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高数上册知识点总结高等数学上册知识点总结引言高等数学是大学数学的重要组成部分，它为我们提供了解析几何、微积分、无穷级数等一系列数学工具，为我们理解和解决各种实际问题提供了强大的支持。
在高等数学上册中，我们将学习到很多重要的概念和定理，本文将对其中一些关键知识进行总结。
一、导数与微分导数是微积分的首要概念之一，用于描述函数的变化率。
公式上，导数表示函数在某一点上的切线斜率。
微分是导数的微小变化，表示函数在某一点上的微小增量。
我们需要掌握导数的基本定义和常见函数的求导法则，并理解导数的物理和几何意义。
二、极限与连续极限是高等数学中最关键的概念之一，用于描述随着自变量趋近某一特定值时函数值的变化情况。
极限可以分为常数极限、无穷大极限和无穷小极限。
连续是指函数在整个定义域上无间断，没有跳跃和缺口。
我们需要熟悉极限的计算方法和性质，并理解连续函数的判定条件和性质。
三、函数与映射函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。
函数包括常见的数学函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
映射是函数的一种特殊形式，将每个自变量映射到唯一的因变量。
我们需要了解函数的性质和特点，并应用函数构建数学模型。
四、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分的重要内容。
定积分用于计算曲线下面积，而不定积分则表示函数的原函数。
在应用上，定积分可以计算曲线长度、质量、质心等问题。
不定积分是求函数的原函数，常用于求解微分方程。
我们需要熟练掌握积分的计算方法和性质，并能熟练运用积分解决实际问题。
五、级数级数是数列求和的推广概念，特定地，级数是无穷项的和。
我们需要掌握级数的收敛与发散判别方法，如比值判别法、积分判别法、积和判别法等。
同时，要了解级数的性质，如绝对收敛和条件收敛等，并能运用级数解决实际问题。
六、逼近与展开逼近和展开是一种将复杂函数转化为简单形式的数学方法。
逼近是将某个函数近似替代为一个简单的函数，如泰勒多项式逼近。
展开则是将一个函数表示为一系列更简单的函数的和，如傅里叶级数展开。
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高数上册知识点总结不挂科高等数学上册是高等数学的第一部分内容，主要包括数列、极限、函数、导数、微分与微分应用等内容。
高等数学上册的学习是后续数学学习的基础，因此对于学生来说，一定要认真学习，并掌握好其中的知识点。
一、数列数列是一组按照一定规律排列的数，它是高等数学中最基础的内容之一。
数列的概念、性质和应用是高等数学学习的重点之一。
1.1 数列的概念数列是指将按照一定的次序排列的一列数按照一定次序排列成的一个复数，例如{1，2，3，4，5…}就是一个数列，其中的数称为数列的项，用a1,a2,a3…表示。
1.2 数列的性质数列的常见性质包括：通项公式、公差、前n项和等内容。
1.3 数列的应用数列在实际生活和工程技术中有着重要的应用，例如在数学建模、物理问题、工程优化等领域都有着广泛的应用。
二、极限与函数极限是数学分析的一个重要概念，它是高等数学的核心内容之一。
而函数是数列的推广，是现代数学和工程技术中最重要的数学概念之一。
2.1 极限极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了数列或函数在某一点或无穷远处的特定性质。
极限是高等数学中的一个核心内容，它在微积分、微分方程等数学分支中都有着重要的应用。
2.2 函数函数是数学中的一个基本概念，描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数在数学和工程技术中有着广泛的应用，在微积分、微分方程、概率统计等领域都有着重要的地位。
三、导数导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和性质是高等数学学习的重点内容，也是后续微积分学习的基础。
3.1 导数的定义导数的定义是描述函数在某一点的变化率，它可以通过极限的概念来进行定义。
3.2 导数的性质导数有着许多重要的性质，例如导数的几何意义、导数的计算法则、导数的应用等。
3.3 导数的应用导数在实际生活和工程技术中有着重要的应用，例如在物理问题、工程优化、金融经济等领域都有着广泛的应用。
四、微分与微分应用微分是导数的推广，它是微积分学中的一个重要内容。
高等数学上册知识点第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2、函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00、、、左极限： 右极限：)(lim )(00x f x f xx -→-=)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim ax n n =∞→lim 2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量。
0lim =α∞=αlim2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小k Th1;)(~ααββαo +=⇔Th2 （无穷小代换）αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~、、、、4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+axx a ln ~)1(log +e)xx αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率。
高等数学(上)重要知识点归纳高等数学是大学中非常重要的一门课程，它有助于学生加强数学思维能力，提高数学素养，增强解决实际问题的能力。
