近世代数

近世代数⽬录基本概念元素。

集合。

空集合。

⼦集 。

真⼦集 。

A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。

幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。

交集。

并集。

性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。

关系：M ×M 的⼦集。

即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。

记做 aRb 和 a ¯R b 。

等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。

分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。

每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。

映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。

记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。

y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。

满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。

单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。

双射：满射+单射。

逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。

有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。

相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。

映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。

代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。

代数系统：有代数运算的集合。

（注意代数运算的封闭性。

即 d ∈M ）。

⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。

近世代数及其应用近世代数是一门研究几何形状及其变化的数学分支。

它主要关注形状如何在空间中进行旋转、平移和缩放等变化，以及这些变化如何可以通过线性变换来表示。

近世代数的研究内容包括几何变换、向量空间、矩阵、行列式、特征值和特征向量等。

近世代数在计算机图形学、机器人学、几何建模和计算机视觉等领域有广泛的应用。

在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。

在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。

在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。

在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。

1.计算机图形学在计算机图形学中，近世代数用于表示三维几何图形的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在游戏开发中，近世代数可用于控制三维模型的运动和姿态，以生成真实感十足的动画效果。

在三维建模软件中，近世代数也可用于控制三维几何图形的变换，方便用户进行几何建模和设计。

2.3.机器人学在机器人学中，近世代数用于表示机器人的运动轨迹和姿态。

例如，在机器人抓取物体时，近世代数可用于控制机器人的末端机械臂的运动轨迹，使其能够精确地抓取目标物体。

在机器人导航时，近世代数也可用于表示机器人的位置和方向，方便机器人进行自主导航。

3.几何建模在几何建模中，近世代数用于建立三维几何模型，并进行几何变换。

例如，在机械设计中，近世代数可用于建立三维机械零件模型，并对其进行旋转、平移和缩放等变换，以方便设计师进行零件布局和装配规划计算机视觉4.在计算机视觉中，近世代数用于表示图像的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在图像识别中，近世代数可用于对图像进行旋转、平移和缩放等变换，以提高图像识别的准确率。

在视频监控中，近世代数也可用于检测图像中的运动目标，并对其进行跟踪。

5.地理信息系统在地理信息系统中，近世代数用于表示地理数据的旋转、平移和缩放等变换。

例如，在地图制作中，近世代数可用于控制地图投影的旋转、平移和缩放，以生成适合不同使用场景的地图。

混凝土加气块标准
1、砌块砌筑时，应上下错缝，搭接长度不宜小于砌块长度的1/3。

2、砌块内外墙墙体应同时咬槎砌筑，临时间断时可留成斜槎，不得留“马牙槎”。

灰缝应横平竖直，水平缝砂浆饱满度不应小于90%。

垂直缝砂浆饱满度不应小于80%。

如砌块表面太干，砌筑前可适量浇水。

3、地震区砌块应采用专用砂浆砌筑，其水平缝和垂直缝的厚度均不宜大于15mm。

非地震区如采用普通砂浆砌筑，应采取有效措施，使砌块之间粘结良好，灰缝饱满。

当采用精确砌块和专用砂浆薄层砌筑方法时，其灰缝不宜大于3mm。

4、后砌填充砌块墙，当砌筑到梁(板)底面位置时，应留出缝隙，并应等待7d后，方可对该缝隙做柔性处理。

5、切锯砌块应采用专用工具，不得用斧子或瓦刀任意砍劈。

洞口两侧，应选用规格整齐的砌块砌筑。

6、砌筑外墙时，不得在墙上留脚手眼，可采用里脚手或双排外脚手。

7、砌体结构尺寸和位置允许偏差。

近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。

通常包括群论、环论、域论等内容。

近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。

群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。

群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。

群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。

•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。

•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。

•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。

同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。

环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。

环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。

环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。

•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。

•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。

•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。

商环中的元素相当于原环中的一个等价类。

域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。

域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。

域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。

•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。

•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。

•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。

有限域具有特殊的性质和应用。

应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。

近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有： 整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

—一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

近世代数
近世代数是数学中的一个分支，它研究的对象是代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系和性质。

这个领域的主要目标是揭示这些结构的本质和共性，并开发出一些通用的技术和方法来处理这些结构和它们之间的关系。

近世代数主要研究群、环、域等代数结构的性质和关系。

群是一种代数结构，它由一个集合以及一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元素以及每个元素都有逆元素等性质。

环是另一种代数结构，它由一个集合以及两个二元运算组成，分别满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律、存在单位元素和每个元素都有加法和乘法的逆元素等性质。

