解三角形应用举例上课课件

人教A版· 数学· 必修5
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第一章 1.2 第3课时
系列丛书
课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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第一章 1.2 第3课时
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

＝300＋1 200－2×10 3×20 3×12＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
答：该救援船到达D点需要1小时．
-
36
总结
实际问题 实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
-
37
1.三角形中线问题
例：△ABC 中，D 是 BC 的中点点，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，
60° 75°
答： 5 6 海里
-
B
11
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用 (1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
-
12
正弦定理和余弦 实定 际理 测在 量中有许 多应:用
(1)测量距离.
-
13
1.测量不可到达且不可视的两点间的距离
例1.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离, 为此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA,CB,∠ACB,又测得A,B两点到隧道口的距离AD, BE。 (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
B
D
A
-
19
C
B
A C
ACD 90o，BCD 60o， D BDC75o，ADC30o，
CD= 3
略解：△ACD中，利用正弦定理可求得AD=3， △BCD中，利用正弦定理可求BD= 2 。 由余弦定理在△ABD中可求AB= 5。
-
20
[例] (2010·陕西高考)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海 里的两个观测点．现位于 A 点北东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出 求救信号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前 往营救，其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？

1 直角三角形的两条直角边相互垂直。 2 直角三角形的斜边是直角边的对边。 3 直角三角形的两条直角边的和等于斜边的长。
直角三角形的边和角的关系
1 正弦定理：sin(边/邻边
2 余弦定理：cos(A) =
邻边/斜边，cos(B) = 对边/斜边，cos(C) = 对边/邻边
解直角三角形的应用举例 ppt课件
直角三角形是一种特殊的三角形，它具有很多实用的应用。本课件将介绍直 角三角形的定义、特点、边和角的关系，以及直角三角形在测量、几何图形 和实际生活中的常见应用举例。
直角三角形的定义
1 对于一个三角形来说，如果有一个角是直角（90°角），则该三角形是直角三角形。
直角三角形的特点
直角三角形在实际生活中的应用举例
航海导航
用直角三角形的海图与经纬线相交确定位置。
建筑施工
用直角三角形测量建筑物的角度和比例，确保施 工的准确性。
飞行导航
用直角三角形计算飞机航线、飞行高度、地平线 角度等。
摄影测量
使用直角三角形测量物体的距离和高度，帮助摄 影师选择拍摄的角度和位置。
3
测量斜率
直角三角形可以用来测量地面的斜率， 帮助工程师确定在不同地形上的施工方 法。
直角三角形在几何图形中的应用举例
图形拼接
将多个直角三角形拼接在一起， 可以创建各种几何图形，例如正 方形、长方形和平行四边形。
金字塔
金字塔是由多个直角三角形堆叠 而成，是古代建筑中常见的形式 之一。
三棱柱
三棱柱的两个底面都是直角三角 形，是几何学中常见的立体图形。
直角三角形的特性被电路设计 师用于计算电阻、电流和电压 的关系，对电路的分析和设计 提供了便利。
直角三角形在测量中的应用举例

确定测量目标：选择需要测量的直角三角形 准备测量工具：直尺、量角器、卷尺等 测量角度：使用量角器测量直角三角形的两个直角 测量边长：使用直尺测量直角三角形的三条边长 计算结果：根据测量结果，使用解直角三角形公式计算未知边长或角度 复核结果：对计算结果进行复核，确保准确性
确定已知条件：直角三角形的 边长、角度等
画图时，注意角度的准确性，避免误差过大 画图时，注意长度的准确性，避免误差过大 画图时，注意比例的准确性，避免误差过大 画图时，注意图形的完整性，避免遗漏重要信息
确保直角三角形的边长和角度测量准确，避免误差
使用直角三角形工具时，注意安全操作，避免受伤
解直角三角形时，注意不要混淆角度和边长，避免错误 解直角三角形时，注意不要忽略特殊三角形（如等腰直角三角形） 的性质，避免错误
测量工具的选择：选择精度高的测量工具，如电子尺、游标卡尺等 测量方法的选择：选择合适的测量方法，如直接测量、间接测量等 测量环境的影响：注意测量环境的温度、湿度、光照等对测量结果的影响 测量数据的处理：对测量数据进行处理，如剔除异常值、进行误差分析等
计算过程中需要注意小数点的位数，避免因小数点位数不足导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的取值范围，避免因取值范围错误导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的正负号，避免因正负号错误导致的误差 在计算过程中，需要注意三角函数的周期性，避免因周期性错误导致的误差
正割定理： secA=1/co sA
余割定理： cscA=1/si nA
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 应用：在解直角三角形时，可以利用勾股定理求解未知边长 例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长 解题步骤：利用勾股定理，计算斜边长为5，得出解直角三角形的结论

一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行.
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
෢ 的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=


