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第三讲 多变量最优化

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第三讲 无约束优化(多维无约束优化方法)

第三讲 无约束优化(多维无约束优化方法)

2019/10/21
5
1. 梯度法（最速下降法 ）
（2）迭代公式 ： X (k 1) X (k) k S (k) X k f X k
或
X (k1) X (k) k
f f
X k X k
f
X k


f ，f x1 x2
X (2) 1
S (1)
S为S（2）的共轭方向。
S即为S(1)的共轭方向。
2019/10/21
18
（2）共轭梯度法的基本原理
2）共轭方向的构造
S k1 f X k1 k S k
上式的意义是以新的负梯度方向 f X k1 ，加上原
负梯度的一部分k S k 来构造 S k1 。
2019/10/21
3
1. 梯度法（最速下降法 ）
数值迭代格式
X (k 1) X (k ) k S (k )
从数值迭代格式可以看出，构造一种算法的关键 是如何确定一个有利的搜索方向。
梯度方向是函数值上升最快的方向，负梯度 方向是函数值下降最快的方向。
2019/10/21
以负梯度方向作为搜索方向
4）牛顿法不能保证函数值稳定下降，严重时还会造 成点列发散导致迭代失败。
2019/10/21
1 27
3. 多维牛顿法（阻尼牛顿法）
问题的提出
因函数不一定是二次函数，基本牛顿法的步长因子 恒为1，有时会导致迭代发散而失效。
改进方法
仍取牛顿方向，但改用最优步长因子：
X (k1) X (k ) k [H ( X (k ) )]1f ( X (k) ) 一维搜索求最优步长
'X 0

常用的优化方法和优化函数

常用的优化方法和优化函数

常用的优化方法和优化函数优化方法和优化函数是在解决问题时常用的数学工具和方法。

优化是一种数学问题，目标是找到一些函数的最优解或近似最优解。

一、优化方法：1.初等方法：初等方法是最直接的一种优化方法，包括插值法、拟合法、曲线拟合法等，通过数学公式来估计函数的取值。

2.单变量优化方法：单变量优化方法是对单一变量进行优化的方法，常见的有二分法、黄金分割法和牛顿迭代法等。

这些方法适用于单调函数和凸函数的优化问题。

3.多变量优化方法：多变量优化方法是对多个变量进行优化的方法，常见的有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。

