函数项级数一致收敛判定与性质论文

函数项级数一致收敛性判别及应用函数项级数是数学中的一个重要概念，它是由一系列函数组成的无穷级数。

在数学分析、实变函数等领域中，函数项级数的一致收敛性判别及其应用是一个重要的研究方向。

本文将围绕函数项级数一致收敛性判别及其应用展开讨论，深入探讨其相关理论和具体应用。

一、函数项级数的定义我们来看一下函数项级数的定义。

给定一列函数{f_n(x)}，它们在某个区间E上定义。

那么我们可以定义函数项级数\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)，它表示无穷多个函数的和。

这里的x是自变量，表示定义域内的任意一个点。

函数项级数的和可以表示为S(x) =\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)。

在这里，S(x)是一个新的函数，称为函数项级数的和函数。

函数项级数的一致收敛性是指当级数的和函数S(x)在定义域E上一致收敛时。

这意味着对于给定的\epsilon > 0，存在N \in \mathbb{N}，对于任意的n > N和x \in E，都有|S(x) - \sum_{k=1}^{n} f_k(x)| < \epsilon成立。

也就是说，函数项级数的和函数S(x)对于定义域上的任意点x，都可以在n足够大的时候以任意小的误差逼近其部分和\sum_{k=1}^{n} f_k(x)。

一致收敛性要求级数的收敛速度对于定义域E上的所有点x都是一样的，因此是比点态收敛性更强的一种收敛性。

函数项级数的一致收敛性是一个重要的性质，因为它保证了级数的和函数在其定义域上的良好性质。

而对于给定的一列函数，我们如何判断它的级数的一致收敛性呢？下面我们将介绍一些常用的判别法则。

1. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数项级数一致收敛性的一个重要判别法则。

它的表述如下：若对于每个正整数n，函数f_n(x)在区间E上都有|f_n(x)| \leq a_n成立，并且级数\sum_{n=1}^{\infty} a_n收敛。

学号：200921140207本科生毕业论文论文题目：函数项级数的收敛判别法探究作者：戴乐院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学(或计算机科学与技术、信息与计算科学、软件工程)班级： 200902指导教师：夏丹2013 年 5 月日Huanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic ：The convergence criterion of series expressed by functiontermsAuthor ：Dai LeCollege ：College of Mathematics and Computer ScienceSpecialty ：Mathematics and Applied Mathematics(or Computer Science and Technology,or Information andComputing Science,or Software Engineering)Class ：200902Tutor ：Xia DanMay Xth, 2013郑重声明本人所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师夏丹的指导下独立研究并完成的。

除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

特此郑重声明！指导老师（签名）：论文作者（签名）：2013年5月X日摘 要函数项级数在数学科学本身和工程技术领域都有重要应用. 函数项级数和函数列的一致收敛性问题往往是数学分析的重点，又是难点，不易理解和掌握。

而函数项级数的一个基本问题就是研究其一致收敛性，但是一致收敛的判别比较困难，函数项级数1()n Un x ∞=∑在区间I 上的一致收敛性与部分和函数列{}()n S x 的一致收敛性是等价的。

一种自然的思想是将正项级数的判别法推广到函数项级数一致收敛的判别法上去.目前，正项级数的D ’Alembert 判别法、Cauchy 判别法、Raabe 判别法和它们的极限形式顺利地推广到了函数项级数的一致收敛的判别上.此外，还有很多种判别函数项级数一致收敛的方法，这些方法视条件而定：1 在和函数()S x 或极限函数()f x 可以求出的情况下，可以用定义。

一致收敛性判别及应用摘要：函数是高等数学中重要的内容之一，但是函数项级数与函数列的一致收敛性问题往往是初学者学习函数的最大障碍，本文对函数项级数、函数列的一致收敛性的常用判别方法进行简单分析并阐述其应用。

