绝对收敛与一致收敛

1.函数项级数定义定义 设(){}nu x 是定义在数集E 上的一个函数列表达式:()()()12......n u x u x u x ++++ x E ∈ (1)称为定义在E 上的函数项级数,简称为函数级数.记作为1()nn ux ∞=∑或()n u x ∑.1()()nn k k S x u x ==∑称为函数项级数(1)的部分和函数列.若0x E ∈函数项级数: ()()()10200......n u x u x u x ++++ (2) 收敛,即部分和001()()nn k k S x u x ==∑,当n →∞时,极限存在,则称级数(1)在点0x 收敛,0x 称为收敛点.级数(1)在D 上的每一点x 与其所对应的数项级数(2)的和()S x 构成一个定义在D 上的函数称为级数（1）的和函数，即lim ()()n n S x S x →∞=.2.函数项级数一致收敛的几种判别法判别法1 (函数项级数一致收敛的定义)设函数级数()1n n u x ∞=∑在区间D 收敛于和函数()S x ，若0,,,N N n N x D ε+∀>∃∈∀>∀∈有:()()()n n S x S x R x ε-=< 则称函数级数()1n n u x ∞=∑在区间D 上一致收敛或一致收于和函数()Sx .例1 证明函数项级数nn x∞=∑在区间 []1,1δδ-+-(其中01δ<<)一致收敛.证明 ∀()0,1x ∈有01()1knnn k x S x x x =-==-∑.1()lim ()1n n S x S x x→∞==-. 11()()()1111nn nn n x x x S x S x R x x x x x-∴-==-==----. 对∀[]1,1x δδ∈-+-,对∀ε>要使不等式(1)()()()1nnn n xS x S x R x xδεδ--==≤<-成立.从而要不等式(1)nδεδ-<解得ln ln(1)n εδδ>-.取ln ln(1)N εδδ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.于是∀0ε>,存在ln ln(1)N N εδδ+⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦,∀n N >∀[]1,1x δδ∈-+-有:()()()n n S x S x R x ε-=<成立.所以函数项级数nn x∞=∑在区间[]1,1δδ-+-(其中01δ<<)一致收敛.非一致收敛的定义设函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 非一致收敛于和函数()S x ，若∀0oε>，∀N N +∈,0,o n N x I ∃>∃∈有：000()()n S x S x ε-≥成立.则称函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 上非一致收敛或非一致收敛于()S x .例2 证明函数项级数nn x∞=∑在区间 ()1,1-非一致收敛.证明 01ε∃=，∀N N +∈，()00111,1x n ∃=-∈-有： 000000001(1)1()()()(1)11n n n n n S x S x R x n n n --===-≥ 00000111lim(1)(1)1n n n n N n n e n +→∞⎛⎫-=∃∈-≥ ⎪⎝⎭所以，使.即函数项级数0nn x∞=∑在()1,1-非一致收敛.函数项级数一致收敛的几何意义函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛于()S x 的几何意义是,不论给定的以曲线()()S x S x εε+-与为边界的带形区域怎样窄,总存在正整数N (通用的N ),n N ∀>,任意一个部分和()n S x 的图像都位于这个带形区间内(如图1).若函数项级数在某个区间不存在通用的N ,就是非一致收敛.判别法2 (确界判别法)函数项级数()1n n u x ∞=∑在数集D 上一致收敛于()S x 的充要条件：limsup ()limsup ()()0n n n n x Dx DR x S x S x →∞→∞∈∈=-=.证明 (⇒) 已知函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间D 一致收敛于()S x .即0,,,N N n N x D ε+∀>∃∈∀>∀∈有: ()()n S x S x ε-<.从而()()sup n x DS x S x ε∈-≤,即limsup ()()0n n x DS x S x →∞∈-=. (⇐)已知limsup ()()0n n x DS x S x →∞∈-=,即0,,,N N n N x Dε+∀>∃∈∀>∀∈有()()sup n x DS x S x ε∈-<.从而x D ∀∈有()()n S x S x ε-<.即函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间D 上一致收敛于()S x .例3 证明 函数项级数()()111n x n x n ∞=+++∑在()0,+∞内一致收敛.证明 ()()()111nn k S x x k x k ==+++∑1111n k x kx k =⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭∑11111111...122311x x x x x n x n x n x n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111x x n =-+++; ()0,x ∈+∞. ()()111lim lim111n n n S x S x x x n x →∞→∞==-=++++. 1lim sup ()()lim sup01n n n x Dx DS x S x x n →∞→∞∈∈∴-==++.所以函数级数()()111n x n x n ∞=+++∑在()0,+∞内一致收敛. 判别法3 (柯西一致收敛准则)函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛0,,,,N N n N p N x I ε++⇔∀>∃∈∀>∀∈∀∈有：()()()12...n n n p u x u x u x ε++++++<.