挖掘中点，构造中位线
济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继春 （适用于鲁教版 初三版 12月刊）
三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理，它既反映了线段之间的位置关系，又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时，经常要联想到三角形的中位线定理，利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作.
但是，在解题时往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点，自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法，供同学们学习时参考.
一、直接取中点.
例1、已知：如图，AD 为ABC V 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 中点， 求证：1
2
DM AB =
证明：取AC 中点N ，连结MN ，则MN ∥AB , 且12
MN AB =,∠NMC =∠B
又Rt ADC V 中，N 为斜边AC 中点，∴DN NC = ∴∠NDC =∠C ,
又∵∠NMC =∠B =∠NDC +∠DNM =2∠C ∴∠DNM =∠NDC ,∴DM MN = ∴12
DM AB =
【感悟】：此题中，DM 和AB 位置较远，不易推导关系.通过添中位线把1
2
AB 转化成MN ,MN 在DM 和
1
2
AB 之间架起了一座桥梁，问题迎刃而解.
二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点.
例2、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,E 为BC 的中点，求证：DE ∥AB. 证明：延长CD 交AB 于F ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD ＝∠CAD ∵CD ⊥AD
∴∠ADC ＝∠ADF ＝90 ∵AD ＝AD
∴△ACD ≌△AFD （ASA ） ∴CD ＝FD ∵E 是BC 的中点 ∴DE 是△BCF 的中位线 ∴DE ∥AB
【感悟】：本题关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图若我们延长CD 交
AB 于带点F ,根据题中条件容易证得
AFD V ≌ADC V ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点；
又E 为BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB P P 即.
三、利用平行四边形的对角线的交点找中点
例3、如图，,ME AB ME AB =P ，D 为线段EC 的中点,A M D 、、三点在同一条直线上. 求证：MD ∥BC.
证明：连结BE ，交AM 于O. ∵,ME AB ME AB =P ， ∴四边形ABME 为平行四边形. ∴点O 为BE 的中点. 又∵D 为CE 的中点， ∴OD 为△BCE 的中位线， ∴OC ∥BC, 即MD ∥BC.
【感悟】要证明MD ∥BC.除了以前常用的方法外，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径. 根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =P 可以得出：四边形ABME 是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在
EBC V 中，根据三角形的中位线定理可以得出OC ∥BC ，即
D B
E
C
A F
A
D
C
B
M
E
O
MD∥BC.
总之，隐含在图形中的中点往往是我们平时容易忽视的，但挖出这些“隐藏的中点”往往有可能是一道题破题的一个关键环节.根据上面三道例题来看，隐藏的中点要注意平行四边形（包括特殊的平行四边形）的对角线互相平分、角的平分线与垂线相结合的图形交点、等腰三角形的三线合一等等知识点.
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构造中位线 巧解圆锥曲线题 徐志平 （浙江金华一中 321000） 在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。 1．求点的坐标 例1. 椭圆13 122 2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的 中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ） A. 43± B. 2 2± C. 23± D. 43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。 连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以MO 是21F PF ?的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x 2 3±=，43±=∴M y ，故选（D ）。 例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2 =x 上移动，记线段AB 的中点 为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。 解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41 -=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1 是梯形AA 1B 1B )(21 )(21111BF AF BB AA MM +=+= ，在ABF ?可以取等号） 通径∴>≥+AB AB BF AF (，2 211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离= 。 4 5 4123=-即45=M x 。 ∴显然这时弦AB 过焦点），（04 1F 。设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12 1x y = ① 22 2x y = ②，①-②得M y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--?-=-+
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
巧构几何图形证明代数问题 ——兼谈构造法 习题已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。 ac=bd，即 BC*AD=AB*CD ∴BC/AB=CD/AD 又∠B=∠D=90 ?? ∴Rt⊿ABC 相似于Rt⊿ADC 但为公共斜边，故 Rt⊿ABC?Rt⊿ADC ∴AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d. 评注把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。 应用 【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2 >ab
[证明] 以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得 （a+b）^2>4ab ab>0 ∴a+b>2ab 即（a+b)/2>ab 【例2】已知0<θ<∏/2，求证1
