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第八讲：麦克斯韦方程组、电磁场的边界条件2.6麦克斯韦方程组2.7电磁场的边值关系1、了解麦克斯韦方程组的建立过程，掌握它的基本性质；2、了解边界上场不连续的原因，能导出电磁场的边值关系；3、掌握电磁场方程微分形式和边界形式的联系与区别。
重点：1)麦克斯韦方程组的基本性质;2)电磁场的边值关系 难点：电磁场切向边值关系的推导 讲授法、讨论 2学时2.6麦克斯韦方程组（Maxwell ’sEquations ）一、麦克斯韦方程1865年发表了关于电磁场的第三篇论文：《电磁场的动力学理论》，在这篇论文中，麦克斯韦提出了电磁场的普遍方程组，共20个方程，包括20个变量。
直到1890 年，赫兹才给出简化的对称形式：00001(1)(2)0(3)(4)BE E tE B B J tρεμμε⎧∂∇⋅=∇⨯=-⎪∂⎪⎨∂⎪∇⋅=∇⨯=+⎪∂⎩实验定律3、法拉第电磁感应定律4、电荷守恒定律12314dq dq dF RR πε=S D dS q ⋅=⎰0l E dl ⋅=⎰34JdV R dB R μπ⨯=0SB dS ⋅=⎰()0=⋅∇B CH dl I ⋅=⎰()JH =⨯∇tB E ∂∂-=⨯∇ 0=∂∂+⋅∇tJ ρ 0J ∇⋅≡对矛盾的解决麦克斯韦理论稳恒况缓变情况2、毕奥－沙伐尔定律1、库仑定律()/ερ=⋅∇E()=⨯∇E t S d B dt d S ∂⎰⋅∂-=Φ-= ε0S QJ dS t ∂⋅+=∂⎰→上式即为真空中的麦克斯韦方程组，其中（2）（4）含有对时间的偏导数，对应 运动方程，（1）（3）为约束方程。
二、麦克斯韦方程组的基本性质 1、线性性麦克斯韦方程组是一组线性方程，表明场服从迭加原理。
2、自洽性方程组各个方程彼此协调，且与电荷守恒定律协调。
如（2）式和（3）式一致：由（2）式有：()0=∂⋅∂∇-=⨯∇⋅∇tBE⇒C B =⋅∇ ，考虑到静磁时0=⋅∇B,所以取0=C 。
电磁场的边界条件与电磁波的辐射和传播[摘要]：本文结合相关示意图简要总结了电磁场的边界条件，在参考大量相关文献的基础上，由边界条件出发分析了交变电磁场传播的原理，联系实际解释了电磁场的辐射和传播。
关键字：电磁场；电磁波；边界条件；辐射；传播。
一、电磁场的边界条件电磁场在两种不同媒质分界面上，从一侧过渡到另一侧时，场矢量E、D、B、H一般都有一个跃变。
电磁场的边界条件就是指场矢量的这种跃变所遵从的条件，也就是两侧切向分量之间以及法向分量之间的关系。
电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出，它实际上是积分形式的极限结果。
这些边界条件是：n·(D1-D2)=ρs； (1)n×(E1-E2)=0； (2)n·(B1-B2)=0； (3)n×(H1-H2)=J)s。
(4)式中n为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H的下标1或2分别表示在媒质1或2内紧靠分界面的场矢量,ρ为分界面上的自由电荷面密度,J为分界面上的传导电流面密度。
式(1)表示在分界面两侧电位移矢量D的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。
当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等,即其法向分量是连续的。
式(2)表示在分界面两侧电场强度E的切向分量是连续的。
式(3)表示在分界面两侧磁通密度B的法向分量是连续的。
式(4)表示在分界面两侧磁场强度H的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。
当分界面上无表面传导电流时，两侧磁场强度的切向分量相等，即其切向分量是连续的。
当媒质2为理想导体时，E2、D2、B2、H2等于零，式(1)表示D1的法向分量等于自由电荷面密度；式(2)表示E1无切向分量.式(3)表示B1的法向分量为零；式(4)表示H1的切向分量等于表面传导电流面密度,并且与电流方向正交。
二、电磁波的辐射和传播电磁波的产生与发射是通过天线来实现的。
由振荡电路产生的强大交变讯号通过互感耦合到天线上，天线就有交变电流产生，如下图所示。
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
时变电磁场的边界条件
1、在任何边界上电场强度的切向分量是连续的（条件：磁感应强度的变化率有限）
2、在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的
3、电通密度的法向分量边界条件与媒质特性有关。
两种理想介质形成的边界上，电通密度的法向分量是连续的
4、磁场强度的切线分量边界条件也与媒质特性有关。
在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的（条件：电通密度的时间变化率有限）。
但在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的
5、理想导体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流；理想导体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导体内部会产生时变电场。
在理想导体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导体内部会产生时变磁场。
所以，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。
6、在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场，也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切。
