下载文档原格式
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
级数的条件收敛与绝对收敛级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题是判断级数的收敛性。
收敛性可以分为两种情况：条件收敛和绝对收敛。
本文将简要介绍这两种收敛性，并探讨它们的区别和应用。
我们来定义级数的概念。
对于一个给定的数列{an}，我们可以构造一个级数S，它的通项为an，表示为S = a1 + a2 + a3 + ...。
级数的收敛性描述了这个无穷级数的求和是否有一个有限的极限值。
条件收敛是指一个级数在某种条件下收敛。
具体来说，一个级数S 在条件收敛时，它的部分和序列Sn存在极限L，即lim(n→∞)Sn = L。
条件收敛是指级数的收敛性依赖于级数项的顺序。
如果我们改变级数项的顺序，可能会导致级数的收敛性发生变化。
绝对收敛是指一个级数在任何条件下都收敛。
具体来说，一个级数S在绝对收敛时，它的绝对值级数∑|an|收敛。
绝对收敛是指级数的收敛性与级数项的顺序无关。
无论我们如何改变级数项的顺序，只要级数的绝对值级数收敛，原级数就一定收敛。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项的正负性。
在绝对收敛中，我们只考虑级数项的绝对值，而不关心它们的正负性。
这使得我们可以通过级数项的绝对收敛性来研究级数的性质，而不受级数项正负的影响。
而在条件收敛中，级数项的正负性对级数的收敛性起着决定性的作用。
绝对收敛的一个重要性质是它保持级数的求和操作的可交换性。
也就是说，对于一个绝对收敛的级数S，无论我们如何改变级数项的顺序，级数的求和结果都是一样的。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化级数求和的过程。
条件收敛与绝对收敛的关系也是一个重要的研究方向。
一个经典的结果是，如果一个级数绝对收敛，那么它一定条件收敛。
也就是说，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
但反过来并不成立，也就是说，条件收敛不一定能推出绝对收敛。
这就意味着，对于一个条件收敛的级数，我们不能简单地改变级数项的顺序，而需要谨慎地处理级数的求和操作。
级数的条件收敛和绝对收敛以级数的条件收敛和绝对收敛为标题，我们将探讨级数的收敛性质。
级数是由一系列项相加而得的无穷和，它在数学中占据重要地位。
在分析级数的收敛性质时，我们关注的是级数在无限项相加之后是否会趋于一个有限的值或者无穷大。
其中，条件收敛和绝对收敛是两种重要的收敛性质。
我们来介绍条件收敛。
一个级数在条件收敛的情况下，指的是当且仅当级数的项满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数在去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，那么我们称原级数是条件收敛的。
条件收敛的级数在去除掉某些项之后会发散，也就是说，这些项对于级数的收敛性至关重要。
一个经典的例子是调和级数，它是由倒数构成的级数：1+1/2+1/3+1/4+...。
调和级数在去除掉部分项之后可以变成一个收敛的级数，但原级数本身是发散的。
接下来，我们来探讨绝对收敛。
一个级数在绝对收敛的情况下，指的是当且仅当级数的每一项都满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数的每一项的绝对值都是收敛的，那么我们称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数在去除掉某些项之后仍然会收敛，也就是说，这些项对于级数的收敛性并不重要。
一个经典的例子是幂级数，它是由一系列幂函数的项相加而得的级数。
幂级数在其收敛半径内绝对收敛，而在收敛半径外则发散。
条件收敛和绝对收敛是两种不同的收敛性质，它们之间存在一定的关系。
事实上，绝对收敛的级数一定是条件收敛的，但条件收敛的级数不一定是绝对收敛的。
这是因为绝对收敛要求每一项的绝对值都满足收敛的条件，所以绝对收敛的级数更加严格。
而对于条件收敛的级数，它只要求去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，所以条件收敛的级数的收敛性较弱。
在实际应用中，条件收敛和绝对收敛的性质都有其重要意义。
对于条件收敛的级数，我们可以通过去除掉某些项来使其变成一个收敛的级数，从而得到有限的结果。
这在一些实际问题中具有应用价值。
而对于绝对收敛的级数，它的性质更加稳定，不受部分项的影响，更容易进行计算和分析。
