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第1章 离散时间信号与系统1、 傅里叶分析和Z 变换的区别、缺陷、特点关系：点数为N 的有限长序列x(n)的Z 变换为X(z),而其离散傅里叶变换为X(k)，两者均表示了同一有限长序列x(n)的变换,它们之间的关系是:对z 变换在单位圆上取样可得DFT 。
而DFT 的内插就是变换。
傅里叶变换优缺点(1) 傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能 (2) 傅里叶变换对于非平稳信号的局限性(3) 傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。
傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T 趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。
但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。
Z 变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT ），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z 变换就是专门分析数字信号，Z 变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。
Z 变换看系统频率响应，就是令Z 在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。
2、系统的记忆性、因果性、可逆性(1)记忆性如果系统在任意时刻n0的响应仅与该时刻的输入f(n0)有关，而与其它时刻的输入无关，则称该系统为非记忆系统（或系统无记忆性），否则称为记忆系统。
系统的记忆性有时也被称为动态特性。
该特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关。
对于无记忆LTI 系统，其系统冲激响应为，其中()()h n K n δ=，K 为一常数。
由于系统频率响应是冲激响应的傅氏变换、系统函数为系统冲激响应的z 变换，因此，无记忆LTI 系统的系统频率响应和系统函数分别为H(ω)=K ，H(z)=K 。
(2) 因果性如果系统任意时刻的响应与以后的输入无关，则该系统称为因果系统（或系统具有因果性），否则为非因果系统。
该特性强调的是，系统的响应是否与未来的输入有关。
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
功率谱估计方法的比较与评价功率谱估计是信号处理领域的重要工具，用于分析信号的频率内容和能量分布。
随着科技的进步，出现了多种功率谱估计方法，例如经典的周期图法、快速傅里叶变换法以及最小二乘法等。
本文将对这些方法进行比较与评价，旨在找出最适合于不同应用场景的功率谱估计方法。
一、周期图法周期图法是一种常用的功率谱估计方法，它利用信号的自相关函数来计算功率谱。
该方法适用于稳态信号，并能够较好地估计信号的频谱特征。
但周期图法在非稳态信号的估计上存在一定的局限性，并且计算复杂度较高，需要较长的计算时间。
二、快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）法是一种高效的功率谱估计方法，通过将信号从时域转换为频域，可以快速计算出信号的功率谱。
FFT法的优点是计算速度快，适用于大数据量的处理。
然而，由于FFT法是基于信号的离散采样点进行计算的，对于非周期信号的估计效果可能不够准确。
三、最小二乘法最小二乘法是一种经典的信号处理方法，可以用于估计信号的功率谱密度函数。
该方法利用样本点间的相关性来估计信号的频谱分布，并通过最小化误差的平方和来求解最优的谱估计。
最小二乘法的优点是估计结果较为准确，对于非稳态信号的估计效果也较好。
然而，最小二乘法在计算复杂度上稍高，并且对于信噪比较低的信号，估计结果可能受到较大影响。
四、窗函数法窗函数法是一种常见的功率谱估计方法，它通过在时域上对信号进行窗函数加权来减小频谱泄露的影响。
窗函数法对于非周期性和非稳态信号的功率谱估计具有一定的优势，可以提供更准确的估计结果。
然而，在窗函数选择上需要权衡分辨率和频谱失真的平衡，不同的窗函数选择会对结果产生一定的影响。
综上所述，不同的功率谱估计方法适用于不同的应用场景。
周期图法适用于稳态信号的估计；快速傅里叶变换法适用于大数据量的处理；最小二乘法适用于需要较高估计准确度的场景；窗函数法适用于非周期性和非稳态信号的估计。
在具体应用中，需要根据信号特性和实际需求选择合适的功率谱估计方法，以获得准确可靠的结果。
《现代信号处理》姓名：李建强学号：201512172087专业：电子科学与技术作业内容：在MATLAB平台上对一个特定的平稳随机信号进行经典功率谱估计和现代功率谱估计的比较一、前言功率谱估计是信息学科中的研究热点,在过去的30多年里取得了飞速的发展。
在许多工程应用中，它能给出被分析对象的能量随频率的分布情况。
平滑周期图是一种计算简单的经典方法，它的主要特点是与任何模型参数无关，但估计出来的功率谱很难与信号的真是功率谱相匹配。
与周期图方法不同，现代谱估计主要是针对经典谱估计(周期图和自相关法)的分辨率低和方差性能不好的问题而提出的。
其使用参数化的模型，能够给出比周期图方法高得多的频率分辨率。
其内容极其丰富，涉及的学科和领域也相当广泛，按是否有参数大致可分为参数模型估计和非参数模型估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等;后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。
