安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题

舒城中学2018—2019学年度第二学期第一次统考高二文数★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{|11}A x x =-<<， 2{|20}B x x x =--<，则()R C A B ⋂=( ) A ．[)1,2B ．(]1,2 C ．(]1,0- D ．[)1,2- 2．命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ）A ．,ln x R x x ∀∈≤B ．,ln x R x x ∀∈<C ．000,ln x R x x ∃∈≤D ．000,ln x R x x ∃∈>3．设实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．4．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为，则该几何体的表面积为( )A ．B ．C ．D ．5．函数()ln xf x x=，则（ ）A ．x e =为函数()f x 的极大值点B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．1x e =为函数()f x 的极大值点 D ．1x e=为函数()f x 的极小值点 6． 已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 7． 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）ABC ．2D ．38． 若直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则14a b+的最小值是（ ） A ．16B ．9C ．12D ．8 9． 函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若函数()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π， ,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（ ）A ．6B ．32C ．92D ．312．设函数若存在唯一的正整数，使得则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为__________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,n n a a S n N ++==∈，则n a =__________．15．在中，角的对边分别为，若，，且，则__________．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()'10xf x -<，且()11f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．三.解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）. 17．设t R ∈，已知命题:p 函数()221f x x tx =-+有零点；命题[):1,q x ∀∈+∞，2141x t x-≤-. （1）当1t =时，判断命题q 的真假； （2）若p q ∨为假命题，求t 的取值范围.18．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且2sin a B =. （1）求A 的大小；（2）若3,4a b c =+=，求ABC ∆的面积.19．已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.20．如图，在四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为PD 的中点. (1)求证：PB//平面MAC ；(2)若PA ⊥底面ABCD ， 2AB =， PD PB ⊥， 120DAB ∠=︒，求三棱椎B MDC -的体积.21．如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点. （1）求点M 到其准线的距离； （2）求证：直线AB 的斜率为定值.舒中高二统考文数 第3页 (共4页)22．已知函数()()()21212ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()22g x x x =-，若对任意(]10,2x ∈，均存在(]20,2x ∈，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.。