关键词：函数项级数 函数列 一致收敛 判别法及应用设(){}n x ⎰为定义在区间Z 上的函数序列，假如那么就存在x 1，x 2∈Z ，当|x 1-x 2|＜，对于一切n 有|()()12n -n X X ⎰⎰|＜，则称之为函数序列(){}n x ⎰在区间Z 上等度连续。

假设函数列{}n ⎰与函数⎰定义在区间Z 上，假如对于任意给的正数|()()n x -x ⎰⎰|＜以上情况则称之为{}n ⎰在区间Z 上一致收敛于⎰。

一、函数列及其一致收敛性假设1⎰，2⎰，，n ⎰，是一列定义在同一数集Z 上的函数，那么则称为定义在Z 上的函数列，可以表达为：{}n ⎰或n ⎰，n=1,2，。

（1） 以x 0∈Z 带入以上数列，可以得出以下数列：（2）假如数列（2）收敛，那么则称为数列（1）在点0X 收敛，x 0则是函数列（1）的收敛点，当函数列（1）在数集D Z 上每一个收敛点都出现收敛时，则称（1）在数集D 上收敛，这时候D 上面的每一个点x 都有相应的数列(){}n x ⎰的一个极限值与之相对应，根据这个对应法则所确定的D 上的函数，则称为函数列（1）的极限函数假如将此极限函数记作为⎰，那么则有：或者是：（），x ∈D例 1 设，n=1,2，，为定义在（-，。

证明：设＞0，当＞0时，由于有：||=|n x |，只要N （=，当n ＞（||=|x n |＜|x|N=.当x=0，x=1，对于任何正整数n ，都存在||=0＜，||=0＜.以上结果证明了{}n ⎰在(]-1,1上收敛。

例2 定义在()-∞∞，上的函数列，n=1,2，。

由于对于任何的实数x ，都存在sin nx n≤1n，因此，对于任意＞0，只要符合n ＞N=，就存在sin nx -0n＜所以，函数列{}sin nx/n 的收敛域为()-∞∞，。

