赵树嫄微积分-第二章_图文.ppt

ABCD
工程问题
在工程学中，微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中，微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
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连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质，如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率，是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ，它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质，如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛，包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中，导数可以用来 求切线斜率，解决曲线的凹凸性问题。在经济学中，导数 可以用来分析边际成本和边际收益，预测市场需求和价格 变动。在物理科学中，微分可以用来计算速度和加速度， 分析物体的运动规律。此外，导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限，我们可以 进行加、减、乘、除等运算，得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数，我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等，这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。

x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A .
x0
x0
x
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
定义无限接近于无限增大时sinlimsinlim为中心线直线图形完全落在以函数lim不存在arctanlim不存在lim的一条水平渐近线就是那么的距离趋于零这时我们称直线lim的一条水平渐近线就是那么为常数二自变量趋于有限点处时函数的极限问题
第二章 极限与连续
本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极 限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作 用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极 其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的 连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化 这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要 是连续函数。
x
x
故 lim ex 不存在. x
o
x
一条伸展到无穷远的曲线 y f ( x) ,当点P( x, f ( x)) 沿 曲线无限远离原点时,点 P 到直线 y A 的距离趋于零, 这时我们称直线 y A 是曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
如果 lim f ( x) A 或 lim f ( x) A ( A 为常数)，
性质2 有界性
对于数列{an } ，如果存在常数 M 0 ，使对一切 n，有
| an | M , 则称数列{an } 是有界的。
定理2 收敛的数列必定有界。 注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。

dyf(u)g(x) dx
证: yf(u)在点 u 可导,故 limy f(u)
u0u
y f( u ) u u（当 u0时0)
故有 x yf(u) u x u x( x0 )uy f(u)
dy dx
故结论成立.
推论h:v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
2019/11/11
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例2.求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
2 x2 1
x2 1
例8. 设 yxaaaxaaax(a0)求, y .
y aaxaa1axa lna a x a1
aax lnaax ln a
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例10. yesixn2arctxa2 n1,求 y .
解: y(esin x2 cosx2 2x)arcx t2a 1n
x
2
(arcxt)an 1
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(arccox)t
1
1 x
2
(ex) ex
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三、复合函数求导法则
定理3. ug(x) 在点 x 可导, y f (u)在点 ug(x)
可导 复合函数 y f [g (x)]在点 x 可导, 且
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3
(1 )(uv)uv
证: 设 f(x)u(x)v(x), 则

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
03.07.2019
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对数求导法
1.方法: 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数.
2.适用范围: 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数.
例如幂指函数：yu (x)v(x) (u (x)0)
dx d t dt dy

dx dt

1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导,且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
dV dt
故

dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d
d

25h2
R2(h
x)2
,
x t
,
而
dV
25(cm3
r
s)R

h
h
x
dt
r hxR
当x

h 2
时,
dx dt
1R020(cmhs)
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内容小结
1. 隐函数求导法则
思考与练习
1.
求螺线
r在对应于


2
的点处的切线方程.
x r cos co s

微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。

02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。

F ( x, f (x) ) 0 对上式两边关于 x 求导（把看成是中间变量）：
ddxF(x, y)0 然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.
微积分
例 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解 两边对x寻求导
(lnx2y2)(arctya)n x
12x2 1y2(x2y2)1(1y)2(xy) x
解 运用取对数求导法
ln y 1 { ln 1 x () ln 1 2 (x ) ln 1 x (2 ) 3 l1 n 5 x () l1 n 8 x () l1 n x 4 ()}
y y 1 3 1 1 x 1 2 2 x 1 2 x x 2 1 5 5 x 1 8 8 x 1 4 x x 3 4
y (ln f (x)) y
yy(lfn (x))
或 y (ln| f (x)|) y
yy(l|fn (x)|)
微积分
取对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数.
微积分
例
求yxsinx 的导.数
解 运用取对数求导法
ln yln xsixn sixlnn x
两边关于 x 求导：
微积分
故
y
1 3
(1x)1(2x)1(x2)
3 (15x)1(8x)1(x4)
1 1 x 1 2 2 x 1 2 x x 2 1 5 5 x 1 8 8 x 1 4 x x 3 4
微积分
求导方法小结
按定义求导
基本初等函数的导数 导数的四则运算法则 复合函数求导法
反函数的导数 隐函数的求导法 参数方程求导法
第三章 导数与微分
• 引例 • 导数概念 • 导数的基本公式与运算法则 • 高阶导数 • 微分

关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
故
2019年8月19日星期一
称为函数在 x0 的微分
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x0x
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定义:若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微,而 A x 称为
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可导 可微. A f ( x0 ).
注1：函数 y f (x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df (x), 即 dy f (x)dx.
注2：函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
dy f (x)dx, dy f (x). dx
dy
y cos x sin(x y) sin(x y) sin x
dx
2019年8月19日星期一
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例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)

xdx
(2)
d(
1

sin
t

C
)

cost
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变性
结论：无论u是自变量还是中间变量, 函数 y f (u)的微分形式总是不变。

211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
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四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
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二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
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