高等数学包含许多重要的知识点，这些知识点是学生在学习高等数学时必须掌握的。
以下是高等数学(上)的一些重要知识点的归纳：1. 数列和级数数列和级数是高等数学课程中最重要的内容之一。
数列和级数的概念与计算方法是学习高等数学过程中的核心。
数列是指按一定规律排列的一系列数，级数则是由数列的各项累加得到的。
对于一些特殊的数列和级数，学生需要单独地掌握计算方法。
例如，李逵数列、费马级数等等。
2. 函数的极限、导数和微分高等数学的函数理论始于与函数连续性、单调性、有界性等概念的初步掌握。
其中极限、导数和微分是非常重要的内容。
学生需要掌握函数的极限计算方法和定义，包括单侧极限和无穷极限。
导数和微分是函数的一个重要特征，通过导数和微分可以刻画函数的局部变化情况。
学生需要掌握求导和微分的各种方法和技巧。
3. 微积分学中的积分和微分方程微积分学最基本的内容就是导数和积分，而且积分在微积分中有着很重要的地位。
学生需要了解积分的定义，不定积分、定积分、变限积分等概念，并掌握积分的计算方法。
微分方程是数学模型的重要表现形式之一。
学生需要掌握微分方程的基本概念、分类和基本求解方法。
4. 无穷级数无穷级数是级数理论的一部分，它是一个重要的数学概念。
学生需要掌握无穷级数的定义和各种级数收敛定理。
在无穷级数的求和问题上，学生需要熟练掌握级数和的判断和计算方法。
5. 偏微分方程和泊松方程偏微分方程为数学物理方程提供了一种通用框架，它是高等数学(上)的一个重要课题。
学生需要了解偏微分方程的基本概念、分类和基本求解方法。
泊松方程是一个非常经典的偏微分方程问题。
学生需要掌握泊松方程的解法以及各个领域的应用。
综上所述，以上是高等数学(上)的一些重要知识点的归纳。
这些概念和方法在解决数学和物理问题中都扮演着非常重要的角色，因此学生需要将这些知识点牢记于心，并在练习中不断熟练掌握。
高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→Ax f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→xxxb)e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x~1- （a x a xln ~1-）d) x x ~)1ln(+ （a xx a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。
高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限一. 函数的概念1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim〔1〕l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x)= 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
〔2〕l ≠0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。
〔3〕l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x )2 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x1−cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x +~ x ，1)1(-+αx ~ x α二 求极限的方法1．两个准那么准那么1．单调有界数列极限一定存在准那么2．〔夹逼定理〕设g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) 放缩求极限假设A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，那么A x f =)(lim2．两个重要公式 公式11sin lim0=→xxx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n nn nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法那么定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件：〔1〕0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→存在〔或为无穷大〕这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达〔H L 'ospital 〕法那么.例1计算极限0e 1lim x x x→-.解该极限属于“0〞型不定式，于是由洛必达法那么，得0e 1lim x x x→-0e lim 11x x →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解该极限属于“0〞型不定式，于是由洛必达法那么，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==． 注假设(),()f x g x ''仍满足定理的条件，那么可以继续应用洛必达法那么，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''二、∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足以下条件： 〔1〕∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；〔2〕)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域可导，且0)(≠'x F ；〔3〕)()(lim 0x F x f x x ''→存在〔或为无穷大〕注：上述关于0x x →时未定式∞∞时未定式∞∞型同样适用．