多面体欧拉定理的发现

综合实践活动：课题多面体欧拉定理的发现研究过程一、引言多面体欧拉定理是数学中的一项重要成果，它揭示了多面体的结构特征与顶点、边和面的关系。

本文将深入探讨多面体欧拉定理的发现研究过程，从历史背景、重要人物、关键实践活动等多个角度进行分析，以期对多面体欧拉定理的研究有更全面、详细、完整的了解。

二、历史背景多面体欧拉定理最早可以追溯到18世纪，当时数学家欧拉第一次提出了这个问题并得出了规律。

然而，在欧拉之前，古希腊数学家已经开始研究多面体，比如柏拉图就研究过正多面体。

多面体欧拉定理的发现离不开这些前人的努力，他们的研究奠定了基础。

三、欧拉的贡献3.1 多面体的定义在研究多面体欧拉定理之前，欧拉首先对多面体进行了界定。

他定义多面体为一个封闭的凸多面体，其由有限个平面多边形围成。

这个定义奠定了欧拉研究的基础。

3.2 欧拉公式的提出欧拉在研究多面体时，发现了一个有趣的公式，即多面体的顶点数、边数和面数之间存在着一个固定的关系：顶点数加上面数等于边数加2。

这个公式后来被称为欧拉公式。

3.3 通过多面体实践验证为了验证欧拉公式的正确性，欧拉进行了大量的实践活动。

他通过构建各种多面体，比如立方体、四面体、正六面体等，计算它们的顶点数、边数和面数，结果都符合欧拉公式的规律。

通过实践活动，欧拉成功地验证了自己的猜想，并得出了多面体欧拉定理。

四、多面体欧拉定理的证明欧拉提出的多面体欧拉定理虽然在实践中得到了验证，但其证明却花费了许多时间。

直到1864年，数学家C.A.根特梅尔提出了一种较为简洁的证明方法，被广泛接受并被视为多面体欧拉定理的正式证明。

4.1 根特梅尔的证明思路根特梅尔的证明思路非常巧妙，他首先考虑了二面体图（dual graph）的概念，即将多面体的面变成图的顶点，将多面体的边变成图的边。

然后，通过对二面体图进行分析，运用图的性质和拓扑学的知识，他得出了多面体欧拉定理的证明。

4.2 证明的要点根特梅尔的证明主要包括以下要点： - 根据二面体图的性质，证明了二面体图的性质与多面体的结构有关。

多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。

发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。

多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。

欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。

欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。

这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。

让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。

首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。

立方体有8个顶点，12条边和6个面。

代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

这意味着欧拉公式在立方体上成立。

接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。

八面体有6个顶点、12条边和8个面。

再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。

欧拉公式在八面体上同样成立。

通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。

这提示我们欧拉公式可能是普适的。

更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。

现在考虑多面体增加一个面的情况。

如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。

通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。

总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。

通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。

§ 9.10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(1)教学目标：1•通过探现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；教学重点：教学难点：2.体会数学家的创造性工作，掌握“实验一归纳一猜想一证明”的研究方法；3.通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神如何发现欧拉公式怎样证明欧拉公式教学过程:创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现Ceo有重大贡献的三位科学家如图，C60是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体•这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出Ceo中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的尖系•我们知道'在平面多边形中'多边形的边数b,顶点数d之间有尖系b=d ;而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2.实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表:多面体F V E四面体446正方体6812五棱柱71015四棱锥558非凸多面体6610正八面体8612“屋顶”体9916截顶立方体71015(问题1 :你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的尖系吗?(1)由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。

并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；(2 )对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6, V=8 , E=12 正八面体：F=8 , V=6 , E=12。

这说明了什么？好像隐约透露出某种联系•为了弄清这个问题'整理资料'将上表按E 增加的顺序重排，得:多面体F V E四面体446四棱锥558非凸多面体6610正方体68121.观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V随E的增加而增加。

多面体欧拉定理的发现(3)一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。

欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。

他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。

他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。

由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。

在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。

他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。

尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如,cos ,sin x x ……等等现今已经成为数学的国际语言。

欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。

欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯，以后陆续得奖多次。

多面体欧拉定理的发现（1）一、课题：多面体欧拉定理的发现（1） 二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明． 四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝． （二）新课讲解： 1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么 它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图： 象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面 体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体 顶点数V面数F 棱数E 正四面体 44 6 正六面体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：2F E +-=． 上述关系式对简单多面体都成立． 3．欧拉定理：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 有关系式：2V F E +-=．（欧拉公式） 4．定理的证明：（方法一）以四面体ABCD 为例来说明：将它的一个面BCD 去掉，并使其变为平面图形， 四面体的顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形 后都没有变。

因此，要研究V 、E 和F 的关系， 只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．ABCDEA 'B 'C 'D 'E '对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。

例如去掉BC ，就减少一个面ABC ． 同理，去掉棱CD 、BD ，也就各减少一个面ACD 、ABD ． 由于1F E -、V 的值都不变，因此1V F E +- 的值也不变．（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少 一个顶点。

