多面体欧拉定理的发现1

多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。

发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。

多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。

欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。

欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。

这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。

让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。

首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。

立方体有8个顶点，12条边和6个面。

代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

这意味着欧拉公式在立方体上成立。

接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。

八面体有6个顶点、12条边和8个面。

再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

欧拉公式在八面体上同样成立。

通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。

这提示我们欧拉公式可能是普适的。

更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。

现在考虑多面体增加一个面的情况。

如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。

通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。

通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。

课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力教学重点：欧拉公式的发现过程教学难点：欧拉定义及其证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣教学过程：一、复习引入：1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体⑹2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 式：2V F E +-=．上述关系式对简单多面体都成立3.欧拉公式的探究1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E V ＋F －E ＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。

研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）●教学目标(一)教学知识点1．简单多面体的V、E、F关系的发现．2．欧拉公式的猜想．3．欧拉公式的证明．(二)能力训练要求1．使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律．2．使学生能通过进一步观察验证所得的规律．3．使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质．4．使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想．5．使学生了解欧拉公式的一种证明思路．(三)德育渗透目标1．通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求．2．培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力．●教学重点欧拉公式的发现．●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法．●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识并从中寻找规律；问题2让学生作进一步观察、验证得出规律；问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明．以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法．●教具准备投影片三张：第一张：课本P56的问题1及表1(记作§9．9．1 A)第二张：课本P57的问题2及表2(记作§9．9．1 B)第三张：课本P57的问题3及P58的问题4(记作§9．9．1 C)●教学过程Ⅰ．课题导入瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支．比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f(x)表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等．其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ＋1＝0，将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E＋F＝2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流．Ⅱ．讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1(打出投影片§9．9．1 A)(学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1) ［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？(学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问)［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定．［师］请举例说明．［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6．［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的．［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大．大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言．［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律．［师］举例说明．［生甲］如图中(1)和(2)的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8．［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的．［师］请试说说你归纳出来的规律．［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加．［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？(可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导)［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数＋面数即E与V＋F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系．［生］(积极验证，得出)V＋F-E＝2［师］以上同学们得到的V＋F-E＝2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证．［生］(许多同学可能举出前面学过的图形)四棱锥、五棱锥、六棱柱等．(教师应启发学生展开想象，举出更多的例子)［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等．［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数F为2＋n个，因2n＋(2＋n)-3n＝2，故满足V＋F-E＝2这个关系式．［师］请继续来观察一些其他图形的情况．(打出投影片§9．9．1 B)请同学们观察后，将所得数据填入表2中．(学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完)［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？［生］(1)符合，(2)、(3)不符合．［师］一起来设想问题1和问题2中的图形．在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形．那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？(打出投影片§9．9．1 C)［生］问题1中的(1)~(5)和问题2中的(1)图形表面经过连续变形能变为一个球面．［师］请同学们继续设想问题2中(2)(3)在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第(2)个图形，表面经过连续变形能变为环面；问题2中第(3)个图形，表面经过连续变形能变为两个对接球面．［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体．请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体．［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？(有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出)［生］简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V＋F-E＝2．［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V＋F-E＝2的过程．那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想．(学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理)Ⅲ．课堂练习课本P61练习1、2．1．用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式．解：在三棱柱中：V＝6，F＝5，E＝9，∵6＋5-9＝2，∴V＋F-E＝2。

多面体欧拉定理发现的主题词
摘要：
一、多面体欧拉定理的定义
二、多面体欧拉定理的发现过程
1.欧拉定理的起源
2.欧拉定理的证明
三、多面体欧拉定理的应用
1.空间图形的计算
2.人工智能领域的应用
四、多面体欧拉定理的重要性
正文：
多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：顶点数-棱长数=表面数。

简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体欧拉定理的发现过程可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究凸多面体时发现了这个定理。