安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|34}M x x =-≤<，2{|280}N x x x =--≤，则（ ） A ．M N R = B ．{|34}M N x x =-≤<C ．{|24}MN x x =-≤≤ D ．{|24}MN x x =-≤<2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A.21x x y x y x+=+=与 B.ln ln x xy e y e ==与C ．,0||()(),0t t x f x x g t t t x >⎧=⋅=⎨-<⎩与 D ．(0)()||(),(x 0)x x f x x g x x >⎧==⎨-<⎩与3.若()f x 对于任意非零实数x 都有12()()21f x f x x-=+成立，则(2)f =（ ）A ．0B ．1 C.83D ．4 4.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线30x y -=上，则3πsin()2cos(π)2πsin()sin(π)2θθθθ+++---等于（ ） A ．32-B ．32C.0D ．235.对于向量,,a b c 和实数λ，下列命题中正确的是（ ）A.若0,00a b a b ⋅===则或B.若000a a λλ===,则或C.若22,a b a b a b ===-则或 D.若0a b a c a b c ⋅=⋅≠=且,则6.函数π()sin()(0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><) 的部分图象如图所示，为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向右平移π3个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 7.已知 3.30.3345ln ,,554a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b << C.b c a << D ．c b a << 8.下列函数既是奇函数，又在[1,1]-上单调递增的是（ ） A ．()|sin |f x x =B ．e ()lne xf x x-=+ C.1()(e e )2x xf x -=-D ．2()ln(1)f x x x =+ 9.函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4]-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A.1(0,]2 B.1[0,]5 C.1(0,)5 D.1(,)5+∞10.如下图所示，在ABC ∆中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A.23B ．25C.16D ．3411.若向量,i j 为互相垂直的单位向量，2,,a i j b i m j =-=+且a b 与的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ） A.1(,)2+∞ B.1(,2)(2,)2-∞-- C.1(,)2-∞ D.22(2,)(,)33-+∞12.已知函数()f x 的定义域为R ，且函数()()ex f x g x 在R 上为增函数，则不等式1e ()(21)x f x f x 的解集为（ ）A. 1(,)4+∞B. 1(,)2+∞C. (1,)+∞D. (2,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知3481log 4log 8log ln em ，则实数m 的值为________. 14.已知π2cos()63α-=，则2πcos(2)3α-=_______. 15.已知(3,0),(0,2),O A B -为坐标原点，点C 在第二象限，π||=22,4OC AOC且，设()OC OA OB R ，则的值为.16.已知函数()3cos 24sin 21f x x x a =--++在区间[)0,π内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知函数()sin(),0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<其中， 函数()f x 图像上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在点π3x =处取得最小值2-.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间.18.（本小题满分12分）已知函数()(0)af x x a x=+>常数.（1）求证函数()f x 在区间(上是减函数，在区间)+∞上是增函数；（2）已知函数[]224(),1,12x x g x x x --=∈-+，利用上述性质，求函数()g x 的最大值.19.（本小题满分12分）已知函数()f x 满足(4)5f =，且对任意实数,a b ，都有()()()1,0() 1.f a b f a f b x f x +=+->>当时,（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义证明； （2）已知实数m 满足2(32)3f m m --<，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知ππ(0,0),(0,1),(cos ,sin ),0,,.22O A B m x x m x ⎡⎤≠∈-⎢⎥⎣⎦其中 （1）若||||OB AB =，求x 的值；（2）若函数()f x OB AB =⋅的最小值为()g m ，求函数()g m 的值域.21.（本题满分12分）为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形MNPQ 的顶点,M N 和PQ 的中点,103km,53km,S MN NP ==已知现要在该矩形的区域内（含边界），且与,M N 等距离的一点O 处设一个宣讲站，记O 到三个乡镇的距离之和为(km).L（1）设(rad),OMN x ∠=试将L 表示为x 的函数，并写出其定义域；（2）利用（1）中的函数确定宣讲站O 的位置，使宣讲站O 到三个乡镇的距离之和最小.22.（本题满分12分）已知定义域为R 的偶函数()f x 和奇函数g()x ，且()()e .xf xg x +=（1）求函数(),()f x g x 的解析式；（2）若函数1()2()1,1()2g x H x f x -=+-1231()()()()()n S n H H H H n n n n -=+++⋅⋅⋅+记 (2,)n n *≥∈N . 探究是否存在正整数(2)n n ≥，使得对任意的实数(]0,1x ∈，不等式(2)()()g x S n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n ；若不存在，请说明理由.【参考答案】一、选择题 1-4：DCDB5-8：BBAC9-12：BCBC二、填空题 13.1314.141518-±15.2316.4013a a <<=或 三、解答题17.解：（1）；（2）ππππ,()62122k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 18.解：（1）证明略； （2）设[][]42,1,1,1,3,6,u x x u y u u =+∈-∴∈=+-则[][]134561,2,2,3,|1|,3u u y u y y u ===+-=->=-在上单调递减在上单调递增又所以数()g x 的最大值为1-. 19.解：（1）由||||OB AB =得，，，. （2）.令，，则.. 故函数()g m 的值域为1(,0]4-. 21.解：（1）过O 作OA ⊥MN ，垂足为T ，则T 为MN 的中点，∴MTMN ＝5，∴OM ＝ON ，OS ＝5OT ＝55tan x ，∴L 55tan x （0≤x ）.（2）L（x）＝5（1），令，则，得：或（舍），当时，，最小，即宣讲站位置O满足：时可使得三个乡镇到宣讲站的距离之和最小．22.解：（1），，函数为偶函数，为奇函数，，，. 易知为奇函数，其函数图象关于中心对称，的图象关于点中心对称，即对任意的，成立.，.两式相加，得.即..，即..，，恒成立.令，.则在上单调递增.在上单调递增..又已知， 3.。

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理（时间：120分钟 满分：150分)一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请你将符合要求的项的序号填在括号内） 1．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ )A 。

1B 。

22．由1y x=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为（ ）A. ln2B. ln2—1 C 。

1+ln2 D 。

2ln23．数学归纳法证明 成立时,从到左边需增加的乘积因式是（ )A. B.C 。

D 。

4．曲线：在点处的切线方程为（ ）A.B.C 。

D 。

5．已知m 、n 为两不重合直线，α、β是两平面，给出下列命题：① 若n//m ，m ⊥β，则n ⊥β； ② 若n ⊥β，α⊥β，则n//α; ③ 若n//α，α⊥β，则n ⊥β； ④ βαββα//,//,//,,则n m n m ⊂． 其中真命题的有（ ）个.A. 1B ．2C ． 3D ． 46．已知圆C 方程为()()22210x y r r -+=>,若p :13r ≤≤;q ：圆C 上至多有3个点到直线+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件7．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点O 是坐标原点，若||5AF =，则△AOB 的面积为（ ）A 。