多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。

(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。

为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。

2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。

他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。

他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。

在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。

3.发现关系：V+F-E=2。

是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。

4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。

像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。

5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。

将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。

欧拉公式是怎么发现的？欧拉公式指的是近代数学的伟大先驱之一莱昂哈德·欧拉（1707-1783）所发明的一系列公式。

这些公式分布在数学这颗大树的众多分支领域中，比如复变函数中的欧拉幅角公式、初等数论中的欧拉函数公式、拓扑学中的欧拉多面体公式、分式公式等等。

我们在学习中，最先接触到的欧拉公式就是著名的欧拉多面体公式：V-E+F=2。

下面简单介绍下这个公式的发现过程。

早在1639年，法国著名数学家笛卡尔（解析几何学的创始人）就发现了一个规律：不管由多边形围成的凸多面体的外形如何变化，其顶点数（V），棱数（E）和面数（F）都满足一个简单的公式——V-E+F=2。

但在当时这个规律并未广泛流传。

过了一百多年后，欧拉在1750年又重新独立地发现了这个规律，于是这个广为流传的公式被命名为欧拉多面体公式。

欧拉的思路大致是这样的：任意三角形的内角和一定是180°，用弧度表示就是π，这个角度是和三角形的形状和大小无关的。

进而就能发现，任何一个凸n边形的内角和为（n-2）π，这说明凸多边形的内角和是由边数的多少决定的，也和形状、大小等因素无关。

把这个理论推广到空间中若干个多边形围成的凸多面体，又有怎样的性质呢？欧拉首先选择了几个形状简单的多面体进行推理，并将观察所得进行了归纳总结，他发现这些多面体的面角和是由多面体的顶点数决定的。

欧拉又把这个猜想进一步推广，就得到了V-E+F=2的最终结论。

事实上，欧拉多面体公式的证明方法有很多种，比如数学归纳法，球面几何法等。

欧拉是一位不折不扣的数学天才。

但是他的非凡成就也和他对数学的热爱有关。

在欧拉人生的最后7年，他双目完全失明，但是仍然留下了大量数学遗产。

这或许更能说明，为什么数学史上能留下那么多经典的欧拉公式吧。

多面体欧拉定理发现的主题词
摘要：
一、多面体欧拉定理的定义
二、多面体欧拉定理的发现过程
1.欧拉定理的起源
2.欧拉定理的证明
三、多面体欧拉定理的应用
1.空间图形的计算
2.人工智能领域的应用
四、多面体欧拉定理的重要性
正文：
多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：顶点数-棱长数=表面数。

简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

多面体欧拉定理的发现过程可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究凸多面体时发现了这个定理。

欧拉定理的发现对于多面体的研究具有重要的意义，它为多面体的计算提供了一个基本的数学公式。

多面体欧拉定理的应用非常广泛。

在空间图形的计算中，欧拉定理可以用来计算多面体的顶点数、边数和面数，从而帮助人们更好地理解和描述空间图形。

此外，在人工智能领域，欧拉定理也有广泛的应用，例如在计算机视觉、图形识别等方面，欧拉定理可以用来判断一个物体是否为凸多面体，以及计算
多面体的表面积和体积等。

假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现一、教学目的1、了解欧拉公式，并体现公式的发现过程。

2、进一步让学生体会多面体的三种基本量：点、线、面是立体几何的主要研究对象；3、通过体验欧拉公式的发现过程，培养学生自主学习的能力；4、让学生再次体验几何体的美；5、在情感上培养学生换位思考方式及理解伟人的坚韧不拔的精神。

二、教学重点1、体验欧拉公式的发现过程及再次认识组成多面体的基本量：点、线、面；2、让学生在体验过程中培养学生自主学习的能力。

三、教学难点：学生在发现过程中体验到数学思想和方法。

四、教学过程t教案设计说明本节课设计为“研究性学习课题”。

以介绍伟人欧拉的生平作为引入，激发学生学习欧拉公式的兴趣；利用换位思考的形式，让学生假设自己是欧拉，通过一系列问题设计：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论——应用，引导学生进行探究，在探究过程中，亲身体验欧拉公式的发现过程；最后对整个过程进行反思，让知识在反思中得到升华。

本节课这样设计的目的是在知识上，让学生了解欧拉公式，体会欧拉公式给出的是等量关系，这个等量关系刻划的是多面体的拓扑不变性，初步了解拓扑学；并在探究的过程中让学生不断体会到欧拉公式给出的是多面体的顶点数、面数、棱数这三者的数量关系，从而进一步让学生明确多面体的三个基本量：点、线、面。

在情感上，本节课以介绍伟人欧拉的生平作为引入，目的在于让学生了解欧拉，体会欧拉坚韧不拔的精神。

并且让学生假设自己是欧拉，重走欧拉公式的发现历程，进一步激发学生探究的兴趣，同时培养学生换位思考的方式。

在能力上，采用换位思考的方式，让学生假设自己是欧拉，引导学生进行探究，让学生在每一个问题的探究中获取更多的思想和方法。

其中问题一：怎样产生这一想法的解决，让学生通过独立思考、交流讨论和发表见解等形式，领悟到提出问题的重要性，培养学生要问——好问——善问的良好习惯，并从中体会到数学中类比和归纳的思想。