证明 必要性()⇒已知函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.设其和函数是()S x ，即0,,,,N N n N p N x I ε++∀>∃∈∀>∀∈∀∈有()()n S x S x ε-<也有()()n p S x S x ε+-<.于是()()()()12()n n n p n p n u x u x u x S x S x +++++++=-()()()()n p n S x S x S x S x +=-+-()()()()2n p n S x S x S x S x εεε+≤-+-<+=.充分性()⇐：已知0,,,,N N n N p N x I ε++∀>∃∈∀>∀∈∀∈，有:()()()()12()n n n p n p n u x u x u x S x S x ε+++++++=-<所以当P →+∞时上述不等式有:()()()n n S x S x R x ε-=≤即函数项级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.例4 讨论函数项级数111n n n x x n n +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-的一致收敛性. 解 应用柯西一致收敛准则[]1,1x ∀∈-即1,0x ε≤∀>，要使不等式()()12231223n n n n n p n x x x x S x S x n n n n +++++⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭11n p n p x x n p n p ++-⎛⎫++- ⎪++-⎝⎭11111212n n p n n p x x x x n n n n ++++++=-≤+++++ 112111n n p n ε≤+<<++++ 成立，从不等式21n ε<+解得21n ε>-取21N ε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦于是0,ε∀>21,N ε⎡⎤∃=-⎢⎥⎣⎦[],,1,1n N p N x +∀>∀∈∀∈-，有()()n p n S x S x ε+-<，即函数级数111n n n x x nn +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-一致收敛.在这个例子中我们用确界判别法来也可以判断它的收敛性方法2 122311()()()()...()12231k k n n nn k x x x x x x x S x x kk n n ++=⎛⎫=-=-+-++- ⎪++⎝⎭∑ 11n x x n +=-+.lim ()()n n S x S x x →∞==故[][]11,11,11lim sup ()()lim suplim 011n n n n n x x x S x S x n n +→∞→∞→∞∈-∈--===++. 所以函数级数111n n n x x nn +∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑在区间[]1,1-一致收敛. 判别法4 (M 判别法)有函数项级数()1n n u x ∞=∑，I 是区间，若存在收敛的正项级数1,,nn an N ∞+=∀∈∑x I ∀∈，有()n n u x a ≤，则函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.证明 正项级数1nn a∞=∑收敛根据柯西一致收敛准则，即0,,,N N n N ε+∀>∃∈∀>p N +∀∈，有 12n n n p a a a ε+++++<由已知条件，x I ∀∈，有()()()12n n n p u x u x u x ++++++ ()()()12n n n p u x u x u x +++≤+++12n n n p a a a ε+++≤+++<即函数级数()1n n u x ∞=∑在区间I 一致收敛.例5 判断函数项级数1(1)!nn x n ∞=-∑在[],x r r ∈-上是否一致收敛.解∀[],x r r ∈-,有(1)!(1)!n nx r n n ≤--. 令(1)!n n r a n =-,则11(1)!lim lim lim 0!n n n n n n na r n ra n r n ++→∞→∞→∞-===. 所以(1)!n r n -∑是收敛.由M 判别法函数项级数1(1)!nn x n ∞=-∑在[],x r r ∈-上一致收敛.例6 证明4211n xn x ∞++∑在R 一致收敛. 证：x R ∀∈，有()224221210n x n x n x-+=-≥所以24221n x n x ≤+，即242211n x n x ≤+.故242422212111122n x n x n x n n =⋅≤++已知优级级数2112n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，根据M 判别法.函数级数4211n xn x ∞++∑在R 中一致收敛. 注 M 判别法是判别函数项级数一致收敛的很简使得判别法.但是这个方法有很大的局限性,凡能用M 判别法函数项级数必是一致收敛,此函数项级数必然是绝对收敛;如果函数项级数是一致收敛,而非绝对收敛,即条件收敛,那么就不能使用M 判别法.判别法5 (狄利克雷判别法)若级数()()1nnn a x b x ∞=∑满足如下条件：(1)函数列(){}n a x 对每个x I ∈是单调的且在区间I 一致收敛于0. (2)函数级数()1n n b x ∞=∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界，则函数级数()()1nnn a x b x ∞=∑在I 一致收敛.证明 已知函数列(){}n a x 一致收敛于0即0,N N ε+∀>∃∈，n N ∀>，x I ∀∈有1n a ε+<.又已知函数级数()1n n b x ∞=∑的部分和函数列(){}n B x 在区间I 一致有界。

