第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一定义引言设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x f n→→()∞→n ，Dx ∈设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n Ex ∈)1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1,E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部分和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．定义1]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．定义2]1[设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是定义在同一数集D 上，若对于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．定义3设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部分和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，若0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，则函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1．对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xx n nk k 1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+成立,只要当N n >时，恒有()rr n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依定义，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1．存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依定义，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二函数项级数一致收敛性的判定方法定理1Cauchy 一致收敛准则]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21或()ε<∑++=pn n k kx u 1特别地，当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D上一致收敛于0．定理2]2[函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,和函数)(x S ,都是定义在同一数集D 上,对于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得对于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,则称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由定义2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要知道)(x S .定理4确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n 证明充分性设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部分和函数列,)(x S 为和函数,则有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．定理5若()∑x u n 在区间D 上收敛,则()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明充分性假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,则0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此得到{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,所以N ∃>∀,0ε,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,对于{}D x n ⊂∀,则有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上连续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于连续函数()x f ，则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，所以[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上连续,既然()ε<x R n ,所以00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时,()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑定义在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,若对一切D x ∈,有2,1,)(=≤n M x u n x )3(则函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明由假设正项级数()x u n ∑收敛,根据函数项级数的Cauchy 准则,∀0>ε,∃某正整数N ,使得当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1根据函数项级数一致收敛的Cauchy 准则,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:若能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,则()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3函数项级数∑∑22cos ,sin nnxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin n n nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n是收敛的.推论2设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得对于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,则()n n a k ∑∞=+10ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n p n ,当1>p 时收敛,故当n a =pn 1时,有推论2'设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,若存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,则函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明对于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得,∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,若N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()x u n∑区间I 绝对一致收敛.证明已知()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准则知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4若有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,则函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数).又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c ∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc 从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3比较极限法若有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,若级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,则函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,则函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知,函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5若函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,则函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,则级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5设函数项级数()∑x u n 定义在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，若对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9逼近法[]5若对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,则()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,所以D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；所以+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛定义知,()x u n n∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，则[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛证明由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使得当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(所以()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++ ()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)(εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准则知，[]∑±)()(x v x u n n 在D 上也一致收敛定理11Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上连续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于连续函数，则函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．使用步骤：⑴判定()0≥x u n 且连续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上连续．Abel 引理定理12Abel 判别法[]1证明推论6设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，则()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.证明因为()x g 在D 上有界,所以,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u p n nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式表明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g pn nk k p n nk k .由Cauchy 准则知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部分和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调;(ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,则级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明充分性由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n ,时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,得到()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；所以()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++ 于是由一致收敛的Cauchy 准则级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,这里不再赘述.例6若数列{}n a 单调且收敛于0,则级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x x n kx nk 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,所以级数∑nx cos 的部分和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnnax v nx x u ==,cos ,则由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数,()x u n∑是定义在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,如果()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,若含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,则()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,所以()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0连续.证明首先对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,我们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,并且无穷级数dy ey y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,所以含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得,()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 连续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也连续,所以()x S 在0x 连续,由0x 在()+∞,0的任意性可知,()x S 在()+∞,0上连续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者连续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性定义及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如连续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,我们可利用积分的便利条件判断某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15函数列(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,则级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.则()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上连续且单调,则()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且满足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明对0>∀ε,因为b a ,为有限数,所以存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,我们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时,对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j jxx u ()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u ()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj jpn j jxx u u ()ε12+≤M 因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使得当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17设()x u nn ∑为定义在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每个()x u n 在上一致可微,()x u nn∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn∑.定理18设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上连续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n∑∞=1在点0x处收敛;()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,则函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛,()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.根据拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2若函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明由函数项级数的柯西收敛准则有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两端取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准则知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,连续,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19利用内闭一致收敛判别[]7若函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛.证明必要性,充分性用反正法,这里不再赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能得到函数级数在区间一致收敛的.例8证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛.证明∑<<∀nx sin ,0,πεε的部分和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知,∑n nx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n n x n ,2,02ππ,则0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知,∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛.推论7若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,,()x u n∑皆收敛.证明与定理19类似,略.定理20[]7设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且满足引理2中必要条件,则()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明必要性用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,则由定理20知不可;若()b a x ,0∈,则存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,则由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且满足引理的必要条件,则()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明与定理20的类似,略.推论12[]4设∑)(x u n 使定义在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D上有界，若D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，则当1>q 时，∑)(x un在D 上一致收敛．证明由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，所以1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n nn n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n sn s ++≥，所以sS O N S On sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑s S O n MN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，则函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明不妨设对于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，则1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，则当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1所以1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14函数列{})(x u n 定义于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，若D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，则函数项级数在D 上一致收敛．证明因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε)1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11判断函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛性．证明因为11)(1≤=xx u ，且11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛．定理23[]8（根式判别法）设∑)(x u n 为定义在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，若存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8（根式判别法的极限形式）设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若n n x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，则函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，所以εε+<+<q x q x u n n )()(，所以n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51'设()∑x u n 为定义在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，若()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，则存在正整数N ,使得当N n >时，有()1<≤q x q n ，则对任意的N n >，D x ∈∀有()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()x nx u q nnn n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n Dx n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛．推论16[]8有函数项级数()∑x u n ，若对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，则函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明因()1lim <=∞→l x u n n n ，则1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8（对数判别法）设()x u n 为定义在D 上的正的函数列，若()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，则函数项级数()∑x u n 一致收敛；②若对D x ∈∀，()1<<p x p ，则函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ，即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，则当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是定义在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q Dx =∈；①当+∞<=21,0q q 时，若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n 在D 上也一致收敛．②当+∞=>21,0q q 时，若()∑x u n 在D 上一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛．③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛．证明由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，则任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n ，得到()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部分可知若()∑x v n 在D 上一致收敛，则()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部分可知若()∑x u n 在D 一致收敛，则()∑x v n 在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5定义4设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的连续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26若()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，则①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明①因为()x u n 是[]b a ,上的连续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于连续函数()0=x u ．所以()()x u x u k k 1+-在[]b a ,连续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，所以()1111≤-∑=+nk k ,故()∑=+-n k k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交错函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的连续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，若()x S n 可写成L 型函数项级数的部分和，则函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k nk k n ∑=+-=111，则对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15证明()∑-x nn11在[)+∞,δ上一致收敛．证明因为[)+∞∈∀,δx ，()x xn n 1110≤+≤，01lim =∞→xn n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k 211，由Cauchy 准则证毕．定理27[]9利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，则①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1Cauchy 准则与M 判别法比较实用一般优先考虑；2Cauchy 准则、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对一定的表达式进行有效是我放大．三非一致收敛性的判别1利用非一致收敛的定义定义3，略．例16讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是否一致收敛．解()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，无论n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2利用确界原理的逆否命题定理28若函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明它是确界原理的逆否命题，故成立．例17函数项级数()∑x u n 的部分和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是否一致收敛．证明部分和函数()x x x S n n --=11，当1<x 时，()(),11lim xx S x S n n -==∞→又当∞→n时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数知道时值得用3利用定理5的逆否命题定理29设()()x S x u n =∑，若存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明略．注：此定理比较实用．4利用Cauchy 准则逆否命题定理30函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明它是Cauchy 准则的逆否命题，故成立．例18讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性．解取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin 121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>oε=故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛．注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方法，即取1=p 能适用于很多例题．此方法比较实用，优先考虑．推论18函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，则函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明它是推论1的逆否命题，故成立．例19设()()()()12sin 1212cos+⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解取()12+=n n x n ，则()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，所以(){}x u n 在定义域内非一致收敛于0，则()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9若函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim ≠∞→n n n x u ，则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛．例20讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛．5利用求极值的方法定理31()()∑∞+==1n k kn x u x R ，若()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，则()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，所以()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,所以[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛．注：极限函数知道时，可考虑用．6利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2若连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim 证明由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．根据连续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，则()x f 也必在D 上连续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32连续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}Dx n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 则函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22讨论∑+221x n x在()+∞∞-,上一致收敛性．解显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上连续，取() ,2,11==n n x n ，则0lim =∞→n n x ．再设()221x k x x u k +=，由定积分概念()()∑∑=∞→=∞→+=nk nk nn nk n k n x u 12111lim lim ()∑=∞→+=n k n k n n 12111lim dx x ⎰+=1021110arctgx =4π=()00=≠s 故知∑+221xn x在()+∞∞-,上非一致收敛．推论20设连续函数列(){}x S n 在区间D 上逐点收敛，且在D 中存在数列{}n a 和{}n b 满。

