数学建模案例之多变量最优化2

数学建模案例之多变量有约束最优化问题2[1]（续问题1）：在问题1中，我们假设公司每年有能力生产任何数量的彩电。

现在我们根据允许的生产能力引入限制条件。

公司考虑投产者两种新产品是由于计划停止黑白电视机的生产。

这样装配厂就有了额外的生产能力。

这些额外的生产能力就可以用来提高那些现有产品的产量，但公司认为新产品会带来更高的利润。

据估计，现有的生产能力允许每年可以生产10000台电视（约每周200台）。

公司有充足的19英寸、21英寸彩色显像管、底盘及其他标准配件。

但现在生产立体声电视所需要的电路板供给不足。

此外，19英寸彩电所需要的电路板与21英寸彩电的不同，这是由于其内部的结构造成的。

只有进行较大的重新设计才能改变这一点，但公司现在不准备做这项工作。

电路板的供应商每年可以提供8000块21英寸彩电的电路板和5000块19英寸彩电的电路板。

考虑到所有这些情况，彩电公司应该怎样确定其生产量？清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？1．问题分析、假设与符号说明这里涉及的变量和问题１相同：s：19英寸彩电的售出数量（台）；t：21英寸彩电的售出数量（台）；p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）；q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）；C：生产彩电的成本（美元）；R：彩电销售的收入（美元）；P：彩电销售的利润（美元）这里涉及的常量同问题１：两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元；每种彩电的生产成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。

变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。

假设２：对于每种类型的彩电，受到生产所需要的电路板的限制，其售出数量有限制5000,8000s t ≤≤；假设３：公司年内的生产能力有上限c=10000台，即 10000s t +≤；假设４：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。

