赵树嫄微积分不定积分106页PPT

ABCD
工程问题
在工程学中，微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中，微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
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连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质，如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率，是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ，它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质，如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛，包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中，导数可以用来 求切线斜率，解决曲线的凹凸性问题。在经济学中，导数 可以用来分析边际成本和边际收益，预测市场需求和价格 变动。在物理科学中，微分可以用来计算速度和加速度， 分析物体的运动规律。此外，导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限，我们可以 进行加、减、乘、除等运算，得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数，我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等，这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。

xC .
28
6.
sin x
x dx 2 sin
xd
x 2cos
xC .
7.
dx x(1 2 ln x)
1
1 2 ln
d(ln x
x)
1 2
1
1 d(1 2ln 2ln x
x)
1 ln1 2
2 ln
x
C
.
8.
tan
x
dx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C ln sec x C .
2
21
例4 运用 d (x2 ) = 2x dx
xdx x4 1
1 2
d (x2 ) x4 1
1 2
d (x2 ) (x2 )2 1
ux2
1 arctan u c
1 arctan(x2 ) c
2
2பைடு நூலகம்
22
“凑微分”的方法有:
(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,
依据恒等变形的原则, 把 dx凑成d(x) . 如
G(u) C G[ ( x)] C . 凑微分
sin2x dx 2 sin x cos x dx 2 sin x d(sin x)
sin2 x C .
18
凑微分法的关键是“凑”, 凑的目的是把被积 函数的中间变量变得与积分变量相同.
19
例1
e3xdx 1 凑微分 e3xd (3x) 1 (e3x c)
(11) csc x cot x dx csc x C;
(12) ex dx e x C; (13) a x dx a x C;

又如 C {2i | i N } 即 C {20，21，22，23，}
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0，2，4，，98, 100}
8
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称 为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。
AB
U
A
B
9
(三) 全集与空集
基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
x AB
所以 A B A B 。
19
例2 证明 A B B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x AB
所以 A B A B 。
U
A B
20
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (AU)(A B)
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
2
教材：
《微积分》
主编 赵树嫄 （第四版）
中国人民大学出版社
3
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。

微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。

02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。

x0 x( x x)
x2
( 1 ) x

1 x2
22
例5 求函数 y x 的导数。 解 y x x x ,
( x ) 1 2x
y x x x
x
x
x
x( x x x )

1
,
x x x
y lim y lim
都不存在(指摆动不定)，则x0 处不可导。
例如,
f
(
x)


x
sin
1 x
,
x 0,
y
1
0, x 0
1
－1/π 0
1/π
x
lim f ( x) lim x sin 0 f (0) ,
x0
x0
x
所以 f ( x) 在 x 0 处连续.
1
但
lim
x0
f ( x) f (0)
第三章
1
第一节 导数引例
(一) 物体作变速直线运动的瞬时速度问题
设变速直线运动的路程函数为s(t) ,
求 t0时刻的瞬时速度,
t0
t
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间t t t0 ,
t
平均速度 v s s(t0 t) s(t0 )
t
t
当 t 0时, 取极限得
y y x
例如, f ( x) | x |
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
o
y x2
y
x
yx
O
x
f(0) 0 , f(0) 1 , 在 x 0处不可导.

有 | an
1|
1, 100
给定 1 , 1000
只要
n
1000时,有
|
an
1
|
1, 1000
给定 1 , 10000
只要
n
10000时,
有
|
an
1
|
1, 10000
任意给定 0,
取
N
1
,
只要
n N 时,
恒有| an 1| 成立.
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定义 如果对于任意给定的正数 ε (不论它多么小),
至 多 只 有 有 限 个( N个) 落 在 其 外。
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用数列极限的定义证明极限。
例1 证 明 l i m[1 (1)n1 ] 1.
n
n
证
| an
1|
|1
(1)n1 n
1|
1 n
，
任给
0,
欲பைடு நூலகம்| an 1 | ,
只要1 ,
n
或n 1,
取
N
1
,
则当n N 时,
就 有| 1 (1)n1 1 | ， 即 得 证
定理2 收敛的数列必定有界。
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。
有界数列不一定收敛. 注2 无界数列必定发散。
例如：xn (1)n.
例如：xn 2n.
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性质3 收敛数列的保号性
定理3 设 ln im an a,且a 0 (a 0),那么存在 正整数N 0,当n N时,都有an 0 (an 0).
第一节 数列的极限
(一) 数列概念 割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆 面积的方法--割圆术，就是极限思想在几何上的应用。

基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
2232??????xx????????????????????22322322xxxx?????????????????0304322xxxx?????????????????3041xxx或01??????x或43????xx01??43即即4301?????x
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
U
A B
U A
B
例如， R - Q 表示全体无理数组成的集合。
基本性质： A B A B
15
4、补集 A { x | x U 且 x A} , 其中 U为全集。
U A
例如，U {0, 1, 2, 3, } , A {0, 2, 4, 6, } ,
则 A {1, 3, 5, 7, }
解 由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有
47 35 23 59 ,
两种语言都不熟悉的人有
47 23 35
100 59 41 .
41
25
| A B|| A|| AB|
E
B
A
特别，若 B A ，则| A B | | A | | B | 。
E BA
26
例2 在12000的整数中，有多少整数 (1) 能被6或8整除； (2) 既不能被6也不能被8整除； (3) 能被6整除而不能被8整除.

csc
2
x dx cot x C
(sec 2 x csc 2 x ) dx tan x cot x C
2 2 tan x d x (sec x 1) dx tan x x C 例
21
cos 2 x cos2 x sin2 x dx dx 例 cos x sin x cos x sinx
2
问题：(1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数。 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
13
第三节
(1)
基本积分公式
(k是常数)
k dx k x C
(2)
x

dx
x
1
1
C ( 1)

dx ( 3) ln | x | C x x a x C ( 4 ) a dx ln a

1 dx 2 x C x 1 1 dx C 2 x x
(cos x sin x ) dx sin x cos x C
1 x 1 cos x dx ( x si n x ) C 例 cos dx 2 2 2
2
dx 1 sinx 1 si n x 例 dx dx 2 1 sinx cos x (1 sinx )(1 sinx )
(sec 2 x sec x tan x ) dx

微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
xபைடு நூலகம்
-M
-M
微积分
函数-函数的性质
例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)内是有界的。 因为|sinx| ≦1。 例2:f(x)=1/x在(0 ,1)内是无界的。在[1,+∞)内有界。
x 例3: f ( x) 2 在( , )内有界 x 1
2 1 x ( x 1) 1 x 2 f ( x) 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2
为邻域的半径。
a- δ a a+ δ
x
邻 域
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1 1 2 δ=1 3 x
微积分
函数-集合
Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ} =(a- δ, a)U(a , a+ δ) 称为点a的δ空心邻域。
R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)

211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
16
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四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
2024年3月8日星期五
8
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二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
2024年3月8日星期五
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2.