2021年八年级数学解题技巧训练7构造中位线解题的五种常用 方法含答案与试题解析 一、经典试题 1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求 证：MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 二、技巧分类 技巧1 连接两点构造三角形的中位线 2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． （1）求证：PM＝PN； （2）求∠MPN的度数． 技巧2 已知角平分线及垂直构造中位线 3．（2019秋?诸城市期末）如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（） A．3B．9 2C．5D． 15 2 4．（2018春?吉州区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD ⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长．
技巧3 倍长法构造中位线 5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°， M为AF的中点，求证：ME=1 2CF． 技巧4 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=√2MN． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于 点N，求证：AN=1 3AC．
2021年构造中位线解题的五种常用方法 参考答案与试题解析 一．试题（共7小题） 1．如图，已知BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N．求 证：MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 【专题】证明题． 【解答】证明：延长AN、AM分别交BC于点F、G．如图所示：∵BN为∠ABC的角平分线， ∴∠CBN＝∠ABN， ∵BN⊥AG， ∴∠ABN+∠BAN＝90°，∠G+∠CBN＝90°， ∴∠BAN＝∠AGB， ∴AB＝BG， ∴AN＝GN， 同理AC＝CF，AM＝MF， ∴MN为△AFG的中位线，GF＝BG+CF﹣BC， ∴MN=1 2（AB+AC﹣BC）． 2．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点． （1）求证：PM＝PN；
三角形中位线中的常见 辅助线 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出
C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证： 2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证： 2AB DE =．
构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法： 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。 例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？ 解：原方程整理得（a-4）x=15-b ∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4，b=15 2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。 例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。 20，18，5x，-6y的平均数是1。求 的值。 分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。 例4：已知，则x 的取值范围是（）
巧构造 妙解题 1. 直接构造 例1. 求函数f x x x ()sin cos = -+32的值域。 分析：由于f x x x ()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。 解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆 f x k ()= --=32θμ 表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。 显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k 所以k =± 2233 故22332233- ≤≤+f x () 例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。 分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。 解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*） 由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。 由韦达定理知sin sin sin αβγ++=0 2. 由条件入手构造 例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y = 分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
构造几何图形解决代数问题 摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。 关键词 数形结合 解题 以形助数 教学 1.“以形助数”的思想应用 1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。 分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A B=[0,3] 例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-?=故。 B=[-2,3] A=[0,4]
评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。 1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 例:（2009山东理）若函数 ()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是 分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >
合理构造函数妙解导数问题 构造法是解决导数问题的重要方法之一，许多导数问题的解决需要巧妙的构造函数，如何构造函数显得非常重要在解决问题中，下面剖析几例。 一．特征构造 例1（优质试题?银川二模）f （x ）是定义在非零实数集上的函数，f ′ （x ）为其导函数，且x ＞0时，xf ' （x ）﹣f （x ）＜0，记a=0.20.2(2)2f ，b=22(0.2)0.2f ，c=22(log 5)log 5 f ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 【分析】令g （x ）= ()f x x ，通过求导得到g （x ）的单调性，从而解决问题． 解：令g （x ）=()f x x ，则g '（x ）=2()()xf x f x x -'， ∵x ＞0时，xf '（x ）﹣f （x ）＜0，∴g （x ）在（0，+∞）递减， 又2log 5＞2log 42=，1＜0.22＜2，20.2=0.04，∴2log 5＞0.22＞20.2， ∴g （2log 5）＜g （20.2）＜g （0.22），∴c ＜a ＜b ，故选：C ． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，解决本题的关键是根据所比较的三个数，合理构造函数，利用函数的单调性比较大小即可。 二．变形后构造函数
