现代信号处理经典的功率谱估计

现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为

雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。

第1章 离散时间信号与系统1、 傅里叶分析和Z 变换的区别、缺陷、特点关系：点数为N 的有限长序列x(n)的Z 变换为X(z),而其离散傅里叶变换为X(k)，两者均表示了同一有限长序列x(n)的变换,它们之间的关系是:对z 变换在单位圆上取样可得DFT 。

而DFT 的内插就是变换。

傅里叶变换优缺点(1) 傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能 (2) 傅里叶变换对于非平稳信号的局限性(3) 傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。

傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T 趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。

但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。

Z 变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT ），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z 变换就是专门分析数字信号，Z 变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。

Z 变换看系统频率响应，就是令Z 在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。

2、系统的记忆性、因果性、可逆性(1)记忆性如果系统在任意时刻n0的响应仅与该时刻的输入f(n0)有关，而与其它时刻的输入无关，则称该系统为非记忆系统（或系统无记忆性），否则称为记忆系统。

系统的记忆性有时也被称为动态特性。

该特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关。

对于无记忆LTI 系统，其系统冲激响应为，其中()()h n K n δ=，K 为一常数。

由于系统频率响应是冲激响应的傅氏变换、系统函数为系统冲激响应的z 变换，因此，无记忆LTI 系统的系统频率响应和系统函数分别为H(ω)=K ，H(z)=K 。

(2) 因果性如果系统任意时刻的响应与以后的输入无关，则该系统称为因果系统（或系统具有因果性），否则为非因果系统。

该特性强调的是，系统的响应是否与未来的输入有关。

功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。

2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。

3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。

二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。

2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。

3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。

以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。

• ARMA模型 H (z) B(z) A( z )
参数法谱估计的理论基础
重庆邮电大学通信学院
谱分解定理的推论
任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列 {u(n)} 激励 一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。
任何有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分 和确定的部分，对应的功率谱为连续的和离散的冲激信号。
FT
FT () fT (t)
IFT
fT
(t )


f
(t), T 2

t

T 2
0,
其他
• 平稳离散随机信号x(n)的自相关函数与功率谱密度之间为一 对傅立叶变换
物理意义：功率Rxx (0)
功率在ω上的分布
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如果随机信号是各态遍历的，相关函数可以由一个取样时间 序列用时间平均来取代统计平均。
AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
R (0) R (1)

R (1)
R (0)
R (2) R (1)


R (p) R (p-1)
R (2) R (1) R (0)
R (p-2)
R (p) 1 2
R
(p-1)


重庆邮电大学通信学院
AR谱估计的性质2：与最大熵谱估计等效
结论：
AR谱估计相当于对自相关函数以最大熵为原则进行 外推后进行傅立叶变换的结果。
AR谱估计相当于在p+1个自相关函数值确定的情况 下，以功率谱密度最平坦为准则得到的估计结果。
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（2）方差 Var[S (e j )] Var[S (e j )] S 2 (e j ) M per x 频率分辨率及旁瓣泄漏
Re s[SM (e j )] ()3dB
二、平均法（Bartlett法）
Bartlett提出，将 x(n)分为长L，互不重叠的k段子序列，N=kL,
3、讨论
m M 2 w ( m) M

M↑偏差↓
M↑方差↑ 一般M=N/5
五、谱估计技术的性能指标
1、变异性γ （归一化方差）
2、品质因数μ
4 2 x
j
j
结论：非一致估计
例
三、周期图的随机起伏
Cov[S per (e
j1
), S per (e
j2
sin[(k l ) ] 2 )] [ ] (k l ) N sin[ ] N
4 x
一、数据加窗（修正周期图）
数据窗
6.4.3 功率谱估计的改进
E[ S per (e )]
j
j
1 E[ S BT (e )] S x ( e j ) W ( e j ) 2
j
N ,
W (e j ) ()
是渐近无偏
2、方差
if 1 M N
j
1 2 Var[ S BT (e )] S x (e j ) W 2 (e j ( u ) )du 2N 1 j S x (e ) N
Bartlett法和Welch法分别对周期图和修正周期图进行平均， 从而达到减少方差的目的。 Blackman-Tukey法为了减少周
期图的方差，对自相关序列的估计进行加窗处理，从而减
少自相关序列的估计中那些不可靠的估计值对周期图的贡 献。

