高中数学数列测试题

数列1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，若是a n ＝2 005，那么序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，那么a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．若是a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( )．A ．a 1a 8＞a 4a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 54．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为41的等差数列，那么 ｜m －n ｜等于( )．A ．1B ．43C ．21D ． 83 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，那么{a n }的前4项和为( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．假设数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，那么使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )．A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 0087．已知等差数列{a n }的公差为2，假设a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －108．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，假设35a a ＝95，那么59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，那么212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．41 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，假设S 2n －1＝38，那么n ＝( )．A ．38B ．20C ．10D ．9二、填空题11．设f (x )＝221+x ，利用讲义中推导等差数列前n 项和公式的方式，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为 .12．已知等比数列{a n }中，(1)若a 3·a 4·a 5＝8，那么a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝ ．(2)若a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，那么a 5＋a 6＝ ．(3)若S 4＝2，S 8＝6，那么a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝ .13．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，那么插入的三个数的乘积为 ． 14．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，那么此数列前13项之和为 .15．在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，那么a 4＋a 5＋…＋a 10＝ .16．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线只是同一点．假设用f (n )表示这n 条直线交点的个数，那么f (4)＝ ；当n ＞4时，f (n )＝ ．三、解答题17．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求证数列{a n }成等差数列.(2)已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证a c b +，b a c +，cb a +也成等差数列. 18．设{a n }是公比为 q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．19．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n n 2+S n (n ＝1，2，3…)． 求证：数列{nS n }是等比数列． 20．已知数列{a n }是首项为a 且公比不等于1的等比数列，S n 为其前n 项和，a 1，2a 7，3a 4成等差数列，求证：12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列.数列参考答案一、选择题1．C解析：由题设，代入通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，即2 005＝1＋3(n －1)，∴n ＝699．2．C解析：此题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意得a 1＋a 2＋a 3＝21，即a 1(1＋q ＋q 2)＝21，又a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7．解得q ＝2或q ＝－3(不合题意，舍去)，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2)＝3×22×7＝84．3．B ．解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，∴排除C ．又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 12＋7a 1d ，∴a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 12＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8．4．C解析：解法1：设a 1＝41，a 2＝41＋d ，a 3＝41＋2d ，a 4＝41＋3d ，而方程x 2－2x ＋m ＝0中两根之和为2，x 2－2x ＋n ＝0中两根之和也为2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋6d ＝4，∴d ＝21，a 1＝41，a 4＝47是一个方程的两个根，a 1＝43，a 3＝45是另一个方程的两个根． ∴167，1615别离为m 或n ， ∴｜m －n ｜＝21，应选C ． 解法2：设方程的四个根为x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝2，x 1·x 2＝m ，x 3·x 4＝n ．由等差数列的性质：假设γ＋s ＝p ＋q ，那么a γ＋a s ＝a p ＋a q ，假设设x 1为第一项，x 2必为第四项，则x 2＝47，于是可得等差数列为41，43，45，47， ∴m ＝167，n ＝1615， ∴｜m －n ｜＝21． 5．B解析：∵a 2＝9，a 5＝243，25a a ＝q 3＝9243＝27， ∴q ＝3，a 1q ＝9，a 1＝3，∴S 4＝3－13－35＝2240＝120． 6．B解析：解法1：由a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，知a 2 003和a 2 004两项中有一正数一负数，又a 1＞0，那么公差为负数，不然各项总为正数，故a 2 003＞a 2 004，即a 2 003＞0，a 2 004＜0.∴S 4 006＝2＋006400641)(a a ＝2＋006400420032)(a a ＞0， ∴S 4 007＝20074·(a 1＋a 4 007)＝20074·2a 2 004＜0， 故4 006为S n ＞0的最大自然数. 选B ．解法2：由a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，同解法1的分析得a 2 003＞0，a 2 004＜0，∴S 2 003为S n 中的最大值．∵S n 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，∴20074在对称轴的右边． 依照已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右边零点B 的左侧，4 007，4 008都在其右边，S n ＞0的最大自然数是4 006．7．B解析：∵{a n }是等差数列，∴a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6，又由a 1，a 3，a 4成等比数列，(第6题)∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6．8．A 解析：∵59S S ＝2)(52)(95191a a a a ++＝3559a a ⋅⋅＝59·95＝1，∴选A ． 9．A解析：设d 和q 别离为公差和公比，那么－4＝－1＋3d 且－4＝(－1)q 4，∴d ＝－1，q 2＝2， ∴212b a a -＝2q d -＝21． 10．C解析：∵{a n }为等差数列，∴2n a ＝a n －1＋a n ＋1，∴2n a ＝2a n ，又a n ≠0，∴a n ＝2，{a n }为常数数列，而a n ＝1212--n S n ，即2n －1＝238＝19，∴n ＝10．二、填空题11．23．解析：∵f (x )＝221+x ， ∴f (1－x )＝2211+-x ＝x x 2222⋅+＝x x 22221+， ∴f (x )＋f (1－x )＝x 221+＋xx 22221+⋅＝x x 222211+⋅+＝x x 22)22(21++＝22． 设S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)，则S ＝f (6)＋f (5)＋…＋f (0)＋…＋f (－4)＋f (－5)，∴2S ＝[f (6)＋f (－5)]＋[f (5)＋f (－4)]＋…＋[f (－5)＋f (6)]＝62，∴S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝32．12．（1）32；（2）4；（3）32．解析：（1）由a 3·a 5＝24a ，得a 4＝2，∴a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝54a ＝32．（2）9136)(324222121=⇒⎩⎨⎧=+=+q q a a a a ， ∴a 5＋a 6＝(a 1＋a 2)q 4＝4．（3）2＝＋＝＋＋＋＝2＝＋＋＋＝4444821843214q qS S a a a S a a a a S ⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅， ∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 4q 16＝32．13．216． 解析：此题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因其中间数必与38，227同号，由等比中项的中间数为22738⋅＝6，∴插入的三个数之积为38×227×6＝216． 14．26．解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 13＝2a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4，∴S 13＝2＋13131)(a a ＝2＋13104)(a a ＝2413⨯＝26． 15．－49．解析：∵d ＝a 6－a 5＝－5，∴a 4＋a 5＋…＋a 10 ＝2＋7104)(a a ＝25＋＋－755)(d a d a ＝7(a 5＋2d )＝－49．16．5，21(n ＋1)(n －2)． 解析：同一平面内两条直线假设不平行那么必然相交，故每增加一条直线必然与前面已有的每条直线都相交，∴f (k )＝f (k －1)＋(k －1)．由f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (5)＝f (4)＋4＝2＋3＋4＝9，……f (n )＝f (n －1)＋(n －1)，相加得f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝21(n ＋1)(n －2)． 三、解答题17．分析：判定给定数列是不是为等差数列关键看是不是知足从第2项开始每项与其前一项差为常数． 证明：（1）n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，亦知足，∴a n ＝6n －5(n ∈N*)．首项a 1＝1，a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6(常数)(n ∈N*)，∴数列{a n }成等差数列且a 1＝1，公差为6．（2）∵a 1，b 1，c 1成等差数列， ∴b 2＝a 1＋c1化简得2ac ＝b (a ＋c )． a c b ＋＋c b a ＋＝ac ab a c bc ＋＋＋22＝ac c a c a b 22＋＋＋)(＝ac c a 2＋)(＝2＋＋2)()(c a b c a ＝2·bc a ＋， ∴a c b ＋，ba c ＋，cb a ＋也成等差数列． 18．解：（1）由题设2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－21． （2）假设q ＝1，那么S n ＝2n ＋21－)(n n ＝23＋2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝22＋1－))((n n ＞0，故S n ＞b n ． 若q ＝－21，那么S n ＝2n ＋21－)(n n (－21)＝49＋－2n n ． 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝4－11－)0)((n n ， 故关于n ∈N +，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n ．19．证明：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝nn 2＋S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1) S n ， 因此1＋1＋n S n ＝n S n 2． 故{nS n }是以2为公比的等比数列． 20．证明：由a 1，2a 7，3a 4成等差数列，得4a 7＝a 1＋3a 4，即4 a 1q 6＝a 1＋3a 1q 3， 变形得(4q 3＋1)(q 3－1)＝0，∴q 3＝－41或q 3＝1(舍)． 由3612S S ＝qq a q q a ----1)1(121)1(3161＝1213q +＝161； 6612S S S -＝612S S －1＝qq a q q a ----1)1(1)1(61121－1＝1＋q 6－1＝161； 得3612S S ＝6612S S S -． ∴12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．。