舒城中学2018-2019学年度第二学期第四次统考高二文数考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题 (共12小题，满分60分，每小题5分) 1.已知集合，,则( )A. B. {3} C.{2,3} D.2．已知a ，b ，c 表示不同的直线，α，β表示不同的平面， 下列命题： ①若//a b ，//b α，则//a α； ②若a b ⊥，b α⊥，c α⊥，则a c ⊥； ③若a b ⊥，b α⊥，则//a α； ④若//a b ，//b α，b β⊂，a c β=，则//a c ．其中错误命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①②3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲x 乙，,方差分别为，则（ ）A ．x x >甲乙，B ．x x >甲乙，C ．x x <甲乙，D ．x x <甲乙，4．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2l o g 1fx x =-，则()()7f f =( )A ．1-B ．2-C ．1D ．25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =( )A ．8B ．9C ．10D ．116.设执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随机取一个数，则“”的概率为（ ） A.34 B. 23 C.13D. 147．函数()12sin 12xxf x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图像大致为（ ） A B CD8. 已知m ，n 为两个非零向量， 则“m 与n 共线”是“||m n m n =”的( ) A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件9.函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><其中的图像如图所示，则使()()f x m f m x +--=成立的m 的最小正值为（ ）A ．512π B ．3πC ．6π D ． 12π10.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点A 、B 、C 在俯视图上的对应点为A 、B 、C ，则PA 与C 所成角的余弦值为（ ）A11.已知椭圆的上下顶点为B 、C ，左右焦点为，直线与椭圆的另一个交点为D ，若直线的斜率为1k ，直线CD 的斜率为2k ，且1214k k =-，又的周长为8，则的面积为（ ）． A ．1 B ． C ．D ．212．已知函数()()()ln 0xf x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A ．],0(e B ．）（2,0e C ．],1[2eD ．),1(2e第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题(共4小题，满分20分，每小题5分)13.若复数满足（其中为虚数单位），则z 等于______．14.设x ，y 满足约束条件，若，则z 的最大值为______．15．已知数列{}n a 的前n 项和1()2nn S =-，如果存在正整数n ，使得1()()0n n m a m a +--<成立，则实数m 的取值范围是 ．16． 正四面体ABCD 的棱长为6，其中AB ⊂平面α，M ，N 分别是线段AD ，BC 的中点，以AB 为轴旋转正四面体，且正四面体始终在平面α的同侧，则线段MN 在平面α上的射影长的取值范围是 ．三．解答题(共70分。