【标题】函数项级数一致收敛性的研究【作者】陈正祥【关键词】函数级数柯西收敛准则一致收敛的M判别法费马定理运用极值的思想和M判别法证明了新的判别法【指导老师】郑莲【专业】数学与应用数学【正文】1 引言与预备知识目前通用的数学分析教册(如华东师范大学、复旦大学、吉林大学、北京师范大学等)其介绍的主要内容如下：M辨别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论.然而一些特殊级数作以上的这些方法难于求解，故需进一步的讨论.定义1.1 设，，…，，…是一列定义在数集上的函数，把这些函数的各项用加号连接起来的表达式+ +…++…或称为函数项级数．设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记称为函数项级数的和函数．定义1.2：设，( =1，2，…)都是在数集上有定义的函数，若存在一个在上有定义的函数，对任意的，存在自然数，使得当时，对一切，均有| |则称函数项级数在数集上一致收敛于．定理1.1 函数项级数一致收敛的柯西收敛准则：函数项级数在数集上一致收敛的充要条件是：对任意的，存在自然数，使时，对任意自然数及一切，均有| |定理1.2 费马定理：设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有 .定理1.3 魏尔斯特拉判别法：设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切，有则称函数项级数在D上一致收敛.注：定理1.3也称为M判别法或优级数判别法.定理1.4 阿贝尔判别法：设(1) 在区间I上一致收敛；(2)对于每一个，{ }是单调的；(3) { }在I上一致有界，即对一切和正整数，存在正数M，使得，则级数在I上一致收敛我们在学习导数和微分的概念的时候已经知道，如果函数在可导，则有即在点的附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为的高阶无穷小量.虽然在许多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或更高的次的多项式逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数，为此，我们考察任一次多项式逐次求它在点处的各阶导数，得到由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值唯一确定.对于一般函数，设它在点处存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式称为函数在点处的泰勒（TALOY）多项式，的各项系数称为泰勒多项式系数.由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即定理1.5 若函数在点存在直至阶导数，则有即2 主要结果本文将运用极值的思想和书上函数项级数一致收敛的辨别法给出函数项级数一致收敛的一些新的判别方法．定理2.1 设函数，( =1，2，…)在上可微（其中为有限数，且满足如下条件：函数项级数在上收敛；存在常数，使得对任意的自然数，任意的实数，恒有| | ，则函数项级数在上一致收敛．证明：对任意，因为为有限数，所以存在自然数，使得我们在闭区间上插入分点，，（，，…，），于是，闭区间被分成个小区间（，，…，）.从而有又因为函数项级数在上时收敛的，故对任意（，，…，），存在自然数，使得时，对任意，有| |于是，对任意，在自然数，使得时，对任意，有| |=| || |+| || || || || |（| | | |）| |（） .（利用已知条件）因此，对任意，存在自然数，使得当时，任意，任意自然数，均有| |即，函数项级数在上一致收敛．对于函数序列，有类似的结论：定理2.2：设函数序列，在上可微，且满足如下条件：在上收敛；存在，使得对任意，任意，均有．则：函数序列在上一致收敛．证明：假定，（）， .对任意，由对任意的＞0，当时，就有，又因为｛｝在上一致有界，即对任意任意有，，当时，因在上可导，由拉格朗日中值定理知：对一切，在与之间. 当及时，就有由于开区间列｛(x- (x),x+ (x))|x [a,b]｝构成闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，而覆盖了区间，取N＝则对上述的，对任意的正整数，及设 .则有由此可得依函数列一致收敛的柯西收敛准则，可得定理2.3 设函数在闭区间上连续，可微，且存在一点，使得在点收敛；在上一致收敛．则函数项级数在上一致收敛．证明：对任意，，又已知条件知在上可积，于是有（1）因为收敛，故对任意，存在，使得当时，对任意自然数，有| | （2）又因为在上一致收敛，显然在上也一致收敛，于是存在，使得当时，有| | （3）对（1）进行求和的运算得于是，取，当时，有| | | |+| || |+| |（利用（2），（3））即，函数级数在上一致收敛．类似地，我们可以证明函数级数在上一致收敛．从而，函数级数在上一致收敛．对于函数序列，我们有类似结果：定理2.4：设函数序列，在上连续，可微，且满足如下条件：存在，使得收敛；函数序列在上一致收敛则函数序列在上一致收敛．证明：设，(n )及，(n ). (n ), .其中，对，当时，对一切，有得证例 1：证明级数在区间（0，1）上的一致收敛性．（重庆大学05年考研试题）常用解法：可以判断在区间（0，1）上收敛，但不能得出其一致收敛性．还得用柯西收敛准则来判断，故比较麻烦．现在用以上的方法来做．解：首先令 = ，再求其导数，得进而求解可得而，，且收敛，故一致收敛.原命题得证例2：证明在[0，1]上一致收敛.证明：首先令，对其进行求导，可得进而求解，可得因；又因为为的最大值；因为收敛，故级数一致收敛.原命题得证.例3：已知，请根据定理2.4证明的一致收敛性.证明:由题意，可得，对求导得 = ， .对任意的取N= ，则当时，对一切由定理2.5可得，在区间[0,b]上一致收敛故原命题得证例4：讨论级数在区间(0,1)上的一致收敛性.解：令，对其进行求导可得：对于任意的正整数M，总存在，使得在区间(0,1)上 >M运用定理2.3可得级数在区间(0,1)上不一致收敛.例5：判断函数列在区间(0,1)上的一致收敛性并证明.证明：很显然，由连续性可知在区间(0,1)上的每一点均收敛对函数进行求导，得，而在区间(0,1)上一致收敛，故运用定理2.4可得函数列在区间(0,1)上一致收敛.结束语：当前对级数的收敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也较细、发展也相对较完善，我这里只是对该部分细枝未节的修补.我这里也是对一些特殊级数的讨论，但在许多实际解题过程中，往往不是特定特殊的级数，用特殊的方法不能解决，故需对众多特殊情况总结及其发展.。