例2.（优质试题?合肥二模）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf'（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1） 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围． 解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0 设：g（x）=x2f（x）﹣x2，则g'（x）=2xf（x）+x2f'（x）﹣2x＜0，恒成立： ∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1 ∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1，即g（x）＜g（1），即x＞1； 当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1 综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B 【点评】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，解决本题需要注意对x的讨论。三．移项法构造函数
运用向量几何运算巧解几个高考题 向量是高中数学中重要的数学概念和数学工具之一，它用代数的方法来研究几何问题，是数形结合的一个典范，体现了解析几何的本质。代数几何化、几何代数化等多角度思维是平面向量命题的特点，这就说明了平面几何和平面向量交汇点的将是高考试题命制的焦点和热点。 例1. 已知向量e a ≠，1=e ，对任意R t ∈，恒有e a e t a -≥-，则（ ） (A) e a ⊥ (B) )(e a a -⊥ (C) )(e a e -⊥ (D) )()(e a e a -⊥+ 参考答案：R t ∈ ，恒有e a e t a -≥-，等价于22e a e t a -≥-恒成立，即 22)()(e a e t a -≥-恒成立，展开整理得0)12(22≥-?+?-e a t e a t ?R t ∈恒成立，则 0)12(4)2(2≤-?-?-=?e a e a ，整理得0)1(2≤-?e a ，1=?∴e a ，)(e a e -⊥∴，所以选(C)。 妙解：如下图作a OA =，e OB =，e t OC =， 则 e a -= e t a -=，又因为?R t ∈，恒有e a e t a -≥- ≤，则必有 OC AB ⊥，即)(e a e -⊥。 例2.设向量a ，b ,c 满足0 =++c b a ,c b a ⊥-)(,b a ⊥,若1=a ,则222c b a ++的值是 。 参考答案： )(,)(b a c c b a +-=⊥-，)()(b a b a --⊥-∴， 0)()(=+?-∴b a b a ，022=-∴b a ，1==∴b a ，又),(b a c +-=0=?b a 22)(2222=?++=+-=∴b a b a b a c ，4222=++∴c b a 。 妙解：如下图作a BD AB ==，b BC =，c CA =， b a ⊥，BC AB ⊥∴，又 CD BC BD b a =-=- ，又c b a ⊥-)(， C A
构造中位线巧解题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 的平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定 理 例3、如图5所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着 BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速 度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达？
构造三角形中位线的方法
构造三角形中位线的方法 方法1 连接两点构造三角形的中位线 1.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF 证明:连接、， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中 ， ， ， 、、分别是、、的中点， ，， .
（2）延长BD交CA的延长线于E， ∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD， ∴BD=DE，AB=AE=12， ∴CE=AC+AE=18+12=30， 又∵M为△ABC的边BC的中点， ∴DM是△BCE的中位线， ∴MD=1/2CE=15． 3.如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,D 为△ABC 外一点 , 使∠DAC=∠BAC,E 为 BD 的中点 ,∠ABC=60°，求∠ACE 的度数。 解：延长 AD 、 BC 交于F. ∵在△ABC 与△ACF 中， ∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠ACB=∠ACF=90°，∴△ABC ≌△ACF(ASA) ， ∴BC=FC,∠F=∠ABC=60°， ∴∠CAF=30°，
∵E 为 BD 的 中点， ∴EC ∥ AF ， ∴∠ACE=∠ CAF=30°. 方法3倍长法构造三角形的中位线 4.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，△BEF 为等腰直角三角形， ∠BEF ＝90°，M 为AF 的中点，求证：CF ME 2 1 . 证明：如图，延长EF 到D ，使DE=EF ，连接AD 、BD ， ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴∠BFE=45°，BE ⊥DF ， ∴BE 垂直平分DF ，
巧用数学构造法解数列题 永福中学：陈容丽 构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解．而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用已知条件，创造性地应用数学知识，极大限度地发散思维。 本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。 数列是高中很重要且有相当难度的一章内容，在近几年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。 一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等 差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。 1．(为常数)，可构造等比数列求解． 例1已知数列满足，（），求通项． 解由，得，又，所以数列 是首项为，公比为的等比数列，∴． 注：一般地，递推关系式(p、q为常数，且p≠0，p≠1)可等价 地改写成，则{}为等比数列，从而可求．