2023高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载2023高等数学下册（朱永忠著）课后答案下载第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程总习题八第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的`求导法则第五节隐函数的求导公式第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法第九节二元函数的泰勒公式第十节最小二乘法总习题九第十章重积分第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算法第三节三重积分第四节重积分的应用第五节含参变量的积分总习题十第十一章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分第二节对坐标的曲线积分第三节格林公式及其应用第四节对面积的曲面积分第五节对坐标的曲面积分第六节高斯公式通量与散度第七节斯托克斯公式环流量与旋度总习题十一第十二章无穷级数第一节常数项级数的概念和性质第二节常数项级数的审敛法第三节幂级数第四节函数展开成幂级数第五节函数的幂级数展开式的应用第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数第八节一般周期函数的傅里叶级数总习题十二习题答案与提示高等数学下册（朱永忠著）：内容提要点击此处下载高等数学下册（朱永忠著）课后答案高等数学下册（朱永忠著）：图书目录本次修订对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带__号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了调整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整。

函数级数的收敛与一致收敛函数级数是一种特殊的级数，其中各项是函数而不是常数。

函数级数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它关注级数项函数的趋近性和极限值。

在函数级数的研究中，有一个重要性质被广泛应用，那就是一致收敛。

一、函数级数的收敛设给定一个函数序列{f_n(x)}，其中n为自然数索引，x为变量。

函数级数可以表示为：S(x) = f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + ...函数级数的收敛性指的是这个级数在某个区域内的所有点上是否存在合适的极限值。

具体来说，对于任意给定的x，若序列{S_n(x)}收敛，则函数级数S(x)在该点收敛。

注意，函数级数的收敛性与其部分和数列的收敛性密切相关。

我们可以通过研究函数序列{S_n(x)}，来判断函数级数的收敛性。

当然，也有一些特殊的判别法则可供使用，如韦尔斯特拉斯判别法、柯西收敛准则等。

二、函数级数的一致收敛函数级数的一致收敛是一个更强的收敛性质。

它要求函数序列{S_n(x)}不仅在每个点上收敛，而且对于任意的x，这个序列的收敛速度应相对较快。

具体来说，对于给定的函数级数S(x)和其部分和函数序列{S_n(x)}，如果存在一个正数M，使得对于任意的n，都有|S(x)-S_n(x)| < M，即S(x)与S_n(x)之间的偏差始终能被M控制住，那么我们称函数级数S(x)在该区域上一致收敛。

需要指出的是，函数级数的一致收敛性要求在整个定义域上成立，而不仅仅是在某个子区域或某些特定点上。

三、一致收敛的性质与应用一致收敛具有许多重要的性质和应用。

下面介绍其中几个：1. 一致收敛级数在收敛区域上的极限函数是连续函数。

当函数级数S(x)在某个区域内一致收敛，那么其极限函数S(x)就是一个连续函数。

这个结果可以用来证明一些重要的定理，如威尔斯特拉斯逼近定理等。

2. 一致收敛级数可以逐项积分和逐项求导。

假设函数级数S(x)在某个区域内一致收敛，那么它可以逐项积分和逐项求导得到的新级数仍然一致收敛，并且其极限函数仍然具有相同的性质。

函数项级数一致收敛性判别及应用一、前言函数项级数是数学中重要的研究对象之一，其研究内容包含了级数的一切，而函数的性质使得函数项级数的研究更加复杂。

本文主要讨论函数项级数的一致收敛性判别及其应用。

二、一致收敛性定义及判别定义：对于一列函数 $f(x)$ 的级数：$f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)+...$，如果当$n→∞$ 的时候，级数 $f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)+...$ 的部分和 $S_n(x)$ 对于 x ∈D 讨论存在极限，即 $\lim_{n→∞} S_n(x)=S(x)$，则称函数项级数：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在域 D 上一致收敛于 S(x)。

S(x)称为函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 的和函数。

函数项级数的Cauchy准则：函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 在区间 I 上一致收敛的充分必要条件为：对于任意的 $\epsilon>0$，存在正整数 N 和任意的 n,m>N，使得当$x∈I$ 时，$|f_n(x)+...+f_m(x)|≤\epsilon$.总结：定义、定理和准则都给我们对函数项级数一致收敛性的一个综合的认识，通过这些理论知识，我们下面可以看到函数项级数在实际应用中的一些具体应用。