例3计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法那么，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===． 使用洛必达法那么时必须注意以下几点： 〔1〕洛必达法那么只能适用于“00〞和“∞∞〞型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“0〞或“∞∞〞型才能运用该法那么； 〔2〕只要条件具备，可以连续应用洛必达法那么；〔3〕洛必达法那么的条件是充分的，但不必要．因此，在该法那么失效时并不能断定原极限不存在．7．利用导数定义求极限根本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在〕8．利用定积分定义求极限根本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n 〔如果存在〕三．函数的连续点的分类函数的连续点分为两类： （1）第一类连续点设0x 是函数y = f (x )的连续点。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim x g x f 且lx g x f )()(lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以 f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以 f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1-cos x ~ 2/2^x ，xe -1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x ~ x二．求极限的方法1．两个准则准则 1.单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤h (x )若A x h A x g )(lim ,)(lim ，则Ax f )(lim 2．两个重要公式公式11sin limx x x公式2ex xx /10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332n n nnnxxo n xx x xxx o n x x x x e)(!2)1(...!4!21cos 2242nnnx o n xxxx )()1(...32)1ln(132nnn x o n xxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnx o xn n xx x )(12)1( (5)3arctan 1212153n n n xo n xxxxx 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0x f x x，0)(lim 0x F x x；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(limx F x f xx 存在时，)()(limx F x f xx 也存在且等于)()(limx F x f xx ；当)()(limx F x f x x为无穷大时，)()(limx F x f xx 也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L ospital ）法则.型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）)(lim 0x f xx ，)(lim 0x F xx ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(x F ；（3）)()(limx F x f xx 存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x时未定式型的洛必达法则，对于x 时未定式型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则；)()(lim)()(limx F x f x F x f x xx x)()(lim)()(lim 0x F x f x F x f x xxx（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim0'00x f xx f x x f x (如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式11)()(1limdx x f n kf nnk n（如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x)的间断点。
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
大一高数上半册知识点
高等数学是大一学生所学的一门重要课程，主要包括高等数学上半册和下半册。
本文将着重介绍大一高数上半册的一些重要知识点，帮助学生更好地理解和掌握这门课程。
1. 函数与极限
1.1 函数的概念与性质
1.2 函数的图像与性质
1.3 函数的极限与连续性
1.4 极限的概念与性质
1.5 极限计算的方法和技巧
2. 导数与微分
2.1 导数的定义与几何意义
2.2 常见函数的导数
2.3 导数的四则运算法则
2.4 高阶导数与隐函数求导
2.5 微分的定义与运用
3. 微分中值定理与导数应用
3.1 极值与最值
3.2 四种常见函数的最值
3.3 平均值定理与洛必达法则 3.4 Taylor公式与泰勒展开 3.5 函数图像的绘制与分析
4. 积分与不定积分
4.1 积分的定义与性质
4.2 基本初等函数的积分
4.3 微元法与分部积分
4.4 定积分的概念与性质
4.5 反常积分与面积计算
5. 定积分的应用