7、无源区中的正弦电磁场被其边界上的电场切向分量或磁场切向分量唯一地确定。
电机电磁场泛定方程和边界条件小伙伴们！今天咱们来好好唠唠电机电磁场的泛定方程和边界条件这俩超级重要的事儿。
先来说说电机电磁场的泛定方程吧。
这泛定方程啊，就像是描述电机电磁场这个神秘世界的密码本。
大家都知道，电机里面的电磁场那可是相当复杂的，它不是随随便便就能搞清楚的东西。
这个泛定方程呢，是从麦克斯韦方程组推导出来的。
麦克斯韦方程组就像是电磁场界的“宪法”，所有关于电磁场的规律都得遵循它。
从麦克斯韦方程组推导出来的电机电磁场泛定方程，它主要描述了电磁场的各个物理量之间的关系。
比如说电场强度、磁场强度、电位移矢量还有磁感应强度这些量之间到底是怎么相互作用的。
在电机里，当电流通过绕组的时候，就会产生磁场，这个磁场又会影响电场，然后电场和磁场就这么纠缠在一起，泛定方程就是来解开它们这种纠缠关系的“钥匙”。
咱们具体来看一下哦。
在这个方程里，电场和磁场的变化率是非常关键的因素。
就像一个动态的画面，电场和磁场不是静止不动的，它们随时都在变化。
这个变化的速度和方式就会影响到整个电磁场的状态。
而且啊，电机里的介质特性也会影响到泛定方程。
不同的材料，像铁芯啊、绕组的铜啊，它们对电磁场的反应是不一样的，这些都会体现在泛定方程里。
再来说说边界条件。
边界条件就像是给电机电磁场划了一个界限，告诉电磁场在不同的区域应该怎么表现。
想象一下，电机内部有不同的部分，比如说定子和转子之间，或者是电机内部和外部的边界。
在这些边界上，电磁场可不能随心所欲地变化。
在定子和转子的边界上，磁场的切向分量可能是连续的，这是什么意思呢？就是说磁场在这个边界上不会突然就断开或者有个很大的跳跃。
就像水在两个相连的容器里流动一样，它得平滑地过渡。
而对于电位移矢量呢，在一些边界上可能会有特殊的关系，这取决于边界两边的介质情况。
在电机的外壳边界上，也有特殊的边界条件。
如果电机外壳是接地的，那么电场在这个边界上就会有特定的数值。
而且啊，磁场的法向分量在这个边界上可能也会满足一定的要求。
1)麦克斯韦方程组可以应用于任何连续的介质内部。
2)在两种介质界面上，介质性质有突变，电磁场也会突变。
3)分界面两边按照某种规律突变，称这种突变关系为电磁场的边值关系或边界条件。
4)推导边界条件的依据是麦克斯韦方程组的积分形式。
一、边界条件的一般形式 1、B 的边界条件:
2、D 的边界条件
结论：电位移矢量 在不同媒质分界面两侧的法向分量不连续，其差值等于分界面上自由电荷面密度。
3. H 的边界条件
h
∆→n
-2
B
11220
B dS B dS ⇒⋅+⋅=120
B n B n ⇒⋅-⋅=210
lim S h D H l H l J sl t
→∂⇒⋅-⋅=⋅-⋅∂2t t S
H H J
⇒-=12()S n H H J
⇒⨯-=21,S H l H l J s l n s
⇒⋅-⋅=⋅=⨯()C s
D H dl J dS
t
∂=+∂⎰⎰
μ1
μ2H
n
1H
h →l
s
12()S n H H J
⨯-=12()D D n σ
-⋅=⇒
2ε
ε
2
D 1
D n S
∆n
-n
12n n D D σ
⇔-=0S B dS ⋅=⎰
12()0
n B B ⋅-=21n n
B B
⇒=S
D dS q =⋅⎰
⇒
⇒
式中： S J 为介质分界面上的自由电流面密度。
结论：磁场强度 D 在不同媒质分界面两侧的切向分量不连续，其差值等于分界面上的电流面密度S J
4.E 的边界条件
结论：电场强度E 在不同每只分界面两侧的切向分量连续。
二、理想介质是指电导率为零的媒质，0=γ
2)在理想介质内部和表面上，不存在自由电荷和自由电流。
结论：在理想介质分界面上，E 、H 矢量切向连续； 在理想介质分界面上，B 、D 矢量法向连续。
三、理想导体表面上的边界条件
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，
12t t E E
⇒=12()0
n E E ⇒⨯-= 2ε
1ε
2E
n 1E
2
θ
l s
l S B
E dl d S
t
∂⋅=-⋅∂⎰
⎰12()0
n E E ⨯-=⇒12t t E
E
=0
s J =0
ρ=12t t H H =⇒
12n n D D
=12()0
n D D ⋅-=⇒12()0
n B B ⋅-=12n n B B
=⇒12()0n H H ⨯-=
2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 n D 2t E 2,n B 2,t H 2均为零，得
注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：
1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定 若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
0n B ⋅=1S n H J
⨯=t S H J
=0
n B =⇒1S n D σ
⋅=0
t E =⇒⇒
10
n E ⨯=⇒
n S D σ
= 12()S n H
H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=
：
积分形式： 积分形式
微分形式： 微分形式：
电磁场的基本方程和边界条件
12()0
n B B ⋅-=0
B ∇⋅=积分形式：
微分形式：
积分形式：
12()0n B B ⋅-=D ρ
∇⋅=0
S
B d S ⋅=⎰
S
D d S q
⋅=⎰
微分形式：
基本方程
10
n B ⋅=12()n D D σ⋅-=12()0
n D D ⋅-=10
n D ⋅=边界条件
积分形式。