三、函数项级数的应用函数项级数在数学和物理学等方面有广泛的应用，例如傅里叶级数、泰勒级数、泊松方程和热传导方程等。

下面我们主要介绍函数项级数在傅里叶级数中的应用。

傅里叶级数是标准基函数与一般函数之间的线性组合，可以看作是将一个周期为T的函数展开为不同频率的正弦函数和余弦函数的和。

傅里叶级数的求解过程主要分为两步：第一步确定基函数，第二步利用基函数求解待定系数。

假设一个周期函数$f(x)$可以表示为完备正弦函数和余弦函数的和，表示为：$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(\frac{n\pix}{l})+b_n\sin(\frac{n\pi x}{l})]$$其中 $a_0$，$a_n$ 和 $b_n$ 分别为待定系数，$l$为周期。

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用．1 函数项级数一致收敛的相关定义定义1.1[]1(31)P 设函数列{})(x S n 是函数项级数∑∞=1)(n nx u的部分和函数列，若,0>∀ε 存在正整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式∑=-nk kx S x u1)()(=)()(x S x S n -<ε对I 上一切x 都成立，则称∑∞=1)(n nx u在I 上一致收敛于()S x ．一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67)'P 函数列{})(x S n (或∑∞=1)(n nx u)在I 上一致收敛于()S x⇔∞→n lim Ix ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n Ix n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数∑∞=1)(n nx u的余项．定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x⇔00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，I x ∈∃0，使得)()(000x S x S n -≥0ε．定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛．2 一致收敛函数项级数的性质[]3(417430)P -定理2.1（逐项取极限） 设级数∑∞=1)(n nx u在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内一致收敛，0lim x x →()n n u x c =．则∑∞=1n nc收敛，且limx x →∑∞=1)(n nx u=∑∞=→1)(lim 0n n x x x u =∑∞=1n n c ． （1）定理2.2（连续性） 若)(x u n 在区间I 上连续(1,2,n =⋅⋅⋅)，∑∞=1)(n nx u在I 上一致收敛，则()S x≡∑∞=1)(n n x u 在I 上连续．定理2.2' 若)(x u n 在(,)a b 内连续(1,2,n =⋅⋅⋅)，∑∞=1)(n nx u在(,)a b 内闭一致收敛，则()S x ≡∑∞=1)(n nx u在(,)a b 内连续．定理2.3（逐项求导） 若级数∑∞=1)(n nx u区间I 上满足以下三条：（1）级数∑∞=1)(n nx u在I 上收敛(或验证在I 上至少有一个收敛点)；（2）)(x u n 在I 上有连续导数(1,2,n =⋅⋅⋅)； （3）1()n n u x ∞='∑在I 上一致收敛(或在I 的任一内闭区间上一致收敛)，则∑∞=1)(n nx u区间I 上可微，且可逐项求导，即在I 上有d dx∑∞=1)(n n x u =1()n n d u x dx ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑ （2） 定理2.4（逐项求积分） 若级数∑∞=1)(n nx u的各项连续，并且此级数在[,]a b 上一致收敛，则有11()()b bn n aan n u x dx u x dx ∞∞===∑∑⎰⎰（3）一般地，若当∞→n 时，()0bn aR x dx →⎰，则上式为真．3 一致收敛性的判断判别一致收敛的方法有多种，下面将分别进行介绍和讨论．3.1 利用一致收敛的定义通常称定义1.1为“N -ε法”，定义1.2为“确界法”，从中还可以得到一种更简便的方法“放大法”：若,0n n N α+∀∈∃>，使得)(,)()(I x x S x S n n ∈∀≤-α，且n →∞时，0n α→，则n →∞时，()n S x 在I 上一致收敛于()S x ．例1 讨论级数2321()()()n n u x x xx x x ∞==+-+-+⋅⋅⋅∑在下列区间的一致收敛性．(1)210≤≤x ， (2)10≤≤x ． 解 令nnk k n x x u S ==∑=1)(，则001;()lim ()1 1.nn x S x S x x →∞≤<⎧==⎨=⎩ （1）当210≤≤x 时，()0S x =． ,0>∀ε若)()(x S x S n -=ε<⎪⎭⎫⎝⎛≤nn x 21，只要2ln 1lnε>n ，取1ln[]ln 2N ε=，则当N n >时，∀]21,0[∈x 均有)()(x S x S n -=0)(-x S n <ε． 因此∑∞=1)(n nx u 在]21,0[上一致收敛于零． （2）方法1 取0ε，使2100<<ε，不论n 多大，只要取nx 21=，就有)21()21(n n n S S -=021ε>．因此，∑∞=1)(n nx u在[0,1]上收敛而非一致收敛．方法2 01;()()()11.nn n x x R x S x S x x ⎧≤<=-=⎨=⎩故01sup ()1n x R x ≤≤≡．因此，∑∞=1)(n nx u在[0,1]上非一致收敛．注意在(1)中找N 的方法与技巧，对()()n S x S x -适当放大时，应使N 与x 无关，只与ε有关． 例2 设101()()n n i if x f x nn -==+∑，1,2,n =⋅⋅⋅，其中()f x 为连续函数，证明序列{}()n f x 在任何有限闭区间[,]a b 上一致收敛．证 记{}()n f x 的极限函数为()F x ，则111101()lim ()()()()(01;0,1,,1).i n n x x i n i n xn x i i n i i F x f x f t dt f t dt f x nn n i n θθ+--++→∞+======++<<=⋅⋅⋅-∑∑⎰⎰由于()f x 在[,1]a b +上连续，故在[,1]a b +上一致连续，即,0>∀ε()0δδε∃=>，使对于',''[,1]x x a b ∀∈+，只要当'''x x δ-<时，就有(')('')f x f x ε-<．取1[]1N δ=+，则当,n N a x b >≤≤时，有()11()()[,1][,1]0,1,,1i i i i i i x x x a b x a b i n n n n n N n n nθθδ++-+<<<+∈+++∈+=⋅⋅⋅-且，.于是110011()()()().n n i n i i i i F x f x f x f x n n n n nθεε--==-≤++-+<=∑∑因此{}()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ．例3 试证：221(1)nn n n x∞=-+∑在(,)-∞+∞内一致收敛． 证 易知(,)x ∀∈-∞+∞，当n 充分大时，22n n x ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭单调减且趋于0．故该级数为莱布尼茨型级数．