通过前面三大问题的设置：怎样产生问题——怎样研究问题——怎样完善结论，让学生体会得出研究问题的方式方法：提出问题——归纳——猜想——论证，并且培养学生严谨的治学态度。

多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。

在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。

以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。

1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学 谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。

其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。

(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。

② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。

② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。

二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。

难点是欧拉公式的证明 三．教学过程 课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。

1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。

研究性课题：多面体欧拉定理的发现第一课时欧拉定理（一）教学目标：（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.教学重点欧拉公式的发现.教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.教学过程情境设置欧拉瑞士著名的数学家，科学巨人，师从数学家约翰·伯努利，有惊人的记忆力，是数学史上的最多产的数学家，他所写的著作达865部（篇），28岁右眼失明，1766年，左眼又失明了，1771年，圣彼得堡一场大火，秧及欧拉的住宅，欧拉虽然幸免于难，可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬。

种种磨难，并没有把欧拉搞垮。

大火以后他立即投入到新的创作之中。

资料被焚，他又双目失明，在这种情况下，他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力，回忆所作过的研究。

他总是把推理过程想得很细，然后口授，由他的长子记录。

他用这种方法又发表了论文４００多篇以及多部专著，这几乎占他全部著作的半数以上，欧拉从19岁开始写作，直到逝世，留下了浩如烟海的论文、著作，甚至在他死后，他留下的许多手稿还丰富了后47年的圣彼得堡科学院学报。

多面体欧拉定理的发现(2)一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：〔一〕复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．〔二〕新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nF E = 〔1〕 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱。

由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mV E =〔2〕 由〔1〕〔2〕得：2E F n =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n+-=． ∴11112m n E+-= 〔3〕，∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，〔假设3m >，3n >，那么有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的〕 ∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，那么1111032m E+-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样假设3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家。

60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。

这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目．解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。

60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= 〔1〕，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯ 〔2〕，由〔1〕〔2〕得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为m ,那么(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=，∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,那么62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m+=〔1〕, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时〔1〕中m 无整数解；当5n =,由〔1〕得3m =,∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =. 五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．。

多面体欧拉定理的发现本论文主要讲述多面体欧拉定理的发现，证明与完善，及其拓展应用前言多面体欧拉定理是著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所提出的.欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli,1667-1748年）的精心指导．有许多关于欧拉的传说。

比如，欧拉心算微积分就像呼吸一样简单。

有一次他的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。

欧拉创作文章的速度极快，通常上一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。

而且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。

瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全集至今仍未完成。

欧拉在数学上的建树很多,对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究.欧拉还发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+ F=2这个关系.V-E F 被称为欧拉示性数,成为拓扑学的基础概念.以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时,他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就.欧拉还创设了许多数学符号,例如π（1736年）,i（1777年）,e （1748年）,sin和cos（1748年）,tg（1753年）,△x（1755年）,∑（1755年）,f(x)（1734年)等.1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年,欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道）,这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁．据说是因为操劳过度，也有一说是因为观察太阳所致.尽管如此他仍然靠心算完成了大量论文。

研究性课题：多面体欧拉定理的发现温州中学 325000 苏德超案例设计前言著名数学教育家G·波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学．从这个方面看．数学像是一门系统的演绎科学，但是另一方面，在创造过程中的数学．看来都像是一门实验性的归纳科学。

而本课题是研究性课题，它偏向后者，可以看成是一门实验性的归纳数学学习，它的教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。

在这个课题的研究过程中可以让学生充分体验归纳——猜想——证明这一知识的发生过程，在证明中，将三维问题转化为二维问题，这种拓扑的证明给学生以数学奇特美的享受，而证明的简化与欧拉公式本身也体现了数学的简洁美。

学生是研究的主体，这一阶段（高二）的学生，已经初步掌握了开展研究性活动的知识，这一年龄段的学生参加此类活动的积极性较高，且求知欲强，所以在活动中可让学生充分展开自由的想像，展开热烈的讨论，进行数学交流。

由此看来，本案例还是有很多值得挖掘、设计的地方，所以本人尝试编写此教案，与同仁一起交流。

教学目标（一）知识目标了解简单多面体的概念；了解公式的发现过程及证明方法；理解多面体欧拉公式；会用欧拉公式及其相关知识进行计算和推理。

（二）能力目标1．初步了解并体验数学概念和结论的产生过程，培养学生的观察、归纳、猜想数学问题的能力；提高学生独立思考、发现问题和解决问题的能力。

2．进一步培养学生的空间想像能力和逻辑思维能力。

3．在小组活动中，培养学生的人际交往和协作能力。

4．提高学生的创新意识和创新能力。

（三）德育目标1．通过学生对数学大师欧拉这一生的了解，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求。

.2．以欧拉公式为载体，让学生建立严谨的科学态度；让学生感受数学的奇异美和简洁美，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：欧拉公式的发现及证明。

教学难点：欧拉公式的证明及应用。

教学环境：数学实验室（具备网络功能）。