一、概述最小二乘法是一种常用的数值优化方法，多目标优化是一种常见的现实问题。

本文将通过一个基于Matlab的案例对最小二乘法在多目标优化中的应用进行分析和讨论。

二、最小二乘法概述最小二乘法是一种数学优化方法，其核心思想是通过最小化残差平方和来估计参数。

在实际应用中，最小二乘法广泛用于拟合曲线、回归分析、信号处理等领域。

最小二乘法的优点在于具有较好的数值稳定性和计算效率。

三、多目标优化概述多目标优化是指在给定多个目标函数的情况下，寻找一组参数使得这些目标函数都能够达到最优值。

多目标优化通常涉及到多个冲突的目标函数，因此需要寻找一种平衡各个目标的方法。

四、Matlab中的最小二乘法多目标优化实现在Matlab中，可以利用优化工具箱中的函数来进行最小二乘法多目标优化。

以下是一个基于Matlab的案例，通过该案例来详细讨论最小二乘法在多目标优化中的应用。

1. 确定目标函数假设我们需要优化的目标函数有两个：f1和f2。

其中f1是关于参数x 和y的函数，f2是关于参数x和z的函数。

我们的目标是找到一组x、y、z使得f1和f2都能够达到最小值。

2. 构建优化问题在Matlab中，可以使用优化工具箱中的函数来构建多目标优化问题。

我们需要定义目标函数f1和f2，并设置优化的参数范围。

3. 解决优化问题利用Matlab中的优化函数，可以求解出使得f1和f2都能够达到最小值的参数组合。

通过调用优化工具箱中的函数，可以得到最优解以及对应的目标函数值。

4. 结果分析我们可以对优化结果进行分析，对比不同参数组合下的目标函数值，并对最优解进行进一步的验证和优化。

五、结论与展望通过上述案例的分析与讨论，可以得出最小二乘法在多目标优化中的应用是有效的。

通过Matlab的优化工具箱，可以方便地实现最小二乘法多目标优化，并得到较好的优化结果。

然而，对于更复杂的多目标优化问题，仍需要进一步研究和探索更高效的优化算法。

本文通过一个基于Matlab的案例详细介绍了最小二乘法在多目标优化中的应用。

数学建模案例之多变量无约束最优化多变量无约束最优化问题是指在变量间没有限制条件的情况下，求解目标函数的最优值。

这类问题在数学建模中非常常见，实际应用非常广泛。

下面以一个实际案例说明多变量无约束最优化的建模过程。

假设地有几个旅游景点，现在需要制定一个旅游路线，使得游客的游玩时间最长，同时经济成本最低。

已知每个旅游景点之间的距离和游玩时间，以及游客每次游玩每公里所需的成本。

目标是找到一条旅游路线，使得游客在游览所有景点后，花费的经济成本最少。

首先，我们需要定义问题的数学模型。

假设有n个旅游景点，用x1, x2, ..., xn表示每个景点的游玩时间（单位：小时），用dij表示第i个景点和第j个景点之间的距离（单位：公里），用c表示游客游玩每公里所需的成本。

为了定义问题的数学模型，我们需要明确如下几个关键部分：1. 决策变量：定义一个n维向量X，其中每一个分量xi表示游客在第i个景点的游玩时间。

2. 目标函数：定义一个目标函数f(X)，表示游客花费的经济成本。

在本例中，目标函数可以定义为：f(X) = ∑dij * xi * c。

3.约束条件：由于是无约束最优化问题，这里没有额外的约束条件。

有了以上几个关键部分，我们可以将问题的数学模型表达为如下形式：最小化：f(X) = ∑dij * xi * c其中，i=1,2,...,n下一步是求解这个最优化问题。

可以使用各种数值优化算法，比如梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

具体的求解过程会涉及到算法的具体细节，这里不再详述。

最后，根据求解结果，我们可以得到游玩时间最长且经济成本最低的旅游路线。

这条路线就是我们需要制定的旅游路线。

总结起来，多变量无约束最优化问题在数学建模中的应用非常广泛。

通过定义合适的决策变量、目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过数值优化算法求解这个模型，得到最优解。

在实际应用中，对于复杂的问题，可能需要结合多种算法和技巧来求解。

数学建模案例之多变量最优化多变量最优化是数学建模中的一个重要问题，其主要目标是在给定的约束条件下，找到一个或多个变量的取值，使得目标函数取得最大或最小值。

多变量最优化的应用非常广泛，例如在经济学、工程学、管理学等领域中都有着重要的应用。

下面我将介绍一个关于生态平衡问题的多变量最优化案例。

在生态学中，保持生态系统的平衡是一个重要的目标。

因此，研究如何在给定的约束条件下最大限度地提高生态系统的平衡度是一个具有挑战性的问题。

在这个案例中，我们假设生态系统包含n个物种，每个物种在生态系统中所占的比例可以用一个变量xi表示。

我们的目标是最大限度地提高生态系统的平衡度，即最小化各物种比例之间的差异。

为了量化生态系统的平衡度，我们可以使用下面的公式：A = Σ ，xi - x'其中，A表示生态系统的平衡度，xi表示物种i在生态系统中所占的比例，x'表示物种比例的平均值。