5.1 曲线长度与曲率
5.2 弧长与曲线的参数方程
5.3 旋转体的体积与曲面积
5.4 质心与重心
5.5 路程与功
6. 微分方程
6.1 方程、解与初值问题
6.2 可分离变量方程
6.3 齐次方程与常数变易法
6.4 一阶线性常系数齐次方程
6.5 高阶线性常系数非齐次方程
以上是大一高数上半册的一些重要知识点，通过深入学习和掌握这些知识点，学生们将能够更好地理解高等数学的基础概念和方法，为后续学习打下坚实的基础。
希望本文能对大一学生们的学习有所帮助。
高等数学（上）重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→，其中)(x α为某一个无穷小。
(2)(保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ，则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ (2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin （2）∆∆~tan （3）∆∆~arcsin （4)∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f Ay A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义*ax a f x f x a f x a f x y dx dy a f y ax x x a x a x --=∆-∆+=∆∆=='='→→∆→∆==)()(lim)()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。
可导→ 二、导数的运算1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2)(vv u v u vu'-'=' 2、复合函数求导 设)]([x f y ϕ=，一定条件下xu u y dxdudu dy dx dy ''== 3、反函数求导 设)()(1y f x x f y -==和互为反函数，一定条件下：yx x y '='1 4、求导基本公式*（要熟记）5、隐函数求导* 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导，其中要注意到：y 是中间变量，然后再解出y '6、参数方程确定函数的求导* ⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 设，一定条件下3)()(,t t t t t t ttt x x t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''='=''''=='（可以不记） 7、常用的高阶导数公式 （1）...)2,1,0(),2sin(sin )(=+=n n x x n π（2）...)2,1,0(),2cos(cos )(=+=n n x x n π （3）...)12(,)1()!1()1()1(ln 1)(=+--=+-n x n x nn n （4）...)2,1,0(,)1(!)1()11(1=+-=++n x n x n n n （5）（莱布尼茨公式）∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(三、微分的概念与运算 1、微分定义 *若)(x o x A y ∆+∆=∆，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =∆= 2、公式：dx x f x x f dy )()('=∆'= 3、可微与可导的关系* 两者等价4、近似计算 当较小时，||x ∆dy y ≈∆，x x f x x f x f ∆'+∆+≈)()()(第三章 导数的应用一、微分中值定理* 1、柯西中值定理*)()()()()()(),,,0)(3),()()()2(],[)()()1(a g b g a f b f g f b a x g b a x g x f b a x g x f --=''∈∃≠ξξξ使得：（则：）（内可导在、上连续在、当取x x g =)(时，定理演变成： 2、拉格朗日中值定理*))(()()()()()(),,a b f a f b f ab a f b f f b a -'=-⇔--='∈∃ξξξ使得：（当加上条件)()(b f a f =则演变成： 3、罗尔定理* 0)(),,='∈∃ξξf b a 使得：（ 4、泰勒中值定理 在一定条件下：)()(!)(...))(()()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=其中ξξ),)(()()!1()()(010)1(n n n n x x o x x n f x R -=-+=++介于x x 、0之间. 当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理. 当00=x 时，公式变成:5、麦克劳林公式 )(!)0(...)0()0()()(x R x n f x f f x f n nn +++'+=6、常用麦克劳林展开式（1）)(!1...!212n nxx o x n x x e +++++=（2）)()!12()1(...!5!3sin 212153n n n x o x n x x x x +--++-=-- （3）)()!2()1(...!4!21cos 12242++-++-=n nn x o x n x x x （4）)()1(...32)1ln(132n nn x o x nx x x x +-++-=+-二、罗比达法则*记住：法则仅能对∞∞,00型直接用，对于,,0,1,,000∞∞-∞∞⋅∞转化后用. 幂指函数恒等式*f g g e f ln = 三、单调性判别*1、,0↑⇒>'y y ↓⇒<'y y 02、单调区间分界点：驻点和不可导点. 