二、总体概述本次实验分别使用经典的功率谱估计（如周期图法）与AR模型法对某一特定的平稳随机信号进行其功率谱估计，由图像得到信号的频率。
利用MATLAB平台，直观形象地观察并比较二者估计效果的区别，以便于加深对功率谱估计的理解和掌握。
三、具体的实现步骤1、经典法功率谱估计周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限的真实功率谱的估计的一个抽样。
1.1、实现步骤（1）、模拟系统输出参数x(n)=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N（128或512或1024，加性高斯白噪声（AGWN）功率一定，设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用周期图法（不加窗）对信号的功率谱密度进行估计，使用直接法在MATLAB 平台上进行编程实现。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
1.2 MATLAB源代码实现clear all; %清除工作空间所有之前的变量close all; %关闭之前的所有的figureclc; %清除命令行之前所有的文字n=1:1:128; %设定采样点n=1-128f1=0.2; %设定f1频率的值0.2f2=0.213; %设定f2频率的值0.213A=1; %取定第一个正弦函数的振幅B=1; %取定第一个正弦函数的振幅a=0; %设定相位为0x1=A*sin(2*pi*f1*n+a)+B*sin(2*pi*f2*n+a); %定义x1函数，不添加高斯白噪声x2=awgn(x1,3); %在x1基础上添加加性高斯白噪声，信噪比为3,定义x2函数temp=0; %定义临时值，并规定初始值为0temp=fft(x2,128); %对x2做快速傅里叶变换pw1=abs(temp).^2/128; %对temp做经典功率估计k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(1); %输出x1函数图像plot(w/pi/2,pw1) %输出功率谱函数pw1图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x(n)添加高斯白噪声后的,周期图法功率频谱分析');grid;%------------------------------------------------------------------------- pw2=temp.*conj(temp)/128; %对temp做向量的共轭乘积k=0:length(temp)-1;w=2*pi*k/128;figure(2);plot(w/pi/2,pw2); %输出功率谱函数pw2图像xlabel('信号频率/Hz');ylabel('PSD/傅立叶功率谱估计');title('正弦信号x（n）自相关法功率谱估计');grid;1.3 matlab仿真图形（1）、用直接法，功率谱图像,采样点N=128。
（2）用直接法，功率谱图像,采样点N=512。
1.4、经典功率谱估计分析当采样的点数为N=128时，此时采样的得到的图像分辨力很低，并且分辨率也比较低，这就导致了功率谱图像只能看到一个峰值点。
采样点数为N=512时，此时，分辨力和分辨率比较高，可以清楚的区分到两个峰值点的横坐标，此时的横坐标就是信号的频率。
但是这是以牺牲效率为代价的，采样的点数越多，所花的时间越长，这在实际的工程中是不切合实际的，因此，在我们估计随机信号的频率的时候，要合理的采取样本点数，尽可能的采取多的样点，来接近真实的信号频率，也要考虑实际的效率问题。
2、AR模型一般最小二乘法谱分析方法要求ARMA模型的阶数和参数以及噪声的方差已知.然而这类要求在实际中是不可能提供的,即除了一组样本值x(1),x(2),…,x(T)以供利用(有时会有一定的先验知识)外,再没有其它可用的数据.因此必须估计有关的阶数和参数,以便获得谱密度的估计。
2.1 实现步骤（1）、模拟系统输出参数y=A*sin(2πf1*n)+B*sin(2πf2*n)，包括序列长度N,加性高斯白噪声（AGWN）,设置A，B，f1，f2，n的值。
（2）、应用AR模型一般最小二乘法对信号进行功率谱估计，编写程序。
取定|B(z)|=1，构造AR模型，然后不断变换p的值，观察不同p值下功率谱密度波形的分辨率高低。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
2.2 源代码%AR模型的一般最小二乘估计%-----------------------------------------clear all; %清除workspace之前的变量close all; %关闭之前的图像clc; %清除命令行之前的文字n=[1:128]; %取定采样点n=1至128f1=0.2; %取定f1频率的值f2=0.213; %取定f2频率的值(根据f1与f2之差=2*pi/n=0.0491）A=sqrt(20); %取定第一个正弦函数的振幅B=sqrt(2); %取定第一个正弦函数的振幅x=A*sin(2*pi*f1*n)+B*sin(2*pi*f2*n); %定义x函数noise=0+1*randn(1,length(n)); %添加均值为0、方差为1的高斯白噪声xn=x+noise; %在x1基础上添加加性高斯白噪声，定义xn函数m=xcorr(xn); %m为xn的自相关函数（序列)%-----------------------------------------p=100; %取定R的阶数,更改p的值，观察相对应的谱估计q=125; %此处一定要满足q>=pfor i=1:pfor