高中数学数列练习题一、选择题：1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，Sn=n2an，求a5的值。

A. 1B. 5C. 10D. 202. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a7=16，S8=64，则公差d的值为：A. 2B. 4C. 6D. 83. 等比数列{bn}的公比q≠1，若b3b4=b5b2，则公比q为：A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/2二、填空题：1. 已知数列{an}满足an+1=2an-1，a1=2，求a4的值。

2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=55，求公差d。

3. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=21，b1=1，求b2的值。

三、解答题：1. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求数列的前10项和。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，求S20。

3. 已知等比数列{bn}的通项公式为bn=2n-1，求数列的前8项和。

四、证明题：1. 证明：若数列{an}为等差数列，且a1=2，d=3，则数列的前n项和Sn=3n2-n。

2. 证明：若数列{bn}为等比数列，且b1=1，q=2，则数列的前n项和Tn=2n-1。

五、应用题：1. 某工厂生产的产品，每件产品的生产成本构成一个等差数列，首项为10元，公差为2元。

若生产第10件产品的成本为32元，求生产第20件产品的成本。

2. 某银行的存款利息构成一个等比数列，首项为100元，公比为1.05。

若存入第3个月时的利息为157.625元，求存入第6个月时的利息。

3. 某公司销售的电脑，其销售价格构成一个等比数列，首项为5000元，公比为0.9。

若第3个月的销售价格为3430.5元，求第6个月的销售价格。

注意：以上题目仅供参考，具体答案需要根据题目中给出的公式和条件进行计算。

2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为_______ 2．已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项an 等于 A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1D.2n+13．某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满意，其余18人都要上楼或下楼。

假设乘客每向下走一层不满意度为1，每向上走一层不满意度为2。

所有人不满意之和为S ，为使S 最小，电梯应停在第（ ）层。

A,15 B,14 C,13 D,12第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4． 已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有i j k l a b a b +=+，则201011()2010i i i a b =+∑的值是 ▲ ．5．1、各校（园）：请各单位对照本单位实际，按马校长的要求做好校园安全工作。