则有2211()0(1)1n n R x n x n +≤≤→+++ ()n →+∞所以级数 221(1)nn n n x ∞=-+∑在(,)-∞+∞内一致收敛． 3.2 柯西准则判断一致收敛性[]5(31)P定理3.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数1()n n u x ∞=∑ (部分和函数列()nSx )在I 上一致收敛的充分必要条件为：,0>∀ε总存在正整数N =)(εN ，使N n >时，不等式12()()()n n n p u x u x u x +++++⋅⋅⋅+<ε )()((x S x S n p n -+<)ε对任意的正整数p 和I 上任意的x 都成立．当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件．推论 函数项级数1()n n u x ∞=∑在数集I 上一致收敛⇒函数列{})(x un在I 上一致收敛于零，即,0>∀ε+∈∃N N ，当n N >时，I x ∈∀都有)(x u n <ε．例4 设{}()n u x 为[,]a b 上的可导函数列，且在[,]a b 上1()nk k u x C ='≤∑，C 是不依赖与x 和n的正数．证明：若1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上收敛，则必为一致收敛．证 0ε∀>，取m 充分大，将[,]a b m 等分，使得4b a m Cε-<．顺次以12,,,m x x x ⋅⋅⋅表示各小区间段的中点．由已知得，∑∞=1)(n i nx u收敛⇒()0,,,i i i i N N x n N εε∀>∃=>时，有1()2n pk i k n u x ε+=+<∑，()p N +∀∈．令12max{,,,}m N N N N =⋅⋅⋅，则[,]x a b ∀∈（不妨设x 位于第i 个小区间段，{}1,2,,i m ∈⋅⋅⋅），于是11111()()(())()()iin p n pn p n pn pxxkkikkikx x k n k n k n k n k n u x u x u t dt u x u t dt +++++=+=+=+=+=+''=+≤+∑∑∑∑∑⎰⎰2.222i C x x εεεε<+-≤+=原命题得证．注意：在证明过程中对1()n pkk n u x +=+∑进行变形时，有一个重要方法可利用—阿贝尔变换．3.3 判别函数项级数一致收敛性的常用方法判别函数项级数一致收敛性除根据定义和柯西准则外，还可以根据级数各项的特性来判别，常用以下判别法．3.3.1 Weierstrass 判别法 定理3.3.1 (Weierstrass 判别法)[]1(32)P 设函数项级数1()n n u x ∞=∑定义在数集I 上，1nn M∞=∑为收敛的正项级数，若对一切x I ∈，有(),n n u x M ≤1,2,n =⋅⋅⋅，则函数项级数1()n n u x ∞=∑在I 上一致收敛．其中1nn M∞=∑称为1()n n u x ∞=∑的优级数，因此该定理也称为优级数判别法．求优级数的方法有多种，主要有以下方法：（1）观察法； 例5 证明：21cos n nxn ∞=∑在x <+∞时一致收敛． 提示：22cos 1nx n n≤可证． （2）找出()n u x 的最大值法； 例6 证明21(1)nn xx ∞=-∑在[0,1]上一致收敛．提示：求出通项()n u x 的最大值点（求导法），2nx n =+时． （3）利用已知不等式法； 例7 讨论5211n nxn x∞=+∑在区间x <+∞上的一致收敛性． 解 当x <+∞时，552212n x n x +≥，于是，3522112nx n x n ≤+．又因31212n n ∞=∑收敛，故级数 5211n nxn x∞=+∑在(,)-∞+∞上一致收敛． （4）利用某些已知公式进行变形，等等． 例8 证明21nxn x e∞-=∑在(0,)+∞内一致收敛．证 利用泰勒公式，2212nxn x e nx =+++⋅⋅⋅ ()x R ∈．从而 222222222122nxx x x en x n x nnx -=<=+++⋅⋅⋅(0)x >． 而级数212n n∞=∑一致收敛，因此由优级数判别法可知原级数在(0,)+∞内一致收敛．3.3.2 Abel 判别法和Dirichlet 判别法对级数1()nn u x ∞=∑，若()n u x =()()n na xb x ．定理3.3.2 (Abel 判别法)[]1(33)P 设（1）()1n n a x ∞=∑在区间I 上一致收敛；（2）对于每一个x I ∈，{}()n b x 是单调的；（3）{}()n b x 在I 上一致有界，即对一切x I ∈和n N +∈，存在正数M ，使得()n b x M ≤，则级数1()n n u x ∞=∑在I 上一致收敛．定理3.3.3 (Dirichlet 判别法)[]1(34)P 设（1）()1n n a x ∞=∑的部分和函数列1()()nnk k Sx a x ==∑(1,2,)n =⋅⋅⋅在I 上一致有界；（2）对于每一个x I ∈，{}()n b x 是单调的； （3）在I 上，()0n b x →→，()n →∞，则级数1()nn ux ∞=∑在I 上一致收敛．例9讨论1n ∞=在区间0x <<+∞上的一致收敛性．解(1)n -=．由于1(1)n n ∞=-∑收敛，且与x 无关，故它对x 而言是一对于每一个(0,)x ∈+∞1≤．因此由Abel 判别法可知原级数在(0,)+∞上一致收敛．例10讨论(1)211)n n n -∞=10x ≤上的一致收敛性．解(1)21(1)2k k nk -=-≤∑，记()n b x =．>，故()nb x≤→(10)x≤，故()nb x单调一致地趋于零．因此，由Dirichlet判别法知，级数在[10,10]-上一致收敛．例11 证明21(1)sin1nnnxx nxx∞=--∑在1(,1)2内一致收敛．证原级数=11(1)sin11nn nnx xnxx x∞=-⋅+-∑．其中11n x+对任意1(,1)2x∈关于n单调，且一致有界：111n x≤+．下面考察级数1(1)sin1nnnx xnxx∞=--∑．因为111sin2sin sin22sin2n nk kxkx kxx===∑∑1111[cos()cos()]222sin2nkk x k xx==--+∑1cos cos()112212sin sin sin224xx nxx-+=≤≤1((,1),1,2,)2x n∈=⋅⋅⋅所以1sinnkkx=∑在1(,1)2内一致有界．而21(1)1,(,1)112n nn nx x xxx x x x--=∈-+++⋅⋅⋅+关于n单减，又2111001n nn nx xx x x nx n--≤≤<→+++⋅⋅⋅+1(,1)2x∈．所以(1)1nnx xx--在1(,1)2上单减一致收敛于0．由Dirichlet判别法可知，级数1(1)sin1nnnx xnxx∞=--∑在1(,1)2内一致收敛．则由Abel判别法可知原级数在1(,1)2上一致收敛．3.3.3 Dini定理定理3.3.4(Dini定理)[]3(407)P设()0nu x≥，在[,]a b上连续，1,2,n=⋅⋅⋅．又1()nnu x∞=∑在[,]a b上收敛于连续函数()f x ，则1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上一致收敛于()f x ．证 （反证法） 若1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上非一致收敛，则00ε∃>，使得0,,[,]N N n N x a b +∀∈∃>∃∈，有00()n R x ε≥．