高等数学解微分方程详细讲解精品PPT课件
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高等数学同济件 微分方程总结PPT课件
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程, 使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
第14页/共21页
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
第7页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
第9页/共21页
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解. 五、二阶常系数线性微分方程的解法
第10页/共21页
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
第15页/共21页
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 பைடு நூலகம் 故f(x)=0
第8页/共21页
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
全版微分方程.ppt
将 y 和 y 代入原方程得C( x)e P( x)dx Q( x),
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
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例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
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解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
求解微分方程ppt课件
dM dt,
M
dt
ln M t C1 , M Ce t .
由条件 M(0) M0 得 C M0，所以 M (t ) M0e t . M
M0
铀的衰变规律
t
14
例. 解初值问题
xydx ( x2 1) dy 0 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x2
dx
两边积分得
即
y x2 1 C ( C 为任意常数 )
Q(x) 0时称为一阶齐次线性微分方程。
dy P( x) y 0 dx
(2)
叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程。
23
一阶齐次线性方程(2)的解法
分离变量法
dy P( x)dx , y
ln y P( x)dx C1,
得方程(2)的通解 y Ce P( x)dx ,
(3)
这里 P( x)dx 表示P(x)的任一原函数。
第七章 微分方程
§ 1 微分方程的基本概念
1
例 一曲线通过点(1, 2)，且曲线上任意点切线
的斜率均等于切点横坐标的2倍 ，求这曲线的 方程。
例 列车在平直线路上以 20m /s 的速度行驶，
制动时列车获得加速度 0.4m /s2 。问开始制 动到停止需多少时间？这段时间列车又走了 多远？
2
微分方程的定义
注：通解(3)包含了方程(2)的全部解。
24
一阶非齐次线性方程(1)的解法
常数变易法，令
y(x) C(x)e P(x)dx.
y e P( x)dx
Q(
x)e
P
(
x
)dx
dx
C
25
《数学分析微分方程》课件
III. 高阶微分方程的解法
特征方程法
将高阶齐次微分方程转化为特征方程，通过解特征方程得到齐次部分的解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原方程得到待定系数，通过求导和代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原方程得到常数的解。
IV. 常系数线性微分方程的解法
特征根法
2
方程得到常数的解。
假设解为某些未知函数，代入原方程得到
待定系数，通过求导和代入原方程求解未
知函数。
3
求解自由项
通过求解无齐次项情况下的特解，再加上 通解，得到非齐次线性微分方程的解。
VI. 傅里叶级数方法
傅里叶级数方法可以将周期函数表示成正弦和余弦函数的无穷级数，通过求解系数得到函数的展开式。
VII. 拉普拉斯变换方法
通过求解特征方程的根，得到齐 次线性微分方程的通解。
待定系数法
假设解为某些未知函数，代入原 方程得到待定系数，通过求导和 代入原方程求解未知函数。
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导 和代入原方程得到常数的解。
V. 变系数线性微分方程的解法
1
常数变易法
假设解为常数的函数，通过求导和代入原
待定系数法
《数学分析微分方程》 PPT课件
欢迎来到《数学分析微分方程》PPT课件。本课件将深入介绍微分方程的基本 概念，并详细讲解一阶、高阶、常系数线性、变系数线性微分方程的解法， 以及傅里叶级数和拉普拉斯变换方法的应用。
I. 介绍微分方程的基本概念
学习微分方程前，我们先了解微分方程的基本概念和意义，掌握微分方程的 分类和形式，并探讨微分方程在实际问题中的应用。
拉普拉斯变换方法是一种将时间域函数转换为复频域函数的方法，通过求解 拉普拉斯变换的积分得到函数的解析表达式。
《高数微分方程应用》课件
线性微分方程
微分方程中只包含函数及其导数的一次项 和常数项，如一阶和二阶线性微分方程。
偏微分方程
含有多个自变量的微分方程，如偏导数和 偏微分方程。
非线性微分方程
微分方程中含有函数及其导数的高次项， 如一阶和二阶非线性微分方程。
微分方程在物理学中的应用
1Байду номын сангаас
开普勒定律
微分方程揭示了行星在太阳系中运动的规律。
2
物体运动
通过微分方程模型，可以预测物体的运动和轨迹。
3
电路分析
微分方程可以帮助研究电路中电流和电压的变化。
微分方程在经济学中的应用
经济增长模型
供需关系
微分方程模型可用于研究经 济增长的长期趋势和稳定性。
微分方程可揭示市场上商品 供需关系的动态变化。
投资和消费
经济学中的微分方程模型可 以研究投资和消费的相互关 系及其对经济的影响。
微分方程在生物学中的应用
1
人口模型
微分方程可以用于研究人口增长和
生物过程
2
种群动态的模型。
微分方程可以描述和分析生物系统
中的各种生物过程和反应。
3
遗传学
微分方程可以建模遗传算法和遗传 网络的演化过程。
微分方程在工程学中的应用
微分方程为工程学提供了各种建模和分析工具，如控制理论、电子电路、信号处理、结构分析等。
控制系统 电路设计 信号处理
微分方程模型可以揭示和控制各种物理和 工程系统的动态响应。
微分方程可应用于电路设计和分析，如模 拟电路和数字电路。
微分方程可以用于分析和处理各种信号， 如音频信号和图像信号。
《高数微分方程应用》 PPT课件
微积分和微分方程的关系
微分方程中只包含函数及其导数的一次项 和常数项，如一阶和二阶线性微分方程。
偏微分方程
含有多个自变量的微分方程，如偏导数和 偏微分方程。
非线性微分方程
微分方程中含有函数及其导数的高次项， 如一阶和二阶非线性微分方程。
微分方程在物理学中的应用
1Байду номын сангаас
开普勒定律
微分方程揭示了行星在太阳系中运动的规律。
2
物体运动
通过微分方程模型，可以预测物体的运动和轨迹。
3
电路分析
微分方程可以帮助研究电路中电流和电压的变化。
微分方程在经济学中的应用
经济增长模型
供需关系
微分方程模型可用于研究经 济增长的长期趋势和稳定性。
微分方程可揭示市场上商品 供需关系的动态变化。
投资和消费
经济学中的微分方程模型可 以研究投资和消费的相互关 系及其对经济的影响。
微分方程在生物学中的应用
1
人口模型
微分方程可以用于研究人口增长和
生物过程
2
种群动态的模型。
微分方程可以描述和分析生物系统
中的各种生物过程和反应。
3
遗传学
微分方程可以建模遗传算法和遗传 网络的演化过程。
微分方程在工程学中的应用
微分方程为工程学提供了各种建模和分析工具，如控制理论、电子电路、信号处理、结构分析等。
控制系统 电路设计 信号处理
微分方程模型可以揭示和控制各种物理和 工程系统的动态响应。
微分方程可应用于电路设计和分析，如模 拟电路和数字电路。
微分方程可以用于分析和处理各种信号， 如音频信号和图像信号。
《高数微分方程应用》 PPT课件
微积分和微分方程的关系
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
dy 1 y2
(1.5)
dx 1 x2
xx0
(x
d2x dt2 )
(1.6)
yy y2 0
(1.7)
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在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的 阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为
y(n) P1(x) y(n1) Pn1(x) y Pn (x) y f (x) （1.13）
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显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.
dy 2x dx dy 1 y2 dx 1 x2