马校长强调：近期安全要关注之处1、学生上下学安全，和家长定接送安全责任状，上学的时候有人值班校干带班。

2、校内各个区域的安全值班，重要的是有人带班和检查一下值班情况。

3、食堂食品和学生饮用水情况。

4、传达室的物品摆放情况和值班情况，不可以让人员随意进出学校。

5、进行特异体质学生调查，统计，跟踪分析一下。

6、对学生的安全教育情况，7、带领全体职工学习安全职责。

8、学校的线路情况如何。

9、楼梯口的安全值班情况。

10、保安的管理情况，不可以有超过七十岁的安保人员。

高中数学试卷代数——数列练习题一、单选题1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2(a n+1)，则a2的值为（）A．-4B．-2C．-6D．-82．已知等差数列{a n}中首项a1=2，公差d=1，则a5=（）A．5B．6C．7D．83．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a5+a8=15，则S9等于（）A．60B．45C．36D．184．在等差数列{a n}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A．5B．7C．9D．105．在等差数列{a n}中，a1=3，a3=4则a5=（）A．3B．4C．5D．－16．各项均为正数的等比数列{a n}中，a2a4=4，则a1a5+a3的值为（）A．5B．3C．6D．87．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）A．48里B．24里C．12里D．6里8．若等差数列a n满足a3+a5+a7+a9+a11=80，则a8﹣12a9=（）A．8B．9C．10D．119．已知数列{a n}的前n项和公式为S n=n2﹣6n+3，则a7+a8+a9+a10等于（）A．7B．13C．33D．4010．等差数列{a n} 中，a5＞0，a4+a7＜0，则{a n} 的前n项和S n中最大的项为（）A．S4B．S5C．S6D．S711．已知甲乙两车间的月产值在2011年元月份相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲乙两个车间2011年4月月产值的大小，则有（）A．甲大于乙B．甲等于乙C．甲小于乙D．不确定12．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=18，a2a3=32，若{a n}的前n项和S n满足S k+10−S k=216−26，则正整数k等于（）A．5B．6C．7D．813．数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．12(9n−1)C．9n﹣1D．14(3n−1)14．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A．12+14+18+116+132+164=6364B．122−1+142−1+162−1+⋯+1502−1=5051C．12+14+16=1112D．11+2+11+2+3+⋯+11+2+3+⋯+50=495115．等差数列a1,a2,⋅⋅⋅,a n(n≥3,n∈N∗)，满足|a1|+|a2|+⋅⋅⋅+|a n|=|a1+1|+|a2+1|+⋅⋅⋅+|a n+1|=|a1−2|+|a2−2|+⋅⋅⋅+|a n−2|=2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为5116．设正项等比数列{a n}的前n项乘积为T n，已知a5=1，T3=2T7，则T n的（）A．最大值为32B．最大值为1024C．最小值为132D．最小值为1102417．数列{a n}的首项a1=−23，前n项和为S n.已知S n+1S n+2=a n(n≥2)，则使S n≥m恒成立的最大实数m=（）A．−1B．−89C．−98D．−79二、填空题18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=S n，n∈N∗，则S n=. 19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a7+a9=15，则S13=. 20．如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=．21．设数列{a n}满足a1=1，a2=3且a n+2−2a n+1+a n=2，则a4−a3=，数列{a n}的通项a n=．22．已知等差数列{a n}的前三项为a−1,a+1,2a+3，则此数列的通项公式为23．记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3+a4=24，则S6=.24．实数2和8的等比中项是．25．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋅⋅⋅+log3a10=；26．已知数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和，a2=2，S8=0，则S99=．27．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．28．若f(x)+f(1−x)=2,a n=f(0)+f(1n)+f(2n)+...+f(n−1n)+f(1)( n∈N∗)，则数列{a n}的通项公式是.29．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q等于.30．在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1、2进行“扩展”，第一次得到数列1、32、2；第二次得到数列1、54、32、74、2；第n次得到数列1、x1、x2、⋯、2，则第n次得到的数列项数为；记第n次得到的数列的所有项和为a n=1+x1+x2+⋅⋅⋅+2，则数列{a n}的前n项和S n=．31．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为．32．已知等差数列{a n}，对任意n∈N+都有a1C n0+a2C n1+a3C n2+⋯+a n+1C n n=n⋅2n+1成立，则数列{1a n+1a n+2}的前n项和T n=．33．设[x] 为不超过x的最大整数，a n为[x[x]](x∈[0,n))可能取到所有值的个数，S n是数列{1a n+2n}前n项的和，则下列结论正确的是.（1）a3=4（2）190是数列{a n}中的项（3）S10=56（4）当n=7时，a n+21n取最小值34．设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和，若 S 5S 10=13 ，则 S 5S 20+S 10=.三、解答题35．已知等差数列 {a n } 的前n 项的和为 S n ，且 a 3=3 ， S 10=55 .（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设 b n =a n2n ，求数列 {b n } 的前n 项和 T n .36．已知等差数列 {a n } 中， S n 是数列 {a n } 的前 n 项和，且 a 2=5，S 5=35.（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）设数列 {1S n −n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .37．已知等差数列 {a n } 中， a 3=6 ， a 5+a 8=26 ．（∈）求数列 {a n } 的通项公式；（∈）设 b n =2a n +n ，求数列 (x 0,1) 的前 n 项和 S n ．38．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 6=6，a 4=2.（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求S n 的最大值及相应的n 的值.39．已知数列 {a n } 为等差数列，且公差不为0， a 3=5 ， a 2 是 a 1 与 a 5 的等比中项．（1）求数列 {a n } 的通项公式，（2）记 b n =1a 2n ⋅a2n+2，求数列 {b n } 的前 n 项之和 T n ． 40．已知等差数列 {a n } 中， a 2=3 ， a 4=7 ，等比数列 {b n } 满足 b 1=a 1 ， b 4=a 14 .（1）求数列 {a n } 通项公式 a n ； （2）求数列 {b n } 的前n 项和 S n .41．各项均为正数的数列 {a n } 满足 S n =a n 2+2a n +14(n ∈N ∗) ，其中 S n 为 {a n } 的前 n 项和.（1）求 a 1,a 2 的值； （2）求数列 {a n } 的通项公式.42．已知数列{a n }满足：a 1=12，对∀n ∈N +，都有a n+1=a n 2+n2+1．（1）设b n =a n −n ，n ∈N +，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n ．43．已知数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，且 a 1=1 ， S n =2a n+1 ．（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）当b n=log32(3a n+1)时，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n.44．在等差数列{a n}中，a1=1，a3=﹣3（∈）求数列{a n}的通项公式．（∈）若数列{a n}的前k项和S k=﹣35，求k的值．45．已知数列{a n}中，a1=2，其前n项和S n满足：S n=2a n+n−3．（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）令b n=1a n(a n−1)，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意的n∈N∗，都有T n<56．46．记S n为数列{a n}的前n项和，T n为数列{S n}的前n项和，已知S n+T n=2．（1）求证：数列{S n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和A n．47．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（∈）求{a n}的通项公式；（∈）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和S n．48．数列{a n}中，a3=1,S n=a n+1(n=1,2,3…).（1）求a1,a2；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n⋅b n+3⋅b n+4=1，试求数列{c n}的前n项和.49．已知数列{a n}满足(1−1a1)(1−1a2)⋯(1−1a n)=1a n(n∈N∗)，Sn是数列{a n}的前n项和.（∈）求数列{a n}的通项公式；（∈）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（∈）是否存在k∈N∗，使得√a k a k+1+16为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由.50．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n=2S n−1+2(n≥2)．（1）求{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由，答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列递推式【解析】【解答】依题意，数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，当 n =1 时， a 1=S 1=2(a 1+1) ，解得 a 1=−2 ， 当 n =2 时， S 2=2(a 2+2)=a 1+a 2 ，解得 a 2=−4 ， 故答案为：A.【分析】根据递推关系即可依次求得 a 1 和 a 2 的值.2．【答案】B【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：∵等差数列{a n }中首项a 1=2，公差d=1，∴a 5=2+4×1=6． 故选：B ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第5项．3．【答案】B【知识点】等差数列的前n 项和；等差数列的性质 【解析】【解答】解： a 2+a 8=2a 5又 a 2+a 5+a 8=15 ， 3a 5=15 ， a 5=5S 9=9×(a 1+a 9)2=9×2×a 52=9×a 5=45故答案为：B【分析】由 a 2+a 5+a 8=15 求 a 5=5 ，再用 S 9=9a 5 即可4．【答案】D【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，由题意结合等差数列的通项公式可得：{a 1+(a 1+d)=25(a 1+2d)+(a 1+3d)=45 ， 解得： {a 1=10d =5 . 故答案为：D .【分析】先设等差数列首项为a 1，公差为d ，通过等差数列的通项公式a n =a 1+(n −1)d ，即可得出答案。

