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第五章稳定性定义讲解

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第5章李雅普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷

第5章 系统的稳定性

第5章 系统的稳定性

s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。

控制工程基础：第五章系统稳定性

控制工程基础：第五章系统稳定性
∆1 = a 1 > 0
∆2 = a1 a0 a3 a2 = a 1a 2 − a 0 a 3 > 0
∆n
L L L 0 0 0 M 0 an
a5 L
a4 L a3 L M O M 0
a1 ∆3 = a 0 0
a3 a2 a1
0 2 2 a 4 = a 1a 2 a 3 − a 4 a 1 − a 0 a 3 > 0 a3
− c2 =
劳斯表的列法
前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶； 第三行起元素的计算为： 第三行起元素的计算为：分母为上一行第一 个元素； 个元素； 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 分子为一行列式，第一列为上两行的第一列， 第二列为所计算元素右肩上元素。 第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线 减主对角线元素。 减主对角线元素。 一行可同乘以或同除以某正数
c( t ) = ∑ c i e
i =1
k
pi t
+ ∑ e (A j cos ω j t + B j in ω j t )
j=1
r
σ jt
由上式知： 如果p 均为负值, 如果 i 和 σ i 均为负值 , 当 t
∞ 时 , c(t)
0。 。
自动控制系统稳定的充分必要条件： 系统特征方程的根全部具有负实部， 系统特征方程的根全部具有负实部， 闭环系统的极点全部在S平面左半部。 即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。 系统特征方程
a4 a5 b3 c3 …
a6 a7 b4 c4 …
… … … …
a1 a5 a1a4 − a0 a5 = a1 a1 a1 a3 b1 b2 b1a3 − a1b2 = b1 b1 a1 a5 b1 b3 b1a5 − a1b3 = b1 b1

线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性

线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。

《自动控制原理》第五章：系统稳定性

《自动控制原理》第五章：系统稳定性

5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根

第五章_系统的稳定性

第五章_系统的稳定性

46
5.4 Bode（伯德）稳定判据
一、nyquist图和bode图的对应关系
47
5.4 Bode（伯德）稳定判据
ωc
：开环频率特性幅值为1时所对应的角频率为幅值穿越频率或
剪切频率Wc。 在极坐标平面上，开环nyquist图穿越单位圆的点所对应的角 频率就是幅值穿越频率Wc。 在bode图上，开环幅频特性穿越0dB线的点所对应的角频率 就是幅值穿越频率Wc。
即：s 4 6 s 2 8 0
( s 2 2)( s 2 4) 0 s1, 2 j 2 s3, 4 j 2
结论：系统是不稳定的(本题是临界稳定)。 由辅助方程式可以求得系统对称于原点的 根:
这两对根是原方程的 根的一部分。
19
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
15
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
三、Routh判据的特殊情况 1）劳斯表第一列出现系数为零。
4 3 3 例5-5：设线性系统特征方程式为： D( s) s 2s 2s 4s 5 0 试判断系统的稳定性。
解：建立劳斯表：
s s s s
4 3 2
1 2 0
2 4 5
5 0
围（－1，j0）点两 圈,N=2。 而p＝0，所以闭环 不稳定。
40
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
41
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
42
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
43
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
44
5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据
D( s) s 6 2s 5 8s 4 12 s 3 20 s 2 16 s 16 0

机械控制工程基础-自动控制原理 第五章-系统的稳定性

系统的稳定性是系统的固有属性，只与系统结构参 数有关，与外部作用无关。
二、系统稳定的条件
第五章 系统的稳定性
线性定常系统的微分方程一般式为：
a0
dn dt n
xo
(t)

a1
d n1 dt n1
xo (t)
an1
d dt
xo (t) an xo (t)
dm
d m1
d
b0 dt m xi (t) b1 dt m1 xi (t) bm1 dt xi (t) bm xi (t)
劳斯表的构造：
D(s) a0sn a1sn1 a2sn2 an1s an 0
sn a0 a2 a4 … sn−1 a1 a3 a5 … sn−2 b1 b2 b3 … ┋┋ s1 …
s0 g1
b1