F (x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N (x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
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第一讲
第7章 初等积分法
7.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
(力=质量×加速度)
可以列出方程
mx kx mg
(1.1)
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其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度.
(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
教材及参考资料
教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目：
1. 常微分方程，(第二版）， 王高雄等编（中山大学), 高教 出版社。
2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁（北京大学), ，高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
xx0
(x d2x) dt 2
yy y2 0
(1.4)
(1.5) (1.6) (1.7)
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通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
导恒数等定.式如义，果1.则1把称设ddyyxdd函yyx数( 2x(1y1x)x)代为xy入2方2( x方)程在程(1区(.11.1间1)1在I)上(，区1连(.得51间)续.到4I上)，在的且区一有间个直I上解到关.n阶于的x的
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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。
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一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.
常微分方程课件
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常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
v dx x dt
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加速度为
a
d2x dt 2
x
质量为m的物体，在下落的任一时刻所
受到的外力有重力mg和空气阻力，当速
度不太大时，空气阻力可取为与速度成
正比.于是根据牛顿第二定律
F = ma
n 阶隐式方程的一般形式为
F (x, y, y, , y(n) ) 0
n 阶显式方程的一般形式为
y(n) f (x, y, y, , y(n1) )
（1.11） （1.12）
在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
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一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.
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例1 物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系.
(1.1)可化为
d2x
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
dy 1 y2
(1.5)
dx 1 x2
xx0
(x
d2x dt2 )
(1.6)
yy y2 0
(1.7)
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在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的 阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为
y(n) P1(x) y(n1) Pn1(x) y Pn (x) y f (x) （1.13）
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显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.
dy 2x dx dy 1 y2 dx 1 x2
F (x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N (x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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目
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第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
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第一讲
第7章 初等积分法
7.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
(力=质量×加速度)
可以列出方程
mx kx mg
(1.1)
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其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度.
(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
教材及参考资料
教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目：
1. 常微分方程，(第二版）， 王高雄等编（中山大学), 高教 出版社。
2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁（北京大学), ，高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
xx0
(x d2x) dt 2
yy y2 0
(1.4)
(1.5) (1.6) (1.7)
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通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
导恒数等定.式如义，果1.则1把称设ddyyxdd函yyx数( 2x(1y1x)x)代为xy入2方2( x方)程在程(1区(.11.1间1)1在I)上(，区1连(.得51间)续.到4I上)，在的且区一有间个直I上解到关.n阶于的x的
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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。
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一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.
常微分方程课件
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常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
v dx x dt
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加速度为
a
d2x dt 2
x
质量为m的物体，在下落的任一时刻所
受到的外力有重力mg和空气阻力，当速
度不太大时，空气阻力可取为与速度成
正比.于是根据牛顿第二定律
F = ma
n 阶隐式方程的一般形式为
F (x, y, y, , y(n) ) 0
n 阶显式方程的一般形式为
y(n) f (x, y, y, , y(n1) )
（1.11） （1.12）
在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
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一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.
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例1 物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系.
(1.1)可化为
d2x
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.