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第12 讲§9 子群的陪集（Coset of subgroup）P89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。
在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。
进而引出拉格朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子”这一重要结论。
在本讲的学习中要求（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系要分辩清楚。
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。
（3）群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
（4）Lagrange定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点：本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。
其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--=[]{} ,9,5,1,3,7,1--=[]{} 10,6,2,2,6,2--=[]{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。
§9 子群的陪集设G 是一个群，H G <，规定集合G 的一个关系如下：ab 当且仅当1.ab H -∈下证是集G 的一个等价关系. 1)a a1aa e H -=∈2)()()1111111a b ab H abba ba H ba -------⇒∈⇒==∈⇒3)()()11111111,,.a b bc ab H bc Hab bc ab bc aec ac H ac --------⇒∈∈⇒===∈⇒定义 由上面的等价关系所确定的类叫做子群H 的右陪集.包含元a 的右陪集用Ha 表示. 下证{}|.Ha ha h H =∈设b Ha ∈，则{}1,,|.b a ba h H b ha ha h H -=∈=∈∈反之，设{}|b ha h H ∈∈，则h H ∃∈使得b ha =，1.ba h H -∴=∈ ,.ba b Ha ∴∈例1 ()()()()()(){}()(){}31,12,13,23,123,132,1,12G S H ===，则()()(){}()()(){}()()(){}11,2,1313,123,2323,132.H H H === 其他右陪集()()()12,123,132.H H H但()()()()()()1212,12313,13223H H H ∈∈∈，()()()()()()121,12313,13223.H H H H H H ∴=== （检验其中之一是否成立）在集合G 中，规定一个关系'：a b '当且仅当1.b a H -∈可验证'也是集合G 的一个等价关系.定义 由等价关系'所决定的类叫子群H 的左陪集.包含元a 的左陪集用aH 表示. 可证{}|.aH ah h H =∈例2 例1里H 的左陪集是()()(){}()()(){}()()(){}11,12,1313,132,2323,123.H H H === 左陪集合右陪集不同.定理1 一个子群H 的右陪集的个数和左陪集的个数相等，它们或都是无穷大，或都有限且相等.证 把H 的所有右陪集所成的集合记为r S ，所有左陪集作成的集合记为L S . 下证1:Ha a H ϕ-是r S 与L S 间的一个一一映射.1）()()111111111Ha Hb ab H ab ba b a H ba H b H ---------=⇒∈⇒==∈⇒=ϕ∴是一个r S 到l S 的一个映射.2）l S 的任意元aH 是r S 的元1Ha -的象，ϕ∴是满射 3）设()()Ha Hb ϕϕ=，则111111a Hb Ha a e a Hb H------==⋅∈=h H ∴∃∈使得11,a b h --=1ba h H -∴=∈ ,.ba Ha Hb ∴∴=ϕ∴为单射.定义 一个群G 的子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 里的指数，记为[]:.G H 引理 一个子群H 与H 的每一个右陪集Ha 之间存在一个一一映射. 证:H Hahhaϕ→是H 与Ha 之间的一个一一映射. 因为：1）显然这是一个映射2）Ha 的每一元ha 在ϕ下有原象h 3)色环()()12h h ϕϕ=，则1212,.h a h a h h ==定理2 设G 是一个有限群，H G ≤，则[],:H G G H G ,且[]:.G G H H =证 设[],:H n G H j ==，G N =. 子群H 共有j 个右陪集，设为1,,j Ha Ha ，这里1,,j a a G ∈，则1,,j Ha Ha 两两不交，且1j G Ha Ha =，由引理得1.j j N G Ha Ha n n nj ==++=++=个定理3 设G 为有限群，a G ∈，则.a G证 设,G N a n ==，则()a n =，由定理2得，|.n N 例3 ()(){}33,1,12,6,2,S H S H H ===有三个右陪集，()3:3,:.G H S G H H ==3S 的六个元是()()()()()()1,12,23,13,123,132，阶分别为1,2,2,2,3,3，都是6()3S =的因数. 习题1.证明，阶是素数的群一定是循环群.证 设群G 的阶为素数p ，则G 除了单位元外还有另外的元素.设a G ∈，,a e zea ≠的阶m 大于1.因,G p a m ==，故|.m p 但1m >，p 为素数，故m p =a G p ==，().G a ∴=2.证明，阶是m p 的群（p 是素数）一定包含一个阶是p 的子群. 证 设群G 的阶为m p ，则群G 的除了单位元e 外，还有另外的元素，设,a G a e ∈≠，则a 的阶必为G 的阶m p 的因数. 因p 为素数，故,k a p =这里1.k m ≤≤易知，()111,k k kp k k k p p ap pp b ---===， G ∴有阶为p 的子群.（1k p a -）.3.设a 和b 是一个群G 的两个元，且ab ba =，又设,a m b n ==，(),1m n =，证明：.ab mn =证 设ab k =，因,a m b n ==，ab ba =，故()mnmn mn ab a b e ==，于是，|.k mn 又因()kmkm km km e ab a b b ===，故|.n kn 而(),1n m =从而|.n k同理，|m k .又(),1m n =，故|mn k .k mn ∴=4*设是一个群G 的元间的一个等价关系，且对G 的任三个元,,a x x '来说，axax x x ''⇒证明，与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群. 证 设{}|,H x x e x G =∈为集合G 的一个等价关系，,,.e e e H H ∴∴∈≠∅ ,,a b H ∀∈则 ,.ae b e因()1aab b -，故()11.a ab e a a --=∴由题设有，,,.ab a ab e ab H ∴∴∈,.ae ea ∴1.aa ae -∴由题设，有1.a e -1.a H -∴∈H ∴为G 的子群.5.我们直接下右陪集Ha 的定义如下： Ha 刚好包含G 的可以写成()ha h H ∈的形式的元.由这个定义推出如下事实：G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证 ,,a G a ea e H ∀∈=∈，.a Ha ∴∈即a 为某一右陪集中的元素.设a Hx ∈，且a Hy ∈，这里,x y G ∈，则12,h h H ∃∈使得12a h x h y ==.111221,.x h h y y h h x --∴==下证.Hx Hy =在Hx 中任取一个元素hx ，这里.h H ∈因112hx h h y -=，12,,h h h H ∈，H G ≤ 11,.hh h H hx Hy -∴∈∴∈在Hy 中任取一个元素hy ，这里h H ∈，则由121hy hh h x -=得.hy Hx ∈.Hx Hy ∴=6*我们把同构的群看作一样的，一共只存在两个阶是4的群，它们都是交换群. 解 显然，剩余类加群4Z 是一个阶为4的群，[]()41.Z =4S 的子群()()()()()()(){}41,1234,1324,1423B =叫作克莱因群.4B 是4S 的子群由下面的运算表容易看出.下证，若群的阶为4，则4G Z ≅或4.G B ≅1）若G 有一个阶是4的元d ，则().G d =此时群G 与剩余类加群4Z 同构. 2）若G 没有阶为4的元，则G 的除单位元e 外，其余三个元的阶都为2.设{},,,G e a b c =则222a b c e ===>G 为群，.ab G ∴∈ 下证.ab c =若ab e =，则()2b eb a b a ab ae a =====，矛盾. 若ab a =，则b e =，矛盾. 若ab b =，则a e =，矛盾. 同理可证，,,.ab ba c bc cb a ca ac b ======比较两个运算表，易知()()()()()()():1,1234,1324,1423e a b c ϕ是群4B 与群G 间的同构映射.4.B G ≅。
