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第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
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条件收敛与绝对收敛定义
对于数列来说，如果一个数列在满足某些条件时收敛，但在不满足这些条件时不一定收敛，那么这个数列就是条件收敛的。
而如果一个数列无论在何种情况下都一定收敛，那么这个数列就是绝对收敛的。
对于级数来说，如果一个级数的各项在满足某些条件时相加收敛，但在不满足这些条件时不一定相加收敛，那么这个级数就是条件收敛的。
而如果一个级数的各项的绝对值相加无论在何种情况下都一定收敛，那么这个级数就是绝对收敛的。
条件收敛和绝对收敛是两个非常重要的概念，在数学分析中应用广泛。
其中，绝对收敛有着更强的收敛性质，因此在求和或积分等运算中更为方便和可靠，而条件收敛则更为常见，因为很多数列或级数只有在满足某些条件时才有意义或者存在。
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条件收敛和绝对收敛的判别方法
条件收敛和绝对收敛的判别方法如下：
1. 条件收敛：如果一个无穷级数或积分收敛但不绝对收敛，那么它被称为条件收敛。
条件收敛的级数或积分可以重排，但收敛到不同的值。
2. 绝对收敛：一个数项级数或积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值后仍然收敛或可积。
绝对收敛的级数或积分具有性质，即无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值。
总的来说，判断条件收敛和绝对收敛的方法主要是通过判断级数或积分的收敛性和重排后的收敛性。
如需更多信息，建议查阅数学书籍或咨询数学专业人士。
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判n =1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。
定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称n =1n =1级数v a n绝对收敛。
n d如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1敛。
n 1条件收敛的级数是存在的，如、口n=1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。
定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然Q Q Q Q证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准n =1 n=1则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —于是：|a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；Q Q再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。
n 丄n 1由级数-可看出反之不成立。
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n =1n=1但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出OQQ Q；'|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用Cauchy 判 n =1n =1Q Q别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数、ja n |为发散 心时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q QQ Q对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发n =1n =1散。