高中数学选择性必修二《第四章 数列》单元检测试卷（一） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( )A ．10B ．20C ．16D ．12 2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．833．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－55．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．137．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －18．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 1010．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S611．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln nn ＋1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．14．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.15．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.16．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．答案解析一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝7，则a 7＝( )A ．10B ．20C ．16D ．12 解析：选D ∵{a n }是等差数列， ∴d ＝a 5－a 35－3＝52，∴a 7＝2＋4×52＝12.2．在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1(n≥2)，则a 5等于( )A ．－163 D ．163 C ．－83 D ．83解析：选B ∵a 1＝13，a n ＝(－1)n·2a n －1，∴a 2＝(－1)2×2×13＝23，a 3＝(－1)3×2×23＝－43，a 4＝(－1)4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－83，a 5＝(－1)5×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＝163.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3解析：选A 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．5D ．－5 解析：选D 因为S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n＋a ，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝a 11－q－a 11－q·q n ，可知其常数项与q n的系数互为相反数，所以a ＝－5. 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，n 为正奇数，a n ＋1，n 为正偶数，则254是该数列的( )A ．第8项B ．第10项C ．第12项D ．第14项 解析：选D 当n 为正奇数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2＝2a 1＝2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝a n ＋1，得a 3＝3，依次类推得a 4＝6，a 5＝7，a 6＝14，a 7＝15，…，归纳可得数列{a n }的通项公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋12－1，n 为正奇数，2n2＋1－2，n 为正偶数，则2n2＋1－2＝254，n ＝14，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2＝( )A ．2 D ．12 C ．3 D ．13解析：选C ∵S 1＝a 1，S 3＝3a 2，S 5＝5a 3，∴1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 1a 3＝35.∵a 1a 2a 3＝15，∴35＝a 315＋a 115＋a 215＝a 25，∴a 2＝3.故选C. 7．如果数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为13的等比数列，那么a n ＝( )A.32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1 C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n D ．23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －1解析：选A 由题知a 1＝1，q ＝13，则a n －a n －1＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.设数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1的前n 项和为S n ， ∴S n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n .又∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n ，∴a n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13n .8．若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)，满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n－i ＋1(i 是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数不超过2m(m ＞1，m ∈N *)的对称数列，且1,2,4，…，2m －1是数列{b n }的前m 项，则当m ＞1 200时，数列{b n }的前2 019项和S 2 019的值不可能为( ) A ．2m－2m －2 009B ．22 019－1C ．2m ＋1－22m －2 019－1 D ．3·2m －1－22m －2 020－1解析：选A 若数列{b n }的项数为偶数，则数列可设为1,21,22，…，2m －1,2m －1， (22)2,1，当m≥2 019时， S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1，故B 可能．当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m)1－2－1×(1－22m －2 019)1－2＝2m ＋1－22m －2 019－1，故C 可能．若数列为奇数项，则数列可设为1,21,22，…，2m －2,2m －1,2m －2， (22)2,1，当m≥2 019时，S 2 019＝1×(1－22 019)1－2＝22 019－1.当1 200＜m ＜2 019时，S 2 019＝2×1×(1－2m －1)1－2－1×(1－22m －1－2 019)1－2＋2m －1＝3·2m －1－22m －2 020－1，故D 可能．故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知等比数列{a n }的公比q ＝－23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10 解析：选AD ∵等比数列{a n }的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10＝a 29⎝ ⎛⎭⎪⎫－23<0，故A 正确； 但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确； ∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10， ∴b 9和b 10中至少有一个数是负数，又∵b 1＝12>0，∴d<0，∴b 9>b 10，故D 正确；∴b 10一定是负数，即b 10<0，故C 不正确．故选A 、D.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是( ) A ．若S 5＝S 9，则必有S 14＝0B ．若S 5＝S 9，则必有S 7是S n 中最大的项C ．若S 6＞S 7，则必有S 7＞S 8D ．若S 6＞S 7，则必有S 5＞S 6解析：选ABC ∵等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2，若S 5＝S 9，则5a 1＋10d ＝9a 1＋36d ，∴2a 1＋13d ＝0， ∴a 1＝－13d2，∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 1＋a 14＝0，∴S 14＝7(a 1＋a 14)＝0，A 对；又∵S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－13nd 2＋n (n －1)d 2＝d[(n －7)2－49]2，由二次函数的性质知S 7是S n中最大的项，B 对；若S 6＞S 7，则a 7＝a 1＋6d ＜0，∴a 1＜－6d ， ∵a 1＞0，∴d ＜0，∴a 6＝a 1＋5d ＜－6d ＋5d ＝－d ，a 8＝a 7＋d ＜a 7＜0， S 7＞S 8＝S 7＋a 8，C 对；由a 6＜－d 不能确定a 6的符号，所以S 5＞S 6不一定成立，D 错．故选A 、B 、C.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是( ) A ．此人第三天走了四十八里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析：选ABD 设此人第n 天走a n 里路，则{a n }是首项为a 1，公比为q ＝12的等比数列．所以S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192.a 3＝a 1q 2＝192×14＝48，所以A 正确，由a 1＝192，则S 6－a 1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B 正确． a 2＝a 1q ＝192×12＝96，而14S 6＝94.5＜96，所以C 不正确．a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＝336，则后3天走的路程为378－336＝42而且42×8＝336，所以D 正确． 故选A 、B 、D.12．若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(n ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( ) A ．a n ＝3n B ．a n ＝n 2＋1 C ．a n ＝n D ．a n ＝ln n n ＋1解析：选CD 对A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对D ，若a n ＝lnn n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)递减，所以数列{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选C 、D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 020－3n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 020－3n>0，得n<2 0203＝67313，又∵n ∈N *，∴n 的最大值为673. 答案：67314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则a n ＝________，S 10＝________.解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝16，20a 1＋20×(20－1)2×d＝20，解得a 1＝20，d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝20－2(n －1)＝22－2n .S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案：22－2n 11015．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2a 1＋a 2＝________.解析：因为数列1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.因为数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，又b 2＝1×q 2＞0(q 为等比数列的公比)，所以b 2＝3，则b 2a 1＋a 2＝310. 答案：31016．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.解析：设{a n }的公比为q ，q>0，且a 23＝1， ∴a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q2＝4. ∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314.答案：314四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且x ∈N *)确定．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 2 020.解：(1)证明：∵x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n≥2且n ∈N *)， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是公差为13的等差数列．(2)由(1)知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53.∴1x 2 020＝2 020＋53＝675. ∴x 2 020＝1675.18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132.(1)求等比数列{a n }的公比q ； (2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n .解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.(2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，所以数列{a 2n }是首项为1，公比为14的等比数列，故a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和(n ∈N *)，且a 2＝3，S 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差是d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.20．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a n <a n ＋1，得q>1，又a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2， 因为S 3＝2S 2＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＝2(a 1＋a 2)＋1，则1＋q ＋q 2＝2(1＋q)＋1，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝(2n －1)·a n ＝(2n －1)·2n －1(n ∈N *)， 则T n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，两式相减，得－T n ＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)×2n，即－T n ＝1＋22＋23＋24＋ (2)－(2n －1)×2n， 化简得T n ＝(2n －3)×2n＋3.21．(本小题满分12分)在①a n ＋1＝a n 3a n ＋1，②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，其中1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列，③1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知数列{a n }中，a 1＝1，________. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：若选条件①：(1)易知a n ≠0，∵a n ＋1＝a n 3a n ＋1，∴1a n ＋1－1a n ＝3.又1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴1a n ＝3n －2，∴a n ＝13n －2. (2)证明：由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件②：(1)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，则1a 2＝1＋d ，1a 3＋1＝2＋2d ，1a 6＝1＋5d ，∵1a 2，1a 3＋1，1a 6成等比数列， ∴(2＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d ＝3或d ＝－1.当d ＝－1时，1a 2＝1＋d ＝0，此时1a 2，1a 3＋1，1a 6不能构成等比数列，∴d ＝3，∴1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13， 故T n ＜13.若选条件③：(1)由1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3n 2－n 2知，当n≥2时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －1＝3(n －1)2－(n －1)2，两式相减，得1a n ＝3n 2－n 2－3(n －1)2－(n －1)2＝3n －2，∴a n ＝13n －2(n≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合上式， ∴a n ＝13n －2. (2)由(1)可知，b n ＝1(3n －2)(3n ＋1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1＝13－19n ＋3＜13，故T n ＜13.22．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2 d.由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n(n ∈N *)．(2)假设存在m ，k(k>m≥2，m ，k ∈N *)使得b 1，b m ，b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k . 因为b n ＝a n a n ＋1＝nn ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m m ＋12＝12×k k ＋1. 整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法： 因为k>0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m<1＋ 2. 因为m≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8.故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．高中数学选择性必修二《第四章 数列》单元检测试卷（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25 B ．13 C ．23D ．122．等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ）A ．32B ．31C ．64D ．63 3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13 D ．3-或13- 4．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．1278 B ．212 C ．638D ．63325．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53 B ．103 C ．56 D ．1166．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ）A ．16B ．64C ．128D ．2567．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（ ）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7SB ．8SC ．11SD ．13S二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A ．0d <B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．14第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.15．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝___. 16．已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分） 17．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .20．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S，且数列也为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <.22．已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数. （1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 答案解析第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25 B ．13 C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ）A ．32B ．31C ．64D ．63 【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13 D ．3-或13- 【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩,∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）． A ．1278 B ．212 C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩， ∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）． ∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53 B ．103 C ．56 D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ）A ．16B ．64C ．128D ．256 【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64.故选：B.7．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ）A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④ 【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>， 所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a aS a a +=⨯=+>，故③错误；因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S 【答案】D【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分） 9．设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ）A ．0d <B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值 【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：ABD.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】BD【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD.12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．14 【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++， 由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 14．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得q =(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭故答案为：32+15．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值， 因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分） 17．已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-; （2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得nS n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-.所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n nT n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦， 2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n nn T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦，则5(21)21nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S，且数列也为等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n nn ++.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥，11S ===成等差数列，1∴=+2d =， 1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21nan ∴=-.（2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n n b n n n n +∴==-⋅++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113nS <. 【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+， 所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =， 由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q.所以2n n a =.（2）112()333()1()22nn n n b =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立，又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<.22．已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数. （1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1na a n N n n =∈+；证明见解析【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =. 当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n aa n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立. ②假设当()*1,n k k k N=≥∈时等式成立，即()1k aa k k =+，则当1n k =+时，又n n S a na =- 则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-，∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a ak a ka k k k k ++==⨯=++所以()()()()112111k aaa k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时，等式成立. 结合①②得()1n aa n n =+对任意*n N ∈均成立.高中数学选择性必修二《第四章 数列》单元检测试卷（三）注：本检测满分150分。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

