第二章 直线和圆的方程课时2.3.3 直线的交点坐标与距离公式（02） 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离1.探索平面上点到直线的距离公式，了解点到直线距离公式的推导方法。
2.掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
3.初步掌握用解析法研究几何问题。
基础过关练题组一 点到直线的距离1.已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m 等于 ( ) A.0 B.34C.3D.0或342.已知直线l 1:ax+y-1=0与直线l 2:x-y+5=0互相垂直,则点(1,2)到直线l 1的距离为 ( ) A.1 B.2 C.√2 D.2√23.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m 的值为 ( ) A.-6或1 B.-12或1C.-12或12D.-6或124.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d 的最大值为 ( ) A.3 B.4C.5D.75.在直线x+3y=0上求一点P,使点P 到原点的距离和到直线x+3y-2=0的距离相等.题组二两条平行直线间的距离6.已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2:2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为 ( )A.15B.√55C.35D.3√557.两条平行直线分别经过点A(3,0),B(0,4),它们之间的距离d满足的条件是 ( )A.0<d≤3B.0<d≤5C.0<d<4D.3≤d≤58.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是.9.直线l到其平行直线x-2y+4=0的距离和原点到直线l的距离相等,则直线l的方程是.10.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.题组三距离公式的综合应用11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为 ( )A.(0,5]B.(0,5)C.(0,+∞)D.(0,√17]12.已知正方形的两边所在直线方程分别为x-y-1=0,x-y+1=0,则正方形的面积为.13.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1,1),B(2,3),C(3,-2).(1)求BC边所在直线的方程；(2)求△ABC的面积.14.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.能力提升练题组一点到直线的距离1.()过点A(1,2),且与原点距离最大的直线的方程是 ( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x-2y+3=02.(多选)()已知平面上一点M(5,0),若直线l上存在点P使|PM|=4,则称该直线为点M的“相关直线”,下列直线中是点M的“相关直线”的是 ( )A.y=x+1B.y=2C.4x-3y=0D.2x-y+1=03.()点A(1,1)到直线xcos θ+ysin θ-2=0的距离的最大值是.4.()已知点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则直线l过定点,点P到直线l的距离d的最大值为.5.()已知直线l经过点P(4,3),且与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点.(1)若点O到直线l的距离为4,求直线l的方程；(2)求△OAB面积的最小值.题组二两条平行直线间的距离6.()若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ( )A.3√2B.2√3C.3√3D.4√27.()已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b=1,则√(m-a)2+(n−b)2的最小值为.8.()已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0.能否找到一点P,使得点P同时满；(3)P点到l1的足下列三个条件:(1)P是第一象限的点；(2)P点到l1的距离是P点到l2的距离的12距离与P点到l3的距离之比是√2∶√5？若能,求出P点的坐标；若不能,说明理由.题组三距离公式的综合应用9.()到直线3x-4y-1=0的距离为2的点的轨迹方程是 ( )A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y+11=0或3x-4y-9=0D.3x-4y-11=0或3x-4y+9=010.()已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,点A(-3,-3),B(32,1 2 ),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为 ( )A.√1302B.√13+3√22C.√13D.3√211.()已知△ABC的内角平分线CD所在直线的方程为2x+y-1=0,两个顶点为A(1,2),B(-1,-1).(1)求点A到直线CD的距离；(2)求点C的坐标.答案全解全析 基础过关练1.D 点M 到直线的距离d=√m 2+1=3,解得m=0或m=34.2.C 由已知得,k l 1=-a,k l 2=1,又l 1⊥l 2, ∴-a ×1=-1,解得a=1. 