空间直角坐标系与空间向量及其运算

人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．13,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5B ．6C ．3D ．93．下列向量与向量()1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ）A．11,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D．1122⎛⎫⎪⎪⎝⎭4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3-B ．1C ．3或1D ．3-或16．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,222⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,,144⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,2,87．已知2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定9．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，1A P λ=11A B ，113C C C M =，若PN BM ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==11．己知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A ．657B ．9C ．357D ．012．在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z ) ，(x ，y ，z ∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ） A ．2x +y +z =1B ．x +y +z =0C ．x -y +z =-4D ．x +y -z =013．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭14．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒15．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知11,AB AA ==E 为线段AB 上一个动点，则1D E CE +的最小值为（ ）A ．BC 1D ．2+16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5⎫⎪⎪⎣⎭B ．5⎣C ．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题17．已知{,,}i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=--，则向量2a b -的坐标是_________.18．已知空间向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(,5,5,)c λ=，若,,a b c 共面，则实数λ=______．19．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.20．已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________.21．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．三、解答题22．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.23．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.四、多选题24．（多选）已知(1,2,3),(2,3,4),(1,2,3)M N P --，若3PQ MN =且//PQ MN ，则Q 点的坐标可以为（ ） A ．(2,5,0) B ．(4,1,6)---C ．(3,4,1)D ．(3,2,5)---参考答案1．B 【分析】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则由已知可得23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，从而可求出,,x y z 的值 【详解】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，所以1,2,3,x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量基本定理的应用，属于基础题 2．D 【分析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得,x y 的值，进而求得x y -的值. 【详解】由于a 与b 共线，所以6212x y ==-，解得6,3x y ==-，所以9x y -=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题. 3．C 【分析】根据一个向量共线的单位向量计算公式a a±，可得结果【详解】由||122a =++=， ∴与向量a 共线的单位向量为11,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题. 4．C 【分析】C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 【详解】∵C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，∴13AC AB =， ∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，．故选C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 6．A 【分析】根据三点共线，可得OP OC λ=，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得,PA PB ，最后计算PA PB ⋅，经过化简观察，可得结果. 【详解】设(,,4)OP OC λλλλ==，则(1,2,24)PA λλλ=---- (2,1,44)PB λλλ=----则2211812818103PA PB λλλ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭ ∴当13λ=时，PA PB ⋅取最小值为-10， 此时点P 的坐标为114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题. 7．A 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b <，再根据坐标关系建立不等式即可求解. 【详解】∵()2(,2,0)3,2,x x x λ≠-，∴a 与b 不共线， ∵a 与b 的夹角为钝角，∴0a b <，即3 2(2)0x x +-<，解得4x <-， 故选A. 【点睛】本题考查向量的夹角.注意向量数量积的坐标关系与向量平行的坐标关系的区别. 8．B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【分析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM 坐标，由=0PN BM ⋅，即可求解. 【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅，即23λ=. 故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题. 10．B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.11．A 【分析】由条件可得,,a b c 共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论. 【详解】,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，,,a b c 共面，()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，存在唯一的实数对(,)x y ，使得c xa yb =+，274532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 故选:A. 【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题. 12．A 【解析】(0,1,1)AB =-，(2,2,2)AC =-，(1,1,2)AD x y z =--+，因为,,,A B C D 四点共面，所以,,AB AC AD 共面，即存在,λμ使得AD AB AC λμ=+，即12{1222x y z μλμλμ-=--=++=-+，消去,λμ得21x y z ++=，故选A ．13．C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．C 【解析】由题意可得14a =，56b =，且2b a =-，所以7a c -⋅=，cos ,a ca c a c ⋅==71142-=-，所以0,120a c =，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现2b a =-的平行关系，就可以简化运算，否则要设c 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 15．B 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，(,0,0)(01)E t t ，则1D E CE +=的最小值问题转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，由图可知当M ，P ，N 三点共线时，(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(1,1,0)A D C . ∵E 为线段AB 上一个动点， ∴设(,0,0)(01)E t t ，则1D E ==，CE =故问题转化为求1D E CE +=+的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M ，P ，N 三点共线时，()1min min ||D E CE MN +====故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 16．A 【分析】由已知建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由GD EF ⊥可得21x y +=，从而可得1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，进而可求出结果 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,1,0,1,22G E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵GD EF ⊥，∴0GD EF ⋅=，即11022x y --+=，即21x y +=， 又∵01x <<，∴0121y <-<， ∴102y <<.又1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，∴当25y =时，min 5DF ==； 当0y =时，||1DF =；当12y =时，1||2DF =，故线段DF 的长度的取值范围为5⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】此题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题 17．(5,7,7)- 【分析】由3,232a i j k b i j k =-++=--直接计算2a b -，化简后可得其坐标 【详解】解：由3,232a i j k b i j k =-++=--，得2(3)2(232)a b i j k i j k -=-++---(3)(464)(4)(6)(34)577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++，则2(5,7,7)a b -=-. 故答案为：(5,7,7)- 【点睛】此题考查空间向量的坐标运算，属于基础题 18．