二次型矩阵变换后矩阵相似

考研数学二（二次型）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22．(2)2y12．(3)2y12+2y32．(4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．知识模块：二次型2．A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数．知识模块：二次型3．矩阵A=合同于A．B．C．D．正确答案：B解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选B．知识模块：二次型4．设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是A．A，B有相同的特征值．B．A，B有相同的秩．C．A，B有相同的行列式．D．A，B有相同的正负惯性指数．正确答案：D解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但AB．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选D．知识模块：二次型填空题5．二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是________．正确答案：解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A= 知识模块：二次型6．若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=________．正确答案：解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式≠0，故r(A)=2｜A｜=0．由知识模块：二次型7．设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈________．正确答案：解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)．知识模块：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第五章：相似矩阵及二次型本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。

3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。

4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。

5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。

§1 向量的内积、长度及正交性内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2≤；n维向量x 与y 的夹角[]yx y x ,arccos=θ；正交；正交的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。

重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。

§2 方阵的特征值与特征向量内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解；A 的特征多项式()λλλλ---=nn n n n n a a a a a a a a a f212222111211；若λ是 A 的特征值，则 ()λϕ也是()A ϕ的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。

§3 相 似 矩 阵内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同；设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21，则有 1）,21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λknkkk λλλ()()()().21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λn λϕλϕλϕϕ2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。

先来看看什么是正交矩阵：
方阵A为正交矩阵的充分必要条件为A的列向量/行向量都是单位向量，且两两正交。

相似矩阵的定义：
此时若B矩阵为对角阵，则称矩阵A可对角化。

那么此时我们要求的相似变化矩阵P应该满足什么条件呢？
假设把P用其列向量表示为：那么由，两边同时左乘P得，即得：
于是得：
由该定理相应得到下面的推论：
注意：该推论表示n阶矩阵A的n个特征值互不相等，即有n个线性无关的特征向量，故A可对角化。

但是n个特征值中如果有m重根时，但对应的m重根有m个线性无关的特征向量，也可得到A可对角化。

由该定理相应得到下面的推论：
二次型的定义：
经过可逆的线性变化：
使二次型只含平方项：这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式）。