此时直线l 1的方程为x+y-1=0, ∴点(1,2)到直线l 1的距离d=√12+12=√2,故选C.3.D 解法一:依题意得,直线mx+y+3=0过线段AB 的中点,或与直线AB 平行. ①线段AB 的中点坐标为(1,3),且在直线mx+y+3=0上,∴m+3+3=0,解得m=-6； ②由两直线平行知4−2-1-3=-m,解得m=12. 因此m 的值为-6或12,故选D.解法二:由题意得√m 2+1=√m 2+1,解得m=-6或m=12,故选D.解题模板 两点到直线距离相等,可用几何法,即直线与两定点所在直线平行,或直线过以两定点为端点的线段的中点.此类题型也可用代数法.4.A 直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线l ⊥PM 时,d 有最大值,结合两点间距离公式可得d 的最大值为√(2-2)2+(3−0)2=3.故选A.5.解析 由题意可设P(-3y 0,y 0),则√9y 02+y 02=00√12+32,即√10|y 0|=√10.∴y 0=±15.故点P 的坐标为(-35,15)或(35,-15).6.D 由l 1∥l 2得,a=-12,因此l 1:2x-y-2=0,∴d=√22+(−1)2=√5=3√55,故选D.7.B 当两条平行直线与AB 垂直时,两条平行直线间的距离最大,最大距离为|AB|=5,所以0<d ≤5. 8.答案 5解析 两直线方程分别是x=-2和x=3,故两条直线间的距离d=|-2-3|=5. 9.答案 x-2y+2=0解析 由题意设所求直线l 的方程为x-2y+C=0(C ≠4), 则√12+(−2)2=√12+(−2)2,解得C=2,10.解析 ①若直线l 1,l 2的斜率存在,设直线的斜率为k,设l 1的斜截式方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l 2的点斜式方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0, 因为直线l 1过点A(0,1),所以点A 到直线l 2的距离d=√k 2+(−1)2=5,所以25k 2+10k+1=25k 2+25,解得k=125,所以l 1的方程为12x-5y+5=0,l 2的方程为12x-5y-60=0. ②若l 1,l 2的斜率不存在,则l 1的方程为x=0,l 2的方程为x=5, 它们之间的距离为5,同样满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程有两组:l 1:12x-5y+5=0,l 2:12x-5y-60=0或l 1:x=0,l 2:x=5.11.A 易知两直线之间的最大距离为P,Q 两点间的距离,由两点间的距离公式得|PQ|=√(2+1)2+(−1−3)2=5.故l 1,l 2之间的距离d 的取值范围为(0,5]. 12.答案 2解析 由条件知两直线平行,则正方形的边长为这两条平行直线间的距离,即边长d=√2=√2,所以正方形的面积为2.13.解析 (1)由题可知,直线BC 过(2,3),(3,-2),∴方程为x -23−2=y -3-2-3,化简得5x+y-13=0,∴直线BC 的方程为5x+y-13=0.(2)由题可知|BC|=√(3-2)2+(−2−3)2=√26,A(1,1)到直线BC 的距离√25+1726√26,∴S △ABC=12·|BC|·d=12×√26×726√26=72,∴△ABC 的面积为72. 14.解析 解法一:∵点A(1,1)与B(-3,1)到y 轴的距离不相等, ∴直线l 的斜率存在,设为k.又直线l 在y 轴上的截距为2,∴直线l 的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0. 由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l 的距离相等, 得√k 2+1=√k 2+1,解得k=0或k=1.∴直线l 的方程是y=2或x-y+2=0.解法二:当直线l 过线段AB 的中点时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵AB 的中点是(-1,1),又直线l 过点P(0,2),当直线l ∥AB 时,直线l 与点A,B 的距离相等. ∵直线AB 的斜率为0,∴直线l 的斜率为0, ∴直线l 的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l 的方程是x-y+2=0或y=2.能力提升练1.A 根据题意得,当所求直线与直线OA 垂直时,原点到所求直线的距离最大,因为直线OA 的斜率为2,所以所求直线的斜率为-12,所以直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选A.2.BC 选项A 中,点M 到直线y=x+1的距离d=√12+(−1)2=3√2>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故A 中的直线不是点M 的“相关直线”；选项B 中,点M 到直线y=2的距离d=|0-2|=2<4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值小于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故B 中的直线是点M 的“相关直线”； 选项C 中,点M 到直线4x-3y=0的距离d=√42+(−3)2=4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值等于4,所以该直线上存在点P,使|PM|=4,故C 中的直线是点M 的“相关直线”；选项D 中,点M 到直线2x-y+1=0的距离d=√22+(−1)2=11√55>4,即点M 与该直线上的点的距离的最小值大于4,所以该直线上不存在点P,使|PM|=4,故D 中的直线不是点M 的“相关直线”.