一、选择题1．已知数列{}n a 中，12a =，111(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．22．设等差数列{}n a 的前n 项和为*,n S n ∈N ．若12130,0S S ><，则数列{}n a 的最小项是（ ） A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项3．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．20204．数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，其前n 项和为n T ，若不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3λB ．4λC ．23λ D ．34λ5．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．1766．设数列{}n a 满足122,6,a a ==且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则121024102410241024a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ） A ．1022 B ．1023 C ．1024 D ．10257．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则81ii a==∑（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7668．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a9．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=（ *,n N d ∈为常数），称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，1231,3a a a ===，则20202018a a 等于（ ） A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×2018210．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（ ） A ．2072B ．2073C ．2074D ．207511．已知函数()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩令()()n a f n n *=∈N 得数列{}n a ，若数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,3B ．()2,3C ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，334S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1B ．[]1,0-C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则10S =________． 14．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n *∈N ），且12a =，则{}n a 的公差为______．15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若()112nn n n S a =-+，则129S S S +++=________.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，当2n ≥时有1122n n n n n S S S S na --+-=，则使122021m S S S ≥成立的正整数m 的最小值为______.17．如图所示，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于___2cm ？18．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =.若存在常数λ，使得2n n a a λ=()*N n ∈恒成立，则910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，n =________. 19．若数列{}n a 满足11a =，且()*1111n nn a a N +∈-=，则 ①数列{}na e是等比数列；②满足不等式：1112n n a a +++≥ ③若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}n f a 是单调递减数列； ④存在数列{}n a 中的连续三项，能组成三角形的三条边； ⑤满足等式：122311n n n a a a a a a n +++⋅⋅⋅+=+. 正确的序号是________20．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 满足443210q a a a ++++=，则首项1a 的取值范围是________.参考答案三、解答题21．已知{}n a 是首项为19，公差为2-的等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*12n n a S n N =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式，（2）设函数13()log f x x =，()()()12n n b f a f a f a =+++，1231111n nT b b b b =+++求证：2n T <． 23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n S n =，n *∈N ，数列{b n }满足：12113b b ==，，且21340n n n b b b ++-+=，n *∈N （1）求证：数列{}1n n b b +-是等比数列； （2）求数列{a n }与{b n }的通项公式.24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5624a a +=，11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足()1*12n a n T n a -=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n a s 在直线22y x =-，上n *∈N ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+()N n *∈，11a =. （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式. （2）若记n b 为满足不等式11122k nn a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()N n *∈的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n 的不等式4032n S <的最大正整数解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合12a =求解出结果.【详解】因为12a =，所以23412311111,11,12,......2a a a a a a =-==-=-=-= 所以3211111111111111111111n n nn n n n na a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-=------， 所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212a a a ⨯===， 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；（2）证明()*n A n a a A N+=∈，则可说明数列{}na 是周期为A 的数列.2．B解析：B 【分析】可利用等差数列的前n 项和的性质，等差数列下标的性质进行判断即可 【详解】由题意12130,0S S ><及()()()12112671311371366,132S a a a a S a a a =+=+=+=，得6770,0a a a +><，所以6670,a a a >>，且公差0d <，所以7a ，最小.故选B .【点睛】等差数列的前n 项和n S 具有以下性质()2121n n S n a -=-，()21n n n S n a a +=+.3．C解析：C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >， 所以212021220201011...1a a a a a ====， 因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.4．A解析：A 【分析】将不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++对任意*n N ∈恒成立，转化为271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立，由2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭求解.【详解】 依题意得，()24122412n n nT +-==--，∴不等式()2log 4(1)73n n T n n λ+-++可化为22log 2(1)73n n n n λ+-++，即27(1)n n n λ-++.又*n N ∈，∴271n n n λ-++对任意*n N ∈恒成立.只需满足2min71n n n λ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭即可.设1n t +=，则*t N ∈，2t ，∴27931n n t n tλ-+=+-+.∵993233t t t t+-⋅-=，当且仅当3t =，即2n =时等号成立， ∴2min731n n n ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭. ∴3λ，故选：A. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 5．B解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23n a n =-，即可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.6．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=变形得()2112n n n n a a a a +++---=，令1n n n b a a +=-，可得n b 为等差数列，求得{}n b 通项进而求得{}n a 通项， 结合裂项公式求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和，再由最大整数定义即可求解 【详解】由()12121222n n n n n n n a a a a a a a +++++--=-+⇒=-，设1n n n b a a +=-，则12n nb b ，{}n b 为等差数列，1214b a a =-=，公差为2d =，故22=+n b n ，112n n n b n a a --==-，()1221n n a a n ---=-，，2122a a -=⨯，叠加得()()121n a a n n -=+-，化简得2n a n n =+，故()111111n a n n n n ==-++，所以 1210241024102410241111111024110241223102410251025a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1024102410231025⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查构造数列的使用，等差通项的求解，叠加法求前n 项和，裂项公式求前n 项和，新定义的理解，综合性强，常用以下方法： （1）形如()1n n a a f n --=的数列，常采用叠加法求解；（2）常见裂项公式有：()11111n n n n =-++，()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭7．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式，求解81i i a =∑即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，8712818123(122)2831612i iaa a a =-=++=⨯+++-⨯=⨯--∑83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项，难度属于中档题8．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n an n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.9．C解析：C 【分析】根据“等差比”数列的定义，得到数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再利用202020202019201820192019a a a a a a =⨯求解. 