§9.5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质一 绝对收敛级数对于级数1nn u∞=∑，令,020,0n n n nn n u u u u v u >+⎧==⎨≤⎩当当 ,020,0n n n nn n u u u u w u -<-⎧==⎨≥⎩当当 那么： （i ）若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn v∞=∑和1nn w∞=∑都收敛。
（ii ）若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1nn v∞=∑和1nn w∞=∑都发散。
定义1：对于一个级数1nn u∞=∑，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。
定理2：绝对收敛级数1nn u∞=∑的更序级数'1nn u∞=∑仍为绝对收敛，且其和相同，1nn u∞=∑='1nn u∞=∑。
定理3：若级数1nn u∞=∑条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数S （包括∞的情形）。
注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。
如：设A n n n =+-+-+-+-=-∑∞=+ 8171615141312111)1(11， 则 2816141211)1(2111An n n =+-+-=-∑∞=+ ，而n n n 1)1(11∑∞=+-23417151213111)1(2111A n n n =+-++-+=-+∑∞=+ ，它正是第1个级数的重排。
二 级数的乘积设有收敛级数 A u u u u n n=++++=∑ 21， （1）B v v v vn n=++++=∑ 21。
（2）它们每一项所有可能的乘积为：11v u 21v u 31v u … n v u 1 … 12v u 22v u 32v u … n v u 2 …13v u 23v u 33v u … n v u 3 … （3） … … … … … … 1v u n 2v u n 3v u n … n n v u … … … … … … …定理4:（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得到的级数∑nw也绝对收敛，且和等于AB 。
级数的条件收敛和绝对收敛级数是数学中一种重要的数列求和形式，它在许多数学分支中都扮演着重要的角色。
在研究级数的性质时，我们常常关注两个重要的概念：条件收敛和绝对收敛。
我们来讨论条件收敛。
一个级数在条件收敛时，指的是当级数的各项按照某种次序相加时，其和存在但可能不收敛。
换句话说，条件收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和有影响。
为了更好地理解条件收敛，我们来看一个例子：调和级数。
调和级数是指级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，它的和是发散的。
然而，当我们改变级数的次序时，例如将正项和负项交替相加，即1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，这个级数的和却是收敛的，而且和为ln2。
这就是条件收敛的一个例子。
接下来，我们来讨论绝对收敛。
一个级数在绝对收敛时，指的是当级数的各项按照任意次序相加时，其和都是收敛的。
换句话说，绝对收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和没有影响。
为了更好地理解绝对收敛，我们再来看一个例子：幂级数。
幂级数是指形如Σan*x^n的级数，其中an是系数，x是变量。
对于幂级数，当其收敛半径大于0时，它是绝对收敛的。
也就是说，无论我们如何排列幂级数的各项次序，只要收敛半径大于0，级数的和都是收敛的。
这就是绝对收敛的一个例子。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项次序的影响。
条件收敛的级数的和在不同的项次序下可能会收敛到不同的值，而绝对收敛的级数的和在任意项次序下都是收敛到同一个值。
那么，为什么条件收敛和绝对收敛如此重要呢？这是因为在实际应用中，我们常常需要对级数进行求和。
如果一个级数是绝对收敛的，我们可以放心地任意改变级数的项次序，而不用担心和的变化。
然而，如果一个级数只是条件收敛的，我们在改变项次序时就需要小心，因为和可能会发生变化。
绝对收敛还有一个重要的性质：绝对收敛的级数的部分和序列是一个柯西序列。
柯西序列是指序列的任意两个元素之间的差可以任意小。
