《多变量最优化》PPT课件

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最优化理论与算法完整版课件 PPT

Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、非线性规划、非光滑优化、全局优化、变分法、二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量，目标以便以最低可能的花费购买这些食物，而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法陈宝林
参考书：
数学规划黄红选，韩继业清华大学出版社
1. 线性规划对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目

《非线性最优化模型》课件

无约束优化模型
定义
无约束优化模型是指在没有任何约束条件限制下，寻找目标函数的最大值或最小值。
求解方法
无约束优化模型的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。这些方法通过迭代的方式逐步逼近最优解，利用目标函数的梯度信息或海森矩阵进行搜索。
混合整数优化模型
特点
混合整数优化模型是指目标函数和约束条件中同时包含连续变量和整数变量，整数变量的取值只能是整数。
《非线性最优化模型》ppt课件
Байду номын сангаас
CONTENTS
• 非线性最优化模型概述 • 非线性最优化模型的分类 • 非线性最优化模型的求解方法 • 非线性最优化模型的实际应用
案例 • 非线性最优化模型的未来发展
与挑战
01
非线性最优化模型概述
定义与特点
总结词
非线性最优化模型是一种数学方法，用于解决具有非线性约束和目标的优化问题。
优点
收敛速度快，精度高。
缺点
对Hessian矩阵敏感，计算量大，可能面临数值稳定问题。
拟牛顿法
总结词
改进的牛顿法 01
详细描述
02 通过迭代更新Hessian矩阵近似值，构造拟牛顿矩阵，以实现牛顿法的数值稳定性和收敛速度。
优点
数值稳定性好，收敛速度快。
03
缺点
04 需要存储和计算Hessian矩阵或其近似值。
客户需求。
运输优化
非线性最优化模型可用于优化运输路线和运输方式，降低运输成本并提高运
输效率。
采购优化
通过非线性最优化模型，可以确定最佳供应商和采购策略，以降低采购成本
并确保产品质量。

《数学建模》PPT课件

( x2
x1)
f
f (x2 ) (x2 ) f
2 1 ( x1) 22
1
f
( x1 )
f
(x2 )
3
f
( x1 ) x1
f (x2 ) x2
2 (12 f (x1)f (x2 ))1/2
如函数的导数容易求得，一般首先考虑使用三次插值
法，因为它具有较高效率。对于只需要计算函数值的方
法中，二次插值法是一个很好的方法，它的收敛速度较
优化模型
（2）多项式近似法该法用于目标函数比较复杂的情况。此时寻找一个与它近似的函数代替目标函数，并用近似函数的极小点作为原函数极小点的近似。常用的近似函数为二次和三次多项式。
二次内插涉及到形如下式的二次函数数据拟合问题：
mq() a2 b c
其中步长极值为：
b
2a
完整版课件ppt
求解单变量最优化问题的方法有很多种，根据目标函数是否需要求导，可以分为两类，即直接法和间接法。直接法不需要对目标函数进行求导，而间接法则需要用到目标函数的导数。
完整版课件ppt
4
优化模型
1、直接法常用的一维直接法主要有消去法和近似法两种：（1）消去法该法利用单峰函数具有的消去性质进行
反复迭代，逐渐消去不包含极小点的区间，缩小搜索区间，直到搜索区间缩小到给定允许精度为止。一种典型的消去法为黄金分割法(Golden Section Search）。黄金分割法的基本思想是在单峰区间内适当插入两点，将区间分为三段，然后通过比较这两点函数值的大小来确定是删去最左段还是最右段，或同时删去左右两段保留中间段。重复该过程使区间无限缩小。插入点的位置放在区间的黄金分割点及其对称点上，所以该法称为黄金分割法。该法的优点是完整算版课法件p简pt 单，效率较高，稳定性好5 。

多目标优化方法及实例解析ppt课件

mZ a x(X ) （1）
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。
在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确
8
二多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：

最优化方法课件 (1)