无关，PDF和pdf是随时间变化的，则称其为广义平稳随机过程。
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
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吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)

Ryy(m) zm



Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p





Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p

Sxx(z)Shh (z)
m n


S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换

Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有

Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。

三、实验原理
直 接 法 （ 周 期 图 法 ） ： 它 将 信 号 X(n) 的 N 点 样 本 XN ( ejw ) 为 XN n 的傅氏变换，取其幅值平方除以 N 作为 x(n)真实的功率谱 P( ejw ) 的估计。 P(ejw )表示。 间接法（自相关法、 BT 法）：先由 XN n 估计出自相关函数 r m 。对 r m 求傅氏 变换得到 XN n 的功率谱： PBT (ω)这是对 P( ω) 的估计。
相关图形：
相关函数法 35
30
25
20
15
10
5
0
50
100
150
200
250
300
周期图法 50
0
-50
-100
0
50
100
150
200
250
300
50
0
-50
-100
0
50100Fra bibliotek150
200
250
300
周期图法功率谱估计 20 10
Burg Power Spectral Density Estimate 60
40 0
功 率 谱 密 度 （ dB/Hz ） Power/frequency (dB/Hz)
20
-10 -20 -30 -40
0
-20
-40 -50 -60 -60
0
50 频 率 （ Hz ）
100
0
50 Frequency (Hz)
100
六、实验总结 可以看出直接法与间接法的方差性能都比较差， 为了追求谱线平滑， 就要以牺牲分辨率为代价的。
ylabel('¹¦ÂÊÆ×Ãܶȣ¨dB/Hz£©') title('ÖÜÆÚͼ·¨¹¦ÂÊÆ×¹À¼Æ') order1=50; range='half'; magunits='dB'; subplot(1,2,2) pburg(xn,order1,nfft,Fs,range);%burgËã·¨µÃ¹¦ÂÊÆ×

功率谱估计方法的比较与评价功率谱估计是信号处理领域的重要工具，用于分析信号的频率内容和能量分布。

随着科技的进步，出现了多种功率谱估计方法，例如经典的周期图法、快速傅里叶变换法以及最小二乘法等。

本文将对这些方法进行比较与评价，旨在找出最适合于不同应用场景的功率谱估计方法。

一、周期图法周期图法是一种常用的功率谱估计方法，它利用信号的自相关函数来计算功率谱。

该方法适用于稳态信号，并能够较好地估计信号的频谱特征。

但周期图法在非稳态信号的估计上存在一定的局限性，并且计算复杂度较高，需要较长的计算时间。

二、快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）法是一种高效的功率谱估计方法，通过将信号从时域转换为频域，可以快速计算出信号的功率谱。

