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【想一想】解答题2的关键点是什么？另外求解题2时易出现什 么错误？ 提示：(1)由于题中没有三线两两垂直的条件，因此无法直接 建立空间直角坐标系，而建立空间直角坐标系是解答的关键点， 因此需要首先寻找线面垂直与面面垂直，确定其中两条坐标轴， 再通过在面内作垂线得到第三条坐标轴. (2)在建立坐标系后，求点的坐标是易出错的步骤，会影响到 后面的向量的求法以及最后结果.
【思考】应用向量法求线面角的一般步骤有哪些？ 提示：(1)建立空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标； (2)求出直线的方向向量和平面内两个不共线的向量； (3)求平面的法向量； (4)根据直线的方向向量与平面的法向量求线面角.
求面面角
1.求二面角的方法
几何法
作角:在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面 内分别作垂直于棱的射线
步骤三
设二面角的平面角为θ，则|cosθ|=|cos<nl,n2>|
步骤四
根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ (或其三角函数值)
【典例训练】 1.设u=(1,1,0),v=(1,0,-1)分别是平面α、β的法向量，则平 面α与β的夹角为( ) (A)30° (B)60° (C)90° (D)45°
【解析】1.选A.设CA=CC1=2CB=2，则A(2,0,0)，
B1(0,2,1)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，∴ AB=1 (-2,2,1), BC1 =(0,2,-1),所以直线BC1与直线AB1夹角θ的余弦值是
0 2 2 11
cos
3
5.
4 41 0 41 3 5 5
2.方法一：取BC中点E，连接EF1,D1F1,
2.如图所示，α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的 射影为A1，点B在直线l上的射影为B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=
2, 求： (1)直线AB分别与平面α,β所成角的大小； (2)二面角A1-AB-B1的余弦值.
【解析】1.选B.cos〈u,v〉= u v 1 1 ,
AB 2
在Rt△AA1B中，AA1=1,AB=2.
F l
A1
∴sin∠ABA1=
AA1 AB
∴12∠. ABA1=30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°，30°.
E B1
B
(2)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α,在平面α内过A1作 A1E⊥AB1交AB1于E， 则A1E⊥平面AB1B，过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F,则由三垂 线 定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的2.平面角. 在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°,∴AB1=B1B= 在AR1tE△A12AA1BB11中，22 .AA1=A1B1=1,
②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如 等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理 及有关推论.
(2)向量法 ①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为两 直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为钝角，则 异面直线的夹角应为两向量夹角的补角,即cosθ=|cosφ|. ②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的 坐标运算、数量积运算及模的运算.
1.直线与平面所成的角如何用向量来描述？ 提示：线面角(即直线与平面所成的角)可以用直线的方向向量 和平面的法向量来求，即线面角的正弦值等于直线的方向向量 与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值，如图所示.
2.二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？ 提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角的大小相 等或互补，如图所示.
|u| v 2 2 2
∴〈u,v〉=60°,∴平面α与β的夹角为60°.
2.方法一：(1)如图所示，连接A1B,AB1.∵α⊥β,α∩β=l,
AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA1⊥β,BB1⊥α,则∠BAB1,∠ABA1分别是AB
与α和β所成的角.
A
在Rt△BB1A中，BB1=2, AB=2.
∴sin∠BAB1=BB1 ∴∠2 B, AB1=45°.
【解析】1.如图，取BC的中点E，则AE⊥BC，AE⊥BB1，
∴AE⊥平面BCC1B1，
∴∠AC1E为AC1与平面BB1C1C所成的角.
设棱柱棱长为1，
则
AE
3 2
,
C1E
5 2Leabharlann , AC12,5
cosAC1E
C1E AC1
2 2
10 . 4
答案： 10
4
2.如图，以D为原点，DA的长为单位长度建立空间直角坐标
在Rt△AA1B中，A1B=AB2 AA12 4 1 3.
由AA1·A1B=A1F·AB,
得A1F=AAA1 BA1B
1 2
3
3. 2
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
A1E A1F
6. 3
∴cos∠A1FE=
3. 3
∴二面角A1-AB-B1的余弦值为 3 .
3
方法二：(1)同方法一. (2)解题流程：
【典例训练】 1.如图，在空间直角坐 标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CC1= 2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值 为( )
A 5 B 5 C 2 5 D 3
5
3
5
5
2.如图所示，A1B1C1-ABC是直三棱柱，∠ACB=90°，点D1，F1 分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余 弦值.
3.利用向量法求空间角的注意事项 利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角 取值范围的区别，特别地二面角的大小等于其法向量的夹角或 其补角，到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的 大小是锐角还是钝角.
求异面直线的夹角
求异面直线的夹角的两种方法 (1)几何法 ①方法:解决此类问题，关键是通过平移法求解.过某一点作平 行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形 求解.主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时， 要注意异面直线所成角的范围.
系，则DA=(1，0，0)， CC=(0，0，1). 连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，
延长DP交B′D′于H.
设 DH=(m,m,1)(m＞0),由已知得 〈DH, D=A6〉0°, 由 DA DH DA DH cos〈DH,DA〉,
可得 2m 2m2 1.
解得m= 2 ,所以 DH ( 2 , 2 ,1).
2
22
2 0 2 0 11
(1)因为 cos〈DH,CC〉 2
2
2,
1 2
2
所以〈DH，C=C4〉5°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是 D=C(0，1，0).
因为 cos〈DH, DC〉
2 0 2
2 2
1
1
0
1
,
1 2
2
所以〈DH，D=C6〉0°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
cosAF1E
EF12 AF12 AE2 2 EF1 AF1
65 44 2 6
5 4 5
30 . 10
22
∴BD1与AF1所成角的余弦值为 30 .
10
方法二：如图所示,以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设CB=CA=CC1=1，
则A(1,0,0),
∵D1F1
1 2
B1C1,BE
1 2
B1C1,∴D1F1
BE,
∴四边形BEF1D1是平行四边形，
∴EF1∥BD1,
∠AF1E是BD1与AF1所成的角，
连接AE，设BC=CA=CC1=1，
则AE= 1 1 5 ,
42
AF1= 1 1 5 , EF1=BD11= 2 6 ,
42
42
在△AEF1中，由余弦定理得：
【归纳】解答题2所用的两种方法的关键点. 提示：(1)用综合法求异面直线所成的角，关键是作其中一条 直线的平行线，构造出异面直线所成的角，然后解三角形求异 面直线所成的角. (2)当已知几何图形中有线段长度和夹角时，解题关键是根据 空间向量基本定理，利用向量的数量积求异面直线夹角.
几何法 向量法
②当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为__2__;
因此直线与平面的夹角的范围是_［__0_,__2__］__.
2.二面角的有关概念 (1)定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做 _半__平__面__，从一条直线出发的两个_半__平__面__所组成的图形叫做二 面角，记为α-l-β. (2)二面角的平面角 二面角的大小，是用它的平面角来度量的，一个平面垂直于二 面角α-l-β的棱l，且与两个半平面的交线分别是射线OA， OB，O为垂足，则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
求线面角
求线面角的两种方法
作角:在直线上找一特殊点，过点作平面的垂线， 连接斜足与垂足; 证角:证明作出的角为线面角; 求角:利用直角三角形的边角关系求出线面角 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向 量为n，平面α的法向量为u，则sinθ=|cos<n,u>|
nu
nu
【典例训练】 1.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所 成角的余弦值为_________. 2.如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线 BD′上，∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小； (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
B(0,1,0),D1(
1 ,11 ), ,
22
F1(
10, ,1),
2
则
AF1