的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。 – 17世纪出现了笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等数学家，奠定了微积分的基础，其研究的对象包括行星运动、流体运动、机械运动、植物生长等均属于数学建模的范畴； – 19世纪后期，数学成为了研究数与形、运动与变化的学问； – 可以说，数学是模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
10
2 数学建摸的基本概念与分类
1. 数学模型与数学建模 2. 数学模型的分类 3. 数学模型的应用领域 4. 数学建模举例 5. 数学建模的过程
11
数学建模与数学模型
• 模型概念
– 把对象实体通过适当的过滤,用适当的表现规则描绘出的简洁的模仿品.通过这个模仿品,人们可以了解到所研究实体的本质,而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。
3
Introduction to Mathematic Modeling and Optimization
4
数学家名人录
5
Introduction: Concept, History, Progress and Class of Mathematic Modeling and Optimization
6
Contents
1. 引言:数学建模与最优化的背景

最优化方法第一次PPT课件

12
本课程对学生的具体要求为： ①理解最优化的基本概念、算法原理和算法结构； ②熟悉几种常用的经典优化算法，知晓其优缺点及适用范围； ③了解模拟退火算法和遗传算法的基本原理； ④能较为熟练地运用Lingo软件求解各种优化问题。
13
3. 编程要求基于下列理由，本门课要求学生对2~3个
基本优化算法（如一维搜索、梯度法、变尺度法、模拟退火、基本遗传算法）编制出通用程序，编程工具建议采用 C++ 、 Matlab 或 Maple。
前面提到的算法是最优化的基本方法，它们简单易行，对于性态优良的一般函数，优化效果较好。但这些经典的方法是以传统微积分为基础的，不可避免地带有某种局限
5
局限性，主要表现为：①大多数传统优化方法仅能计算目标函数的局部最优点，不能保证找到全局最优解。对于多峰值函数，这些方法往往由于过分追求“下降”而陷于局部最优解；②许多传统优化方法对目标函数的光滑性、凹凸性等有较高的要求，对于离散型函数、随机型函数基本上无能为力。
15
③Lingo、Matlab优化工具箱等优化软件功能的确强大，但它们也不是万能的。首先, 对于某些优化问题，这些工具软件有都求不出最优解。其次不能保证对任何优化问题都有现成的工具软件，实际上，许多现代优化方法都不可能编制成通用软件；
④熟练使用相关科技软件、具有一定的编程水平是工科研究生所必须具有的素养，从某种程度上讲，后者更能反映出个人的能
7
二、《最优化方法》课程主要内容本门课程的主要内容为常用经典优化方
法、现代优化方法中的模拟退火算法和遗传算法以及运筹优化软件Lingo简介。
经典优化方法包括： 1.常用的一维搜索方法——黄金分割法、 Fibonacci法和解析法； 2. 最速下降法、共轭梯度法； 3. 牛顿法；

最优化第二章解析PPT课件

例2.6 考虑例2.5中的线性规划关于 B0 [a4,a2] 的
G-J方程组
x1 2x3 x4 1
x1 x2 x3 4 试把 a1 [1,1]T 和 a3 [2,1]T分别引入基，求新的基本
容许解。
ⅱ）下降性条件
新解 x x x N B b 1 , ,b k 1 ,0 ,b k 1 , ,b m ,0 , ,0 ,b k ,0 , ,0 T 。x N
那么，B 是容许基，且关- 于 B 的基本容许解的 7
目标函数值小于关于 B 的基本容许解的目标函数值。定理2.12 在标准线性规划（2.21）中，假设： ⅰ）B[a1,a2, ,am ]是容许基；
ⅱ）非基本变量 x l 的判别数 l 0 ；
ⅲ）al B1al 0。那么线性规划（2.21）存在可以使目标函数值任意减小的容许解。
-
13
3. 初始基本容许解的产生
对于标准线性规划
m in c T x
s .t. A x b
（2.54）
x
0
,
引入 m 个人工变量 u1,u2, ,um，求解辅助线性规划——
一个典范线性规划
其中 e1,1,
m in e T u
s.t. Iu A x b
u
0,
x
0
,
,1T。
（2.55）
a1lxl
a1nxn b1
a2m1xm1 a2lxl a2nxn b2 （2.29）
xmamm1xm1 a- mlxl amnxn bm.
2
（2.29）称为关于基 B 的Gauss-Jordan方程组（G-J方程组）
典范线性规划的主约束即是一个G-J方程组。
G-J方程组的性质：