2．为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如(为常 数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解． 例2（1）已知数列{a n}中，，，求通项． （2）已知数列满足，，求通项． 解（1）由条件，得，令，则，即 ，又，，∴数列为等比数列，故有 ，即，∴． （2）由条件，得，即，故数列是以为 首项，以为公差的等差数列，∴，故．3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解． 例3已知数列满足，（），求 ． 解令，则，∴，代入已知条件，得，即， 令，，解得=－4，=6，所以，且，∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解．
用三角形中位线定理解题 三角形中位线定理是平面几何中十分重要的定理，它说明中位线的位置与第三边平行，长度是第三边的一半，应用它可解许多几何命题，如： 1．证明线段的倍分关系 例1 如图1，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，BE交AC于F． 证明：取CF的中点H，连接DH，则DH为△CBF的中位线，EF为△ADH的中位线，故DH=1 2 BF， EF=1 2 DH. 2．证明两线平行 例2 如图2，自△ABC的顶点A向∠B和∠C的平分线作垂线，D、E为垂足．求证DE∥ BC． 证明延长AD、AE交BC与CB的延长线于M、N． 由∠1=∠2，BD⊥AM，可得AD=DM；同理可得AE=EN．故DE为△ANM的中位线． ∴DE∥MN，即DE∥BC 3．证线段相等 例3 如图3，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别为BE、CD 的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q．求证AP=AQ
证明取BC中点F，连接MF与NF． ∵BM=ME，BF=FC． 同理可得NF∥BD，且 又BD=CE，∴MF=NF，故∠3=∠4， 又∠1=∠4，∠2=∠3， ∴∠1=∠2，故AP=AQ． 4．证两角相等 例4 如图4，在△ABC中，M、N分别在AB、AC上，且BM=CN，D、E分别为MN与BC的中点，AP∥DE交BC于P． 求证：∠BAP=∠CAP． 证明连接BN并取中点Q，连接DQ与EQ，则DQ∥BM，且DQ=1 2 BM，EQ∥CN，且EQ= 1 2 CN， 又BM=CN. ∴DQ=EQ，故∠1=∠2， 又∵∠1=∠BAP，∠2=∠CAP， ∴∠BAP=∠CAP． 5．证比例式 例5 如图5，AD为△ABC的中线，过点C的任一直线与AD、AB分别相交于E与F，求
数列几种构造法解题 数列的构造法，我这里仅仅表示的是n 1a 与+n a 之间的常见关系，还有很多需要补充的。 以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。 1-n 1-n 1n n 1n 2q a a 等比数列，a 2a ，1例=?==+. 1 -n 2d ）1n （a a 等差数列，2a 2.a 例1n n 1n =-+=+=+ 1 2a 化简可得2）1a （1a 所以整体是等比数列1a ，所以1x 展开解得）x a （2x a 构造等比数列1 a 2a 。3例n n 1 -n 1n n n 1n n 1n -=+=++=+=++=++ 1-n n 011-n 1-n n n 1n n n n 1n n n n 110111 1n 1n n n n 1n n n n n 1 -n 1n n n n 1n 1n n n 1n 2n a 所以n 1）1-n （2a 2a 可以得到 12a 2a 得到 2同除以22a a ）22-3a 化简即可得3 2)32(）33a (33a 即整体是等比数列33a 。所以3x 展开解得）3a （32x 3a 构造13a 23a 可以得到 3首先同除以，间接构造 2解2-3a 所以2）3-a （3-a 所以1 x 展开解得） 3x a （23x a 构造，直接构造法： 1解32a a ）1，4例n ?==?+==-+==-=-=---=+=++==?=-=+=++=++-----+++++n n n n n n n n n x
3n 327an 所以2）33a （33n a 即是等比数列， 3n 3a 所以3 t ，3m 展开解得）， t mn a （2t ）1n （m a 构造 n 3+2a =a ，5例1-n 1 -n 1n n n 1n n 1+n --?=?++=++++==++=+++?+ 综合例6的通项公式。a ，试求n 3a 2a ，2a 已知n n n 1n 1++==+ 1n -23a 所以22 ）113-a （1n 3a 所以1y ，1x ，1m 展开化简依次可以解得）y xn 3m a （2y ）1n （x 3m a 解：构造1n n n 1n 1n 11n n n n 1n 1n -+==?++=++-==-=+++=++++---++
巧构造，妙解题 等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。在求解或证明边长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理和判定定理简便地解决问题。下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。 一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形 例1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD +CE=10，则线段DE 的长为_______ F E D C B A 分析：由DE//BC ，BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，先判断△BDF 和△CEF 是等腰三角形，从而将DE 转化为DF +FE= BD +CE 解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF=∠FBC ，又∵DE//BC ，则∠DFB=∠FBC ，∴∠DBF=∠DFB ，∴DB=DF ，同理EF=EC ，∴DE=DF +FE= BD +CE=10 二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形 例2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM 于点D ，求证：∠BAD=∠DAC +∠C M E D C B A 分析：由BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形。 证明：延长交BC 于点E ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠EBD ，∵AD ⊥BM ， ∴∠ADB=∠EDB=90°，在△ABD 和△EBD 中，ABD EBD ADB EDB BD BD ∠=∠??∠=∠??=? ，∴△ABD ≌△EBD ， ∴∠BAD==∠BED=∠DAC +∠C ，即∠BAD=∠DAC +∠C
