1.4角平分线的性质(2)

第2课时 角平分线的性质与判定的运用灵活运用角平分线的性质和判定解决问题．阅读教材P24～25，完成预习内容．(一)知识探究1．由教材P24“动脑筋”和P25例2可知，角平分线的性质是可用于证明线段之间的数量关系．2．由P25的“动脑筋”可知：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三边的距离相等．(二)自学反馈1．到三角形三边距离相等的点是(C)A ．三条高的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．不能确定2．如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有(D)A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处3．如图，已知AB∥CD，AD ⊥DC ，AE ⊥BC 于点E ，∠DAC ＝35°，AD ＝AE ，则∠B 等于(C)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°活动1 小组讨论例1 如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等，求证：AD 平分∠BAC.证明：过点D 作DM⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N.∵S △DCE ＝12CE·DN，S △DBF ＝12BF·DM，S △DCE ＝S △DBF ， ∴12CE·DN＝12BF·DM. ∵CE ＝BF ，∴DN ＝DM.∴点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC.例2 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC.求证：AE 是∠DAB 的平分线．证明：过点E 作EH⊥AB 于点H ，反向延长EH 交DC 的延长线于点G ，过点E 作EF⊥AD 于点F.∵AB ∥CD ，EH ⊥AB ，∴EG ⊥DC ，∠GCE ＝∠B.∵点E 是BC 的中点，∴CE ＝BE.在△CGE 和△BHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GCE＝∠B，CE ＝EB ，∠CEB ＝∠BEH，∴△CGE ≌△BHE(ASA)．∴GE ＝EH.∵DE 平分∠ADC，∴GE ＝EF.∴EF ＝EH.∴AE 是∠DAB 的平分线．活动2 跟踪训练1．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于(C)A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．如图，OD 平分∠AOB，OA ＝OB ，P 是OD 上一点，PM ⊥BD 于点M ，PN ⊥AD 于点N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB，∴∠1＝∠2.在△OBD 和△OAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OA ，∠1＝∠2，OD ＝OD ，∴△OBD ≌△OAD(SAS)．∴∠3＝∠4.∵PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，∴PM ＝PN.3．如图，四边形ABDC 中，∠D ＝∠B＝90°，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC.求证：(1)OC 平分∠ACD；(2)OA⊥OC.证明：(1)过点O 作OE⊥AC 于E ，∵∠B ＝90°，OA 平分∠BAC，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD ，∴OE ＝OD.又∵∠D＝90°，∴OC 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ， ∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL)．∴∠AOB ＝∠AOE.同理：∠COD＝∠COE.∴∠AOC ＝∠AOE＋∠COE＝12×180°＝90°. ∴OA ⊥OC.活动3 课堂小结角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一．。

§1．4．1角平分线（一）教学目标（一）知识目标1．角平分线的性质定理的证明。

2．角平分线的判定定理的证明。

3．用尺规作已知角的角平分线。

（二）能力目标1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。

2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。

教学重点1．角平分线的性质和判定定理的证明。

2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。

教学难点1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。

2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。

教学过程1、创设问题情境：〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?（蜘蛛实例的思考与探索，实际上既复习了点到直线的距离这一概念，又发现了角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质定理。

）2、新课引入问题：（1）还记得角平分线的概念吗？（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？（3）你是怎样理解结论的？（4）以前我们用折纸的方法得到了一个结论，我们能进行严格意义的证明吗？师：（板演:画出一个角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。

）问：你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出以知与求证进行证明？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E.求证：PD=PE.（注：将文字语言转化成符号语言和图形语言由师生共同完成）证明∵AC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=21∠AOB 。

又∵∠AOC=∠BOC=RT ∠,OC=OC ∴△AOC ≌△BOC （HL ）∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)(请学生回答蜘蛛控制猎物的方法、两条路线长度关系) 定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等。