多目标优化方法讲义(PPT64张)

决策空间可行域
目标空间可行域
示例2
m i n( F X ) f ( Xf ) ,2 ( X ) 1
T
3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x ( ) 2 1 4 4 4 4 4 4 3 E Dx Dx Dx 2 2 61 2 1 2 9.78 10 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2
4
2 1 2
2 2
1
2 1
2 2

3 6 4 1 1 L 3 f ( X ) x (4 4 4 4 ) 4 4 2 1 3 E Dx Dx Dx 2 2 1 2 1 2
9.78 106 x1 s.t. g1 ( X ) 180 0 7 4 4.096 10 x2 g2 ( X ) 75.2 x2 0 g3 ( X ) x2 40 0 g4 ( X ) x1 0
(1) (1) (1)
(1)
( 2)
, fm ( X )
(1) (2)
T
F(X
(2)
) f1 ( X
(2)
), f2 ( X
(2)
),
, fm ( X ) , m) X (2)
T
若对于每一个分量，都有 fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1)
向量不等式的含义为
p p f ( X ) f ( X ) j 1 , 2 , , m , 但至少有一个 f ( X ) f ( X ) j j l l
决策空间非劣解集

最优化方法全部ppt课件

解法：Lagrange乘子法
1.2 实例
数据拟合问题原料切割问题运输问题营养配餐问题分配问题
1.3 基本概念
1. 最优化问题的向量表示法
设 xvx1,x2,L,xnT 则
m i n fx 1 ,x 2 ,L ,x n m i n fx v （1）
以向量为变量的实值函数定义向量间的序关系(定义1.1)：
②取 c0,1,4,9,L并画出相应的曲线（称之为等值线）.
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 xv* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以下性质：
①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值函数的缘故）；
其中
g1 xv0
x1
g2 xv0
x1
L
gv
xv0
g1 xv0
x2
g2 xv0
x2
L
M
g1 xv0
xn
M
g2 xv0
xn
称为向量值函数 gv xv 在点
L
xv 0
g
m xv0
x1
g
m
xv0
x2
g
M
m xv0
xn
处的导数，
而gv xv0 T 称为向量值函数 gv xv 在点 xv 0 处的Jacobi矩阵。
称为最优化方法。最优化方法是在第二次世界大战前后，
在军事领域中对导弹、雷达控制的研究中逐渐发展起来的。
最优化方法解决问题一般步骤：（1）提出需要进行最优化的问题，开始收集有关资料和数据；（2）建立求解最优化问题的有关数学模型，确定变量，列出目标函数和有关约束条件；（3）分析模型，选择合适的最优化方法；（4）求解方程。一般通过编制程序在电子计算机上求得最优解；（5）最优解的验证和实施。随着系统科学的发展和各个领域的需求，最优化方法不断地应用于经济、自然、军事和社会研究的各个领域。

多变量最优化

1.提出问题-变量
问题1中的全部变量包括：
s=19英寸彩电的售出数量（台）； t=21英寸彩电的售出数量（台）； p=19英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； q=21英寸彩电的平均销售价格（美元/台）； C=生产彩电的成本（美元）； R=彩电销售的收入（美元）； P=彩电销售的利润（美元）。
1.提出问题-常量
给出：若在Sf 的某个点内 (x1,L达,x到n)极大值或极小
值，设在这点f 可微，则在这个点上
。f也就0 是说
，在极值点有
f x1
(x1,
L
,
xn)
0
f xn
(x1,
L
,
xn)
0
（2-1）
据此我们可以在求极大或极小点时，不考虑那些在S内
部使 f 的某一个偏导数不为0的点。因此，要求极大或
极小点，我们就要求解方程组(2-1)给出的n个未知数、
图2.1 彩电问题的利润y关于19英寸彩电的生产量s和 21英寸彩电的生产量t的3维图象
图2.2 彩电问题中关于19英寸彩电的生产量x1和 21英寸彩电的生产量x2的利润函数有的水平集图
5.回答第一步中提出的问题
简单来说，这家公司今年可以通过生产4735台19 英寸彩电和7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元。
利用计算机代数系统求解问题有几项优点：它可以提高效率，结果更准确。
4.利用第二步确定的标准过程求解
图2.2给出了函数P的3维图象，图象显示，y在内部达到最大值；图2.3给出了P的水平集图，从中我们可以估计出y的最大值出现在x1=5000,x2=7000附近。函数y是一个抛物面，其最高点为方程组的唯一解。