然而，由于生态系统中存在一些约束条件，例如物种之间的相互作用、资源的有限性等，从理论上解析地求得最优解非常困难。

因此，我们需要使用数学建模中的多变量最优化方法来解决这个问题。

首先，我们需要明确问题的约束条件。

这些约束条件可以包括物种之间的相互作用、资源分配的限制、物种的生存要求等。

然后，我们可以将这些约束条件转化为一组约束方程，形成一个多变量最优化的问题。

假设我们将生态系统的平衡度最小化问题表示为一个多变量最优化问题，目标函数为最小化生态系统的平衡度A，约束条件为一组方程表示的生态系统限制。

我们可以使用优化算法，例如线性规划或非线性规划，来求解这个问题。

在求解过程中，我们需要确定一个合适的初始解，并进行迭代优化，直到找到满足约束条件的最优解。

优化算法将计算出生态系统中每个物种的最优比例，最小化生态系统的平衡度。

通过这个多变量最优化问题，我们可以得到一个最优解，即使各物种比例之间的差异最小。

这个最优解可以为生态系统的管理与保护提供重要的参考。

数学建模案例之多变量无约束最优化问题1[1]：某家液晶电视机制造商计划推出两种产品：一种47英寸液晶电视机，制造商建议零售价每台7900元。

另一种42英寸液晶电视机，零售价6500元。

公司付出的成本为47英寸液晶电视机每台4500元，42英寸液晶电视机每台3800元，再加上3200000元的固定成本。

在竞争的销售市场中，每年售出的液晶电视机数量会影响液晶电视机的平均售。

据估计，对每种类型的电视，每多售出一台，平均销售价格会下降0.08元。

而且47英寸液晶电视机的销售量会影响42英寸液晶电视机的销售，反之也是如此。

据估计，每售出一台47英寸液晶电视机，42英寸的液晶电视机平均售价会下降0.024元，而每售出一台42英寸的液晶电视机，47英寸液晶电视机的平均售价会下降0.032元。

问：（1）问每种电视应该各生产多少台，使总利润最大？（2）对你在（1）中求出的结果讨论42英寸液晶电视机的价格弹性系数的灵敏性。

1．问题分析、假设与符号说明这里涉及较多的变量：s：47英寸液晶电视机的售出数量（台）；t：42英寸液晶电视机的售出数量（台）；p：47英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；q：42英寸液晶电视机的售出价格（元/台）；C：生产液晶电视机的成本（元）；R：液晶电视机销售的收入（元）；P：液晶电视机销售的利润（元）这里涉及的常量有：两种液晶电视机的初始定价分别为：339元和399元，成本分别为：195元和225元；每种液晶电视机每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01元（称为价格弹性系数）；两种液晶电视机之间的销售相互影响系数分别为0.04元和0.03元；固定成本400000元。

变量之间的相互关系确定：假设1：对每种类型的液晶电视机，每多售出一台，平均销售价格会下降1元。

假设2：据估计，每售出一台42英寸液晶电视机，47英寸的液晶电视机平均售价会下降0.3元，而每售出一台47英寸的液晶电视机，42英寸液晶电视机的平均售价会下降0.4元。

数学建模飞机运输问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】多变量有约束最优化问题摘要本文以一家运输航空公司的一架飞机运载能力100吨和运载货物的容量50000立方英尺有限的情况下，有三种货物（即x1、x2、x3）需要运输，公司规定每吨货物收取一定的费用，而要运输的每种货物的吨数都有规定的上限（最多不超过30吨、40吨、50吨），并且公司规定由于飞机需要保养与维护，飞机须停飞115天，因此每年只有250天的工作时间。

在此情况下每天怎样安排运输三种货物使公司每年获得最大利润w。

对于此问题只用线性规划的一般方法建立相应的数学模型，在用数学软件求出在给定限行区域内的最优解（w、x1、x2、x3），在对这些最优解进行分析与讨论，确定其为有效最优解。

并以此作为公司对三种货物运输安排方式。

对于问题一，求使得运输航空公司获得最大利润w的x1、x2、x3三种货物的吨数，建立相应的数学模型。

再根据运输能力最多100吨和运载货物容积的最大50000立方英尺，还有每天公司规定的每种货物的运输上限即x1种货物最多运输30吨，x2种货物最多运输40吨，x3种货物最多50吨，建立约束条件。

并用数学软件mathematica进行求解，即为所求的最优解（也就是w=21875，x1=30，x2=，x3=50）。

对于问题二中，要求计算每个约束的影子价格。

我们将利用问题一中建立的目标函数和约束条件，将其编写成源程序输入到Lindo软件中进行求解。

再将得到的界进行讨论与和模型的稳健性分析并且通过其在题意的理解，解释其含义。

问题三中，对于公司将耗资改装飞机以扩大运货区来增加运输能力，且旧飞机使用寿命为5年，每架飞机的改造要花费200000美元，可以增加2000立方英尺的容积。

重量限制仍保持不变。

假设飞机每年飞行250天，这些旧飞机剩余的使用寿命约为5年。

根据此问题我们将建立数学规划模型，利用Lindo软件计算其影子价格和利润并且与前面进行比较，进行分析。