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

一致收敛的魏尔斯特拉斯定理1.引言1.1 概述引言是一篇长文中至关重要的部分，它旨在向读者引入文章的主题和背景，为后续内容的阐述提供一个整体的框架。

在本文中，引言将首先概述魏尔斯特拉斯定理的背景和定义，然后介绍一致收敛的概念，并说明本文的目的。

魏尔斯特拉斯定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了一种判断函数序列是否在一个给定区间上一致收敛的方法。

在讲述魏尔斯特拉斯定理之前，我们先来了解一下它的背景。

在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数序列的情况。

函数序列是指由一系列函数组成的序列，每个函数都有自己的定义域和取值范围。

对于一个函数序列，我们希望能够找到一种方法来确定它是否在整个定义域上收敛，并且确保收敛的速度足够快。

为了解决这个问题，数学家魏尔斯特拉斯提出了一种判断函数序列是否一致收敛的定理。

一致收敛是指函数序列在整个定义域上以相同的速度收敛到同一个极限值。

魏尔斯特拉斯定理给出了一种条件，只要函数序列满足这一条件，就可以判断它们在整个定义域上一致收敛。

本文的目的就是详细介绍魏尔斯特拉斯定理的定义和证明过程，以及一致收敛的应用领域。

我们将首先解释魏尔斯特拉斯定理的概念和定义，然后给出其证明过程。

接着，我们将讨论一致收敛的应用，包括在数学分析、物理学和工程学等领域中的具体例子。

通过本文的阅读，读者将能够全面了解魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念，并且理解其在实际问题中的应用价值。

本文的结构将按照上述目的和内容进行安排，以便读者可以系统地学习和理解这一重要数学定理。

1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引言：介绍本篇文章的主题和背景，引起读者的兴趣。

同时简要介绍魏尔斯特拉斯定理和一致收敛的概念。

2. 正文：详细阐述魏尔斯特拉斯定理的定义和背景。

魏尔斯特拉斯定理是数学分析中一条重要的极限定理，它说明了对任意一组逐点有界的实数函数序列，可以找到一个一致收敛的子序列。

在此部分，可以介绍该定理的历史背景和被提出的原因，以及相关的数学概念和术语的定义，为后续的证明和应用做准备。

函数2010级数学与应用数学四班 徐邦摘 要 ：函数的连续性和函数级数的收敛性是数学分析中一块重要的内容。

因此，理解连续性和收敛性之间的关系至关重要，包括连续与一致连续，收敛与一致收敛，绝对收敛与一致收敛，收敛与绝对收敛等等之间的关系。

本文针对它们的关系，给出了相应的证明和反例来理清他们之间的必然与非必然的联系。

最后还给出猜想，给出一定的条件，并利用常微分学中的知识，给出了相应的证明，证明猜想是成立并存在的。

关键字：连续 一致连续 收敛 一致收敛 绝对收敛 条件收敛引言：函数的连续性和函数级数的一致收敛性在数学学习中起着重要的作用。

本文较详细地介绍了他们之间所有的关系，并给出相应的证明和反例，使读者在巩固这类知识点中，达到事半功倍的效果。

一 连续与一致连续首先给出函数()f x 在点 0x 处连续的定义[1]：对任给的ε>0, ,0>∃∂,当∂<-||o x x 时，有|)()(|0x f x f -<ε函数f(x)在区间I 上一致连续的定义[1]：任给ε>0, 0∃∂>,对,,,x x ∀，当∣,,,x x -∣<∂时，有 |)()(|0x f x f -<ε可看出函数f(x)的连续性和一致连续性最根本的区别是在于连续是针对某个点而研究的，而一致连续是定义在区间上的。

1） 若()f x 在区间I 上一致连续，则对任意0x ∈I ，f （x ）在点0x 处连续。

证明：对任给的ε>0, 0∃∂>,对∀x ’,x ”，当∣,,,x x -∣<∂时，有<-|)"(x f |'x f ）（ε 取x ’=x,x ” =0x 则对上述的ε>0 当∣,,,x x -∣<∂时，有|)()(|0x f x f -<ε.即f(x)在点0x 连续。

2） 但f （x ）在任给x ∈ I 上连续，f(x)不一定在I 上一致连续。

一致收敛和绝对收敛的关系
一致收敛和绝对收敛是函数级数收敛的两种不同方式。

一致收敛指的是函数级数在给定区间内，对于每个自变量都有相同的极限。

也就是说，对于任何给定的ε>0，都可以找到一个整数N，对于所有n>N和所有x属于区间，都有|fn(x)-f(x)|<ε。

也就是说ε与x无关，而只与n有关。

绝对收敛则是指函数级数的每一项都为正数，并且级数的正项级数收敛。

也就是说，正级数和收敛的同时，绝对值级数和也必定收敛。

即∑|fn(x)|级数收敛。

它们的关系是：若一个函数级数在某一区间内绝对收敛，则该级数在该区间内一致收敛。

原因是在绝对收敛的条件下，每一项都为正，并且正项级数收敛，因此每个函数项的差值不大于对应绝对值级数项之差，所以级数收敛更快。

这使得在每个自变量值上，级数之差都小于某个固定的正数，从而导致一致收敛。

但是，反之未必成立，即一致收敛并不意味着绝对收敛。

7.1第7讲 一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1. 收敛区域，即对于函数项级数：()1n n a x ∞=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。

2. 设()()1n n S x a x ∞==∑是收敛的，若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？回答是不一定。

例如：当1x <时，()1n n a x x −=，则有()11S x x=−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。

问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？4. 可积性问题。

即：若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？ 为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。

7.2§1 一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程()()lim n n S x S x →∞=的性质。

上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。

另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。