这些方法适用于非线性函数的优化问题。

4.线性规划：线性规划是一种常用的优化方法，通过线性函数和线性约束来确定最优解。

线性规划问题可以通过单纯形法或内点法求解。

5.整数规划：整数规划是一种在决策变量为整数时的优化方法，常用的算法有分支界限法、整数规划近似算法等。

6.动态规划：动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的方法，通过递推关系求解最优解。

常用的动态规划算法有最短路径算法、背包问题算法等。

7.模拟退火算法：模拟退火算法是一种通过模拟物质在退火过程中的行为来进行全局的算法。

它能够在一定程度上跳出局部最优解，常见的变种有遗传算法和粒子群优化算法等。

8.遗传算法：遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，通过模拟自然界的进化过程来优化问题。

它常用于求解复杂的问题，如函数逼近、组合优化等。

9.神经网络：神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传输信息来建立模型的方法。

通过训练网络参数，可以实现优化目标函数。

二、常用的优化函数：1. Rosenbrock函数：Rosenbrock函数是一个经典优化函数，用于测试优化算法的性能。

其函数形式为 f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2，目标是找到函数的全局最小值。

2. Ackley函数：Ackley函数是另一个经典的优化函数，用于测试优化算法的鲁棒性。

最优化算法课程总结

最优化算法课程总结

最优化算法课程总结最优化算法课程总结主要包括以下内容：1. 最优化问题的基本概念：介绍了最优化问题的定义，包括目标函数、约束条件等概念。

还介绍了最优解的定义和存在性。

2. 单变量优化算法：介绍了一些常用的单变量优化算法，如黄金分割法、斐波那契法等。

讲解了它们的原理和应用场景，并通过实例演示了算法的具体步骤。

3. 多变量优化算法：介绍了一些常用的多变量优化算法，如梯度下降法、牛顿法等。

讲解了它们的原理和应用场景，并通过实例演示了算法的具体步骤。

4. 线性规划：介绍了线性规划问题的定义和基本形式。

讲解了线性规划的求解方法，包括单纯形法和内点法等。

重点讲解了线性规划的对偶性和灵敏度分析。

5. 非线性规划：介绍了非线性规划问题的定义和基本形式。

讲解了一些常用的非线性规划算法，如拟牛顿法、共轭梯度法等。

还介绍了约束优化问题的处理方法，如罚函数法和拉格朗日乘子法等。

6. 整数规划：介绍了整数规划问题的定义和基本形式。

讲解了一些常用的整数规划算法，如分枝定界法、割平面法等。

重点讲解了混合整数规划和整数线性规划的求解方法。

7. 随机优化算法：介绍了一些常用的随机优化算法，如模拟退火算法、遗传算法等。

讲解了它们的原理和应用场景，并通过实例演示了算法的具体步骤。

8. 高级优化算法：介绍了一些高级的优化算法，如凸优化、半定规划等。

讲解了它们的理论基础和求解方法，并通过实例演示了算法的具体应用。

最优化算法课程总结主要涵盖了单变量优化、多变量优化、线性规划、非线性规划、整数规划、随机优化和高级优化算法等内容。

通过学习这门课程，可以掌握各种优化算法的原理、应用和求解方法，为解决实际问题提供有效的数学工具和技巧。

数学建模案例之多变量最优化

数学建模案例之多变量最优化

数学建模案例之多变量最优化多变量最优化是数学建模中的一个重要问题，其主要目标是在给定的约束条件下，找到一个或多个变量的取值，使得目标函数取得最大或最小值。

多变量最优化的应用非常广泛，例如在经济学、工程学、管理学等领域中都有着重要的应用。

下面我将介绍一个关于生态平衡问题的多变量最优化案例。

在生态学中，保持生态系统的平衡是一个重要的目标。

因此，研究如何在给定的约束条件下最大限度地提高生态系统的平衡度是一个具有挑战性的问题。

在这个案例中，我们假设生态系统包含n个物种，每个物种在生态系统中所占的比例可以用一个变量xi表示。

我们的目标是最大限度地提高生态系统的平衡度，即最小化各物种比例之间的差异。

为了量化生态系统的平衡度，我们可以使用下面的公式：A = Σ ，xi - x'其中，A表示生态系统的平衡度，xi表示物种i在生态系统中所占的比例，x'表示物种比例的平均值。

然而，由于生态系统中存在一些约束条件，例如物种之间的相互作用、资源的有限性等，从理论上解析地求得最优解非常困难。

因此，我们需要使用数学建模中的多变量最优化方法来解决这个问题。

首先，我们需要明确问题的约束条件。

这些约束条件可以包括物种之间的相互作用、资源分配的限制、物种的生存要求等。

然后，我们可以将这些约束条件转化为一组约束方程，形成一个多变量最优化的问题。

假设我们将生态系统的平衡度最小化问题表示为一个多变量最优化问题，目标函数为最小化生态系统的平衡度A，约束条件为一组方程表示的生态系统限制。

我们可以使用优化算法，例如线性规划或非线性规划，来求解这个问题。

在求解过程中，我们需要确定一个合适的初始解，并进行迭代优化，直到找到满足约束条件的最优解。

优化算法将计算出生态系统中每个物种的最优比例，最小化生态系统的平衡度。

通过这个多变量最优化问题，我们可以得到一个最优解，即使各物种比例之间的差异最小。

这个最优解可以为生态系统的管理与保护提供重要的参考。

最优化及最优化方法讲稿

最优化及最优化方法讲稿

THANKS
谢谢您的观看
对于目标函数或约束条件中存在非线性函 数的问题，可以选择非线性规划求解。
动态规划
启发式算法
对于具有时间序列或过程优化的问题，可 以选择动态规划求解。
对于难以建立数学模型或难以使用传统优 化算法求解的问题，可以选择启发式算法 如遗传算法、模拟退火算法等。
编写求解程序
选择合适的编程语言
根据问题的复杂度和求解方法的特点，选择合适的编程语言如 Python、C等。
03
最优化问题的求解步骤
建立数学模型
确定问题的目标函数
确定决策变量
根据问题的实际背景，明确需要优化 的目标，并将其表示为数学函数。
将问题中需要决策的参数表示为数学 变量。
确定约束条件
分析问题中存在的限制条件，并将其 表示为数学不等式或等式。
选择合适的求解方法
线性规划
非线性规划
对于目标函数和约束条件均为线性函数的 问题，可以选择线性规划求解。
模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于物理退火过程的优化算法，通过模拟固体退火过程，寻找最优解。模拟退火 算法适用于处理大规模、离散、非线性等复杂问题。
模拟退火算法的基本思想是在搜索过程中引入随机因素，使算法能够在局部最优解周围跳出，从而找 到全局最优解。模拟退火算法的优点在于能够处理多峰问题，且具有较强的鲁棒性和全局搜索能力。
机器学习中的优化问题是最优化问题在人工智能领域的应用，主要涉及如何选择合适的 算法和参数，以最小化预测误差或最大化分类准确率。
详细描述
机器学习中的优化问题需要考虑数据集、模型复杂度、过拟合与欠拟合等因素，通过优 化算法选择合适的算法和参数，以实现预测误差最小化、分类准确率最大化等目标。