舒城中学2018-2019学年度第二学期期末考试高二文数一．选择题。

1.已知集合{}1012B =-，，，，{}2|,A x x m m B ==∈，则A B ⋂＝ ( ) A. {}01，B. {}0,1,2C. ∅D. {}1,2【答案】A【解析】【分析】 通过定义求出集合A ，再利用交集运算即可得到答案.【详解】因为{}2|,A x x m m B ==∈，所以{0,1,4}A =，故{}0,1A B ⋂＝，故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，难度很小.2.已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A. 1122i -+ B. 1122--i C. 1122i + D.1122i - 【答案】B【解析】【分析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z .【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.3.平面向量a →与b →的夹角为45o，()1,1a =r ，2b =r ，则3a b +r r 等于 ( )A. 13+B.【答案】D【解析】【分析】通过题意可求得a b ⋅r r ,从而233a b a b +=+r r r r ,即可得到答案. 【详解】由于()1,1a =r ,所以2a =r ,因此cos 2a b a b θ⋅==r r r r ,因此222339634a b a b a ab b +=+=++=r r r r r r r r ,故选D.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，模的相关运算，难度不大.4.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M 在俯视图上的对应点为A ，三棱锥表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为（ ）A. 23B. 32C. 42D. 33【答案】D【解析】【分析】 画出几何体的直观图，判断MN 的位置，然后结合直观图可求线段MN 的长度的最大值．【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，一条侧棱与底面垂直（AD ⊥平面ABC ），为几何体的直观图如图，M 在AD 上，,B N 重合，当M 与D 重合时，线段MN 的长度的最大值为BD ==故选D ．【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为30°，则其离心率的值为( )A. 2B. D. 2 【答案】C【解析】【分析】首先找出双曲线的渐近线方程为b y x a=±，利用倾斜角和斜率的关系即可得到tan 30b a =︒. 【详解】由于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，而倾斜角为30°，故tan 30=3b a =︒2222213b c a a a -==，即2243c a =，则3e = C. 【点睛】本题主要考察双曲线离心率，渐近线的相关计算，难度不大.6.函数()ln 11x f x x -=-的图象大致为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过代入特殊点判断正负即可得到答案.【详解】由于()ln 3022f =>，排除C 选项，()ln 1220f =->，排除B 选项，11221ln20f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，不选A,故选D 选项. 【点睛】本题主要考查函数图像，此类题通过判断奇偶性，特殊值，极值点一般就可得到答案.7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A. 2018B. 2019C. 12D. 2【答案】D【解析】【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ；…观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得：满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2．故选：D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．8.设变量,x y 满足约束条件656053400,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则目标函数44y z x +=-的取值范围为 ( ) A. (2)(2)-∞-⋃+∞，， B. [1,1]- C. (1][1)-∞-⋃+∞，， D. (-22)， 【答案】C【解析】【分析】作出可行域，理解目标函数的几何意义为斜率式，再通过数形结合法可求得目标函数的取值范围. 【详解】作出不等式组表示的可行域如图所示中阴影部分，44y z x +=-表示可行域内的点与点()4,4-连线的斜率，易求得临界位置的斜率为-1,1，由图易知44y z x +=-的取值范围为(1][1)-∞-⋃+∞，，，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，目标函数一般有三类：截距式，斜率式，距离式，解决此类题目的关键在于作出正确的可行域.9.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x 换为x +2，可得f （x +4）＝f （x ），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x 换为﹣x ，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f （x ）满足f （x ）+f （2﹣x ）＝0，即有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣f （2﹣x ），即为f （x +2）＝﹣f （x ），f （x +4）＝﹣f （x +2）＝f （x ），可得f （x ）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f （x +2）＝﹣f （x ），可得f （x +1）＝﹣f （x ﹣1），又f （﹣x ﹣1）＝f （x +1），即有f （﹣x ﹣1）＝﹣f （x ﹣1），故f （x ﹣1）为奇函数，故③正确；由f （﹣x ﹣3）＝f （x +3），若f （x ﹣3）为偶函数，即有f （﹣x ﹣3）＝f （x ﹣3），可得f （x +3）＝f （x ﹣3），即f （x +6）＝f （x ），可得6为f （x ）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B ．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A. 9-B. 9C. 79-D. 79【答案】D【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果．【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ， 2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭． 故选D ．【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．11.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段的比例中项，即满足510.6182AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点.在ABC ∆中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为（ ）2D. 22【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.测度为面积.【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为(1222,APQABCBC BC S PQ BQ BP S BC BC BC∆∆---==== 选B. 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.12.己知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为（ ）A. 211D. 2+【答案】D【解析】【分析】 可设111,22PF t QF PF t ===，运用椭圆的定义可得222,22PF a t QF a t =-=-，结合勾股定理和三角形的面积公式，计算可得所求比值.【详解】 设111,22PF t QF PF t ===，由椭圆的定义可得222,22PF a t QF a t =-=-，|PQ|=4a-3t ，由22211||PQ PF QF +=，即222(43)4a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为：1212142231132333322311823231sin 30223333a a PF PF PF QF a a ︒+⋅⋅⋅+++===+--⋅⋅⋅⋅++故选D. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，勾股定理，面积公式等，较综合，意在考查学生的计算能力，分析能力，难度较大.二、填空题(把答案填在题中横线上)13.“2a =”是“两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行”的____条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】通过直线平行的条件可计算出a 的值，从而利于充分必要条件的定义即可得到答案.【详解】当2a =时，两直线分别为：2340x y ++=和2320x y +-=，显然平行；若两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行，则(1)326a a +=⨯=，且222a -≠⨯，解得2a =或3a =-，则“2a =”是“两直线320ax y a ++=和2(1)20x a y ++-=平行”的充分不必要条件.【点睛】本题主要考查直线平行的条件，充分必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力，分析能力和计算能力.14.已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．【答案】2y x = 【解析】 【分析】通过判断函数为偶函数即可得到()f x 在0x >的解析式，从而求导求出直线的斜率，再求出切线方程.【详解】由于函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，故()f x 为偶函数，令0x >，则0x -<，从而1()()x f x f x e x -=-=+，因此(1)2f =，1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)112f '=+=，因此切线方程为2y x =.【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，利用奇偶性求函数解析式，导数的几何意义，综合性强；意在考查学生的转化能力及逻辑分析能力.15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别边,,a b c ，若224a b ab ++=，2c =，则2a b +的取值范围是_____． 【答案】(2,4) 【解析】 分析】先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化2a b +为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果.详解】224a b ab ++=Q ，2c =，222a b ab c ∴++=，∴ 222122a b c ab +-=-，1cos 2C ∴=-，又0C π<<，23C π∴=，因此)sin sin 222sin sin sin sin c A c B a b A B C C +=⨯+=+2sin sin ?4sin 336A A A ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 03A π<<Q ，∴662A πππ<+<，∴1sin 126A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 224a b <+< 故答案为()2,4．【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.16.已知函数1()sin()(0)62f x x πωω=++>，点P ，Q ，R 是直线(0)y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且322PQ QR π==，则m ω+=____．【答案】179【解析】 【分析】先通过三个相邻点的相关性质确定函数的周期，从而确定ω，然后设出()P x m o ，，3(,)4Q x m π+o ，从而解得m ，于是得到答案. 【详解】由于322PQ QR π==，因此33,42PQ QR ππ==，则339424T PQ QR πππ=+=+=,即289T πω==，即81()sin()962f x x π=++，因为43PQ π=，设()P x m o ，，则3(,)4Q x m π+o ，则81831sin()sin[]9629462x x πππ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭o o ，即885sin()sin()9696x x ππ+=+o o， 即885()()296962x x k ππππ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭o o ，解得9()8x k k Z π=∈o ， 所以811sin()sin()96262m x k πππ=++=++o ，由于0m >，所以1m =，因此179m ω+=. 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，解决本题的关键在于确定函数的周期，意在考查学生的转化能力，计算能力以及逻辑推理能力，难度中等.