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第9章矩阵位移法9.1 概述前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。
随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。
而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。
矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。
引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。
目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。
矩阵位移法又称为杆件有限元法。
它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。
矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。
9.2 单元分析9.2.1 结构离散化结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。
一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。
单元的联接点称为结点。
对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。
根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。
在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。
离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。
通常用①,②,…表示单元编号，用1,2,…表示结点编号。
矩阵位移法解法步骤解：1）、单元及结点位移分量统一编码单元及结点位移分量编码、整体坐标系如图所示，局部坐标系横轴正向在各单元上标出。
注：编结点位移分量总码时，后处理法和先处理法有区别：采用后处理法编码时暂不考虑边界条件对支座处位移分量的限制，皆视为一般情形处理；采用先处理法时，对已知为零的位移分量总是以零编码。
对于连接于铰结点的杆端编码时，线位移采用同码，而角位移异码。
2）、形成局部坐标中单元刚度矩阵 k e：首先，计算各单元杆件的几何特征：⋯ ⋯各单元的单元刚度矩阵如下：单元①： ⋯ ⋯3）、形成整体坐标中单元刚度矩阵：（计算公式： k e = T T ke T ） 整体坐标系中的各单元刚度矩阵转换如下：单元①： ⋯ ⋯4）、集成整体刚度矩阵 K （单元集成法或直接刚度法）：首先，由各单元的局部码与总码的对应关系写出各单元的定位向量如下：λ e = ⋯ ⋯ T其次，将各单元刚度矩阵 k e 按其定位向量 λ e 在整体刚度矩阵 K 中定位并累加 得整体刚度矩阵如下：K =(⋯ ⋯)5）、计算综合等效结点荷载向量 F P ：①、计算局部坐标系中各杆件单元的固端力向量：F P e =(F N1F ，F Q1F ，M 1F ，F N2F ，F Q2F ，M 2F )T ②、转换整体坐标系中各杆件单元的固端力向量：{F P }e =(F x1F ，F y1F ，M 1F ，F x2F ，F y2F ，M 2F )T ③、将各杆件单元的固端力反其指向，并按其定位向量 λ e 在综合等效结点荷载向量 F P 定位并累加，得综合等效结点荷载向量如下：F P = ⋯ ⋯ T6）、计入边界条件条件，写出刚度方程并解之：刚度方程： K Δ = F P采用后处理法时，对已知为零的结点位移，在整体刚度矩阵 K 中将其所对应行列的主元素记为1，其余都变为零，然后写出刚度方程，解之。
采用先处理法时，由于在进行位移分量编码时已考虑边界条件，因而无须再计入，只写出刚度方程求解即可。
矩阵位移法
矩阵位移法是一种用于解决多项式方程组的数学方法。
它利用行和列变化将原系数矩阵转换成一个三角矩阵。
然后，从底端开始一行行解对角线的方程，最终求出未知数的值，解决多项式方程组。
矩阵位移法的基本步骤如下：
1.将系数矩阵进行行变换和列变换，转换成三角矩阵。
2.从最下面的方程开始，先求解最后一个未知数。
3.从次下面的方程开始，根据前面的结果一行行解出剩余未知数。
矩阵位移法比较容易理解和应用，可以有效地解决多项式方程组，但也存在一些缺点，比如容易出现几何错误，计算精度较低。