而如果二次型的系数只在1、-1、0三个数中取值，即则称为二次型的规范形。

下面为将二次型转换为二次型的标准形需要用到合同的概念，合同的定义为：
正定、负定二次型的定义：。

矩阵合同和相似的判断篇一：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别学号：矩阵间合同、等价、相似的联系与区别20XX年05月矩阵间等价、合同、相似的联系与区别xxxX摘要本文将要分三个步骤来逐步深入的探究矩阵间的三种关系及区别：首先，简要介绍矩阵作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础学科的重要性,以及这一学科知识的理论性及应用性的特点；其次，简要介绍矩阵的概念及基本运算，给出矩阵的秩和逆的解法；最后，给出矩阵等价、合同、相似的定义，根据定义分析三者之间的联系与区别，并进一步给出具体例子使同学们有更加深刻的印象，组织学习小组联系实际自主学习将书面知识向实际能力转化，以自主创新的态度来对待生活中的难题,形成新思维使我们在未来学习工作中越走越顺.关键词矩阵、矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同The connection and distinction among three relationships of matricesthose are equivalent, contract, similarZhu Yan(College of Mathematics and Information Science, Henan Normal University, Xinxiang Henan 453007,China) Abstract The paper is divided into three steps to gradually in-depth exploration of three kinds of relationships among matrices and these differences: First, we have briefly introduced the importance of the matrix as a professional basis discipline in Normal Colleges and Applied Mathematics in the paper, meanwhile, we have introduced the knowledge of this discipline included it’s theory and application characteristics; Second, we have briefly introduced the concepts and basic operations of the matrix in the paper then the solution of the question about the rank of the matrix and the inverse are given in the paper; Finally, we have introduced definitions of the matrix’s equivalent, contract and similar in this paper, then, according to the definition we analyse the contact and distinction among those relationships , and further offers specific examples to analyse, so that students will have a more profound impression. Organized study groups practice self-learning and transforming thewritten knowledge to the actual ability of independent innovation attitude to deal with the problems in life, the formation of new thinking to make our future study and work farther and Shun.Keywordsmatrix; matrix contract ; matrix equivalent; matrix similarity目录前言 1 1矩阵的简介 1矩阵的简介1矩阵的运算矩阵乘积的行列式与秩矩阵的逆2 矩阵间的三种关系矩阵的等价矩阵的合同矩阵的相似 3 矩阵的等价、合同、相似之间的联系与区别矩阵间等价、相似、合同之间的联系矩阵的等价、相似、合同之间的区别 4 总结参考文献致谢2 6 7 8 8 9 9 11 11 13 14 16 17前言随着科技的高速发展，数学在生产生活中的应用愈加宽广和深入，其中在经济方面尤为突出，马克思曾说过:“一门学科只有成功地应用了数学时,才真正达到了完善的地步”.矩阵的作为高等师范院校数学与应用数学专业的基础内容,是高等代数的中心内容, 同时也是数学科学联系实际的主要桥梁之一.矩阵既是高等代数这一门数学专业课的重要内容,也是理、工科高等数学的基础,随着我国科技进步和现代化建设的飞速发展,医、农、工以至经济等社会科学各专业学生和工作人员,也越来越需要掌握它的基本理论与方法了. 矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳域提出）等等.“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵.矩阵就是可以将多个变量放在矩阵中，然后通过具体数据和关系构建矩阵方程，这在数学建模中很重要，可以解决许多实际问题.本文将对矩阵的合同、矩阵的相似及矩阵的等价，这三类矩阵之间的关系就能行了解和探讨，并总结这三者的联系与区别. 1矩阵的简介矩阵的简介矩阵(Matrix)本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方.在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵.这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.1812年柯西引入矩阵概念以来 ,矩阵理论已成为数学发展中的一个重要分支 ,既是学习经典数学的基础 ,又是一门最有实用价值的数学理论 ,并且已成为现代科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具 .《线性代数》作为高等院校理工科学生必修的一门科目而矩阵在线性代数中处于核心地位.由参考文献[1]、[2] 我们看到，在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.用大写的拉丁字母A,B,，或者aij,bij,来表示矩阵.有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,，或者aijsn,bijsn, (注意矩阵符号与行列式的符号的区别).设Aaijmn,bijlk，如果ml,nk，且aijbij，对i1,2,,m;j1,2,,n都成立，我们就说AB.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.矩阵的运算现在来定义矩阵的运算，以下定义在参考文献[3]—[6]中均有出现,这些运算是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.1. 加法定义1 设a11a12a1na22a2naAaijsn21as1as2asn是两个sn矩阵，则矩阵Ccijsnaijbijsnb11b12b1nb21b22b2n,Bbijsnbs1bs2bsna11b11a12b12a1nb1na22b22a2nb2nab2121abas2bs2asnbsns 1s1称为A和B的和，记为CAB.相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加，也就是数的加法，所以它有篇二：矩阵的等价,合同,相似的联系与区别目录摘要 ................................................ ................................................... ............ I 引言 ................................................ ................................................... ............. 1 1矩阵间的三种关系 ................................................ ....................................... 矩阵的等价关系 ................................................ ........................................ 矩阵的合同关系 ................................................ ...................................... 矩阵的相似关系 ................................................ ....................................... 2 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 ................................................ ........ 3 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 ................................................ ......... 5 结束语 ................................................ ................................................... ......... 6 参考文献................................................. ................................................... .. (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系矩阵的等价关系定义1两个sn矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使BPAQ由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得BPAQ.性质1（1）反身性：即AA.（2）对称性：若AB，则BA（3）传递性：即若AB，BC，则AC定理1 若A为mn矩阵，且r(A)r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和IrQ（n 阶），使得PAQB.其中Ir为r阶单位矩阵. 0mn推论1 设A、B是两mn矩阵，则AB当且仅当r(A)r(B). 矩阵的合同关系定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p使得PTAPB,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAPB 性质2（1）反身性：任意矩阵A都与自身合同.（2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同.（3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22fy12y2yr矩阵的相似关系定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P1APB,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P1APB性质3(1)反身性 AETAE ;(2)对称性由BCTAC即得AC1BC1;（3）传递性 A1C1TAC1和A2C2TA1C2即得 A2C1C2AC1C2 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) P(k1A1k2A2)Pk1PA1Pk2PA2P（其中k1,k2是任意常数）； (5）P(A1A2)P(PA1P)(PA2P)；(6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果BPAP为满秩矩阵，那么B11TT111111(PAP)11PAP.11即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果BP1AP，则有：BP1APP1APA(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设BP1AP，若B可逆，则B1(P1AP)1PA1P1从而A可逆.且B1与A1相似.若B不可逆，则(P1AP)不可逆，即A也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明：设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得P11AP1B此时若记PP11,QP1 ,则有PAQB,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价反过来，对于矩阵A1001210,B等价，但是A与B并不相似。