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粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论1粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论随着工业生产的不断发展和科学技术的不断进步，粘弹性流体力学在物理、化学、生物医学、石油化工等领域得到了广泛应用。
作为一种特殊的非牛顿流体，粘弹性流体的表现和性质与牛顿流体有很大的区别，因此建立相应的数学模型和理论研究也成为了当今流体力学研究的热点。
粘弹性流体的本质是两种性质不同但相互耦合的物理机制，即粘性和弹性。
其中粘性是指流体呈现由牛顿运动定律描述的黏性阻尼现象，而弹性是指流体分子间的一种内聚力，使其呈现某些固体材料的特征。
在构建粘弹性模型时，需要考虑以上两种机制对流体行为的复杂影响。
Oldroyd模型是一种用于描述粘弹性流体的经典模型，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
Oldroyd模型的基本假设是，粘弹性流体的应力张量既包含粘性和弹性的贡献，又与应变率的时间演化有关。
为了解释这一假设，引入了一组中间变量-粘弹性应力张量，并构建了相应的微分方程组。
Oldroyd模型给出了粘弹性流体的基本性质，包括流变特征、时间依赖性、滞后等等。
其中，一个重要的性质是非线性，也就是说，在应变率较高的情况下会出现复杂的非线性效应。
这种非线性效应对于粘弹性流体的流动性质产生了极大的影响，成为目前数学理论研究的一个重要课题。
在数学理论研究中，研究者通过各种数学方法和技巧，对Oldroyd模型进行了深入的探索和研究。
其中，最基本的是方程的解的存在性和唯一性问题。
针对这个问题，Hilbert在20世纪30年代提出了著名的证明方法，后来在流体力学中获得了广泛应用。
除此之外，研究者还针对Oldroyd模型的非线性性质展开了深入的研究。
他们使用了各种数学工具，包括常规分析、代数拓扑学、几何分析、动力系统等等，对方程组的稳定性、动力学行为等问题进行了深入探讨。
随着科学技术的不断发展，现代数学在粘弹性流体力学中的应用也越来越广泛。
粘弹性基本力学模型粘性:在外力作用下，分子与分子之间发生位移，材料的变形和应力随时间变化的变种特性称为粘性。
理想的粘性流体其流动形变可用牛顿定律来描述:应力与应变速率成正比。
因此，材料的本构关系的数学表达式应是反映应力-应变-时间-温度关系的方程。
粘弹性:塑料对应力的响应兼有弹性固体和粘性流体的双重特性称粘弹性。
材料既有弹性，又有粘性。
粘弹性依赖于温度和外力作用的时间。
其力学性能随时间的变化，称为力学松弛，包括应力松弛、蠕变等。
其力学行为介于理想弹性体和理想粘性体之间。
理想弹性体的形变与时间无关，形变瞬时达到，瞬时恢复。
理想粘性体的形变随时间线性发展。
粘弹性体介于这两者之间，其形变的发展具有时间依赖性，也就是说不仅具有弹性而且有粘性。
这种力学性质随时间变化的现象称为力学松弛现象或粘弹性现象。
橡胶对形变同时具有粘性响应和弹性响应。
粘性响应与形变速率成正比，而弹性响应与形变程度成正比。
粘性响应通常以阻尼延迟器为模型，而弹性响应则以金属弹簧为模型。
采用如下两种基本力学元件，即理想弹簧和理想粘壶。
理想弹簧用于模拟普弹形变，其力学性质符合虎克(Hooke)定律，应变达到平衡的时间很短，可以认为应力与应变和时间无关:σ=Eε其中σ为应力;E为弹簧的模量。
理想粘壶用于模拟粘性形变，其应变对应于充满粘度为η的液体的圆筒同活塞的相对运动，可用牛顿流动定律描述其应力应变关系:将弹簧和粘壶串联或并联起来可以表征粘弹体的应力松弛或蠕变过程。
应力松弛:就是在固定的温度和形变下，聚合物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
这种现象也在日常生活中能观察到，例如橡胶松紧带开始使用时感觉比较紧，用过一段时间后越来越松。
也就是说，实现同样的形变量，所需的力越来越少。
未交联的橡胶应力松弛较快，而且应力能完全松弛到零，但交联的橡胶，不能完全松弛到零。
应力松弛同样也有重要的实际意义。
成型过程中总离不开应力，在固化成制品的过程中应力来不及完全松弛，或多或少会被冻结在制品内。
材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。
不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。
本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。
一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。
非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。
二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。
弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。
弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。
其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。
三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。
在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。
拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。
四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。
该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。
Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。
五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。
流体黏塑性引言流体黏塑性是流体力学中的重要概念之一，它描述了流体在外力作用下的变形和流动行为。
黏塑性是指流体的黏性和塑性这两个性质的综合体现，既包括了流体的黏性流动特性，又包括了流体的塑性变形特性。
在实际应用中，流体黏塑性的研究对于各种工程问题的解决具有重要意义。
黏塑性流体模型黏塑性流体是一种介于牛顿流体和粘弹性流体之间的流体模型。
它既具有牛顿流体的粘性作用，又具有粘弹性流体的塑性变形特性。
黏塑性流体的流变特性可以通过黏塑性流体模型来描述。
黏塑性流体模型通常采用的是Bingham模型或者卡塞格伦模型。
Bingham模型是一种最简单的黏塑性流体模型，它假设黏塑性流体在达到一定的应力阈值后才会发生流动。
Bingham模型的应力-应变关系可以用以下方程表示：$$\\tau = \\tau_0 + \\mu \\dot{\\gamma}$$其中，$\\tau$是流体的剪切应力，$\\tau_0$是流体的屈服应力，$\\mu$是黏度，$\\dot{\\gamma}$是剪切速率。
卡塞格伦模型是一种复杂一些的黏塑性流体模型，它引入了流体的塑性性质，可以描述流体的塑性变形行为。
卡塞格伦模型的应力-应变关系可以用以下方程表示：$$\\tau = \\tau_0 + K \\dot{\\gamma}^n$$其中，$\\tau$是流体的剪切应力，$\\tau_0$是流体的屈服应力，K是流体的流动指数，n是流体的塑性指数，$\\dot{\\gamma}$是剪切速率。
黏塑性流体的流动行为黏塑性流体的流动行为相对复杂，与牛顿流体和粘弹性流体有一些不同之处。
在低剪切速率下，黏塑性流体表现出类似于固体的弹性性质，不具有流动性；而在高剪切速率下，黏塑性流体显示出类似于液体的流动性。
这种特殊的流动行为使得黏塑性流体在实际应用中具有广泛的应用价值。
黏塑性流体的流动行为主要取决于流体的黏度和屈服应力。
当黏度较大或屈服应力较小时，流体的流动性较差，流动速度较慢；当黏度较小或屈服应力较大时，流体的流动性较好，流动速度较快。
第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为： E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为： σϕε= （7.1.7） τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
因此，*ν应等于0.5 。
于是式7.1.9成为：3ϕη= （7.1.10）这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：2ij ij S e η= （7.1.11）理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。
通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。
面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用在面上的法向压力无关，是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时，物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时，物体产生流动，变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零，即体积不发生改变。
在三维条件下理想塑性体的本构方程可表示为：（a ） （b ）图 7-3 理想塑性体模型 当 ij ij S H <时，0ij e = 当 ij ij S H =时，2ij ij S e λ= （7.1.12）式中 ij H ——起始摩擦阻力，或称塑性条件；λ——比例常数。
式7.1.12表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：()()0101m n m n a a a b b b σσσεεε+++=+++ （7.2.1） 式中 ,i i a b ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 (a ）所示。
在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即εεε'''=+ （7.2.2）或εεε'''=+ （7.2.3）式中 ,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变；,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有/E εσ'=和牛顿粘壶有/εσϕ''=，则式7.2.3可改写成： E σσεϕ=+（7.2.4）（a ） （b ） （c ）图7-4 Maxwoll 模型 写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为：n σσϕε+=（7.2.5） 式中 n ——松驰时间，n E ϕ=，量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell 方程。
