5第五章 稳定性理论

Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
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5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
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2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式

t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d
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（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
在经典控制理论稳定的概念与李亚普诺夫意义下稳定不完全一 致。
经典控制理论 (线性定常系统) 李亚诺夫意义下 不稳定 (Re(s)>0) 不稳定 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定
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5.2.3 Lyapunov间接法
基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方 程的特征值，最后根据特征值判定原非线性系统的稳定性。 与以前介绍的线性定常系统的方法类似。 线性及线性化系统稳定性的特征值判据：
Ax x
Re( i ) 0
x(0) x0
t0
1）李氏渐近稳定的充要条件：
lim (t , t0 ) x0 0
t
则称系统是内部稳定或是渐近稳定； 若系统是定常的，当t0=0，有
(t , t0 ) x0 e At x0 L1[ sI A]1 x0
当矩阵A的所有特征根在s平面的左边，系统就是内部稳定。 内部稳定通过自由运动定义稳定性 有界输入有界状态稳定（BIBS稳定）
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3、外部稳定性与内部稳定性的关系 1）线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是BIBO稳定。 证明：对于线性定常系统
G (t ) Ce At B D (t )
当系统是内部稳定的
lim e At x0 0
t
或
lim e At 0
t
那么G(t)的每一个元素都是由一些指数衰减项组成。外部稳定性和内部稳定性
1、外部稳定性（又称有界输入有界输出稳定性） 定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常 数k及一个标量使得对于任意的 t [t0 , ) 当系统的输入u(t)满足
u (t ) k , t [t0 , )
所产生的输出y(t)一定满足
s 2,
s2 0
s 2 ,
0 s3
( s 2)( s 2)( s 3) 0
不稳定
1
s 3
0 0 s 2 1 s 2 1 1 0 1 0 G ( s ) C ( sI A) B 0 s 3 0 是BIBO稳定。
当ki＝0时，拉氏反变换为函数，其余只有i在左半平面，各 项拉氏反变换才收敛，系统BIBO稳定。 6
2、内部稳定性 考虑如下线性系统
A(t ) x B (t )u x y c(t ) x D (t )u
x(t0 ) x0 , t [t0 , t f ]
若系统的外部输入恒为零，即 u 0 那么当初始状态x0是有界的，如果下式满足
x0 [ x10 , x20 xn 0 ]T
球域S()
T
xe [ x1e , x2 e xne ]
x0 xe ( x10 x1e ) 2 ( xn 0 xne ) 2
为向量的2范数或欧几里德范数
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且
x(t , x0 , t0 ) xe
t t0
x (t ) x (t ; x 0 , t 0 ) , t t 0
称为是初始状态x0的受扰运动。 讨论的稳定性就是指平衡状态的稳定性，即当系统由于初始状 态偏离平衡状态时，系统能否在自治的情况下返回到平衡状 态，或限制在某个区域。
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例：求非线性系统的平衡点
1 x1 x
3 x2 x1 x2 x2


t0
g ij (t ) dt k
i 1, q, j 1, p
或者G(s)为真有理分式，且每一个元传递函数gij (s)的所有 极点处在左半复平面 证明： gij (s)为真有理分式,可以部分分式展开
i i、ki为常数 ( s i ) ki k 1 t i i ' t e ki 1 i 对应的拉氏反变换
表明系统在有界输入的情况下，输出无界，与条件矛盾。 所以必要性得证。
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2）定常系统 对于零初始条件的线性定常系统，设G(t)为其脉冲响应矩 阵， G(s)为传递函数阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在 一个有限常数k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t) 的每一个元gij (t) 都满足下式
e f ( xe , t ) 0 , t t0 x
那么xe为系统的一个平衡状态。 大多数情况下平衡状态在原点处，即xe ＝0； 对于线性定常系统
Ax x
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若A为非奇异矩阵，平衡状态一定在原点
3、孤立平衡状态 如果系统的平衡状态在状态空间中呈现为彼此分隔的孤立点，则 称其为孤立平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总是可以通过移动坐标系将其转化为空间 原点。 所以下面讨论总认为平衡状态在座标原点。 4、受扰运动 对于自治系统，如果初始状态为x0≠xe

t
t0
g ij (t , ) d k
i 1, q, j 1, p
证明：先证充分性，当上式满足时，且外加有限输入
u (t ) k , t [t0 , )
那么系统就BIBO稳定 首先对于单输入单输出系统
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y (t ) g (t , )u ( )d
但如果线性化系统的系数矩阵A的特征值中，即使只有一个实部 为零，其余的都具有负实部，此时实际系统不能依靠线性化的 数学模型判别其稳定性。 这时系统稳定与否，与被忽略的高阶导数项有关，必须分析原始 的非线性数学模型才能决定其稳定性。 当然这里讨论的都是各个平衡状态的稳定性问题。
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5.2.4 Lyapunov直接法
lim x(t , x0 , t0 ) xe 0
t
s ( )
xe 大范围渐近稳定
对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的 轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态xe称为大范围渐近稳定。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡态。 当与时刻t无关时系统称为大范围一致渐近稳定。 4.不稳定性 对于某个和任意个，不管有多小、有多 大，只要由S() 内的x0 出发的轨迹超出S() 以外，则xe不稳定
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例：已知系统的状态方程为
2 (t ) 1 X 0
0 2 0
0 0 0 X (t ) 1u (t ) , 1 3
y (t ) 1
0
1X (t )
试判断该系统是否渐近稳定；是否BIBO稳定。 例： s2 0 0
sI A 1 0
球域S() 则称xe 是李氏意义下的稳定。 当与t0无关时，称为一致稳定 2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定 2） lim
t
x (t , x0 , t0 ) xe 0
当与t0无关时，称为一致渐近稳定 球域S()被称为平衡状态xe=0的吸引域。
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3.大范围内渐近稳定性 对 x s ( ) 0 都有
李亚普诺夫第二法是建立在更为普遍的情况之上的，即：如果系统 有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内 时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到 极小值为止。提出一个能量函数（李亚普诺夫函数）的概念
V ( x, t )
随着时间的增长而衰减
能量函数
V ( x, t ) 0
p
(t , )u j ( )d t
g
j 1
ij
(t , )u j ( ) d

t1
p
t0
g
j 1
ij
(t , ) u j ( ) d
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根据定义，系统BIBO稳定。充分性得证。
再证必要性，即系统是BIBO稳定，那么在有界输入下上式成立。 用反证法，上式不成立，即一定存在某个时刻t1[t0，)使
i 1,2, n
线性化过程被忽略的高阶导数项对系统的稳定性没有影响； 2）不稳定的充要条件：只要存在一个i 满足