4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数x ，y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出λ的值即可． 【详解】 解：向量a 、b 、c 共面，∴存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即)(2,1,(,5,5)(1,4,23)y x λ=-+--，∴245325x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩；解得324x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：4. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 19．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20．2π【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角. 【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 21．257【分析】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，∴401525777x y +=-=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得,,x y z 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）10-；（2）52k =-或2k =.【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a ba b θ⋅===∣；（2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.23．（123）证明见解析 【分析】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -,依题意得()0,1,0B ,()1,0,1M ,根据空间两点间距离公式: d =即可求得BM 的长.（2）求出1BA 和1CB ,根据111111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅,即可求得11cos ,BA CB 的值.（3）求出1A B 和1C N ,11A B C N ⋅的值,根据向量垂直与数量积的关系a b ⊥时,=0a b ⋅,即可求证11A B C N ⊥. 【详解】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -.如图:依题意得()0,1,0B ，()1,0,1M ，根据空间两点间距离公式: d =∴ (1BM ==（2）依题意得:()11,0,2A ,()0,1,0B ,()0,0,0C ,()10,1,2B . ∴()11,1,2BA =-,()10,1,2CB =,113BA CB ⋅=,16BA =15CB =，∴11111130cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅. （3）依题意得()10,0,2C ,11,,222N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()11,1,2A B =--,111,,022C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴11110022A B C N ⋅=-++=∴11A B C N ⊥【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 24．AB 【分析】首先设(),,Q x y z ，根据题意得到3PQ MN =或3PQ MN =-，从而得到132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，再解方程组即可得到答案. 【详解】设(),,Q x y z ，∴(1,2,3)PQ x y z =+-+. 因为(1,2,3),(2,3,4)M N ，所以(1,1,1)MN =. 因为||3||PQ MN =且//PQ MN ， 所以3PQ MN =或3PQ MN =-，所以(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=或(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=-，132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩ 解得250x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或416x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故Q 点的坐标为(2,5,0)或(4,1,6)---. 故选：AB 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于简单题.。

1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系基础达标练1.已知a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则b 等于 ( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) -3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x =0,y =-1,，∴x+y=-1. 3.若△ABC 中,∠C=90°,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ),则k 的值为( )A.√10B.-√10 √5 D.±√10⃗⃗ =(-6,1,2k ),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k ),则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k (-k )=-2k 2+20=0,∴k=±√10. a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( ) A.x=12,y=-4 B .x=12,y=4 C.x=2,y=-14y=-1a +2b =(1+2x ,4,4-y ),2a -b =(2-x ,3,-2y -2),且(a +2b )∥(2a -b ),∴3(1+2x )=4(2-x ),且3(4-y )=4(-2y -2),解得x=12,y=-4.5.若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1,-2,1),B (4,2,3),C (6,-1,4),则△ABC 的形状是( ) A.锐角三角形 B .直角三角形 C.钝角三角形⃗ =(3,4,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A 为锐角;由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C 为锐角;由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC>0,得B 为锐角.所以△ABC 为锐角三角形. 6.已知向量a =(1,2,3),b =(-2,-4,-6),|c |=√14,若(a +b )·c =7,则a 与c 的夹角为( ) A.π6B .π3C.2π3 D .5π6+b =(-1,-2,-3)=-a ,故(a +b )·c =-a ·c =7,得a ·c =-7,而|a |=√12+22+32=√14, 所以cos<a ,c >=a ·c|a ||c |=-12,又因为<a ,c >∈[0,π],所以<a ,c >=2π3.a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y -2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b , 所以x 1=x 2+y -22=y 3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x -2=0,即(x+2)(x -1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6; 当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4. 8.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 .答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t -525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t -525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25,所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.9.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标.解析设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ), QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则1=(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2. (2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗+12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. (3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.能力提升练1.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BPC.BC=√53 BC⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确; BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确; BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确; 假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确. 2.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ+1×√2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), AC⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)2×√42+(-3)2=-5√41, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-205√41=-4.4.已知点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x ,0,z ),若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 点的坐标为 .-1,0,2)⃗⃗⃗ =(-x ,1,-z ), AB⃗ =(-1,-1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1), ∴{x -1+z =0,-2x -z =0,∴{x =-1,z =2,∴P (-1,0,2).5.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a -2,b+1,c -2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0).6.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos <AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解析(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2).