故选BC. 3.答案 2+√2解析 依题意得,点(1,1)到直线的距离d=√cos 2θ+sin 2θ=|cos θ+sin θ-2|=|√2sin (θ+π4)-2|.∴当sin (θ+π4)=-1时,d max =|-√2-2| =2+√2.4.答案 (1,1)；√10解析 直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0,化为(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0, 令{x +y -2=0,3x +2y -5=0,解得x=y=1,因此直线l 经过定点Q(1,1), 当直线PQ ⊥直线l 时,点P 到直线l 的距离d 有最大值,最大值为|PQ|=√(-2-1)2+(0−1)2=√10. 5.解析 (1)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y-3=k(x-4),即kx-y-4k+3=0, 则点O 到直线l 的距离d=√k 2+1=4,解得k=-724.故直线l 的方程为-724x-y-4×(-724)+3=0,即7x+24y-100=0.(2)因为直线l 的方程为kx-y-4k+3=0, 所以A (-3k +4,0),B(0,-4k+3).则△OAB 的面积S=12|OA|·|OB|=12×(-3k +4)×(-4k+3) =12(-9k-16k+24).由题意可知k<0,则-9k -16k ≥2√(-9k )×(−16k)=24当且仅当k=-34时,等号成立. 故△OAB 面积的最小值为12×(24+24)=24.6.A 由题意知,点M 在直线l 1与l 2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c ≠-7且c ≠-5),则√2=√2,即c=-6,所以点M 在直线x+y-6=0上,所以点M 到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即√2=3√2.7.答案 1解析 设点A(m,n),B(a,b),直线l 1:3x+4y=6,直线l 2:3x+4y=1.由题意知点A(m,n)在直线l 1:3x+4y=6上,点B(a,b)在直线l 2:3x+4y=1上,|AB|=√(m -a)2+(n −b)2,由l 1∥l 2,得|AB|min =√9+16=1.8.解析 能.设存在满足条件的点P(x 0,y 0), 若点P 满足条件(2),则有00√22+(−1)2=12·00√(-4)2+22,化简得2x 0-y 0+132=0或2x 0-y 0+116=0.若P 点满足条件(3),则由点到直线的距离公式,有00√22+(−1)2=√2√5·00√12+12,即|2x 0-y 0+3|=|x 0+y 0-1|. ∴x 0-2y 0+4=0或3x 0+2=0.又P 是第一象限的点,∴3x 0+2=0不合题意,故舍去.由{2x 0-y 0+132=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=−3,y 0=12.不合题意,故舍去. 由{2x 0-y 0+116=0,x 0-2y 0+4=0得{x 0=19,y 0=3718.∴P (19,3718)即同时满足三个条件的点.9.D 依题意知,所求直线与已知直线3x-4y-1=0平行,设所求直线方程为3x-4y+C=0(C ≠-1),根据两条平行直线间的距离公式,得√32+42=|C+1|5=2,则C 1=-11或C 2=9,故所求点的轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.10.B 解法一:如图1,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图1设点P(a,-a-2),则点Q(a+32,-a-12).所以|AP|+|PQ|+|QB|=√(a+3)2+(−a+1)2+3√22+√a2+(−a−1)2=√(a+3)2+(a−1)2+3√22+√a2+(a+1)2.设点M(a,a),C(1,-3),D(-1,0),如图2,则图2√(a+3)2+(a−1)2+√a2+(a+1)2=|MC|+|MD|≥|CD|=√13.所以|AP|+|PQ|+|QB|有最小值3√22+√13.解法二:如图3,由平行线间的距离公式得|PQ|=3√22.图3过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.设点A'(x 0,y 0),则{x 0=−3+3√22×√22=−32,y 0=−3+3√22×√22=−32. 因此,点A'(-32,-32),则|A'B|=√13.连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP 是平行四边形,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=√13.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥3√22+√13. 故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为3√22+√13. 11.解析 (1)点A 到直线CD 的距离d=√4+1=3√55. (2)依题意,点A 关于直线CD 的对称点A'在边BC 上,设A'(x 0,y 0).则{2·x 0+12+y 0+22-1=0,y 0-2x 0-1·(-2)=-1,解得{x 0=−75,y 0=45, 即A'(-75,45).∴直线BC 的方程为9x+2y+11=0.联立直线BC 与CD 的方程,解得点C 的坐标为(-135,315).。