函数项级数一致收敛性判别及应用1. 引言1.1 研究背景函数项级数是数学分析中一个重要的研究对象，它是由无穷个函数组成的无穷级数求和。

在实际的应用中，往往需要研究级数的收敛性，其中一致收敛性是一个重要的性质。

一致收敛性指的是对于每一个给定的ε>0，存在一个N，使得当n>N时，级数的部分和与其极限的差的绝对值小于ε。

函数项级数一致收敛性的研究有着重要意义，它可以帮助我们更好地理解函数序列之间的关系，从而应用到不同的数学问题中。

函数项级数的一致收敛性判别方法有多种，比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法是常用的方法之一。

比较判别法通过比较级数与已知收敛的级数的大小关系来判断级数的收敛性，而魏尔斯特拉斯判别法则利用函数项级数中的Cauchy收敛原理来判断其收敛性。

在实际应用中，函数项级数的一致收敛性判别方法可以帮助我们解决各种数学问题，例如在微积分和数学分析中的应用。

通过深入研究函数项级数的一致收敛性，我们可以更好地理解其数学性质，为进一步的研究提供基础。

【研究背景】1.2 研究意义函数项级数是数学中重要的概念之一，它在分析学、数学物理等领域中有着广泛的应用。

研究函数项级数的一致收敛性对于深入理解这一概念的性质和特点具有重要意义。

一致收敛性是函数项级数收敛的一种较强的方式，它能够保证收敛的速度和稳定性，从而使得我们能够更好地掌握级数的性质和行为。

研究函数项级数的一致收敛性，不仅可以帮助我们更好地理解级数的收敛性质，还可以为我们解决实际问题提供有力的数学工具。

在实际应用中，我们经常会遇到需要考察函数项级数的收敛性的情况，比如在数值计算、信号处理、概率论等领域中都会涉及到函数项级数的处理。

研究函数项级数的一致收敛性具有重要的理论意义和实际应用价值。

1.3 研究目的研究目的是对函数项级数的一致收敛性进行深入探讨，通过研究不同的判别方法来确定函数项级数是否在整个定义域上一致收敛。

通过对比比较判别法和魏尔斯特拉斯判别法的优缺点，可以更好地理解和判断函数项级数的收敛性。

为什么函数项级数内闭一致收敛文章题目：探究函数项级数内闭一致收敛的原因在数学分析领域中，函数项级数内闭一致收敛是一个重要的概念。

它不仅在数学理论中有着重要的地位，也在实际问题的研究中发挥着重要作用。

本文将从函数项级数内闭一致收敛的定义和特性入手，探讨其原因，并对其在数学和科学研究中的应用进行分析。

一、函数项级数内闭一致收敛的定义和特性1. 函数项级数的定义函数项级数即由一系列函数组成的级数，形式为∑(n=1到∞)fn(x)，其中每一项fn(x)都是定义在某个区间上的函数。

2. 内闭一致收敛的定义对于给定函数项级数∑(n=1到∞)fn(x)，如果对任意ε>0，存在自然数N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε对任意x∈E都成立，那么称该函数项级数在E上内闭一致收敛。

3. 特性函数项级数内闭一致收敛的特性包括一致收敛、极限函数连续等。

具体而言，内闭一致收敛意味着极限函数的存在，并且该极限函数在区间上连续。

二、函数项级数内闭一致收敛的原因探究在深入探究函数项级数内闭一致收敛的原因时，我们可以从以下几个方面入手：1. 函数项级数内闭一致收敛的几何解释函数项级数内闭一致收敛可以被解释为一个区间上的一致收敛。

这意味着，对于每一个ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，函数项级数的部分和与其极限函数之差小于ε，从而函数项级数在该区间上表现出较强的稳定性。