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'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> subs(z, {x, y}, [s.x, s.y])
灵敏性分析在向公司报告结论之前，应对我们关于彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳健性。我们主要关心的是决策变量x和y的值，因为公司要据此来确定生产量。
求偏导数并令其为零，可解得
x 1662000 400000a 49
y 8700 581700 40000a 49
可画出x和y关于a的曲线图.
19英寸彩电的价格弹性系数a的提高，会导致 19英寸彩电的最优生产量x的下降，及21英寸彩电的最优生产量y的提高。而且，图中显示 x比y对于a更敏感。
x, y 0
P=彩电销售的利润（美元/年）
目标：最大化利润函数P
选择建模方法无约束多变量最优化问题
建立模型： P R C
(339 0.01x 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y) 144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000 求解模型： P 144 0.02x 0.007 y 0
x P 174 0.007 x 0.02 y 0 y 解得全局极大值点 x 4735, y 7043.
f 21592000 553641. 39
回答问题：
这家公司可以通过生成4735台19英寸彩电和 7043台21英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为553641美元，每台19英寸彩电的平均售价为270.52美元，每台21英寸彩电的平均售价为309.63美元。生产的总支出为2908000 美元，相应的利润率为19%。因此建议这家公司应该实行推出新产品的计划。
多变量最优化
例：竞争性产品生产中的利润最大化
一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种19英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339美元；另一种21英寸液晶平板电视机，零售价为399美元。公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元，21英寸彩电每台225美元，还要加上 400000美元的固定成本。
如果将19英寸彩电的价格弹性系数提高10%，则我们应将19英寸彩电的生产量缩小11%，21英寸彩电的生产量扩大2.7%.
考虑y对于a的灵敏性。计算可得，在a=0.01时，有
dP P dx P dy P da x da y da a

P a

x12
S(
y,
a)

计算可得，在a=0.01时，有
dx 66480000000 22160000000
da (40000a 49)2
41067
S( x, a) ( 22160000000)( 0.01 ) 400 1.1 41067 554000 / 117 351
S( y, a) 9695 0.27 36153
在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台21英寸彩电， 19英寸彩电的平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。
对19英寸彩电的价格弹性系数a的灵敏性进行分析.
P (339 ax 0.003 y)x (399 0.004x 0.01 y) y (400000 195x 225 y)
144x 0.01x2 174 y 0.01 y2 0.007 xy 400000

554000 117
2

0.01 (2159209英寸彩电的价格弹性系数提高10%，会使利润下降4%.
>> syms a >> z = (339 - a*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y) >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve('-2*a*x + 144 - 7/1000*y = 0',
'-7/1000*x - 1/50*y + 174 = 0', 'x', 'y') >> dxda = diff(s.x, a) >> sxa = dxda * a / s.x >> a = 0.01 >> eval(sxa)
问题是：每种彩电应该各生产多少台？
提出问题：
变量：
x=19英寸彩电的售出数量（每年） y=21英寸彩电的售出数量（每年） p=19英寸彩电的销售价格（美元） q=21英寸彩电的销售价格（美元） R=彩电销售的收入（美元/年） C=生产彩电的成本（美元）
假设：
p 339 0.01x 0.003 y q 399 0.004x 0.01y R px qy C 400000 195x 225 y P RC
>> syms x y >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> dzdx = diff(z, x) >> dzdy = diff(z, y) >> s = solve(‘-1/50*x + 144 - 7/1000*y = 0',
计算机代数系统--matlab
>> [x, y] = meshgrid(0:400:10000, 0:400:10000); >> z = (339 - 0.01*x - 0.003*y).*x + (399 - 0.004*x - 0.01*y).*y
- (400000 + 195*x + 225*y); >> mesh(x, y, z)