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S ＝，且2a ，7a ，22a 成等比数列，()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若数列1Sn ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤＜.【答案】（1）42n a n =+；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，可由25722270,S a a a ＝＝求得其首项与公差，继而可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得224n S n n =+，用裂项法可求得，从而可求n T 的范围，即可证明结果．试题解析：解：（Ⅰ）由已知，5335,14S a a =∴=， 又2722,,a a a 成等比数列，由2111(6)()(21)a d a d a d +=++且0d ≠可解得132a d =， 16,4a d ∴==，故数列{n a }的通项公式为42,*n a n n N =+∈； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ），21()24,2n n n a a S n n +==+ 211111()2442n S n n n n ==-++， 1111113111(1)()432428412n T n n n n ∴=-+-++-=-++++L 显然，1368n T ≤<．考点：1．等差数列；2．等比数列性质；3．数列求和．18.如图，四棱锥P ABCD -中，AB BC ⊥，//AD BC ，PB AE ⊥，E 为CD 中点，3AB =，22BC AD ==．()1证明：平面PAE ⊥平面PBD ；()2若2PB PD ==，求三棱锥P ADE -的体积．【答案】（1）见解析； （2）14.【解析】 【分析】（1）根据计算可得BD AE ⊥，再根据线面垂直判定定理得AE ⊥平面PBD ，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）取BD 中点O ，利用面面垂直性质定理得PO ⊥平面ABCD ，再根据锥体体积公式求结果.【详解】（1）证明：由AB BC ⊥，//AD BC ，3AB =22BC AD ==，可得2DC =，3BCD π∠=，2BD =．从而BCD ∆是等边三角形，3BDC π∠=，BD 平分ADC ∠．E Q 为CD 中点，1DA DE ==，BD AE ∴⊥，又PB AE ⊥Q ，PB BD B ⋂=，AE ∴⊥平面PBD ．AE ⊂Q 平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面PBD ；（2）解：由（1）知，AE ⊥平面PBD ，则平面PBD ⊥平面ABCD ， 取BD 中点O ，连接PO ，则PO BD ⊥．Q 平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ⋂平面ABCD BD =，PO ∴⊥平面ABCD ．2PB PD BD Q ===，3PO ∴=，又1311sin1202ADE S ∆=⨯⨯⨯︒=． ∴ 1313344P ADE V -=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间x101112131415调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．()1从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；()2若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并判断程是否是“恰当回归方程”；附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，⋯⋯，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnni i iii i nniii i x y nxyx x y y bx nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-，411546i ii x y==∑．【答案】(1) 23(2) $1.49.6y x =+；求出的线性回归方程是“恰当回归方程”． 【解析】 【分析】(1)找出“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”的所有可能，利用对立事件剩下的2组数据相邻求得概率.（2）利用线性回归方程相关公式求得线性回归方程，再利用“恰当回归方程”相关定义直接判断即可.【详解】()1设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A ， 记这六组数据分别为123456，，，，，，剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种，其中相邻的有1223344556，，，，，共5种， 所以()521153P A =-=． ()2后面4组数据是：因为1213141513.54x +++==,2629283128.54y +++==442111546,734i ii i i x yx ====∑∑，所以1222127571546422 1.4277344ˆ2ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===--⨯∑∑，28.ˆˆ5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=， 所以$1.49.6y x =+．当10x =时，$1.4109.623.6y =⨯+=，23.6230.61-=< 当11x =时，$1.4119.625y =⨯+=，252501-=< 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．【点睛】本题主要考查古典概型，线性回归方程的相关计算；意在考查学生的数据处理能力，分析能力及计算能力，难度不大.20.设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =，求直线l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【答案】(1) 20x y --=或20x y +-=，(2)见证明 【解析】 【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式()2212121446AB m y y y y =++-=即可得到答案.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN =u u u u v u u u v 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+>V ， 设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =- ()222212121414246AB m y y y y m m ∴=++-=++=，21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=， 2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+--u u u u v ，()00,2PN x m y =--u u u v ，由题意可得·0PM PN =u u u u v u u u v，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==， 定点()2,0即为所求【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.21.已知函数()()22ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）.()1若2a =-，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ()2若存在[]1,x e ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1y =；(2)1a ≥-. 【解析】分析：（1）若2a =-时，()22ln f x x x =-，求导数值可得切线斜率，求函数值可得定点，可得直线方程；（2）先讨论函数()f x 在[]1,e 的单调性，分类讨论分别求2a ≤和22a e <<以及2a e ≥时a 的范围，综合可得.解析：（1）2a =-时，()22ln f x x x =-，()10f '=，所求切线方程为1y =.（2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++-'-=-++==，[]1,x e ∈. 当12a≤即2a ≤时，[]1,x e ∈，()0f x '≥，此时，()f x 在[]1,e 上单调增；所以()f x 的最小值为()11f a =--，所以12a -≤≤ 当12a e <<即22a e <<时，1,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减； ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在,2a e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调增；所以()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22a e <<所以0ln 12a <<，311242a e<+<+. ,2a x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在,2a e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调增；所以()f x 的最小值为2ln ln 124224a a a a a f a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为22a e <<，所以0ln 12a <<，311242a e<+<+. 所以ln 10224a a a f a ⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22a e <<. 当2ae ≥即2a e ≥时，[]1,x e ∈，()0f x '≤，此时，()f x 在[]1,e 上单调减；所以()f x 的最小值为()()22f e e a e a =-++，因为2221e ea e e -≥>-所以()0f e <，所以2a e ≥，综上，1a ≥-.点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy 中，将椭圆2214y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=．()1写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；()2已知点(1,2)M ，且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求11||||MA MB +的值． 【答案】(1) 曲线C 的普通方程为221x y +=； 直线l 的直角坐标方程10x y -+=(2)141MA MB += 【解析】【分析】（1）通过横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半即可得到曲线C 的方程，通过cos {sin x y ρθρθ==即可得到直线l 的直角坐标方程.(2)写出直线的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，根据t 的几何意义可得：121211·t t MA MB t t ++=即可得到结果. 【详解】()1将椭圆2214y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线()22214:x C y +=． 得到圆221x y +=的图象，故曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ-=．故直线l 的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=； ()2直线过点()1,2M 且倾斜角为4π， 故直线l的参数方程为：1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）． 代入方程221x y +=．化为：240t ++=，12124t t t t +=-=．根据t的几何意义可得：121211·t t MA MB t t ++== 【点睛】本题主要考查直角坐标，参数方程，极坐标之间的互化，直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度不大.23.已知函数()222f x x ax =+--.()1当1a =时，求不等式()21f x x ≥-的解集；()2若存在(1,3)x ∈，使不等式()2f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】(1) {}5x x ≤ (2) ()0,4【解析】【分析】（1）通过对1x ≤-,12x -<<,2x ≥讨论脱离绝对值分别解不等式可得答案； （2）()2f x x >等价于22222ax ax -<-<-<，，从而可得a 的取值范围. 【详解】(1)当1a =时，()4,12223,12,4,2x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪+≥⎩当1x ≤-时，由421x x -->-，解得1x ≤-；当12x -<<时，由321x x ≥-，解得1x ≥-，所以12x -<<；当2x ≥时，由421x x +≥-，解得5x ≤，所以25x ≤≤. 综上可得，原不等式的解集为{}5x x ≤. (2)因为()1,3x ∈，所以()2f x x >等价于22222ax ax -<-<-<，， 即等价于40a x <<，所以由题设得40a x<<()1,3x ∈上恒成立， 又由()1,3x ∈，可知44x <，所以a 的取值范围为()0,4. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生的转化能力，分类讨论能力，去绝对值是解决此类题型的关键，难度中等.。