若物体获得初始应变0ε以后总应变保持不变（图7-4b) ，即0ε=，式7.2.5成为：0n σσ+=（7.2.6） 积分上式，得/t n Ce σ-= （7.2.7)式中 C ——积分常数。
应用初始条件，0t =，0σσ=代人式7.2.7解出C ，再代人式7.2.7 , 得 /0t n e σσ-= (7.2.8 ) 式7.2.8表示，Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减的松弛现象，如图7-4c 所示。
若物体获得初始应力0σ以后，保持应力不变，即0σ=，则式7.2.5成为： 0σϕε= （7.2.9 )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中，首先对试件施加应变0ε，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。
松弛试验中应变可记为：()0u t εε= (7.2.10) 式中 ()u t ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：()1110,1,t t u t t t t <⎧-=⎨>⎩ （7.2.11） 在松弛试验中10t =()1u t t -可表示为()u t 。
将式7.2.10代人式7.2.5，得()E t n σσεδ+= （7.2.12）式中 ()t δ——脉冲δ函数，()()d t u t dt δ=⎡⎤⎣⎦。
脉冲δ函数定义为：()0,0,0t t t δ≠⎧=⎨+∞=⎩（7.2.13） ()1t t dt δ-∞=⎰（7.2.14） 脉冲δ函数具有下述性质，对于任何连续函数()f t ，当1t t >时，有()()()()111t f t d f t u t t τδττ-∞-=-⎰ （7.2.15）利用式7.2.15，积分式7.2.12，可得()()/0t n t E e u t σε-= （7.2.16）式7.2.16表示Maxwell 模型的应力松弛规律，简记为：()()0t t σε=Φ （7.2.17）式中 ()t Φ——松弛函数，其表达式为()()/t n t Ee u t -Φ= （7.2.18）7.2.2 Kelvln 模型Kelvln 模型又称非松弛模型。
这种模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt —Kelvin 模型。
它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5 (a ）所示。
在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应力之和，即 E σσσεϕε'''=+=+ （7.2.19）若在0t =时，瞬时地加上应力0σσ=，并保持不变，则由式7.2.19可得0E ϕεεσ+= （7.2.20）积分上式，得()01t e E λσε-=- （7.2.21） 式中 λ——衰减系数，1E n λϕ==； n ——滞后时间。
（a ） （b ）图7-5 Kelvln 模型由式7.2.21可知，当t →∞，应变趋于个稳定值0/E σ。
若物体获得初始弹性应变0ε之后保持应变不变，即0ε=。
由式7.2.19得0E σε==常量 （7.2.22）上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。
在蠕变试验中，首先对试件施加应力0σ，然后保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。
若取瞬时加载的时刻为0t =，则加载过程可表示为：()0u t σσ= （7.2.23）式中 ()u t ——单位阶梯函数。
将式7.2.23代人式7.2.19，得()0u t σελεϕ+=（7.2.24） 注意到单位阶梯函数有如下性质()()()()111ttt f u t d u t f d ττττττ-∞-=-⎰⎰ （7.2.25） 此处τ为积分变量。
积分式7.2.24，得()()()01tt e u t E λσε-=- （7.2.26） 式中1E n λϕ== 式7.2.26表示Kelvin 模型的蠕变规律，可简记为：()()t t εσ=ψ（7.2.27） 式中 ()t ψ——蠕变函数。
蠕变函数的表达式为()()()11t t e u t Eλ-ψ=- （7.2.28） 7.2.3 三元件粘弹性模型图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。
它是由线性弹簧和Kelvin 模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶，共三个元件，故称三元件粘弹性模型。
用ε''表Kelvin 模型的应变，ε'表示与Kelvin 模型串联的线性弹簧的应变，σ'表示Kelvin 模型中线性弹簧中的应力，σ''表示牛顿粘壶中的应力，σ和ε分别表示总应力和总应变。
分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：εεε'''=+ （7.2.29）σσσ'''=+ （7.2.30）E σε''= （7.2.31）E σε'''''= （7.2.32）σϕε''''= （7.2.33）式中 E '——与Kelvin 模型串联的线性弹簧的弹性模量；E ''——Kelvin 模型中线性弹簧的弹性模量；ϕ——牛顿粘壶的粘滞系数。