第三讲--多变量最优化 PPT

第三讲--多变量最优化 PPT

考虑y对于a的灵敏性。 计算可得，在a=0.01时，有
dPPdxPdyP da xda yda a
P a
x12
S (y,a ) 5 5 1 4 1 0 7 0 0 2(2 1 5 9 0 2 .0 0 0 1 0/3 9 ) 0 .4 0
因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%， 会使利润下降4%.
'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> dxda = diff(s.x, a) >> sxa = dxda * a / s.x >> a = 0.01 >> eval(sxa)
Matlab 优化函数
无约束多变量函数极小
fminunc
1） 建立目标函数的m-文件

>> syms a >> z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y) >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve('-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0',
问题是：每种彩电应该各生产多少台？
提出问题：
变量：
x=19英寸彩电的售出数量（每年） y=21英寸彩电的售出数量（每年） p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元）

多变量非线性约束最优化问题


•这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为： 这种问题的一般形式为 • 目标函数： 目标函数：
min f ( x)
x
c ( x ) <= 0 •约束条件： ceq 约束条件： 约束条件 ( x ) = 0 A • x <= b Aeq • x = beq lb <= x <= ub
•其中： x 为向量，G（x）为函数向量，F(x)为标量函数， 其中： 为向量， （ ）为函数向量， 为标量函数， 其中 为标量函数 F(x)和G(x)均可以是非线性函数。G(x)可以为等式约束 均可以是非线性函数。 和 均可以是非线性函数 可以为等式约束 也可以为不等式约束。 也可以为不等式约束。 •在matlab中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 在 中这种一般的约束最优问题的求解要用到的 命令是： 命令是： FMINCON: •格式:x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
练习
1：目标函数：
•约束方程：
min f ( x) = − x1 x2 x3
− x1 − 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 0
x1 + 2 x 2 + 2 x 3 ≤ 72
•2：
min f ( x) = 2 x12 + x2 2 + x3 2 − x1 x2 2 2 x1 + x2 ≤≥ 0 1 2 3
有约束非线性多元函数最优化 问题
考虑如下优化问题： 考虑如下优化问题：
x1 • 目标函数： min f ( x ) = e ( 4 x1 + 2 x 2 + 4 x1 x 2 + 2 x 2 + 1) 目标函数： x 2 2

最优化理论与方法

最优化理论与方法最优化理论是一种用于解决实际问题的有效方法。

它可以帮助我们找到解决实际问题的最佳解决方案。

本文将介绍最优化理论的基本概念，以及它的特点和应用。

最优化理论的基本概念是：最优化理论旨在求解一个或多个变量的最优解，使得系统的某种目标函数的值达到最优。

最优化理论的目标函数可以是最大化或最小化函数。

最优化理论具有非常强大的表达能力，可以通过不同的方式来求解最优解。

最优化理论具有三个主要特点：第一，它拥有解决问题的高效率和精确性；第二，它可以有效地处理多变量优化问题；第三，它可以通过数学模型有效地实现最优解的有效求解。

最优化理论应用非常广泛，它可以应用于工程，金融，计算机，经济，生物技术，社会科学等。

在工程领域，最优化理论可以用来解决资源分配问题，能源分配问题，分布式计算问题和工程优化问题；在金融领域，它可以用来解决财务优化问题，保险业绩优化问题和金融模拟优化问题；在计算机领域，它可以用于解决计算机视觉问题和搜索算法等；在经济领域，它可以用于解决交易问题，价格优化问题，风险优化问题，以及经济模型优化问题；在生物技术领域，它可以用于研究蛋白质结构及其疾病发病机制；在社会科学领域，它可以用于研究社会现象及其规律。