则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714. ∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z ,由NE ⊥平面P AC 可得{NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1. 7.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形的面积; a |=√3,且a 分别与AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).素养培优练1.P 是平面ABC 外的点,四边形ABCD 是平行四边形,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1). (1)求证:P A ⊥平面ABCD ;(2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值; P -ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0, ∴APAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A , ∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=48,又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P -ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).2.正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长;(2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >; (3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a , 则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a 2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2. (2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0), λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.。

空间直角坐标系，空间向量及其运算A 组 基础题组1．(2017·广东中山模拟，5)已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( D ) A ．－1 B.43 C.53D.75 【解析】 由题意，得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，所以(k a＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.2．(2018·广东清远一模，4)已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( B ) A.32 B ．－2 C ．0D.32或－2 【解析】 ∵a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，∴(2m ＋1，3，m －1)＝λ(2，m ，－m )＝(2λ，λm ，－λm )，∴⎩⎨⎧2m ＋1＝2λ，3＝λm ，m －1＝－λm ，解得m ＝－2，故选B.3．(2017·四川宜宾模拟，8)二面角α-l -β为60°，A ，B 是l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为 ( A )A ．2a B.5a C ．a D.3a【解析】 因为AC ⊥l ，BD ⊥l ，所以〈AC →，BD →〉＝60°，且AC →·BA →＝0，AB →·BD→＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →，所以|CD →|＝（CA→＋AB →＋BD →）2 ＝a 2＋a 2＋（2a ）2＋2a ·2a cos 120°＝2a .思路点拨：选择CA→，AB →，BD →为基向量进行基向量运算求解．4．(2018·山东济南质检，14)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是垂直．【解析】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设DC ＝DA ＝DD 1＝2，则O (1，1，0)，A (2，0，0)，M (0，0，1)，N (2，1，2)，所以ON →＝(1，0，2)，AM →＝(－2，0，1)，则ON→·AM →＝－2＋2＝0，即ON →⊥AM →， 所以直线ON ，AM 的位置关系是垂直．5．(2017·甘肃兰州模拟，17，12分)如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，M (0，2，1)，N (1，2，2)， MN →＝(1，0，1)，DB →＝(2，2，0)，DA 1→＝(2，0，2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DB →，n ⊥DA 1→，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，2x ＋2z ＝0，解得⎩⎨⎧y ＝－x ，z ＝－x . 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，所以n ＝(1，－1，－1)．因为MN →·n ＝1＋0－1＝0，所以MN →⊥n .又因为MN ⊄平面A 1BD ， 所以MN ∥平面A 1BD .解答本题，用向量法还有以下两种解法．方法一：因为DA 1→＝(2，0，2)，MN →＝(1，0，1)，所以DA 1→＝2MN →，即DA 1→∥MN →， 又DA 1⊂平面A 1BD ，MN ⊄平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD .方法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，所以MN →∥DA 1→.又因为MN 与DA 1不共线，所以MN ∥DA 1. 又因为MN ⊄平面A 1BD ，A 1D ⊂平面A 1BD ，所以MN ∥平面 A 1BD .6．(2018·辽宁本溪调研，19，12分)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系O -xyz ，则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)．于是AP→＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)， ∴AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，∴AP→⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，∴AM →＝35AP →＝)512,59,0(.又BA →＝(－4，－5，0)，∴BM →＝BA →＋AM →＝)512,516,4(--， 则AP →·BM →＝(0，3，4)·)512,516,4(--＝0，∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM . 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BM ∩BC ＝B ，∴AP ⊥平面BMC ，∴AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .B 组 能力题组7．(2015·浙江，15)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足 b·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__1__，y 0＝__2__，|b |＝．【解析】 【解析】 ∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝)0,23,21(，e 2＝(1，0，0)， b ＝(m ，n ，t )．由题意知b ·e 1＝12m ＋32n ＝2， b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝)t ,23,25(. ∵b －(x e 1＋y e 2)＝),2323,2125(t x y x ---， ∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝2)2125(y x --＋2)2323(x -＋t 2.由题意，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，|b －(x e 1＋y e 2)|2取到最小值1.此时t 2＝1，故|b |＝232)23()25(t ++＝8＝2 2. 8．(2018·甘肃白银月考，18，12分)如图，在四面体A -BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知，A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)，设点C 的坐标为(x 0，y 0，0)．因为AQ →＝3QC →，所以可求点Q )21,4342,43(00y x + 由M 为AD 的中点，得M (0，2，1)．由P 为BM 的中点，得P )21,0,0(，所以PQ →＝)0,4342,43(00y x +， 又平面BCD 的一个法向量n ＝(0，0，1)，所以n ·PQ→＝0. 由于PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .9．(2018·四川凉山州质检，18，12分)在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使得GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E )0,2,(a a ，P (0，0，a )，F )2,2,2(a a a .EF →＝)2,0,2(a a -，DC →＝(0，a ，0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，∴EF ⊥CD . (2)假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则FG →＝)2,2,2(a z a a x ---，若使GF ⊥平面PCB ，则由 FG →·CB →＝)2,2,2(a z a a x ---·(a ，0，0)＝a )2(a x -＝0，得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝)2,2,2(a z a a x ---·(0，－a ，a )＝a 22＋a )2(a z -＝0， 得z ＝0.∴G 点的坐标为)0,0,2(a ， 即存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．10．(2016·北京，17，14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面P AD . 所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB .(2)如图，取AD 的中点O ，连接PO ，CO .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO .因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图建立空间直角坐标系O -xyz .由题意得，A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (2，0，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2， 所以n ＝(1，－2，2)．又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.(3)设M 是棱P A 上一点，则存在λ∈[0，1]，使得AM→＝λAP →. 因此点M (0，1－λ，λ)，BM→＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以BM ∥平面PCD ，当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.。

第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。