四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大. 五、闭区间最值求法*找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.六、凹凸性与拐点* 1、,0⋃⇒>''y y ⋂⇒<''y y 0 2、拐点：曲线上凹凸分界点),(00y x .横坐标0x 不外乎不存在或)(,0)(00x f x f ''=''，找到后再加以判别0x 附近的二阶导数是否变号. 七、曲率与曲率半径 1、曲率公式232)1(||y y K '+''=2、曲率半径KR 1=第四章 不定积分一、不定积分的概念*若在区间I 上，dx x f x dF x f x F )()(),()(=='亦， 则称.)()(的原函数为x f x F称全体原函数F(x)+c 为f(x)的不定积分，记为⎰dx x f )(. 二、微分与积分的互逆关系1、⎰⎰=⇔='dx x f dx x f d x f dx x f )()()(])([2、⎰⎰+=⇔+='c x f x df c x f dx x f )()()()( 三、积分法* 1、凑微分法* 2、第二类换元法3、分部积分法* ⎰⎰-=du v uv udv4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章 定积分一、定积分的定义 ∑⎰=→∆∆=ni i i x ba x f dx x f 10)(lim )(ξ 二、可积的必要条件 有界.三、可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义 定积分等于面积的代数和.五、主要性质* 1、可加性 ⎰⎰⎰+=ba bc ca2、估值 在[a,b]上，⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()( 3、积分中值定理*当f(x)在[a,b]上连续时：⎰∈-=ba b a a b f dx x f ],[),)(()(ξξ 4、函数平均值：ab dx x f b a-⎰)(六、变上限积分函数*1、)(])([)()(],[)(x f dt t f dt t f x F b a x f xa xa ='=⎰⎰可导，且连续，则在若2、)()]([])([)(],[)(x x f dt t f x b a x f x a ϕϕϕϕ'='⎰）（可导，则：连续，在若七、牛-莱公式*)()(|])([)(],[)(a F b F dx x f dx x f b a x f b ba a-==⎰⎰连续，则在若八、定积分的积分法*1、换元法 牢记：换元同时要换限2、分部积分法 ⎰⎰-=ba baba vdu uv udv |3、特殊积分 （1）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-a aax f dx x f x f dx x f 0)(,)(2)(,0)(为偶函数时当为奇函数时当（2）当f(x)为周期为T 的周期函数时： ⎰⎰++∈=TnTa aZ n dx x f n dx x f 0,)()(（3）一定条件下:⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dx x f dx x xf（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==⎰⎰是正偶数时，！是正奇数时，n n n n n n xdx xdx n n 2!!)!1(!!)!1(cos sin 2020πππ（5）⎰⎰=200sin 2sin ππxdx xdx n n九、反常积分* 1、无穷区间上)()(|)()(lim )(a F F x F dt t f dx x f a axax -+∞===∞++∞+∞→⎰⎰ 其他类似 2、p 积分：⎰∞+⎩⎨⎧≤>>app p a dx x 时发散时收敛11:)0(13、瑕积分：若a 为瑕点：则)()(|)()(lim )(+→-===++⎰⎰a F b F x F dt t f dx x f b a b a bxa x 其他类似处理 第六章 定积分应用 一、几何应用 1、面积 （1）dy x x A dx y y A b aba ）（）（左右下上--⎰⎰==（2）),(,)()(:βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x C 则⎰'=βαdt t x t y A |)()(| （3）⎰=≤≤===βαθθρβθαβθαθθρρd C ）（围成图形面积，（，与221A )),(: 2、体积*（1）旋转体体积*⎰=ba x dx y V 2π ⎰=dc y dy x V 2π 或⎰=ba y dx xy V π2 （2）截面面积为)(x A A =的立体体积为⎰=ba dx x A V )(3、弧长（1）)(12b x a dx y s b a ≤≤'+=⎰（2）)(,)()(22βαβα≤≤'+'=⎰t dt t y t x s（3）)(,22βθαθρρβα≤≤'+=⎰d s二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素：],[,)(b a x dx x F dw ∈=，再积分⎰=b a dx x F w )( 克服重力作功的功元素dw=体积⨯⨯⨯g ρ位移2、水压力dP=水深⨯面积⨯g ⨯ρ第七章 微分方程一、可分离变量的微分方程 形式：)()(y g x f dxdy = 二、一阶线性微分方程*1、线性齐次：0)(=+'y x p y通解公式*：⎰-=dx x p Ce y )(2、线性非齐次 )()(x q y x p y =+'通解公式*：))([)()(C dx x q e e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰- 职业素养及心态培训测试题部门： 姓名： 工号： 职位： 得分：一、填空题（每空2分合计30分）1、自律是具体表现为；自爱，珍惜名誉、珍爱生命、反省。