FFT法的优点是计算速度快，适用于大数据量的处理。

然而，由于FFT法是基于信号的离散采样点进行计算的，对于非周期信号的估计效果可能不够准确。

三、最小二乘法最小二乘法是一种经典的信号处理方法，可以用于估计信号的功率谱密度函数。

该方法利用样本点间的相关性来估计信号的频谱分布，并通过最小化误差的平方和来求解最优的谱估计。

最小二乘法的优点是估计结果较为准确，对于非稳态信号的估计效果也较好。

然而，最小二乘法在计算复杂度上稍高，并且对于信噪比较低的信号，估计结果可能受到较大影响。

四、窗函数法窗函数法是一种常见的功率谱估计方法，它通过在时域上对信号进行窗函数加权来减小频谱泄露的影响。

窗函数法对于非周期性和非稳态信号的功率谱估计具有一定的优势，可以提供更准确的估计结果。

然而，在窗函数选择上需要权衡分辨率和频谱失真的平衡，不同的窗函数选择会对结果产生一定的影响。

综上所述，不同的功率谱估计方法适用于不同的应用场景。

周期图法适用于稳态信号的估计；快速傅里叶变换法适用于大数据量的处理；最小二乘法适用于需要较高估计准确度的场景；窗函数法适用于非周期性和非稳态信号的估计。

在具体应用中，需要根据信号特性和实际需求选择合适的功率谱估计方法，以获得准确可靠的结果。

7.1概述
谱估计方法： 经典方法（非参数法），现代方法（参数法）
• 经典方法：以傅里叶变换为基础， 方法：周期图法 和 Blackman-Tukey(BT)法 (自相关序列估计法)； 适用范围：数据多，对频率分辨率要求不高。
• 现代方法：以随机过程的参数模型为基础， 又称参数方法或模型方法； 最基本的方法： 自回归模型法，线性预测法，最大熵法； 适用范围：数据少，对频率分辨率要求高。 优劣：参数方法较优，利用了“随机过程是如何产生的”信息，
m=−
m=0
7.2 功率谱估计的经典方法------周期图法
• S per (e jw ) 可用 X N (e jw ) 表示为：
N −1
S per (e jw ) =
RN (m)e− jwm =
m=−( N −1)
N −1 [ 1
N m=−( N −1)
N −1− m n=0
xN (n) x*N (n + m)]e− jwm
• RN (m) 的傅里叶变换 S per (e jw ) 为：
+
N −1
S per (e jw ) =
RN (m)e− jwm =
RN (m)e− jwm
m=−
m=−( N −1)
表示 。
• xN (m) 的傅里叶变换 X (e jw ) 为：
+
N −1
X (e jw ) =
xN (m)e− jwm = xN (m)e− jwm
第七章 功率谱估计的经典方法
7.1概述 7.2 功率谱估计的经典方法
7.1概述
功率谱估计， • 是估计平稳随机过程的功率谱， • 根据随机过程的一个取样序列的一段数据, 即有限长数据来估计。 • 假定信号是遍历的，建立在时间平均基础上。

已知信号x(t)=2cos(2πf1t)+3cos(2πf2t)+w(t)。

其中，f1=30HZ，f2=110HZ，w(t)为白噪声，采样频率F S=1000HZ。

求其功率谱1.周期图法，直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。

clc;Fs=1000; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));window=boxcar(length(xn)); %矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法¨plot(f,10*log10(Pxx));xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('直接法');saveas(gcf, 'zhoujifa','jpg');效果图如图1所示图1 直接法功率谱效果改进的直接法2. Bartlett法clcFs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));nfft=1024;window=boxcar(length(n)); %矩形窗noverlap=0; %数据无重叠p=0.9; %置信概率[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);index=0:round(nfft/2-1);k=index*Fs/nfft;plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));figure(1)plot(k,plot_Pxx);xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('直接法');pause;saveas(gcf, 'zhijie','jpg');figure(2)plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]); xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('Bartlett法');saveas(gcf, 'bartlett','jpg');相对于直接法，Bartlett法运行结果曲线较为平滑,如图2图3所示：图2直接法图3 Bartlett法3 . Welch法clc;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;xn=2*cos(2*pi*30*n)+3*cos(2*pi*110*n)+randn(size(n));nfft=1024;window=boxcar(100); %矩形窗window1=hamming(100); %海明窗window2=blackman(100); %blackman窗noverlap=20; %数据重叠数range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);plot_Pxx=10*log10(Pxx);plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);figure(1)subplot(3,1,1),plot(f,plot_Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,plot_Pxx1);subplot(3,1,3),plot(f,plot_Pxx2);xlabel('频率/kHz');ylabel('相对功率谱密度（dB/Hz）');title('Welch法');saveas(gcf, 'Welch','jpg');程序运行结果使信号得以突出，而抑制了噪声,如图4所示：图4 Welch法功率谱效果。