j=1:pR(i,j)=m(q+i+j-1-p); %构造一个p*p阶的自相关矩阵（Hankel矩阵）%(课本P88 3.4.33a)endendRlegnth=size(R) %输出验证R矩阵的行列数的值for i=1:p % i=1~pr(i)=m(q+i); %定义一个1*p的向量，对应课本P88 3.4.22cendr=-r'; %对应课本P88 3.4.23 Ra=-ra=(inv(R'*R)*R')*r; %用LS方法求解aa1=fliplr(a) %对应课本P88 3.4.22b，将a进行元素对调,使a1=[ap,...,a1]'figure(1);freqz(1,a1,128,1);title('AR模型的一般最小二乘估计');legend(strcat('AR阶数=',int2str(p)));grid on;2.3 matlab仿真图形（1）、当p=4时，信号的功率谱密度波形：（2）、当p=64时，信号的功率谱密度波形：（3）、当p=100时，信号的功率谱密度波形：3、AR模型的总体最小二乘法一般最小二乘法会带来两个问题：其一，必须重新列出方程组，使它只包含p个未知数；其二，求解Ax=b的最小二乘方法只认为b含有误差，但实际上系数矩阵A也含有误差。
因此，引入总体最小二乘法（SVD-TLS）可以比一般最小二乘法更合理地同时考虑A 和b的误差或扰动。
3.1 实现步骤（1）、模拟系统输出参数y=Asin(2πf1*n)+Bsin(2πf2*n)，包括序列长度N,加性高斯白噪声（AGWN）,设置A,B,f1,f2,n的值。
（2）、应用AR模型的总体最小二乘法对信号进行功率谱估计，按照课本P96求总体最小二乘解的算法步骤，编写程序。
取定|B(z)|=1，构造AR模型，然后不断变换p的值，观察不同p值下功率谱密度波形的分辨率高低。
（3）、输出相应波形图，进行观察，记录。
（4）、算法步骤（SVD-TLS算法）步骤1：计算增广矩阵B的SVD，并存储奇异值和矩阵V；步骤2：确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3：利用式（3.4.56）和式（3.4.53）计算矩阵S（p）；步骤4：求S（p）的逆矩阵S-(p)，并由式（3.4.59）计算未知参数的总体最小二乘估计。
3.2 源代码%实现AR模型的总体最小二乘估计（SVD-TLS算法）%-----------------------------------------clear all; %清除workspace之前的变量close all; %关闭之前的图像clc; %清除命令行之前的文字n=[1:128]; %取定采样点n=1至128f1=0.2; %取定f1频率的值f2=0.213; %取定f2频率的值A=sqrt(20); %取定第一个正弦函数的振幅B=sqrt(2); %取定第二个正弦函数的振幅x=A*sin(2*pi*f1*n)+B*sin(2*pi*f2*n); %定义x函数noise=0+1*randn(1,length(n)); %添加均值为0、方差为1的高斯白噪声xn=x+noise; %在x1基础上添加加性高斯白噪声，定义xn函数m=xcorr(xn); %m为xn的自相关函数（序列)%-----------------------------------------p=100; %取定R的阶数,更改p=4，64，100，的值，观察%相对应的谱估计q=125; %此处一定要满足q>=pfor i=1:pfor j=1:pR(i,j)=m(q+i+j-1-p); %构造一个pxp阶的自相关矩阵（Hankel矩阵）%(课本P88 3.4.33a)endendRlegnth=size(R) %输出验证R矩阵的行列数的值for i=1:p %i=1~pr(i)=m(q+i); %定义一个1*p的向量，对应课本P88 3.4.22cendB=[-r',R]; %对应P94 3.4.45b中的B[U,K,V]=svd(B); %由P96 算法3.4.1步骤1 求得增广矩阵B的%SVD，并存储奇异值和矩阵VP=rank(B); %由P96 算法3.4.1步骤2 求得增广矩阵B的有%效秩，定义为PS=zeros(P+1); %构造一个(p+1)*(p+1)维的矩阵S，对应课本P95 3.4.55for j=1:pfor i=1:p+1-Pdjj=K(j,j)*K(j,j); %对应课本P96 3.4.56，构造djj,并求其平方vij=V(i:i+p,j); %对应课本P96 3.4.56和课本P95 3.4.53，构造vijS= S+djj*vij*vij'; %对应课本P96 3.4.56，计算矩阵S的二重级数求和endendSni=inv(S); %对应课本P96 算法3.4.1步骤4，求S逆矩阵a=zeros(1,P); %对应课本P88 3.4.22b，构造a矩阵for i=1:Pa(1,i)=Sni(i+1,1)/Sni(1,1); %对应课本P96 3.4.59，求出矩阵a=[a1,...,ap]' enda1=fliplr(a) %对应课本P88 3.4.22b，将a进行元素对调,使a1=[ap,...,a1]'figure(1);freqz(1,a1,128,1); %求出信号的幅频响应和相频响应波形title('AR模型的总体最小二乘（SVD-TLS）估计');legend(strcat('AR（p）阶数p=',int2str(p)));grid on;3.3、matlab仿真图形（1）、当p=4时，信号的功率谱波形（2）、当p=64时，信号的功率谱波形（3）、当p=100时，信号的功率谱波形四、总结：以上分别用了周期图法、AR模型的参数化估计（LS算法和SVD-TLS）算法对同一观测信号进行了功率谱的估计，通过仿真结果的对比，可以得出以下结论：1、、周期图法的分辨率低，不能适应高分辨率功率谱估计的需要，与之相比，参数化谱估计可以提供比周期图高得多的频率分辨率。