取1N =，知11n ∃>，1[,]x a b ∃∈使110()n R x ε≥，令1N n =知21n n ∃>，2[,]x a b ∃∈ ，使220()n R x ε≥，如此下去，我们得到{}n 的子序列12k n n n <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅使得0()k n k R x ε≥(1,2,)k =⋅⋅⋅ （1） 利用致密性原理，在有界数列{}k x 里，存在收敛子列{}0[,]j k x x a b →∈ ()j →+∞，因()n R x 单减(关于n )，所以m N +∀∈，当jk n m >时，有0()()j k j jm k n k R x R x ε≥≥ （因式（1）） 由于()()()m m R x f x S x ≡-连续，所以j →+∞时，对0()j m k R x ε≥取极限，知 00()m R x ε≥， ()m N +∀∈， 与1()n n u x ∞=∑在[,]a b 上收敛矛盾．证毕．注意：Dini 定理在和函数便于求得的情况下应用比较方便．例12 证明函数列1(),(1,2,)(1)n x nnf x n xe n==⋅⋅⋅++在区间[0,1]上一致收敛．证 当n →∞时，(1)n x x e n +→，且(1)(1,2,),n x xn e n+=⋅⋅⋅都在[0,1]上连续，故由Dini 定理可知函数列(1)n x n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭在[0,1]上一致收敛于xe ．由于(1)1111e (1)(1)(1)x n x nx x xn x n n n xe e n x x e e e n n ++---=+⎡⎤+++++⎢⎥⎣⎦(1)1xn x n x e e n ≤+-+- 1(1)1xnn x e e n =-++-在[0,1]上一致收敛于0()n →∞．又11xe+，11nx nx e n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(1,2)n =⋅⋅⋅在[0,1]上连续，因此，在[0,1]上，当n →∞时，原函数列一致收敛于11xe+． 3.4 一致有界与等度连续 定义3.4.1{}()n f x 在I 上一致有界，是指：,0>∃M 对一切I x ∈，都有()(1,2,n f x M n ≤=)⋅⋅⋅成立．例13[]3(410)P 设{}()n f x 在区间[0,1]上一致有界，试证存在一个子序列，在[0,1]的一切有理点收敛．证 我们知道[0,1]的全体有理点可以排成一个数列{}n a ．因{}()n f x 一致有界，故{}1()n f a 是有界数列．由致密性原理知其中存在收敛的子序列．为了便于叙述，记此收敛的子序列为{}1,1()n f a ，于是{}{}1,()()n n f x f x ⊂在1x a =处收敛．同理，因{}1,2()nfa 是有界数列，又必存在收敛子列{}2,2()n f a ．即{}{}2,1,()()n n f x f x ⊂，{}2,()n f x 在12,x a a =处都收敛．如此不断地进行下去，不断地在子序列里取子序列，使{},()k n f x 在12,,,k x a a a =⋅⋅⋅处收敛，于是得到一串子序列：1,11,21,31,2,12,22,32,3,13,23,33,,1,2,3,(),(),(),,(),(),(),(),,(),(),(),(),,(),(),(),(),,(),n n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅最后能用上表对角线元素组成一个子序列{},()n n f x ，即1,12,23,3(),(),(),f x f x f x ,⋅⋅⋅,(),n n f x ⋅⋅⋅易知此序列在点(1,2,)i a i =⋅⋅⋅上收敛．事实上，{}(1,2,)i a i ∀∈⋅⋅⋅，已知上面的子序列中第i 个子序列在i a 处收敛，而,1,1(),()i i i i f x f x ++⋅⋅⋅是第i 个子序列的子序列，故{},()n n f x 在i a 点上收敛．由此知{},()n n f x 在{}12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅上收敛．定义 3.4.2 设Ω是区间I 上定义的函数族，Ω上的函数在I 上等度连续，是指：0ε∀>，0δ∃>，当12x x I ∈，且12x x δ<－时有12()()()f x f x f ε-<∀∈Ω．特别，I 上定义的函数序列{}()n f x ，在I 上等度连续，是指：0,0εδ∀>∃>，当12x x I∈，且12x x δ<－时有12()()()n n f x f x n N ε+-<∀∈．例14 设函数序列()n f x 在区间[,]a b 上等度连续的，且有()0,1,2,n f x n ≥=⋅⋅⋅．试证：若在[,]a b 上有()()n f x f x →()n →∞，则在[,]a b 上有()()n f x f x →→()n →∞．证 因{}n f 等度连续，0,0εδ∀>∃>，当12x x I ∈，且12x x δ<－时有12()()2n n f x f x ε-<，令∞→n 取极限可得εε<≤-2)()(21x f x f ．此即表明)(x f 在I 上一致连续，从而()f x 连续．由Dini 定理知，在[,]a b 上，()()n f x f x →→()n →∞．4 函数项级数非一致收敛的判断这里也给出几种巧证函数项级数非一致收敛的方法，这些方法为一些教科书所忽视，但对判别函数项级数非一致收敛却十分有用．4.1 利用定义法判别（见例1用“N ε-法”） 4.2 利用柯西准则法判别由函数项级数一致收敛的柯西准则，可以得到以下命题． 命题 4.2.1 ()1n n u x ∞=∑在区间I 上非一致收敛⇔00,,,,,N N n N x I p N ε++∃>∀∈∃>∃∈∃∈有1().n pkk n u x ε+=+≥∑（证明略）特别，当n →∞时，若通项n u 在区间I 上非一致收敛于0，则函数项级数()nu x ∑在区间I 上非一致收敛．根据函数列一致收敛的概念，又有以下命题．命题 4.2.2 若函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间I 上逐点收敛，且在区间I 中存在一点列{}n x ，使lim ()0n n n u x →∞≠，则函数项级数1()n n u x ∞=∑区间I 上非一致收敛．（证明略） 例15 证明级数1sin n nxn ∞=∑在0x =的邻域内非一致收敛．分析 要证片段01sin n pk n kx k ε+=+≥∑（某个事先给定的正数）．取p n =，又在[,]42ππ上恒有sin sin 4x π≥，则只要使[,]42kx ππ∈，就有2211sin 11sin sin 424nn k n k n kx k k ππ=+=+≥⋅≥∑∑． 为此，取4n x x nπ==，因为12n k n +≤≤，所以(1)244442n k n nnnπππππ<+≤⋅≤⋅=，即[,]442k n πππ⋅∈．则n N +∀∈，有2220111sin()sinsin 144sin 24nnnnk n k n k n k kx n k kk πππε=+=+=+⋅=≥>==∑∑∑因此可取0ε=（证明略） 例16 证明：11(1)x n n x e n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑在(0,)+∞上非一致收敛． 证 因为n N +∀∈，当x →+∞时，易知1(1)x n x e n n ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦→∞． 所以对任意(0,)x ∈+∞，当n →∞时，通项1(1)x n x e n n ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦非一致收敛于0． 所以原级数在(0,)+∞非一致收敛．例17 讨论级数112sin3n n n x∞=∑在(0,)+∞上的一致收敛性． 