《现代信号处理》姓名：李建强学号：2专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。

在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。

平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。

与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。

其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。

其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。

利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。

三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。

1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。

（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。

（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。

1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%-------------------------------------------------------------------------pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。

功率谱估计的经典方法周期图法是最早被提出的功率谱估计方法之一、它基于信号的周期性，将信号分解成一系列频率分量，然后计算每个频率分量的功率谱密度。

周期图法主要分为周期自相关法和周期平均法两种。

周期自相关法通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。

周期平均法则是通过对多个信号周期进行平均得到功率谱估计结果。

平均法是功率谱估计的另一种常用方法。

它通过对信号进行多次采样，然后计算采样信号的傅里叶变换得到频谱，再对多个频谱进行平均得到功率谱估计结果。

平均法的优点是抗噪声能力强，可以提高功率谱估计的准确性。

自相关法是一种基于信号自身特性的功率谱估计方法。

它通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。

自相关法的优点是计算简单，但是对信号的平稳性要求较高。

递归方法是一种实时性较好的功率谱估计方法。

它通过对信号进行递推计算，每次计算结果作为下一次计算的输入，以此来估计信号的功率谱。

递归方法通常会使用窗函数来平滑信号，减小频谱分辨率。

递归方法的优点是计算效率高，可以用于实时信号处理。

除了这些经典方法，还有一些其他的功率谱估计方法，如Yule-Walker方法、Burg方法、最大熵方法等。

每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法需要根据具体需求和信号特性进行判断。

在实际应用中，功率谱估计可以用于信号处理、通信系统设计、频谱分析等领域。

它可以帮助我们了解信号的频谱分布特性，对信号进行分析和处理，从而实现更好的信号传输和处理效果。

无论是音频信号、图像信号还是通信信号，功率谱估计都具有重要的意义。

因此，掌握功率谱估计的经典方法是进行信号处理和频谱分析的基础。

4.2.1 BT法（间接法） BT法是先估计自相关函数, 然后按照(4.1.1)式进行傅里叶变 换得到功率谱。设对随机信号 x(n) ，只观测到一段样本数据， n=0, 1, 2, …, N-1。 关于如何根据这一段样本数据估计自相关函 数, 第一章已经作了详细介绍，结果是共有两种估计方法， 即有 偏自相关函数估计和无偏自相关函数估计。有偏自相关函数估 计的误差相对较小，这种估计是一种渐近一致估计， 将该估计
周期图法的功率谱估计公式用（ 4.2.8 ）式表示，下面由 该公式出发推导它们的等价关系。
ˆ (e P xx
j
1 N 1 j n ) x ( n)e N n 0
2
N 1 1 N 1 j k * j n x ( k )e x ( n)e N k 0 n 0
第四章 功 率 谱 估 计
4.2.2 周期图法(直接法）
将功率谱的另一定义（4.1.6）式重写如下:
2 N 1 j jn Pxx (e ) lim E x ( n) e N 2 N 1 n N
如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为:x(n) 0≤n≤N-1， 便得到周期图法的定义:
N 1 * rxx (m) lim x (n) x(n m) N 2 N 1 n N
(4.1.4)
第四章 功 率 谱 估 计 将（4.1.4）式代入(4.1.1)式, 得到
1 j * j m Pxx (e ) lim x ( n) x( n m)e N 2 N 1 m m 1 N * j n j ( n m ) lim x (n)e x N m
因此证明了利用有偏自相关函数的BT法和周期图法的等价关系。

2 k 0 p
for m 0
重庆邮电大学通信学院
AR谱估计的性质1：隐含着自相关函数的外推
k R (m - k ), ˆ 2 (m) = a
k 0 2 p p
for m 0 for m 0 0 1) (设a
(m) k R (m - k ), ˆ (m)- a R
AIC(k )
使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶 数一般偏高。
(3) 判别自回归传输函数（CAT）准则
CAT(k ) N ˆ (其中 2 j） N j
2 j
最小化上式得最优阶数。
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AR模型法功率谱估计：
性能分析：
精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。 估值的均值（N，p ）：
AR模型法功率谱估计：
求解方法：
模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p， 求模型参数。 阶数p已知时对模型两边同求某种统计特征以将随机 变量转化为确定性的量。 对各种阶数下的模型进行比较应用某种准则选出最 好的模型( )。
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AR模型法功率谱估计：
AR(p)模型的Yule - Walker方程组：
上式假设了滤波器H ( z)是因果的，且h(0) 1, 故有h* (-m) (m) for m 0
右边：
(m) z - m } a m * R (m) a k R (m - k ) ˆ ( z) -1{ A R
m- k 0