【详解】由题意可得：323a a =，211a a = ，32211a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首先为1，公差为2的等差数列，则()111221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20202019220191220181a a =⨯-=⨯+，20192018220181aa =⨯-， 所以()()2202020202019201820192019220181220181420181a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-. 故选：C 【点睛】本题考查数列新定义，等差数列，重点考查理解题意，转化思想，计算能力，属于中档题型.10．C解析：C 【分析】由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯共有2025项，其中有45个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余20254512+31971--=项，所以去掉平方数和立方数后，第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数，从而求得结果. 【详解】∵2452025=，2462116=，20202025<，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉45个平方数，因为331217282025132197=<<=，所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉12个立方数，又66320254<<，所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中有3个数即是平方数， 又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数， 所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯中去掉平方数和立方数后还有20254512+31971--=项，此时距2020项还差2020197149-=项， 所以这个数列的第2020项是2025492074+=， 故选：C. 【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第2020项的大概位置，所以只要弄明白在数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45⋯去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由()()633,7,,7.x a x x f x a x -⎧--≤=⎨>⎩，()()n a f n n N *=∈得数列{}n a ，根据数列{}n a 为递增数列，联立方程组，即可求得答案.【详解】()()633,7,,7.xa x xf xa x-⎧--≤=⎨>⎩令()()na f n n N*=∈得数列{}n a∴()633,7,7n na n naa n-⎧--≤=⎨>⎩()n N*∈且数列{}n a为递增数列，得()230,1,733,aaa a⎧->⎪>⎨⎪--<⎩解得23a<<.即：()2,3a∈故选：B.【点睛】本题主要考查了根据递增数列求参数范围问题，解题关键是掌握递增数列的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．D解析：D【分析】设等比数列{}n a的公比为q，由1220a a+=，334S=，列方程求出1,a q，进而可求出nS，列不等式组可求出a的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a的公比为q，因为1220a a+=，334S=，所以121(12)03(1)4a qa q q+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得111,2a q==-，所以11()212[1()]1321()2nnnS--==----，所以当1n=时，nS取得最大值，当2n=时，nS取得最小值12，所以1221a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，解得112a -≤≤，故选：D 【点睛】此题考查等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】将化为两边同除以可得数列数列是等差数列进而可求出再令即可求出【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：与关系问题的求解思路根据所求结 解析：111【分析】将110n n n a S S +++=化为110n n n n S S S S ++-+=，两边同除以1n n S S +，可得数列数列1{}nS 是等差数列，进而可求出n S ，再令10n =即可求出10S . 【详解】因为110n n n a S S +++=，所以110n n n n S S S S ++-+=，所以11n n n n S S S S ++-=， 所以1111n n S S +-=，又11112S a ==，所以数列1{}n S 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以12(1)11n n n S =+-⨯=+，所以11n S n =+，所以10111S =. 故答案为：111【点睛】思路点睛：n S 与n a 关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为只含n S ，1n S -的关系式，再求解； (2)利用1(2)n n n S S a n --=≥转化为只含n a ，1n a -的关系式，再求解．14．【分析】本题首先可设数列的公差为则然后根据题意得出最后通过计算即可得出结果【详解】设数列的公差为因为所以因为数列是等差数列所以即解得故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法主要考查 解析：2【分析】本题首先可设数列{}n a 的公差为d ，则22a d =+、322a d =+，然后根据题意得出2123221322a a a +=⨯，最后通过计算即可得出结果. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，因为12a =，所以22a d =+，322a d =+，因为数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以2123221322a a a +=⨯，即()()2222342d d +=++，解得2d =， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的公差的求法，主要考查等差中项的应用，若数列{}n a 是等差数列且2n mk ，则2n m k a a a ，考查计算能力，是中档题.15．【分析】令计算得出然后推导出当为偶数时当为奇数时利用等比数列的求和公式可求得的值【详解】当时解得；当时当为偶数时可得则；当为奇数时可得则因此故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查已知与的关系求和常用的 解析：3411024【分析】令1n =计算得出114a =，然后推导出当n 为偶数时，0n S =，当n 为奇数时，112n n S +=，利用等比数列的求和公式可求得129S S S +++的值.【详解】 当1n =时，11112a S a ==-+，解得114a =；当2n ≥时，()()()1111122nnn n n n n nS a S S -=-+=-⋅-+. 当n 为偶数时，可得112n n n n S S S -=-+，则112n nS -=； 当()3n n ≥为奇数时，可得112n n n n S S S -=-++，则1112120222n n n n nS S -+=-=-=.因此，2512924681011111111341240000122222102414S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++=++++++++==-.故答案为：3411024. 【点睛】方法点睛：本题考查已知n S 与n a 的关系求和，常用的数列求和方法如下： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.16．1010【分析】由与关系当时将代入条件等式得到数列为等差数列求出进而求出即可求出结论【详解】∵∴∴∴令则∴数列是以为首项公差的等差数列∴即∴∴由解得即正整数的最小值为故答案为:【点睛】方法点睛：本题解析：1010 【分析】由n S 与n a 关系，当2n ≥时，将1n n n a S S -=-代入条件等式，得到数列21{}nn S +为等差数列，求出n S ，进而求出12m S S S ，即可求出结论.【详解】∵1122n n n n n S S S S na --+-=， ∴()11122n n n n n n S S S S n S S ---+-=-， ∴()()1122121n n n n S S n S n S --=+--， ∴121212n n n n S S -+--=， 令21n nn b S +=，则()122n n b b n --=≥， ∴数列{}n b 是以111331b S a ===为首项，公差2d =的等差数列， ∴21n b n =-，即2121n n n S +=-，∴2121n n S n +=-，∴12521321321m m S S S m m +=⨯⨯⨯=+-，由212021m +≥，解得1010m ≥， 即正整数m 的最小值为1010.故答案为: 1010. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有： 观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律；公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前n 项和与通项公式的关系； 累加法：形如()1n n a a f n +=+的递推数列； 累乘法：形如()1n n a a f n +=⋅的递推数列．17．50【分析】根据题意正方形边长成等比数列正方形的面积等于边长的平方可得代入求出的通项公式然后根据等比数列的前n 项和的公式得到的和即可求解【详解】记第1个正方形的面积为第2个正方形的面积为第n 个正方形解析：50 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得2n n S a =，代入求出n S 的通项公式，然后根据等比数列的前n 项和的公式得到123n s S S S +++⋯+的和即可求解. 【详解】记第1个正方形的面积为1S ，第2个正方形的面积为2S ，⋯，第n 个正方形的面积为n S ，设第n个正方形的边长为n a ,则第n n ， 所以第n+1个正方形的边长为12n n a a +=， 1n n a a +∴=， 即数列{n a }是首项为15a =的等比数列， 15n n a -∴=⋅， 数列{n S }是首项为125S =，公比为12的等比数列，123125(1)1250(1)1212n n nS S S S -+++⋯+==⋅-∴-，所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50, 故答案为：5018．或19【分析】利用等差数列的通项公式求出再利用等差数列的前项和公式求出记利用作商法判断出数列的单调性即可求解【详解】设等差数列的公差为由题意当时当时所以解得或（舍去）所以记所以当时此时当时时此时所以解析：18或19 【分析】利用等差数列的通项公式求出λ、d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，记910nn n T S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用作商法判断出数列的单调性即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意， 当1n =时，21a a λ=， 当2n =时，42a a λ=，所以()22232d d d λλ+=⎧⎨+=+⎩，解得22d λ=⎧⎨=⎩ 或10d λ=⎧⎨=⎩（舍去），所以()2112n n n d S na n n -=+=+，记()2991010n nn n n T S n =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+， 所以()()()12129119210110910n n nnn n T T n n n ++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当118n ≤≤，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，此时1n n T T +≥， 当10n >时，n *∈N 时，1921110n n T T n +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，此时1n n T T +<， 所以910nn S ⎛⎫ ⎪⎝⎭取最大值时，18n =或19 故答案为：18或19 【点睛】本题考查了差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性求数列中的最大项，属于中档题.19．②④⑤【分析】利用所给递推公式求出的通项公式由证明数列不是等比数列根据的单调性求出范围证明②正确根据复合函数的增减性判断规则说明③错误举出例子证明④正确利用裂项相消法求和证明⑤正确【详解】且数列是以解析：②④⑤ 【分析】利用所给递推公式求出{}n a 的通项公式，由3212b b b b ≠证明数列{}n a e 不是等比数列，根据1111(1)1n n a n a n +++=+++的单调性求出范围证明②正确，根据复合函数的增减性判断规则说明③错误，举出例子证明④正确，利用裂项相消法求和证明⑤正确. 