)0()0('g f =，所以)(x g 连续。
x g x g g x )0()(lim )0('0-=→=xf x x f x )0(')(lim 0-→ =20)0(')(lim x xf x f x -→=2)0(''2)0(')('lim 0f x f x f x =-→ 0,)()(')('2≠-=x xx f x xf x g 2)0('')()('lim )('lim 200f x x f x xf x g x x =-=→→ 所以函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0)0(''210)()(')('2x f x x x f x xf x g 为连续函数。
习题5.4（A ）2、设0>a ，证明x xa x f )1()(+=在0x >是为增函数．证明：xxa x f )1()(+=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=a x a x a x x a x f x ln )ln()1()('，令a x a x a x x g +--+=ln )ln()(， 2)(11)('a x a x a x x g ++-+==0)(22<+-x a x a 说明a x a x a x x g +--+=ln )ln()(单调减，但0)(lim =+∞→x g x ，所以0)(>x g ，因此0ln )ln()1()('>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=a x a x a x x a x f x 所以x x a x f )1()(+=为增函数。
5、求一条抛物线，使之与曲线x e y =在0=x 处相切，且在切点处有相同的曲率和凹向．解：设所求抛物线方程为2()y f x ax bx c ==++，依题意，在0x =处应有000(0)|1(0)()|1(0)()|1x x xx xx f e f e f e ===⎧==⎪''==⎨⎪''''==⎩又()2,()2f x ax b f x a '''=+=，故应有11,1,2c b a ===，即122++=x x y 为所求．8、设函数)(x f 在],[b a 上连续，且0)(''>x f ，证明a x a f x f x --=)()()(ϕ在),(b a 内单调增加。
证明：因为''()0f x >，说明)('x f 单调增。
ax a f x f x --=)()()(ϕ2)()]()([))((')('a x a f x f a x x f x ----=ϕ=2)())(('))(('a x a x f a x x f ----ξ=0)(')('>--a x f x f ξ 说明ax a f x f x --=)()()(ϕ在),(b a 内单调增加。
9、证明方程22ln -=e x x 有且仅有两个不同的正根。
证明：令x exx f ln 22)(--=，则+∞→+∞→)(,x f x ，+∞→→+)(,0x f x ，xeex x e x f -=-=11)('， 0)('=e f ，022)(<-=e f 。
)(x f 在),0(e 内单调减，有唯一的正根；)(x f 在),(+∞e 内单调增，有唯一的正根。
（B ）2、当x ≥0时，)(x f 连续及0)0(=f ，)('x f 存在且单调增，证明当0>x 时，函数xx f )(单调增。