在任何领域，最优化理论都拥有以上优势，可以提高系统性能和精确度，特别是在现代计算机技术竞争激烈的时代，最优化理论的应用更加广泛。

最优化理论可以有效地满足多个变量的最佳解，以提高系统性能。

综上所述，最优化理论是一种有效的求解多变量优化问题的理论，能够有效地提高系统性能和精确度。

它具有高效率，准确性，可扩展性，应用范围广泛等优点。

最优化理论是一种在许多领域，尤其是工程，金融，经济，计算机，生物技术和社会科学领域都有广泛应用的理论和方法。

它的应用已经使系统的性能和精确度得到了极大的提升，为解决实际问题提供了有效的理论和方法。

3.3(变量轮换法)无约束条件多变量函数的选优方法


3 程序框图
f(X) ，X0 ，k=1， f(X)=min[f(Xki)]
f(Xki)－f(Xki－1)< Y
Y
END
N
in N
k=k+1
X0 =Xkn
（二）第二种计算方法
第i 行
设ei为第i个坐标轴的单位矢量， ei=(0，0…，1，…，0)T 。 (1) 给定初始点X(1)=(x1(1)，x2(1) ，…，xn(1)) ； (2) 从X(1)出发，先沿着第一坐标轴由e1进行搜索，求 出 新 点 X(2) 及 最 优 步 长 1 ， 即 X(2)=X(1) ＋ 1e1 ， f(X(2))=f(X(1)＋1e1)=min[f(X(1)＋e1)]，将其代入f(X)= f(x1，x2，x3，…，xn) 中只有一个变量，只有当取 最小，f(X)才能取到最小，也就是说1为沿第一坐标 轴方向上的最优步长， X(2)为沿第一坐标轴方向上的
单变量的函数最优值X0(2)=(x1(1)，x2(1) ，x3(0) ， …， xn (0))，
得f(X0(2)) ，每次固定n－1个变量，只对一个变量寻优， 对n个变量寻优后，才完成第一轮；
(3)若f(X(k))－f(X(k－1))<成立， 则停止搜索，否则进入 下一轮寻优，直至满足精度为止。
最优点。
(3) 类似地，从X(2)出发，先沿着第二坐标轴由e2进行搜
索，求出新点 X(3) 及最优步长 2 ，即 X(3)=X(2) ＋ 2e2 ，
f(X(3))=f(X(2)＋2e2)=min[f(X(2)＋e2)]，…， X(n＋1)=X(n) ＋nen，f(X(n＋1))=f(X(n)＋nen)=min[f(X(n)＋en)]。这样， 从初始点X(1)经n次搜索得到新点X(n＋1)，完成一轮迭代。