【详解】()*1111n n a a n N +-=∈且111a ，∴数列1{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，则()*1nn n N a =∈， ()*1n a n N n∴=∈. ①设1n n na b e e ==，则1132123,,b e b e b e ===，因为11326212,b b e e b b --==，所以3212b b b b ≠，因此数列{}na e 不是等比数列；②1111(1)1n n a n a n +++=+++，因为1(1)1y n n =+++在[1,)+∞上单调递增，所以115(1)2122n n ++≥+=+，②正确； ③因为若数列{}n a 是单调递减的数列，所以若函数()f x 在R 上单调递减，则数列(){}nf a 是单调递增数列；④234111,,234a a a ===即可构成三角形的三边，所以④正确； ⑤因为1111(1)1n n n n a n a n +==-++，所以1223111112111231n n n a a a a a a n n n +++⋅⋅⋅+=--=++-+++，⑤正确. 故答案为：②④⑤【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，用定义证明等比数列，复合函数的单调性，裂项相消法求和，属于中档题.20．【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到令可得到由函数的单调性可求得的取值范围【详解】由得：令则在上单调递减；在上单调递减；综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查函数值域的求解问题涉解析：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【分析】利用等比数列通项公式可整理已知等式得到211211q q a q q⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++，令1t q q =+可得到1111a t t =-+++，由函数的单调性可求得1a 的取值范围. 【详解】由443210q a a a ++++=得：43211110q a q a q a q ++++=，224213211211111q q q q q a q q q q q q q⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭∴=-=-=-++++++. 令(][)1,22,t q q=+∈-∞-+∞，则()()2211211211111t t t a t t t t +-+--=-=-=-+++++， 111t t -+++在(],2-∞-上单调递减，12112a ∴≥+-=；111t t -+++在[)2,+∞上单调递减，1122133a ∴≤-++=-； 综上所述：1a 的取值范围为[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查函数值域的求解问题，涉及到等比数列通项公式的应用；关键是能够将1a 表示为关于q 的函数，利用分离常数法可确定函数的单调性，进而利用函数单调性求得函数的最值，从而得到所求的取值范围.三、解答题21．（1）212n a n =-；（2）12123n n b n -=-+；231202n n T n n -=-++. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1）得12123n n b n -=-+，利用分组求和即可求解.【详解】（1）因为{}n a 是首项119a =，公差2d =-的等差数列， 所以192(1)n a n =--212n =-，（2）由题知{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，则13n n n b a --=，所以13n n n b a -=+12123n n -=-+，所以12n n T b b b =+++()()()()0121233333n n a a a a =++++++++ ()()21121333n n a a a -=+++++++()()()211319212402313120132222n n n n n n n n n ⨯-+----=+=+=-+-.22．（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）由12n n a S =-，结合n a 和n S 的关系，化简得到数列{}n a 为首项为13，公比为13的等比数列，即可求得数列的通项公式；（2）由函数13()log f x x =，结合对数的运算性质，求得(1)2nn n b +=，再利用“裂项法”求得数列的前n 项和，即可证得结论. 【详解】（1）因为12n n a S =-，所以1112(2)n n a S n --=-≥， 所以11222(2)n n n n n a a S S a n ---=-=-≥，可得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥， 又由1112a S =-，所以113a =，所以数列{}n a 为首项为13，公比为13的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为1113n nn a q a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=． （2）由题意，函数13()log f x x =，所以11121n 333log log log n b a a a =+++()121121331log ,log 3nn a a a +++⎛⎫== ⎪⎝⎭(1)122n n n +=+++=则12112(1)1n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以12111n nT b b b =+++11111212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦221n =-+， 因为n *∈N ，所以201n >+，所以2221n -<+，即2n T <. 【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略： 基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 23．（1）证明见解析；（2）21n a n =-，113n n b -=． 【分析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求n a ，由累加法求n b ． 【详解】（1）因为21340n n n b b b ++-+=，所以2111()3n n n n b b b b +++-=-，又21203b b -=-≠， 所以21113n n n n b b b b +++-=-，*n N ∈，所以数列{}1n n b b +-是等比数列；（2）2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又111a S ==适合上式， 所以21,*n a n n N =-∈，由（1）112133n n n b b -+⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，所以，2n ≥时，212132122121()()()133333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-+-⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1121133111313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+= ⎪⎝⎭-．又11b =，所以113n n b -=． 【点睛】易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由n S 求n a ，累加法求数列的通项公式．在由n S 求n a 时要注意公式1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =，求法不相同，易出错，同样在用累加法求通项公式时，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，括号中的各项成等比数列，这里不包含1b ．要特别注意首项．24．（1）21()n a n n =+∈N ；69n n +；（2）数列{}n b 不是等比数列．理由见解析. 【分析】（1）由等差数列的通项公式以及前n 项和公式即可求得n a ，代入11n n a a +，利用裂项求和即可求得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和； （2）由n T 求出数列{}n b 的通项公式，再运用等比数列的定义判断即可.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，11611143S a ==，613a ∴=，又5624a a +=，解得：511a =，2d =，21()n a n n ∴=+∈N ，111111(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭， 设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项的和为n B ， 1113557(21)(23)n B n n ∴=++⋯+⨯⨯++1111111235572123n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； （2）13a =，124n a n -=，43n n T ∴=+．当1n =时，17b =；当2n ≥时，1114434n n n n n n b T T ---=-=-=⨯，()142n n b b n +∴=≥，若{}n b 是等比数列，则有214b b =，而17b =，212b =，所以与214b b =矛盾，故数列{}n b 不是等比数列．【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．25．（1）2n n a =；（2）1(1)222n n n n T ++=+-． 【分析】（1）利用公式11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求{}n a 的通项公式； （2）由题得2n n b n =+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】解：（1）∵点(),n n a S 在直线22y x =-上，n *∈N ，∴22n n S a =-．当1n =时，1122a a =-，则12a =，当2n 时，22n n S a =-，1122n n S a --=-．两式相减，得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=．所以{}n a 是以首项为2，公比为2等比数列，所以2n n a =．（2）2n n b n =+，()23(123)2222n n T n =+++⋯++++++，所以1(1)222n n n n T ++=+-． 【点睛】 方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征选择合适的方法求解. 26．（1）证明见解析；21n a n =+；（2）8. 【分析】 （1）根据等差数列的定义，证明111n na a +-为常数，由等差数列通项公式得1n a ，从而求得n a ；（2）不等式11122k n n a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即为11222n n k -+≤<，从而可确定k 的个数，即n b ，然后由错位相减法求得n S ，结合{}n S 是递增数列，通过估值法得出不等式4032n S <的最大正数解．【详解】 （1）由1122n n n a a a +=+取倒数得 11221112n n n n n a a a a a +++=⇔=+，即11112n n a a +-=，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为12的等差数列， ()1111121221n n n n a a a n +=+-⋅=⇒=+. （2）当11122n n k a -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1112221212n n n n k k -++≤<⇔-≤<-， 所以这样k 有2n 个2n n b ⇒=，()112n n nb n a -=+⋅， ()2121324212n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，()2122232212n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得：()21222212n n n S n --=+++⋅⋅⋅+-+⋅2n n =-⋅，所以2n n S n =⋅为递增数列. 82048S =，94608S =，8940328S S n <<⇒≤，所以最大正整数解为8.【点睛】方法点睛：本题主要考查等差数列的证明，考查错位相减法求和．数列求和的常用方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．。