2. 一致收敛性质的影响一致收敛性质保证了在给定区间上的整体收敛性，这使得函数项级数的极限函数存在并且在该区间上连续。

这与点wise收敛不同，点wise收敛只能保证每个点上的收敛性，无法保证极限函数的连续性。

3. 函数项级数内闭一致收敛的充分条件内闭一致收敛的充分条件之一是Cauchy准则。

对于给定的ε>0，存在N，使得当m≥n≥N时，有|∑(k=n到m)fn(x)|<ε，这保证了函数项级数的部分和随着n的增大而趋向一个极限值，从而使得函数项级数内闭一致收敛。

函数项级数一致收敛性判别及应用【摘要】本文主要讨论了函数项级数的一致收敛性判别及其应用。

首先介绍了一致收敛性判别定理，然后探讨了函数项级数在实际问题中的应用。

接着列举了几个常见的一致收敛性判别法则，帮助读者更好地理解一致收敛性。

通过应用举例，展示了函数项级数一致收敛性在数学和工程领域的实际应用。

最后讨论了函数项级数一致收敛性的收敛区域，为读者进一步深入研究提供了指导。

通过本文的学习，读者可以更好地理解函数项级数的一致收敛性及其实际应用，为相关领域的研究和应用提供了理论支持。

【关键词】函数项级数、一致收敛性、判别定理、应用、常见法则、收敛区域、举例、总结1. 引言1.1 引言函数项级数一致收敛性是函数分析中一个重要的概念，它涉及到函数序列在整个定义域上的一致收敛性问题。

在实际应用中，我们常常需要判断函数项级数是否一致收敛，以及在一致收敛的条件下如何进行求和。

掌握函数项级数一致收敛性的判别方法和应用是非常必要的。

在本文中，我们将深入探讨函数项级数的一致收敛性判别定理以及其应用。

我们将介绍一致收敛性的判别定理，包括一些常见的判别法则，以及如何判断函数项级数在整个定义域上的一致收敛性。

接着，我们将讨论函数项级数一致收敛性在实际问题中的应用，通过具体的示例来说明如何利用一致收敛性来求出函数项级数的和函数。

我们将讨论函数项级数一致收敛性的收敛区域，即函数序列的收敛性对应的区域范围。

通过本文的学习，读者将能够更加深入地理解函数项级数的一致收敛性及其在实际问题中的应用。

希望本文能够帮助读者更好地理解函数分析中关于一致收敛性的重要概念，进而提高对函数序列和级数问题的认识和应用能力。

2. 正文2.1 一致收敛性判别定理一致收敛性是函数项级数收敛性中的重要性质，它在分析数学中有着广泛的应用。

一致收敛性判别定理是判断函数项级数是否一致收敛的重要工具。

在实际问题中，我们经常需要判断一个函数项级数是否一致收敛，以确保我们得到的结果是可靠的。

【标题】关于函数项级数一致收敛的判别法探讨【作者】余成亮【关键词】函数项级数一致收敛判别法【指导老师】陈波涛【专业】数学与应用数学【正文】1 引言一致收敛是函数项级数的一个重要性质，有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要作用。

判别函数项级数的一致收敛时，通常用到柯西准则、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、莱布尼兹函数项级数一致收敛判别法或者直接根据一致收敛的定义进行判别。

而本文在给出这些判别法的同时并对函数项级数一致收敛的定义、柯西判别法、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、莱布尼兹判别法加以补充和推广，从而给判别函数项级数一致收敛提供了便利。

２函数项级数及其一致收敛性判别定理设{u (x)}是定义在数集E上的一个函数列，表达式u (x)+ u (x)+ u (x)+ …，x E （2－1）称为定义在E上的函数项级数，简记为或．称S (x)= ，x E，n=1,2…（２－2）为函数项级数（1）的部分和函数列。