p
故有：
k R (m - k ), ˆ (m) = a
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现代谱估计
算法基础 以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法 或参数法 历史沿革

m
m
再利用Levinson关系式：
i 0
( m1) ( m) a(jm) a(jm1) mam , a ,...,m 1) j m m ,( j 1
(15)
有
f m (n) f m1 (n) m g m1 (n 1)
* g m (n) g m1 (n 1) m f m1 (n)
(3)
由于系数矩阵的Toplitz性质，k+1阶系数矩阵 R ( k 1) 可有两种分块形式。
利用这个性质，可设
1 0 ( k ) ( k ) a ( k ) a 0 k 1 ( k 1) R (k ) a ( k ) a 0 1 k ( k ) 0 1
r (1) r (2) r (k ) 1 ( k ) r (0) r (1) a ( k ) r ( 0 ) r ( 1 ) r ( k 1 ) 0 1 (k ) a r ( k ) r ( k 1 ) r ( k 2 ) r ( 0 ) k 0
2) 置i=k+1＝1;
3) 由(8)、(10)式计算 4) 由(7)、(10)式计算
a
(i ) i
[r (i) a (ji 1) r (i j )] / (i 1)
j 1
i 1
(11)
i 1) a(ji ) a(ji 1) ai(i ) ai( ,...,i 1) (12) j ( j 1
已知（或估计出）p+1个自相关函数值 R(0),R(1),…R(p) 可求出 p+1个模型参数

结论
经典功率谱估计方法在信号处理领域具有广泛的应用价值。本次演示详细介 绍了经典功率谱估计的基本原理、误差分析和仿真实现方法。通过仿真实验，我 们验证了这些方法的性能表现，并得出了在不同条件下的优劣比较。尽管经典功 率谱估计方法存在一定的局限性，但它们在很多情况下仍具有很好的适用性。
未来研究方向可以包括研究更为精确和高效的功率谱估计方法，以适应不断 变化的应用需求和提高信号处理的精度。加强经典功率谱估计在实际问题中的应 用研究，将有助于推动其在各领域的广泛应用和发展。
现代功率谱估计方法则更加注重信号的特性和模型化，能够更好地处理非平 稳信号和复杂场景。其中，基于信号模型的功率谱估计方法可以针对特定场景选 择合适的模型，提高估计精度；而基于深度学习的功率谱估计方法则可以通过训 练神经网络自动提取和学习信号特征，具有很强的适应性。
然而，现代功率谱估计方法也存在着实现难度较大、需要大量数据来训练模 型等问题。同时，这些方法的效果还受到模型复杂度、网络参数等因素的影响。
感谢观看
总之，通过本次演示的讨论和实验，我们深入理解了经典功率谱估计的基本 原理和实现方法，并成功地使用MATLAB实现了功率谱估计。尽管存在一些不足之 处，但经典功率谱估计在许多场景下仍然是一种简单有效的工具。在未来的研究 中，我们可以考虑探索更高级的算法和优化实现细节，以提高功率谱估计的性能 和准确性。
仿真实现
为了验证经典功率谱估计方法的有效性和精度，我们可以利用仿真工具进行 实验。具体步骤包括：
1、生成信号：根据实际需求，我们可以生成不同类型的信号，如周期信号、 随机信号和实际应用中的信号等。
2、加入噪声：在实际应用中，信号往往会受到噪声的干扰，因此，我们需 要在仿真实验中加入噪声，以模拟真实情况。