安徽省六安市舒城中学2018-2019学年高二数学下学期开学考试试题 文（总分：150分 时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{|11}A x x =-<<， 2{|20}B x x x =--<，则()R C A B ⋂=( )A ．[)1,2B ．(]1,2C ．(]1,0-D ．[)1,2- 2．命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ）A ．,ln x R x x ∀∈≤B ．,ln x R x x ∀∈<C ．000,ln x R x x ∃∈≤D ．000,ln x R x x ∃∈>3．设实数满足约束条件，则的最大值为 （ ）A ．B ．C ．D ．4．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为，则该几何体的表面积为( )A ．B ．C ．D ．5．函数()ln x f x x =，则（ ） A ．x e =为函数()f x 的极大值点 B ．x e =为函数()f x 的极小值点C ．1x e =为函数()f x 的极大值点D ．1x e=为函数()f x 的极小值点 6． 已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 7． 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为 （ ）A B C ．2D ．3 8． 若直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则14a b +的最小值是（ ）A ．16B ．9C ．12D ．8 9． 函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 10．若函数()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π， ,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（ ）A ．6B ．32C ．92D ．3 12．设函数若存在唯一的正整数，使得则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知椭圆22:1168x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为__________．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,n n a a S n N ++==∈，则n a =__________．15．在中，角的对边分别为，若，，且，则__________．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()'10xf x -<，且()11f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．三.解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）.17．设t R ∈，已知命题:p 函数()221f x x tx =-+有零点；命题[):1,q x ∀∈+∞， 2141x t x-≤-. （1）当1t =时，判断命题q 的真假；（2）若p q ∨为假命题，求t 的取值范围.18．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin a B =.（1）求A 的大小；（2）若3,4a b c =+=，求ABC ∆的面积.19．已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.20．如图，在四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为PD 的中点.(1)求证：PB//平面MAC ；(2)若PA ⊥底面ABCD ， 2AB =， PD PB ⊥， 120DAB ∠=︒，求三棱椎B MDC -的体积.21．如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点.（1）求点M 到其准线的距离；（2）求证：直线AB 的斜率为定值.22．已知函数()()()21212ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）求()f x 的单调区间；（2）设()22g x x x =-，若对任意(]10,2x ∈，均存在(]20,2x ∈，使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.。