域是群和环的进一步推广，它不仅满足群和环的所有性质，还满足乘法的交换律。

近世代数的研究方法主要是利用抽象代数的思想，即将一些常见的代数概念抽象出来，从而得到一些通用的性质和方法来处理这些抽象的代数结构。

例如，通过将群、环、域等代数结构抽象出来，我们可以得到一些通用的定理，如拉格朗日定理、卡氏定理、高斯引理等，它们在处理各种具体的代数问题时都具有广泛的应用价值。

总之，近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构及其性质和关系，通过抽象代数的思想和方法，揭示了这些结构的本质和共性，为解决各种具体的代数问题提供了一些通用的技术和方法。

近世代数近世代数是数学中的一个重要分支，它主要研究代数结构及其应用。

近世代数产生于19世纪中叶，一开始被视为是整数理论的一部分，但随着研究的深入，近世代数逐渐发展成为一门独立的数学分支。

在这篇文章中，我们将对近世代数的概念、发展以及主要结论进行探讨。

一、近世代数的概念近世代数是指从巴格-瓦列理公式出发，发展起来的一种代数学，它主要研究代数结构的一般理论。

在近世代数中，我们主要研究群、环和域这三种代数结构，这三种代数结构都可以看作一组数以及对这些数进行运算的一种集合。

群：群是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及一种二元运算。

这种运算满足结合律、单位元素存在和逆元素存在的条件，这里的逆元素指的是一个元素与之相乘可以得到单位元素。

环：环是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律和分配律。

域：域是一种代数结构，它包含了一组有限或无限个元素以及两种二元运算。

这两种运算被称作加法和乘法，加法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件，乘法满足结合律、交换律、单位元素存在以及逆元素存在的条件。

此外，对于任意的非零元素，都有其乘法逆元素存在。

二、近世代数的发展1、伽罗华理论伽罗华理论是19世纪中期出现的一种代数理论，该理论最初的研究对象是方程的根式解。

伽罗华理论的主要思想是利用群论的方法研究方程的根的性质。

2、李群和黎曼猜想20世纪初，李群的概念被引入到了数学中。

李群是一种具有光滑结构和群结构的数学对象，它将代数和几何联系起来，是现代微分几何和物理学中不可或缺的数学工具之一。

黎曼猜想是数论中的一个著名猜想，它关于大约150年前被提出，至今尚未证明。

其主要内容是，对于任意正整数n，大于1的所有素数p都满足：p的虚部等于n的平方根。

3、格罗滕迪克定理格罗滕迪克定理是当代近世代数的一个重要定理，该定理表明，任何有限群都可以表示为一些简单有限群的直积。

近世代数又称为抽象代数，最突出的特点是抽象，也是学习中的主要难点。

相对分析而言，近世代数对论证和推导的技巧性要求不高。

因此，在整个学习过程中，主要是要适应抽象思考和表述，为此都要特别注意抽象的代数结构的具体例子，以及随时归纳总结学过具体数学对象(例如高等代数中学过的数域、线性空间、对偶空间等)的代数结构。

下列几点可以在学习和复习时留意。

1 透彻理解运算的概念和性质。

运算的性质是代数的核心，所谓代数结构就是定义了运算的某种集合。

运算的定义很简单但有些抽象，就是集合与自身的直积到该集合的映射。

运算性质中，最重要的应该是结合律，如果结合律不成立，多次运算的结果取决于运算的顺序，这种数学结构很少有实际意义。

因此，结合律往往是近世代数中所研究运算必备的性质。

交换律是种特殊的性质，并非普遍成立，知道矩阵乘法和变换复合的对此应该不陌生；但在学矩阵乘法之前，所有数字的运算都满足交换律，因此有先入为主的误解。

分配律描述2种运算直接关系。

运算的属性还包括特殊元素的存在性，特殊元素指与参与运算后但不改变结果的元素(零元或单位元)，以及与特定元素运算后结果为前述元素的元素(负元或逆元)；注意到交换律不成立时，前述元素有左、右之分。

2 把握住同构和同态。

近世代数只关注代数结构，因此代数结构相同的数学对象，即与运算关联的性质相同，在近世代数中就不必加以区分。

代数结构相同的确切描述就是同构，2个集合间保持运算的双射。

更弱些，只保持运算的映射称为同态。

所谓保持运算，是指先运算再求映射下的像与先求映射的像再运算结果相同。

有些情形，同态满射本身也是个有用的概念。

因为开始时掌握的代数结构比较少，难以理解同构的重要性。

但学了群论就会知道，任何有限群与某个置换群同构，原则上只需要研究具体的置换群就可以得到所有抽象的有限群的性质。

3 对具体数学结构如群、环和域，注重它们的子结构。

子结构的核心要求是运算的封闭性和特殊元的存在性。

与子结构相关的还有等价分类和扩张等。