离散数学置换群和子群及其陪集2

8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。

子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。

离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。

在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。

代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。

它包括集合，运算和运算性质。

集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。

运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。

运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。

在代数结构中，置换群是一种重要的结构。

置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。

置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。

置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。

置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。

例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。

正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。

封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。

结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。

单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。

在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。

对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。

逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。

置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。

在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。

离散数学是数学的一个分支，研究离散的数学结构和离散的数学对象。

其中一个重要的概念就是群。

群是代数结构中的一种基本概念，它是一种由一组元素和满足一定性质的运算组成的数学对象。

在离散数学中，置换群是群的一种重要形式，而群同态则是群之间的一种特殊映射关系。

置换群是置换（permutation）的全体构成的群。

置换是一种将元素重新排列的操作，可以看作是对集合中元素的重新排序。

形式上，一个置换可以表示为一个列表或一个矩阵，其中每个元素被映射到另一个元素。

例如，对于集合 {1, 2, 3, 4}，一个置换可以是将元素1映射到元素3，元素2映射到元素2，元素3映射到元素1，元素4映射到元素4，表示为(1, 3, 2, 4)。

一个置换群是由所有可能的置换以及其组合所构成的群。

群运算可以定义为两个置换的复合运算，即将一个置换应用于另一个置换所得到的新置换。

在整数乘法下的正整数形成的群就是一个置换群的例子。

置换群的一个重要性质是它的元素可以分解为不相交循环的乘积。

不相交循环是置换的一种特殊形式，其中每个元素按照一个循环进行置换。

例如，对于置换(1, 3, 2, 4)，可以将其分解为两个不相交循环：(1, 3, 2)和(4)。

这种分解方式是唯一的，也就是说，对于任何一个置换，其分解形式是唯一的。

群同态是两个群之间的一种映射关系。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G → H，满足对于群G中的任意元素g1和g2，f(g1 · g2) =f(g1) · f(g2)，即映射保持群运算，那么称映射f是从群G到群H的一个群同态。

在置换群的研究中，群同态可以用于描述置换群之间的关系。

例如，对于两个置换群，可以定义一个映射f：G → H，将群G中的一个置换映射到群H中的一个置换。

如果映射f保持组合关系，即对于群G中的任意两个置换g1和g2，有f(g1 · g2) = f(g1) · f(g2)，那么这个映射就是一个群同态。

离散数学是数学的一个分支，研究离散对象及其性质，其中一个重要的概念就是群。

群是代数学中的基本概念，也是离散数学中的重要内容之一。

在离散数学中，群与置换群是研究最广泛和最基础的对象之一。

群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成。

这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在以及每个元素都有逆元这四个条件。

群是离散数学中的基本代数结构，它有着丰富的性质和应用。

在群的定义中，如果二元运算满足交换律，那么这个群就是一个交换群，也叫做阿贝尔群。

交换群是群论中的一个重要分支，其运算满足交换律使得它有更简单的性质和结构。

而对于非交换群，它们的性质则更加丰富和复杂。

置换群是群论中的一个重要的研究对象。

置换是一种将集合中的元素重新排列的操作，通过置换操作，可以将一个有限集合的元素按不同的方式重新排列，从而得到不同的置换。

置换群是由这些置换操作以及对应的运算所构成的群。

置换群的运算是将两个置换组合起来进行的。

对于置换群中的每一个置换，都有一个逆置换存在，使得进行逆置换后再进行置换得到原来的置换。

同时，置换群还有一个单位元，就是将所有元素按照原始排列摆放的置换。

这样，置换群的定义满足了群的四个条件。

在置换群中，置换可以用不同的形式进行表示。

一种常见的表示方法是使用环表达式。

环是一个由元素以及它们之间的运算组成的结构，其中每个元素对应一个置换。

通过环表达式，我们可以方便地进行置换群的运算和推导。

置换群的研究具有广泛的应用价值。

在密码学中，通过使用置换群可以对信息进行加密和解密，保护信息的安全性。

在计算机图形学中，置换群可以用来描述、操作和分析图形的对称性质。

在量子力学中，置换群的概念也有着重要的应用，用于描述和分析微观粒子的性质和行为。

综上所述，离散数学中的群与置换群是该领域研究的基本对象之一。

群作为一种代数结构，具有独特的性质和应用。

而置换群则是群论中的一个重要分支，它通过置换操作和运算构成了一个群。

置换群的研究在密码学、计算机图形学和量子力学等领域具有广泛的应用。