若X E，数项级数u (x )+ u ( x )+ u ( x )+ …（２－3）收敛，即部分和S ( x )= 当n 时极限存在，则称级数（２－1）在点x 收敛，x 称为级数（２－1）的收敛点，若级数（２－3）发散，则称级数（２－1）在点x 发散，若奇数（２－1）在E的某个子集D上每点都收敛，则称级数（２－1）在D上收敛，若D为级数（２－1）全体收敛点的集合，这时则称D为级数（２－1）的收敛域．函数项级数（２－1）的一致收敛性定义如下：2.1函数项级数的一致收敛性定义[1]定义 1设{ S (x)}是函数项级数的部分和函数列，若{ S (x)}在数集D上一致收敛于函数S (x)，则称函数项级数在D上一致收敛于函数S (x)，或称在D上一致收敛．推论1(必要条件)函数项级数在数集D上一致收敛,则函数列{ }在D上一致收敛于零．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以由前段中有关函数列一致收敛的定理，可推出下列相应的有关函数项级数的定理：2.2一致收敛的柯西准则定理1（一致收敛的柯西准则）函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数，总存在某正整数N，使得n>N当时，对一切x D和一切正整数P，都有|S (x)-S (x)|<或| u (x)+ u ( x)+ u ( x)| <此定理中当P=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件．推论函数项级数在数集D上一致收敛的必要条件是函数列在D上一致收敛于零．设函数项级数在D上的和为，称为函数项级数的余项．定理1是函数项级数的一致收敛判别法，判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义或定理1外，有些级数还可根据级数各项的特性来判别．2.3魏尔斯特拉斯判别法定理2(魏尔斯特拉斯判别法) 设函数项级数定义在数集D上，为收敛的正项级数，若对一切x D，有（２－4）则函数项级数在D上一致收敛．证由假设正项级数收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数，存在某正整数N，使得n>N当及任何正整数P，有又由（２－4）式对一切x D有．根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在D上一致收敛．定理2也称为M判别法或优级数判别法，当级数与级数在区间[a,b]上成立关系式（２－4）时。

函数项级数一致收敛的比较判别法与对数判别法摘 要：函数项级数在级数理论中占有重要地位，研究函数项级数的一致收敛性至关重要。

本文将通过已有结论发现判断函数项级数一致收敛性的一些新的判别法。

(1)比较判别法：对已有结论做进一步的推广，得到比较判别法。

再结合确界知识得出比较判别法的极限形式。

另外，将函数项级数特殊化得出M 判别法。

在此基础上，将对比的级数换成具有相同的敛散性的级数，将M 判别法作进一步的推广。

(2)对数判别法：当比较判别法中的两级数均为正项级数时，不等式()()n n u x v x ≤的两边同时取对数可得到对数判别法。

而且，当级数()n v x ∑取特殊的级数1pn ∑时，可将对数判别法特殊化，得到新的判别法。

关键词：函数项级数 ；一致收敛；比较判别法 ；对数判别法The Comparison criterion and logarithm criterion of theuniform convergence of Functions SeriesAbstract: Functional Series plays an important role in the series theory, it ’s very important to study the uniform convergence of Functions Series. This article will found some new criterion about the uniform convergence of Functions Series through the some results that already founded Series.(1) Comparison criterion : Made the results that already know more further promotion in order to get new criterion. Combined with knowledge obtained supremum,get the limit form of Comparison Tests. In addition, made Functional Series special to get M criterion. On this basis, comparison of the series will be replaced with series of the same convergence and divergence , let the M criterion gets further promotion. (2) Logarithm criterion: When the two series in the comparison criterion are both in positive terms, made a logarithm transform on the both sides of the inequality()()n n u x v x ≤ on the same time, then we get logarithm criterion. Moreover, when theseries()n v x ∑ be replaced by a special series logarithm criterion specialization ,and will get a new identification method.Keywords: Functions Series ；Uniform convergence ；Comparison criterion ；Logarithm criterion引言目前关于数项级数敛散性的研究很多，也已经得到了很多有价值的成果。