高中数学等差数列综合测试题（附答案）2.2 等差数列练习（第 1 课时）一.选择题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的，把它选出来填在题后的括号内.1.是数列中的第（）项 .A. B. C. D.2.若数列的通项公式为，则此数列是（）A.公差为的等差数列B. 公差为的等差数列 C.首项为的等差数列D. 公差为的等差数列3.若，则“是”“ 成等差数列”的（）A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件 4.等差数列的一个通项公式为（）A. B. C. D.5.首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A. B. C. D.6.若是等差数列，则，，，，，是（）A. 必定不是等差数列B. 必定是递加数列C.必定是等差数列D. 必定是递减数列二.填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列中，，，则.8.等差数列中，，，则.9.已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则.10.假如等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第项 .【整合提升】三.解答题（本大题共 2 小题，每题10 分，共 20 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，11.判断数，是不是等差数列: 中的项，假如，是第几项？12.已知，，求.参照答案：1.C2.A3.C4.D5.D6.C7.108.219. 10.8与现在“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元期间小学教师被称为“老师”有案可稽。

清朝称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师” 一说是比较晚的事了。

现在领会，“教师”的含义比之“老师”一说，拥有资历和学问程度上较低一些的差异。

1.已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 证明：（I ）设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ 因为i a ，{}0,1i b ∈，所以{}0,1i i a b -∈,(1,2,...,)i n = 从而1122(||,||,...,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈又1(,)||||||nii i i i d A C B C ac b c =--=---∑由题意知i a ，i b ，i c {}0,1∈(1,2,...,)i n =. 当0i c =时，|||||||||i i i i i i a c b c a b ---=-;当1i c =时，|||||||(1)(1)|||i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-所以1(,)||(,)nii i d A C B C ab d A B =--=-=∑(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h =--=所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的 个数为l 。

高中数学--数列大题专项训练（含详解）一、解答题（本大题共16小题，共192.0分）1.已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足*1231112()23n b b b b n n N n+++⋅⋅⋅+=∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设(1)()n n n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2.n S 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233.n n S a +=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.n T 3.在数列{}n a 中，111,(1n n n a a a c c a +==⋅+为常数，*)n N ∈，且1a ，2a ，5a 成公比不为1的等比数列．(1)求证：数列1{}na 是等差数列；(2)求c 的值；(3)设1n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n S4.在ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且11sin().214A π+=()Ⅰ求tan A 及角B 的值；()Ⅱ设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值．5.在数列{}n a 中，11a =，11(1)(1)2nn n a a n n +=+++⋅(1)设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和nS 6.已知数列的各项均为正数，前项和为，且()Ⅰ求证数列是等差数列；()Ⅱ设求7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立．(1)求1a ，2a 的值；(2)设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值．8.已知等差数列{}n a 的前四项和为10，且2a ，3a ，7a 成等比数列．(1)求通项公式na (2)设2n a nb =，求数列n b 的前n 项和.n S 9.已知在数列{}n a 中，13a =，1(1)1n n n a na ++-=，*.n N ∈(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；(2)设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：1.(126n T <分)10.已知函数2(1)4f x x +=-，在等差数列{}n a 中，1(1)a f x =-，232a =-，3().a f x =(1)求x 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式.n a 11.已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，1a ，3a 是函数2()109f x x x =-+的两个零点.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。