解 显然原级数在(0,)+∞上逐点收敛，取2(0,)3nn n x =∈+∞，1,2,n =⋅⋅⋅，有1()2sin1()2n n n nu x n =→→∞，故原级数在(0,)+∞上非一致收敛． 4.3 利用一致收敛函数列的性质判别[8](3637)P -一致收敛函数列的性质：设各项连续的函数列{})(x S n 在区间上一致收敛于)(x S ，则对任何以)(00I x x ∈为极限的数列{}n x ，都有 )()(lim 0x S x S n n =∞→．由上性质可得如下命题： 命题4.3.1 若连续的函数项级数1()n n u x ∞=∑（记1()()nnk k Sx u x ==∑）在区间I 上逐点收敛于)(x S ，且{}0,:n x I x I ∃∈∃⊂ 0lim n n x x →∞=有0lim ()()n n n S x S x →∞≠，则函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间I 上非一致收敛于)(x S ．（证明略）例18 讨论函数项级数1sin ([0,1))pn nxp n ∞=∈∑在[0,]π上的一致收敛性． 解 由Dirichlet 判别法易知该级数在区间[0,]π上逐点收敛，设其和函数为()S x ，则(0)0S =．取1[0,](1,2,)n x n nπ=∈=⋅⋅⋅，则0()n x n →→∞，而11111sinsin sin 1()sin n nn n nknp k k k k k k k kk n n n u x k k n n n ======≥≥=∑∑∑∑∑所以 10111lim ()lim sin sin 0(0)nn k n n n k k ku x xdx S n n →∞→∞==≥=>=∑∑⎰．故原级数在[0,]π上非一致收敛．4.4 利用和函数的连续性质及端点发散性判别 命题4.4.1 若连续函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间I 上逐点收敛于和函数)(x S ，且0x I ∃∈，)(x S 在0x 处不连续，则函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间I 上非一致收敛于)(x S ．（证明略）命题4.4.2[9](63)P 若函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上逐点收敛，但在左端点x a =处发散，n N +∀∈，()n u x 在左端点x a =（右）连续，则函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间(,]a b（或(,)a +∞）上非一致收敛．证 用反证法． 假设函数项级数1()nn ux ∞=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上一致收敛．即0,,,(,]N N n N x a b ε+∀>∃∈∀>∀∈或(,)a +∞，有12()()()n n n p u x u x u x ε+++++⋅⋅⋅+<．又因n N +∈，()n u x 在左端点x a =（右）连续，令x a →（或a +），对上式两端取极限，得12()()()n n n p u a u a u a ε+++++⋅⋅⋅+≤则级数收敛，与已知矛盾，故函数项级数1()n n u x ∞=∑在区间(,]a b （或(,)a +∞）上非一致收敛．例19 讨论函数项级数1nxn ne∞-=∑在区间为(0,)+∞上的一致收敛性．解 易知函数项级数1nxn ne∞-=∑在区间(0,)+∞上逐点收敛，且每一项都在0x =处连续，而函数项级数1nxn ne∞-=∑在0x =处发散，故该函数项级数在(0,)+∞上非一致收敛．该题还可利用其它方法判别，但相比较而言此方法更为简便． 例20 讨论0(1)nn x x∞=-∑在区间01x ≤≤上的一致收敛性．解 10()(1)(1)1nnkk n n k k S x x xx x x +===-=-=-∑∑．于是101;()lim ()0 1.n n x S x S x x →∞≤<⎧==⎨=⎩取0ε，使0102ε<<，不论n多么大，只要取x = ，就有011122n S S ε-=-=>因此，级数(1)nn x x∞=-∑在[0,1]上收敛而非一致收敛．5 综合应用例21[]4(368)P证明级数2312(1)x nn e n∞=+-∑在任何有界区间[,]a b 上一致收敛．证 [,]x a b ∀∈，12(1)nn n∞=-∑，且余项()()23221()0()111cn e R x n n n n ≤≤+→→∞+++ {}(max ,)c a b =， 故 [,]lim sup ()0n n x a b R x →∞∈=．所以级数12(1)nn n∞=-∑[,]a b 上一致收敛．例22 证明：级数(1)1(1)nxn x n nxen xe ∞---=⎡⎤--⎣⎦∑在闭区间01x ≤≤上收敛但非一致收敛，而它的和在此区间上是连续函数．证 考虑部分和(1)1()(1)nkx k x nxn k S x kxe k xe nxe ----=⎡⎤=--=⎣⎦∑，显然在[0,1]上其极限函数()S x 存在（即级数的和）且连续：()lim ()0n n S x S x →∞==．但此级数在[0,1]上非一致收敛．用反证法．若不然，则对任给的0ε>，存在数()N N ε=，使当n N ≥时，对于[0,1]上的一切x 值，均有()()n S x S x ε-<．今取1012e ε-=，应有11()()2n S x S x e --<．取01x x n ==，则也应有11()()2n S x S x e --<，但另一方面，却有10000()()()n n S x S x S x eε--==>，矛盾．证毕．例23[]4(385)P 证明函数11()x n f x n ∞==∑在(1,)+∞无穷次可微． 证 （1）先证()f x 在(1,)+∞上可微．任取0(1,)x ∈+∞，则0δ∃>使得00112x x δδ<+≤<+<∞．在0[1,2]x δδ++上，考察111ln ()x x n n nn n∞∞=='=-∑∑．由于01ln ln 0,[1,2]x n n x x n n δδδ+≤≤∈++ 而121ln lim 0n n n n δδ++→∞⋅=．由比较判别法知11ln n n nδ∞+=∑收敛．从而函数项级数1ln x n nn ∞=-∑在0[1,2]x δδ++一致收敛．故函数()f x 在0[1,2]x δδ++上可微且111ln ()()x x n n n f x n n ∞∞==''==-∑∑，则001ln ()x n nf x n∞='=-∑．由0(1,)x ∈+∞的任意性，()f x 在(1,)+∞上可微，且1ln ()x n nf x n ∞='=-∑． （2）再证对任意自然数k ，均有 ()1(1)ln ()k k k xn nfx n ∞=-=∑． 事实上，当1k =时，由（1）知结论成立．假设m k =时结论成立，则当1m k =+时，考察: 1111(1)ln (1)ln ()k k k k x xn n n nn n ++∞∞==--'=∑∑． 由于1111(1)ln ln k k k x n n n n δ++++-≤，0[1,2]x x δδ∈++．而1121ln lim 0k n n n n δδ+++→∞⋅=．故级数111ln k n n nδ+∞+=∑收敛，从而函数项级数1(1)ln ()k k xn nn ∞=-'∑在0[1,2]x δδ++一致收敛，故函数()()k f x 在0[1,2]x δδ++可微，且 11()'11(1)ln (1)ln (())()k k k k k x xn n n nfx n n ++∞∞==--'==∑∑． 由以上证明可知函数()f x 在(1,)+∞无穷次可微．通过以上对函数项级数（函数列）一致收敛非一致收敛相关问题的讨论，希望能对这部分内容的学习提供一些参考．。