a1a2 a0a3 a1
b2

a1a4 a0a5 a1
自动控制原理
1
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念 第二节 Routh（劳斯）稳定判据 第三节 Nyquist稳定判据 第四节 系统的相对稳定性
第五章 系统的稳定性
第一节 稳定性的基本概念
一、稳定性的概念
系统受到扰动作用时，输出偏离平衡状态，当扰动消 除后，若系统在足够长的时间内能恢复其原来的平衡状态 或趋于一个给定的新平衡状态，则该系统是稳定的。反之， 如果系统对于干扰的瞬态响应随时间的推移而不断扩大或 发生持续振荡，则系统是不稳定的。
表中：1）最左一列元素按s 的幂次排列，由高到低，只起标识作
用，不参与计算。 2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。 3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。

5第五章 稳定性理论


Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
11
5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
2
2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式

t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d

第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析

当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。

5-1 第一节 稳定性的基本概念

第五章 系统的稳定性第一节 稳定性的基本概念一、稳定性的定义任何系统在扰动作用下，都会偏离原来的平衡状态产生初始偏差。

稳定——指在扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原来平衡状态的性能。

数学语言描述——系统在扰动作用下，其输出值偏离原平衡状态，产生偏差，当扰动消失后，经足够长的时间，如果输出量偏差的绝对值小于任意小的正数，则系统稳定，否则，若偏差的绝对值趋于无穷大或为常数或为不定值，则系统不稳定。

例如，常见的钢球在不同的曲面中的运动情况，就可以表征稳定的基本概念。

1、推论δ根据定义，可以使用单位脉冲函数()t作为扰动输入作用在系统上，随时间的增长，外作用消失，系统应回到原平衡状态——零初始状态。

对于线性系统的动态微分方程一般形式为；()()()()()()()()11111111n n n n n n m m m m m m d y t d y t dy t a a a a y dt dt dt d x t d x t dx t b b b b dt dt dt 00t x t −−−−−−++++=++++()x t 为输入（干扰），()y t 为输出。

当干扰停止后，即()0x t =，上式为； ()()()()11110n n n n n n d y t d y t dy t a a a a y t dt dt dt 0−−−++++ =0 特征式为；1110n n n n a s a sa s a −−++++ = 1 特征式解的一般形式为； ()1212n s t s t s t n y t C e C e C e =+++ 21n S S C ⎤=⎦n ——齐次方程的解1n C ——由初始条件决定的积分常数 假设有r 对共扼复根，则1式可写为；()()()110K ri i i i i i i S S S jw S jw ππδδ==⎡⎤⎡−−+−−⎣⎦⎣ 3 2k r +=将3式代入2式()(11sin i i K r s t ti i i i y t C e e A wt δ)i φ===+∑∑+ 4而系统的传递函数我们已知；()()()111111m m m m n n n n Y s b s b s b s b s 00X s a s a s a s a −−−−++++Φ==++++ 可见特征方程即为闭环传递函数分母等于0的方程，其特征根就是闭环极点。

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d
1
dt
§6.1 稳定性 (非线性微分方程的有关基础理论及稳定性概念 )
dy g(t; y) dt
y1
其
中,
y


y2

,


yn

非自治系统
(1)
或非定常系
统
g1(t; y1, y2 ,, yn )
g(t;
y
)


g2
(t;
y1
,
y2
,,
yn
)


gn
(t;
y1
,
y2
,,
yn
)
dy g( y) dt
y1
其
中,
y y2源自 ,
yn

(2)
g1( y1, y2 ,, yn )
g(t;
y)


g2
(
y1
,
y2
,,
yn
)


gn
(
y1
,
y2
,
,
yn
李氏第二法（亦称直接法）的特点是不必 求解系统的微分方程就可以对系统的稳定性进 行分析和判断。它是从能量的观点出发得来的 他指出：若系统有一个平衡点，则当t 时， 系统运动到平衡点时，则系统积蓄的能量必达 到一个极小值。由此，李雅普诺夫创造了一个 辅助函数，可以用它来衡量系统积蓄的能量， 但它并非是一个真正的能量函数。只要这一 函数符合李雅普诺夫提出的稳定性理论准则 就能用来判断系统的稳定性。因此应用李氏
x