,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=

,

∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=

= ，即


tan32°
=
tan32°=
16
tan32°

，

≈ 25.6 (m)，

• 其解题的一般步骤：
• ①分析题意，准确理解题意，分清已知与 所求，尤其要理解应用题中的有关名词、 术语，如坡度、仰角、视角、方位角等；
• ②根据题意，画出示意图；
• ③将需求解的问题归结到一个或几个三角 形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理 等有关知识正确求解．演算过程中，要注 意算法简练、正确计算并作答；
• 2．方位角：从指北方向线顺时针旋转到目 标方向线的水平角．
• 3．坡度与坡角：把坡面的铅直高度h与水 平宽度l的比叫做坡度；坡面与水平面的夹 角叫做坡角．
• 三、解斜三角形应用题的步骤
• 1．审题：弄清题意，分清已知与所求， 准确理解应用题中的有关名称和术语，如 仰角、俯角、方位角等；
• 2．画图：将文字语言转化为图形语言和 符号语言；
• 解三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理 解题意，分析题意，分清已知和所求，特 别要理解题中的有关名词、术语；(2)根据 题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归 纳为数学问题，即归结到一个或几个三角 形中，合理地运用正、余弦定理求解．
• [例1] 某观测站C在城A的南偏西20°的方 向，由城A出发的一条公路，走向是南偏 东40°，在C处测得公路上B处有一人距C 为31千米正沿公路向城A走去，走了20千 米后到达D处，此时CD间的距离为21千米， 问这人还要走多少千米可到达城A?
• 2．数学建模和运算问题
• (1)解三角形应用问题时，通常都是根据题 意，从实际问题中抽象出一个或几个三角 形，然后通过解这些三角形，得出三角形 的边、角的大小，从而得出实际问题的解， 这就是数学建模思想，即从实际问题出发， 经过抽象概括，把它转化为具体问题中的 数学模型，然后经过推理演算，得出数学 模型的解，再还原成实际问题的解．

选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。

28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测 出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处， 乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速 度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案 解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.

比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。

数值积分法
采用数值积分方法对定积分进行近 似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情 况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精 度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化 以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形 为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山 顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用 三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或 已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用

证明几何定理
如勾股定理、正弦定理、余弦定理等 ，可以通过面积公式进行证明
计算三角形的内角和
利用面积公式和三角形内角和定理， 可以求出三角形的内角和
面积公式在物理问题中的应用
1 2
计算物体的受力面积
在物理学中，经常需要计算物体在某个方向上的 投影面积或受力面积，可以通过面积公式进行计 算
计算物体的体积和表面积
02 余弦定理
在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
03 三角形的面积公式
S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹 角。
02
正弦定理及其应用
正弦定理的推导与证明
推导过程
通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。
一些几何性质。
最值问题
通过解三角形的方法，可以求解一 些与三角形相关的最值问题，如最 大面积、最小周长等。
存在性问题
在数学竞赛中，有时需要判断满足 某些条件的三角形是否存在，这可 以通过解三角形的方法来实现。
THANKS
感谢观看

对于一些规则或不规则的物体，可以通过计算其 各个面的面积，进而求出物体的体积和表面积
3
解决光学问题
在光学中，经常需要计算光线通过某个形状的面 积或光斑的大小，可以通过面积公式进行求解
05
解三角形综合应用举例
解直角三角形问题举例
已知两边求角度
通过正弦、余弦定理求解 直角三角形中的角度。
三角形的面积
解决三角形中的边长问题
利用正弦定理求出三角形中的未知边长。
正弦定理在物理问题中的应用
解决力学问题
在力学中，正弦定理可用于解决 涉及三角形的问题，如力的合成 与分解等。

命题方向2 正、余弦定理在生产、生活中不易到达点测距 中的应用
要测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 100 3 m 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°， ∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D 在同一平面内)，求 A、 B 两地的距离．
[分析] 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较 多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为 简便．
跟踪练习
如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个 声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当 时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
[解析] (1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝ 1.5×20＝30(km)．
∴PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km. 在△PAB 中，AB＝20 km， cos∠PAB＝PA2＋2PAAB·A2－B PB2＝x2＋2022－x·20x－122＝3x＋5x32. 同理，cos∠PAC＝723－x x. 由于 cos∠PAB＝cos∠PAC， 即3x＋5x32＝723－x x，解得 x＝1372(km)．
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－45×
22＋
22×35＝－
2 10 .
(2)由(1)知 cosC＝－102，∴sinC＝7102， 由正弦定理，得sAinBC＝sBinCA， ∴AB＝10×27102＝14.
2 ∴BD＝7.
在△BCD 中，由余弦定理，得

A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
AF = AD2 DF 2 = 2x2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中，
30°
AF tan ABF =
tan 30 =
3x
BF
12 + x
解得x=6
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞 行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上 方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离 是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/272021/7/272021/7/272021/7/27
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

易知∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以 AB＝BC＝10 米， 在 Rt△AOB 中，BO＝10sin 70°≈9.4(米).故选 C.]
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，