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一 概念引言设函数列{}n f 与函数f 概念在同一数集D 上，假设对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有()()ε<-x f x f n 那么称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作()()x f x fn →→()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是概念在数集E 上的一个函数列，表达式()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ )1(称为概念在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞=1或()x u n ∑；称()()x u x S nk k n ∑==1, E x ∈, ,2,1=n )2(为函数项级数)1(的部份和函数列．设数集D 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的收敛域，那么对每一个D x ∈，记∑∞==1)()(n n x u x S ，即D x x S x S n n ∈=∞→),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数，称)()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项．概念1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，假设{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．由于函数项级数的一致收敛性是由它的部份和函数列来确信，因此能够依照函数列一致收敛性概念取得等价概念．概念2]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部份和函数列，函数列{})(x S n ，和函数)(x S 都是概念在同一数集D 上，假设关于任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使适当N n >时，对一切D x ∈，都有ε<-)()(x S x S n ，那么称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛．同时由ε<-=)()()(x S x S x R n n ，故)(x R n 在D x ∈上一致收敛于0．概念3 设函数项级数∑)(x u n 在区间D 上收敛，其和函数为∑∞==1)()(n n x u x S ，部份和函数列∑==nk n n x u x S 1)()(，假设0>∃o ε，+∈∀N N ，N n o >∃及D x ∈'∃，使得o n x s x s o ε≥'-)()(，那么函数项级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛．例1 试证∑∞=1n n x 在[]r r ,-）10(<<r 上一致收敛，但在)1,1(-内不一致收敛．证明 显然∑∞=1n n x 在)1,1(-内收敛于xx-1． 对任意的0>ε，欲使当N n >和r x r ≤≤-时，恒有ε<-=--+=∑xxx xxn nk k1111成立,只要当N n >时,恒有ε<-+rr n 11成立,只要当N n >时,恒有()rr n lg 1lg 1ε->+ 成立,只要当N n >时，恒有()r r n lg 1lg ε->成立，只要取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r N lg 1lg ε即可．依概念，∑∞=1n nx 在[]r r ,-上一致收敛于x x -1． 存在e o 2=ε，对任意自然数N ，都存在N N n o >+=1和()1,121-∈++=N N x o ，使 ε2111111111>⎪⎭⎫⎝⎛+++=-=--++=∑N o n o o o n k k oN N x x x x xo o成立，依概念，∑∞=1n n x 在)1,1(-内不一致收敛．二 函数项级数一致收敛性的判定方式定理1 Cauchy 一致收敛准那么]1[函数项级数()∑x u n 在数集D 上一致敛的充要条件为：对0>∀ε，总+∈∃N N ，使适当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有()()ε<-+x S x S n p n 或 ()()()ε<++++++x u x u x u p n n n 21 或()ε<∑++=pn n k kx u 1专门地，当1=p 时，取得函数项级数一致收敛的一个必要条件：推论1 函数项级数在()∑x u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于0．定理2]2[ 函数项级数()x u n n ∑∞=1在点集D 上一致收敛于)(x S 的充分必要条件是：()()0:sup lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∑=∞→D x x S x u n k n n ．定理3 放大法]3[(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列,和函数)(x S ,都是概念在同一数集D 上,关于任意的n ,存在数列{}n a ()0>n a ,使得关于D x ∈∀,有()()()n n n a x S x S x R <-=,且0lim =∞→n n a ,那么称函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S .证明 因0lim =∞→n n a ,故对任给的0>ε,+∈∃N N (与x 无关),使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()()ε<≤-=n n n a x S x S x R .由概念2得函数列(){}x S n 一致收敛于)(x S ,即函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛于)(x S .注:用放大法判定函数项级数()∑x u n 一致收敛性时,需要明白)(x S . 定理4 确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是 ()()()0sup lim sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x R n Dx n n Dx n证明 充分性 设(){}x S n 是函数项级数()∑x u n 的部份和函数列, )(x S 为和函数,那么有()()()x S x s x R n n -=，并令()x R a n Dx n ∈=sup ，而()0sup lim =∈∞→x R n Dx n ，即0lim 0=→n n a ,由定理3(放大法)得知函数项级数()∑x u n 一致收敛于函数)(x S .必要性注：实质上是用极值的方式把一致收敛问题转化为求数列极限的问题． 定理5 若()∑x u n 在区间D 上收敛,那么()∑x u n 在D 上一致收敛的充要条件是{}D x n ⊂∀,有()0lim =∞→x R n n .证明 充分性 假设()∑x u n 在D 上不一致收敛,那么0>∃o ε,{}D x n ⊂∃,使得()()o n x S x S ε≥-,如此取得{}D x n ⊂,但()0lim ≠∞→n n n x R ,这与已知条件矛盾.必要性 因已知()∑x u n 在D 上一致收敛,因此N ∃>∀,0ε,使适当N n >时,对一切D x ∈,都有()()ε<-x S x S n ,关于{}D x n ⊂∀,那么有()()ε<-n n n x S x S ,即()ε<n n x R ,得()0lim =∞→n n n x R .例2 设()0≥x u n ， 2,1=n ，在[]b a ,上持续，又()x u n ∑在[]b a ,收敛于持续函数()x f ，那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛于()x f ．证明 已知()()()x S x f x R n n -=（其中()()∑==nk k n x u x S 1）是单调递减且趋于0，因此[]b a x N n ,,∈∀∈∀有()0≥x R n ，且[]ε∀∈∀,,0b a x >0,()εε,),(00,0x x N n N ≥>∃时,有()ε<≤00x R n .将n 固定,令()ε,00x N N n ==,因为()()()x S x f x R n n -=在[]b a ,上持续,既然()ε<x R n ,因此00>∃δ,当()0000,δδ+-∈x x x 时, ()ε<0x R n .从而0N n >时更有()ε<x R n 即()ε<x R n ,仅当()0000,δδ+-∈x x x .如上所述,对每一个点[]b a x ,∈λ,可找到相应的领域()λλλλδδ+-x x ,及相应的λN ,使得λN n >时,对∈x ()λλλλδδ+-x x ,恒有()ε<x R n .