舒城中学2018-2019学年度第一学期第一次统考高二理数（总分：150分时间：120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分。

）1. 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=( )A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}2. 若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是( )A.-n<m<n<-mB.-n<m<-m<nC.m<-n<-m<nD.m<-n<n<-m3. 在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )A．135 B．100 C．95 D．804. 函数y＝x|x|·a x(a>1)的图象的基本形状是( )5. 已知f (x)满足∀x∈R，f (－x)＋f (x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x＋k (k为常数)，则f (ln 5)的值为( )A.4B.－4C.6D.－66. 设a>0,b>1,若a+b=2 ,则 + 的最小值为( )A.2B.8C.4D.4+27. 在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A.－7210B.－325C.－7212D.－82138. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( )A.①②B.②③C.①③D.①②③9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π10. 如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则z ＝3x ＋2y ＋yx的最大值为( )A.7B.8C.9D.1111. 已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ）A ．1B ．．312. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8，9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 为( ) A.172 B.678 C.334 D.658二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式的解是14. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S 为 15. 若，则的最小值是16. 已知四面体PABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝22，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为三．解答题（本题共6小题，共70分） 17. （本小题10分） （1）（2） 设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α（21sin -≠α），求 f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π618. （本小题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足csin B=3bcos C ，a 2-c 2=2b 2（1）求C 的大小；（2）若△ABC 的面积为213，求b 的值．19. （本小题12分）已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋2b cos 2ωx －b (a 、b 、ω>0)，在x ＝π12时取得最大值2 .若 x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a 、b 的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4α的值．20. （本小题12分）如图，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ； (2)求二面角A －SC －B 的余弦值．21. （本小题12分）已知数列{a n }满足：a 1+a 2+a 3+…+a n =n -a n ，（n =1，2，3，…） （1）求证：数列{a n -1}是等比数列；（2）令b n =)1)(-2-n a n （（n =1，2，3…），如果对任意n ∈N *，都有241t t b n ≤+，求实数t 的取值范围．22. （本小题12分）某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?高二理数自主训练（1）参考答案一.单选题1-5: A D A A B 6-7: D A C A C 11-12: B D 二.填空题13. 14.15. 16. 16π三．解答题 17.(1)(2)∵f (α)＝1＋sin2α＋sin α－cos2α（－2sin α）（－cos α）＋cos α＝2sin2α＋sin α2sin αcos α＋cos α＝sin α（1＋2sin α）cos α（1＋2sin α）＝tan α1，∴ f 623π＝623π＝6π＝6π＝.18.解：(1)∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C ， ∵sin B≠0， ∴tan C=，∴C=． …（5分）(2) 由（Ⅰ）可得，cos C==， ∴a 2+b 2-c 2=ab ， 又∵a 2-c 2=2b 2，∴a =3b ， ∴由题意可知，S △ABC =absin C=b 2=21， ∴b 2=28，可得：b =2． …（12分）19. 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋b cos 2ωx ＝A sin(2ωx ＋φ)，中A ＝，sin φ＝a2＋b2b ，cos φ＝a2＋b2a.由题意知：f (x )的周期为π，A ＝2，由2ω2π＝π，知ω＝1. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵f 12π＝2，∴sin ＋φπ＝1，从而6π＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π＋2k π(k ∈Z )， ∴f (x )＝2sin 3π＝sin 2x ＋cos 2x ，从而a ＝1，b ＝. (2) 由f (α)＝32知2sin 3π＝32，即sin 3π＝31.∴sin －4α5π＝sin 32π＝－cos 32π＝－1＋2sin 23π＝－1＋2×312＝－97.20.(1) 证明：由题设AB ＝AC ＝SB ＝SC ＝SA .如图所示，连结OA△ABC 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2) 解：如图所示，取SC 中点M ，连结AM 、OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC . ∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC ，所以AO ⊥OM ， 又AM ＝23SA ，故sin ∠AMO ＝AM AO＝32＝36，∴cos ∠AMO ＝33所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.21.解：(1)由题可知 ： a 1+a 2+a 3++a n -1+a n =n -a n ① a 1+a 2+a 3++a n +a n +1=n +1-a n +1 ②②-① 可得2a n +1-a n =1 .（5分） 即：，又.（7分）所以数列{a n -1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）(2)由（I ）可得，（9分）（7分）由可得n ＜3由b n +1-b n＜0可得n ＞3（11分）所以b 1＜b 2＜b 3=b 4＞b 5＞…＞b n ＞ ..故{b n }有最大值 所以，对任意 n ∈N *，有（10分）如果对任意n ∈N *，都有，即成立，则 ，故有：，（11分）解得或所以，实数t 的取值范围是（12分）22. 解：(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k ⇒k=2,∴x=3-, 每件产品的销售价格为1.5×(元),∴2016年的利润y = 1.5x ×-8-16x-m = -+29(m ≥0).(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,∴y≤-8+29=21,故该厂家2016年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.。