x(x2

y2 ),
dt
limt x(t) ? limt y(t) ?
利用极坐 标将方程 组
dx
dt

dy
y x( x2 y 2 1) x y( x2 y 2 1)
dt
化为
dr dt
r
(r 2 1)
dx dt
rx，
x(0) x0 ,
x x0ert
dx dt

rx
1
x k

,
x(0) x0,
k x 1 (k / x0 1)ert
0 x k, x ' 0, x k, x ' 0
dx dt

y

y(x2

y2 ),

dy

稳定性的物理意义
1892年，李雅普诺夫就如何判断系统稳定性的问题， 归纳成两种方法(简称第一法和第二法)。第一法是通过求 解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳 定性，同时，他还指出非线性系统在工作点附近的一定 范围内可以用线性化了的微分方程来近似地加以描述。 如果线性化的特征方程式的根全部是负实数根，或者是 具有负实数部分的复根，则该系统在工作点附近周围是 稳定的，否则便是不稳定的。
g(t; y1) g(t; y2 ) L y1 y2
注:关于 解的延拓
结论：存在 h 0 ,使初值问题
与连续定
dy dt

g(t;
y)
的解在
|t
t0
|
h
y(t0 ) y0
理、可微 性定理见 教材P250.
上存在且唯一，其中 h min(a, b ), M max g(t; y)
不求解微分方程而通过方程右端函数的 信息探讨时间趋于无穷时解的性态
例 dx x dt
dx x(1 x2 ) dt
dx x(1 x2 )(1 x2 sin8 (x t)) dt
满足x(0) x0的解为 x x(t),
lim x(t) ?
t
几个例子：
第五章 定性和稳定性理论简介
1841年Liouville证明了Riccati方程: dy r(x) y2 p(x) y q(x) dx
解的存在，但不能用公式求解，所以 微分方程研究的主流发生了变化，不 解方程去判断解的形式，即定性理论 和稳定性理论。尽管是很古老的学科， 但这里还有很多问题需要研究.
定理的关键在于能否找到一个合适的辅 助函数,此函数称为李雅普诺夫函数。可 惜直到目前为止还没有一个简便的寻求 李氏函数的一般方法，这也是在过去的 一段相当长的时期内李氏稳定理论未能 得到广泛应用研究的原因之一。
研究 对象:
dx f (t; x) dt
(*)
f (t;0) 0
)
自治系统或 定常系统
一般非线性微分方程组的解的存在与唯一性定理
条件:方程
dy g(t; y) 右边的函数 dt
g(t; y)
（1）在n+1维空间的区域 R :| t t0 | a, y y0 b 上连续；
（2）在R上关于 y 满足李普希兹条件，即存在L >0,使对
R上任意两点 (t, y1 ) , (t, y2 ) ，有
显然有, f (t;0) 0
研究 dy g(t; y) 的特解 y (t) 邻近的性态
dt 研究 dx f (t; x) 的零解 x 0 邻近的性态
dt
零解在李雅普诺夫 (Liapunov) 意义下的稳定性的定义
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性， 第3章的我们已讨论过.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对 初值不一定有连续依赖性，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
M
(t , y)R
解的性态的研究
研究 dy g(t; y) 的特解 y (t) 邻近的性态
dt
作变换 x y (t) 化为 dx f (t; x)
思
dt
路 其中 f (t; x) g(t; y) d(t)
dt
g(t; x (t)) g(t;(t))
稳定性定义
若 对给 定 的 0, ( , t0 ) 0,使 当 任 一x0满 足 x0 时,
方 程 组(*)的 由 初 始 条 件x(t0 ) x0确 定 的 解x(t)均 有
非线性微分方程
实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要 非线性微分方程(组)来描述，非线性方程能求出解 析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容
求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发 点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形 式来分析时间趋于无穷时解的性态。