第9章矩阵位移法

［结构整体方程］
结构分析最后归为解结构整体方程
[ K ]{ ∆} = { P}
式中， [ K ] 为结构总刚度矩阵， { P} 为总荷载向量， { ∆} 为待求的总位移向量。
［结构内力的计算］
解结构整体方程组，求得总位移向量 {∆} ，即求得各结点的位移；根据单元定位向量， 可求得各单元整体坐标系下的结点位移向量 {δ }；经坐标变
［前处理法形成总荷载向量的步骤］
（1）结点荷载的处理 作用在结点上的荷载， 根据结点定位向量， 直接将结点荷载对号入座叠加到总荷载向量 中。 （2）非结点荷载的处理 作用在单元上的荷载，首先根据荷载的类型，求出局部坐标系下的固端 力向量；然后进行坐标变换，求出整体坐标系下的固端力向量；反号，求得等效结点荷载向 量；根据单元定位向量，将等效结点荷载向量对号入座叠加到总荷载向量中。
[]
式中， EI 为抗弯刚度， EA 为抗拉刚度， l 为单元杆长。
［连续梁单元刚度矩阵］
连续梁单元的结点只有角位移，而线位移为零。
θi
Mi
θj
EI
l
M
j
单元结点位移向量和单元结点力向量分别为
{δ } = { θ i θ j }T
{F } = {M i
M j}
T
连续梁单元刚度矩阵为
{ F } = [ k ]{δ }
[]
其中，
a1 =
EA 12 EI 6 EI 4 EI 、 a2 = 、 a 3 = 2 、 a4 = 3 l l l l
在结构整体坐标系下，单元刚度矩阵为
[ k ] = [ T ] T [ k ][ T ]
⎡ b1 ⎢b ⎢ 2 = ⎢ b4 ⎢ ⎢ − b1 ⎢ ⎢− b2 ⎢ b ⎢ ⎣ 4 b2 b3 b5 − b2 − b3 b5 b4 b5 b6 − b4 − b5 b6 2 − b1 − b2 − b4 b1 b2 − b4 − b2 − b3 − b5 b2 b3 − b5 b4 ⎤ b5 ⎥ ⎥ b6 ⎥ 2 ⎥ − b4 ⎥ ⎥ − b5 ⎥ ⎥ b6 ⎥ ⎦

0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l
e u1 e v1 1 u2 v 2 2
矩阵表示： a11
a 21 an1 a12 a1n x1 b1 a22 a2 n x2 b2 an 2 ann xn bn
第九章
主要内容
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 §9-8 §9-9 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 等效结点荷载 计算步骤及算例 忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析 桁架及组合结构的整体分析
基本要求：
即 aij a ji
b2 b4 d2 d4
8. 矩阵分块
A B C D
A、B、C、D
均为子矩阵
9、逆矩阵 除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若
AB =C
则
B=A 1 C

此处A-1 称为矩阵A的逆矩阵。 一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：
A A 1 = A 1 A =I
方阵：
a11 a12 a1n a a22 a2 n aij 21 n n an1 an 2 ann a11 0 a22 0 ann a11 0 a a22 21 an1 an 2 ann
4i 2i 6i l 6i l
2i 4i 6i l 6i l

第9章 矩阵位移法习 题9-1：请给图示结构编号（同时用先处理法和后处理法）及建立坐标。

题9-1图 9-2：求图示连续梁的整体刚度矩阵。

题9-2图9-3：求图示刚架的整体刚度矩阵。

（c ）（e ）题9-3图9-4：求图示组合结构的整体刚度矩阵。

题9-4图9-5：求图示桁架结构的整体刚度矩阵，所有杆件的EA 均相同。

题9-5图9-6：求图示排架结构的整体刚度矩阵。

题9-6图 9-7：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。

1kN/m题9-7图9-8：求图示结构的等效结点荷载，请利用结构的对称性。

题9-8图9-9：求图示结构的等效结点荷载。

题9-9图9-10：求出图示结构的荷载列阵。

题9-10图9-11：求出图示结构的荷载列阵，请分别用先处理法和后处理法进行编号。

qq题9-11图9-12：求图示结构的荷载列阵，考虑轴向变形。

题9-12图9-13：求图示结构的荷载列阵。

题9-13图9-14：图示连续梁中间支座发生了下向的移动a ，请求出其整体刚度方程。

题9-14图10kN/mq9-15：请求出图示连续梁的整体刚度方程。

题9-15图9-16：求图示连续梁的整体刚度矩阵。

题9-16图9-17：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。

杆件的EI 、EA 相同。

题9-17图9-18：图示结构温度发生了变化，请求出整体刚度方程。

题9-18图9-19：图示结构发生了支座移动，请画出结构的内力图。

00题9-19图9-20：已知图示梁B 点的B v 、B ϕ和C 点的C ϕ，请求出单元杆端力的列阵。

题9-20图9-21：求题9-3图示刚架的整体刚度矩阵，忽略轴向变形。

9-22：求题9-10图示结构的整体刚度矩阵，用后处理法编号。

9-23：求出梁的整体刚度方程，弹簧的刚度系数为k 。

题9-23图9-24：求出图示结构的整体刚度方程，忽略轴向变形，弹簧刚度系数为k 。

题9-24图L。

1 基本思路 与手算一样
结构离散化，单元分析，整体分析
1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。 2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。
单元 分析
整体 分析
任务
建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵
由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵
1
F1e

e 1
l, A, E e

e 2
2
F2e
单元杆端力和单元杆端位移的方向与局部坐标系一致为正。
F
e

FF12ee

----单元杆端力
F1e
1
e 1Leabharlann e12ee

----单元杆端位移
l, A, E e
F1e F2

EA/l EA/l
13 2
1(1,2)
57 6
3(5,6)
10 13 10(19，20)
11
9
12
14 15
16
17 9(17，18)
结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等
整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。
坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系.
曲杆结构:以直代曲.
6
5（13,14,15） 6（16,17,18）
i
j
i
e
i
Mi
Fxi
i
Fyi
j
x
j j
Fxj
Mj
Fyi
e [i i i j j j ]eT
y
----单元杆端位移