舒城中学2018—2019学年度第二学期第二次统考高二理数一、单选题（每小题5分，共60分)1．复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ C ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设函数的导函数为，则区间为其定义域的子集，命题时, ”是“在区间上是增函数”的充分不必要条件，命题：“是的零点”是“是的极值点”的充要条件，则下列符合命题中的真命题是（ B ）A． B． C． D．3．若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（ C ）A． B．． D．4．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。

甲说：“是丙或丁打碎的。

”乙说：“是丁打碎的。

”丙说：“我没有打碎玻璃。

”丁说：“不是我打碎的。

”他们中只有一人说了谎，请问是（ D ）打碎了玻璃。

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D5．已知向量，且，若实数，均为正数，则的最小值是（ D ）A．24 B． C． D．86．已知点是函数的对称中心，则函数的一个单调区间可以为（ A ）A．B．C．D．【详解】由题意知，点是函数的对称中心，所以，取，解得，即，令，整理得，令，得，即函数在区间单调递减，故选A.7．AA．B．C．D．【详解】，令，两边平方得，则有，所以，函数上的图象是圆的上半部分，所以，．所以，，故选A．8．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( B )A．B．C．D．【详解】根据几何体的三视图得该几何体是四棱锥M-PSQN且四棱锥是棱长为2的正方体的一部分,直观图如图所示,由正方体的性质得,所以该四棱锥的体积为:,故B正确.三棱柱三棱锥9．将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称 为第1组， 为第2组， 依此类推，则原数列中的 位于分组序列中( D ) A ．第 组 B ．第 组 C ．第 组 D ．第 组【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为 则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组 选D .10．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 【解析】由题意知必存在唯一的正实数a ，满足()13l o g f x xa +=， ()4f a = ①，∴()13log f a a a += ②，由①②得： 13log 4a a =-，∴413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3a =．故()133log f x x =-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时，()0g x '>， ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．11．如图，焦点在 轴上的椭圆（ ）的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 与 轴的正半轴交于 点， 的内切圆在边 上的切点为 ，若 ，则该椭圆的离心率为（ D ）A ．B ．C ．D ．【解析】试题分析：如下图所示，设另外两个切点分别为 ， ，由题意得， ，设 ， ，根据对称性可知， ，∴ ，∴ ，离心率，故选D ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()122f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()231212,0122,12x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩，函数()323g x x x m =++，若[)[)4,2,4,2s t ∀∈--∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（ B ） A ．(],12-∞- B ．(],8-∞ C ．(],4-∞- D ．31,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：当[)0,2x ∈时，由单调性可求出12()2f x -≤≤.由()()122f x f x +=有()4(4)f x f x =+,当[)4,2s ∈-时,[)40,2s +∈,故8()2f s -≤<.()323g x x x m =++,2'()363(2)g x x x x x =+=+,故()g x 在[)4,2-为增函数,(4)()(2)g g t g -≤<-,即16()4m g t m -≤<+,由题意有min min ()()f s g t ≥,所以816m -≥-,8m ≤,故选B.二、填空题（每小题5分) 13．复数（i 是虚数单位）的虚部是_______．【答案】-114．不难证明：一个边长为 ，面积为 的正三角形的内切圆半径，由此类比到空间，若一个正四面体的一个面的面积为 ，体积为 ，则其内切球的半径为_____________． 【解析】由题意得，故．将此方法类比到正四面体，设正四面体内切球的半径为 ，则，∴，即内切球的半径为．答案：15．三棱锥 中,侧棱 底面 , , , , ,则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【解析】在 中，由余弦定理得， ，∴ ．该三棱锥的外接球，即为以 为底面以 为高的直三棱锥的外接球，设 的外接圆半径为 ，则，∴由题意得，球心到 的外接圆圆心的距离 ，故球的半径=．∴该三棱锥的外接球的表面积为．16．定义在R 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数x ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集是______． 【详解】设则又因为对任意实数x ，有所以所以为减函数，因为定义在R上的函数满足为奇函数，由奇函数定义可知=0，即不等式所以，同时除以得，即因为为减函数，所以，即不等式的解集为三、解答题（共6大题，总分70分)17．设命题:实数满足,其中,命题:实数满足．（1）若且为真,求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．【详解】解:（1）当时，，，又为真，所以真且真，由，得所以实数的取值范围为（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，又，，所以，解得所以实数的取值范围为18．等差数列中，，。