典中点平行四边形专训5 构造中位线解题的五种常用方法 ?名师点金? 三角形的中位线具有两方面的性质： 一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系.因此,当题目中给出三角形两边的中点时,可以直接 连出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往需要找另一边的中点,作出三角形的中位线。 典例剖析：如图,在△ABC 中,BD,CE 分别平分∠ABC,∠ACB,AM ⊥CE 于点M,AN ⊥BD 于点N. 求证:MN=21(AB+AC-BC) 解题秘方:图中不存在中点,但结论与三角形中位线定理很类似,因此应设法寻找中点,再构造三角形的中位线.要证明MN=2 1(AB+AC-BC),可找以MN 为中位线的三角形,故延长AM 交BC 于点F,延长AN 交BC 于点G,易证明2MN=FG,而FG=BC+FC-BC.又易证明BG=AB,FC=AC,故问题得解。 方法1：连接两点构造三角形的中位线 1.如图,点B 为AC 上一点,分别以AB,BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE,点P,M,N 分别为AC,AD,CE 的中点。 (1)求证PM=PN ； (2)求∠MPN 的度数。 方法2：已知角平分线及垂直构造中位线 2.如图,在△ABC 中,点M 为BC 的中点,AD 为△ABC 的外角平分线,且AD ⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM 的长。
3.如图,在△ABC 中,已知AB=6,AC=10,AD 平分∠BAC,BD ⊥AD 于点D,点E 为BC 的中点，求DE 的长。 方法3：倍长法构造三角形的中位线 4.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC ，△BEF 为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M 为AF 的中点， 求证ME=21CF 方法4：已知两边中点,取第三边中点构造三角形的中位线 5. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,CA=CB,E,F 分别为CA,CB 上一点,CE=CF,M,N 分别为AF 、BE 的中点， 求证AE=2MN 方法5：已知一边中点推理得出另一边中点再取第三边中点构造三角形的中位线 6.如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 的中点,连接BP 并延长交AC 于点N ，求证AN=3 1AC
十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y
巧构造 妙解题 1. 直接构造 例1. 求函数f x x x ()sin cos = -+32的值域。 分析：由于f x x x ()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。 解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆 f x k ()= --=32θμ 表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。 显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k 所以k =± 2233 故22332233- ≤≤+f x () 例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。 分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。 解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*） 由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。 由韦达定理知sin sin sin αβγ++=0 2. 由条件入手构造 例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y = 分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
找中点构造三角形中位线解题 三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。现介绍几种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 二、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形。 ②定理使用时，满足的具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的，利用此定理可证明线段平行，从而可证明两角相等； 大小上：等于第三边的一半。利用此定理可证明两条线段之间的倍分关系； 三、应用举例 1、如果已知三角形两边中点，就直接连接构成三角形的中位线 例1、如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、BC 、BD 的中点，H 是EF 的中点，试说明线段GH 与线段EF 的位置关系； 简析：在△ABC 中，E 、G 分别是AD 、BD 的中点，可连接EG ，则 有AB EG 2 1 =；在△BCD 中，G 、F 分别是BD 、BC 的中点，可 连接GF ，则有CD FG 2 1 =, 而AB=CD ，所以EG FG =,即△ EFG 是等腰三角形，又H 是底边EF 的中点，由等腰三角形的三线合一定理可知GH ⊥EF. 2、如果已知三角形一边中点，则可以取另一边的中点连接起来构成三角形的中位线 例2、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM= 2 1 AB 。 分析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线 定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。 H G F E D C B A
学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目 教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法） 教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格 新 课 导 入 知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已 知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； ３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新 课 内 容 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围． 【课堂训练】 1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论： ①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是 ( ） A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第２题图 2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（) Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ） ①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。 A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ． ５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ. 6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ． F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E