欧拉定理的发现对于多面体的研究具有重要的意义，它为多面体的计算提供了一个基本的数学公式。

多面体欧拉定理的应用非常广泛。

在空间图形的计算中，欧拉定理可以用来计算多面体的顶点数、边数和面数，从而帮助人们更好地理解和描述空间图形。

此外，在人工智能领域，欧拉定理也有广泛的应用，例如在计算机视觉、图形识别等方面，欧拉定理可以用来判断一个物体是否为凸多面体，以及计算
多面体的表面积和体积等。

多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。

在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。

以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥 解 选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 条棱， 面；②如果它是棱柱，那么它有 条棱 个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解 由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解 根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明 用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。

多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面?以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数.【新课讲解】1.尝试猜想:以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。

多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F E=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。

2．介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟)欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。

既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。

他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

【注】更多介绍见最后【阅读材料】。

【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展.3．构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1图1情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2图3图2情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3情况4：侧面两个四棱锥挖掉多面体顶点数棱数面数顶点数+面数 棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。

一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。

由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴ （3），∵又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。

是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。

这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目． 解：设分子中有五边形个，六边形个。

分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,∵，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴, ∴，综上可知:，，.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。

比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。

有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。

欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。

而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。

瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。

欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。

研究性课题：多面体欧拉定理的发现温州中学 325000 苏德超案例设计前言著名数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学．从这个方面看．数学像是一门系统的演绎科学，但是另一方面，在创造过程中的数学．看来都像是一门实验性的归纳科学。

而本课题是研究性课题，它偏向后者，可以看成是一门实验性的归纳数学学习，它的教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。

在这个课题的研究过程中可以让学生充分体验归纳——猜想——证明这一知识的发生过程，在证明中，将三维问题转化为二维问题，这种拓扑的证明给学生以数学奇特美的享受，而证明的简化与欧拉公式本身也体现了数学的简洁美。

学生是研究的主体，这一阶段（高二）的学生，已经初步掌握了开展研究性活动的知识，这一年龄段的学生参加此类活动的积极性较高，且求知欲强，所以在活动中可让学生充分展开自由的想像，展开热烈的讨论，进行数学交流。

由此看来，本案例还是有很多值得挖掘、设计的地方，所以本人尝试编写此教案，与同仁一起交流。

教学目标（一）知识目标了解简单多面体的概念；了解公式的发现过程及证明方法；理解多面体欧拉公式；会用欧拉公式及其相关知识进行计算和推理。

（二）能力目标1．初步了解并体验数学概念和结论的产生过程，培养学生的观察、归纳、猜想数学问题的能力；提高学生独立思考、发现问题和解决问题的能力。

2．进一步培养学生的空间想像能力和逻辑思维能力。

3．在小组活动中，培养学生的人际交往和协作能力。

4．提高学生的创新意识和创新能力。

（三）德育目标1．通过学生对数学大师欧拉这一生的了解，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

.2．以欧拉公式为载体，让学生建立严谨的科学态度；让学生感受数学的奇异美和简洁美，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：欧拉公式的发现及证明。

教学难点：欧拉公式的证明及应用。

教学环境：数学实验室（具备网络功能）。

多面体欧拉定理的简单证明兔子
在数学中,欧拉定理是一个关于多面体的重要定理。

它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。

这个定理可以用一种有趣的方式来证明,就是通过"兔子"的方式。

想象一个兔子在多面体的表面上行走。

每当它来到一个顶点时,它都会向左或向右转弯。

如果兔子总是向同一个方向转弯,那么它最终会回到起点。

在这个过程中,每个边都会被兔子经过两次,一次是向一个方向,另一次是向相反的方向。

现在,让我们计算一下兔子在这个旅程中经过的所有拐角的总数。

每个顶点都会贡献一个拐角,因为兔子在那里转弯。

同时,每个面也会贡献一个拐角,因为兔子必须绕着面的边缘行走一圈。

因此,总的拐角数等于顶点数加上面数。

另一方面,每条边都会被兔子经过两次,每次都会产生一个拐角。

所以,总的拐角数也等于两倍的边数。

通过这种方式,我们得到了欧拉定理的等式:
顶点数 + 面数 = 边数 × 2
这个简单而有趣的证明展示了欧拉定理背后的几何直觉,并且使用了一种生动的方式来解释这个定理。

虽然这个证明并不是最正式的数学证明,但它确实提供了一种直观的理解,并且有助于记住这个重要的
定理。