多变量最优化


1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
给出：若 在Sf 的某个点内 (x1,L达,x到n)极大值或极小
值，设 在这点f 可微，则在这个点上
。f也就0 是说
，在极值点有
f x1
(x1,
L
,
xn)
0
f xn
(x1,
L
,
xn)
0
（2-1）
据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内
部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或
极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年 获得的净利润为553641美元。
利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它 可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到 最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的 最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面， 其最高点为方程组的唯一解。
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计算机代数系统--matlab
>> [x, y] = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); >> mesh(x, y, z)
Matlab 优化函数
无约束多变量函数极小 1） 建立目标函数的m-文件 function y = tvsell(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2)) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2)) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2)); 2）求解 >> x0 = [0, 0]; >> [x, yval] = fminunc(‘tvsell’, x0) fminunc
h1 7.918, h2 5.367, 3.000
f (h1 , h2 ) 1097.11 (m2 )
模型的敏感性：
拉格朗日乘子的值 3.000, 意思是如果总表面积增加1个单位，水箱的 容积大约增加3m2.
Matlab 的优化函数
约束极小
[x, fval, exitflag, ouput, lambda, grad, hessian] = fmincon(‘objfun’, x0, A, b, A1, b1, LB, UB, ‘nonlcon’, options, p1, p2,…)
2 S2 R R 2 h2
S S1 S2
我们希望最大化水箱的容积V，而总表面积S限制 了水箱的容积，所以问题是
1 Max f ( h1 , h2 ) R h1 R 2 h2 3
2
2 s.t . 2 Rh1 R R 2 h2 450.
模型求解： 定义函数
如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则 我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸 彩电的生产量扩大2.7%.
考虑y对于a的灵敏性。 计算可得，在a=0.01时，有
dP P dx P dy P P 2 x1 a da x da y da a
0.01 554000 S ( y, a ) 0.40 117 (21592000 / 39)
连续约束优化—拉格朗日乘子法
例：考虑航天飞机上固定在飞机 墙上供宇航员使用的水箱。水箱 的形状类似于谷仓，即在圆柱体 顶部接一个圆锥体。如果其半径 为6m，而总的表面积限定为 450m2，请确定圆柱体和圆锥体 的高度，使谷仓的容积最大。
h1
h2
提出问题：
在满足设计限制的前提下，为宇航员最大化 水箱容积。
问题是：每种彩电应该各生产多少台？
提出问题：
变量：
x=19英寸彩电的售出数量（每年）
假设：
p 339 0.01 x 0.003 y
y=21英寸彩电的售出数量（每年）
p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元） P=彩电销售的利润（美元/年）
q 399 0.004 x 0.01 y
R px qy
C 400000 195 x 225 y
P R C
x, y 0
目标：最大化利润函数P
选择建模方法
无约束多变量最优化问题
建立模型： P R C (339 0.01 x 0.003 y ) x (399 0.004 x 0.01 y) y (400000 195 x 225 y)
min f ( x )
x
s .t . Ax b A1 x b1 C ( x) 0 C1 ( x ) 0 LB x UB .
例：求解极值问题
2 2 min f ( x ) e x1 (4 x1 2 x2 4 x1 x2 2 x2 1)
s.t . x1 x2 1, 1.5 x1 x2 x1 x2 0, x1 x2 10 0, x1 0, x2 0.
1 2 L( h1 , h2 , ) R h1 R 2 h2 2 Rh1 R R 2 h2 450 3 将 R 6, 3.14 代入，化简得
2
2 L 113.04h1 37.68h2 (37.68h1 18.84 36 h2 450)
假设：影响水箱设计的因素很多。在我们的模型中， 考虑水箱的形状和尺寸、体积、表面积，以及圆柱体 和圆锥体的半径。
模型建立：
圆柱体的体积 圆锥体的体积 水箱的容积
V1 R2h1
1 V2 R 2 h2 3
V V1 V2
圆柱体的表面积 圆锥体的表面积 总表面积
S1 2 Rh1
灵敏性分析 在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场 和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证 结果具有稳健性。 我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司 要据此来确定生产量。 对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.
P (339 ax 0.003 y ) x (399 0.004 x 0.01 y ) y (400000 195 x 225 y ) 144 x 0.01 x 2 174 y 0.01 y 2 0.007 xy 400000
2
因此，19英寸彩电的价格弹性系数提高10%， 会使利润下降4%.
>> syms a >> z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y) >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve('-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0', '-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> dxda = diff(s.x, a) >> sxa = dxda * a / s.x >> a = 0.01 >> eval(sxa)
144 x 0.01 x 2 174 y 0.01 y 2 0.007 xy 400000
P 求解模型： 144 0.02 x 0.007 y 0 x P 174 0.007 x 0.02 y 0 y
解得全局极大值点
x 4735, y 7043.
>> x0 = [0, 0]; >> options = optimset(‘gradobj’, ‘on’); >> [x, yval] = fminunc(‘tvsell’, x0, options)
例：单变量最优化
x f ( x, a ) a x2
求a=1时 f 在区间[-2,1]上的极小值点及极小值. function y = myfun(x, a) y = x/(a+x^2); >> options = optimset(‘tolx’, 1e-004); >> [x, yval] = fminbnd(‘myfun’, -2, 1, options, 1)
>> syms x y >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y - (400000 + 195*x + 225*y); >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve(‘-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0', '-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> subs(z, {x, y}, [s.x, s.y])
多 变 量 最 优 化
例：竞争性产品生产中的利润最大化
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板 电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶 平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸 彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上 400000美元的固定成本。
将L对变量 h1 , h2 , 分别求偏导，并令其为0，即
L 113.04 37.68 0 h1 18.84 h2 L 37.68 0 2 h2 36 h2 L 2 37.68h1 18.84 36 h2 450 0
利用计算机代数系统，求得三位小数的解：
如果在求极值时使用函数的梯度，则在目标函数的m-文件 中应有两个输出，第二个输出为目标函数的梯度向量. function [y, g] = tvsell_b(x) y = -(339 - 0.01*x(1) - 0.003*x(2)) * x(1) - (399 - 0.004*x(1) - 0.01*x(2)) * x(2) + (400000 + 195*x(1) + 225*x(2)); g = [144 - 0.02*x(1) - 0.007*x(2), 174 – 0.007*x(1) – 0.02*x(2))];