如此{()λλλλδδ+-x x ,:[]b a x ,∈λ}组成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{()()r r r r x x x x δδδδ+-+-,,,1111 },于是[]b a x ,∈∀,总{}r i ,2,1∈使得i i i i x x x δδ+-∈,(),取{}r N N N N ,,max 21=,那么N n >时,恒有()ε<x R n ,由定理5得()x u n∑在[]b a ,一致收敛于()x f .定理6 M 判别法或优先级判别法或Weierstrass 判别法]1[设函数项级数()x u n ∑概念在数集D 上,∑n M 为收敛的正项级数,假设对一切D x ∈,有 2,1,)(=≤n M x u n x)3(那么函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛.证明 由假设正项级数()x u n ∑收敛,依照函数项级数的Cauchy 准那么,∀0>ε,∃某正整数N ,使适当N n >及任何正整数p ,有ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11又由(3)对一切D x ∈,有()≤+≤++++++x u x u x u x u p n n p n n )()()(11ε<+++p n n M M 1依照函数项级数一致收敛的Cauchy 准那么,级数()x u n ∑在D 上一致收敛.注:假设能用从判定()∑∞=1n n x u 一致收敛,那么()∑∞=1n n x u 必是绝对收敛,故M 判别法对条件收敛的函数项级数失效.例3 函数项级数∑∑22cos ,sin n nxn nx 在()+∞∞-,上一致收敛,因为对一切∈x ()+∞∞-,有22221cos ,1sin nn nx n n nx ≤≤,而正项级数∑21n 是收敛的. 推论2 设有函数项级数()x u n ∑,存在一收敛的正项级数∑∞=1n n a ,使得关于,I x ∈∀有()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,那么函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛证明 已知()()+∞<≤=∞→k k a x u nn n 0lim,即,,,,00I x N n N N ∈∀>∀∈∃>∃+ε有()0ε<-k a x u n n 即()k a x u n n +<0ε,从而()()n n a k x u +<0ε,又因为∑∞=1n n a 收敛,那么()n n a k ∑∞=+1ε也收敛,由M 判别法得函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间I 一致收敛.由广义调和级数∑∞=11n pn,当1>p 时收敛,故当n a =p n 1时,有 推论2' 设有函数项级数()∑∞=1n n x u ,假设存在极限k x u n n p n =∞→)(lim 且1,0>+∞<≤p k ,那么函数项级数()x u n ∑在区间I 一致收敛.例4 证明函数项级数∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0是一致收敛的.证明 关于∑∞=+++1)1)((1n n x n x ,存在收敛的正项级数∑∞=121n n,且=+++⋅∞→)1)((1lim 2n x n x n n 1)1)((lim 2=+++∞→n x n x n n 由的推论2与推论2'得, ∑∞=+++1)1)((1n n x n x 在[)∞,0一致收敛.定理7 比较判别法[]4两个函数项级数()∑x u n 与()x v n ∑,假设N N ∈∃0,当I x N n ∈∀>∀,0有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()x u n ∑区间I 绝对一致收敛.证明 已知 ()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,即对cε∀0>(其中c 为正常数),11,N n N N >∀∈∃及I x N p ∈∈,,有()()()cx v x v x v p n n n ε<++++++ 21；又由条件知I x N n N ∈>∀∃,,00有()x v c x u n n <)(；取{},,max 01N N N =当I x N p N n ∈∈∀>∀,,,有()()()<++++++x u x u x u p n n n 21()()()()εε=⋅<++++++cc x v x v x v c p n n n 21．由收敛级数一致收敛Cauchy 准那么知，函数项级数∑)(x u n 在区间I 一致收敛，从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.定理8[]4 假设有函数级数()∑x u n 与()x v n ∑,N N ∈∃0,I x N n ∈∀>∀,0有()x cv x u n n <)((其中c 为正常数),且函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 一致收敛,那么函数()∑∞=1n n x u 区间I 绝对一致收敛.证明 已知I x N n N ∈>∀∃,,00,有()x v c x u n n <)((其中c 为正常数). 又函数项级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,即I x N p N n N N c∈∈>∀∈∃>∀,,,,011ε,有()()()()cx v x v x v x v x v p n n p n n n ε<+=++++++++ 121)(；取{},,max 10N N N =当I x N p N n ∈∈>∀,,有()()()()()()x u x u x u x u x u x u p n n n p n n n +++++++++≤++ 2121()()()x v x v c p n n ++++< 1εε=⋅<cc从而函数项级数()x u n ∑在区间I 绝对一致收敛.推论3 比较极限法假设有两个函数级数()∑∞=1n n x u 与()())0(1≠∑∞=x v x v n n n ,且有()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,假设级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,那么函数()∑x u n 在区间I 也绝对一致收敛.证明 由()()k x v x u nn n =∞→lim且+∞<≤k 0,即,,00N n ∈∃>∀ε当I x N n ∈>,有()()0ε<-k x v x u n n 使()()c k x v x u n n =+<0ε且00>+=εk c .即N n >∀及I x ∈有()()x v c x u n n <,又级数()x v n ∑在区间I 绝对一致收敛,由比较判别法定理7知级数()∑∞=1n n x u 在区间I 绝对一致收敛.推论4[]4 有函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,且函数级数()∑∞=1n n x v 在区间I 绝对一致收敛,那么函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上也绝对一致收敛.证明 由已知函数列(){}x u n 在区间I 上一致有界,即I x N n M ∈∈∀>∃,,0有()M x u n ≤,使当I x N n ∈∈∀,有()()()x v M x v x u n n n ≤⋅,又因函数级数()∑x v n 在区间I 绝对一致收敛,由比较判法定理7知, 函数级数()()x v x u n n ∑在区间I 上绝对一致收敛.例5 假设函数级数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,且I x N n ∈∈∀,,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,那么函数项级数()x b n ∑在区间I 上一致收敛.证明 由条件函数()()x c x a n n ∑∑,在区间I 一致收敛,那么级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 上一致收敛.又I x N n ∈∈∀,有()()()x c x b x a n n n ≤≤,故()()()()x a x c x a x b n n n n -≤-≤0且级数()()()∑-x a x c n n 在区间I 绝对一致收敛,由定理8知,级数()()()∑-x a x b n n 在区间I 上一致收敛.又已知()x a n ∑在区间I 一直收敛,从而级数()()()()()[]()()()()x a x a x b x a x a x b x b nnnnnnn∑∑∑∑+-=+-=在区间I 上一致收敛.推论5 设函数项级数()∑x u n 概念在数集]2[上，()∑x v n 在上一致收敛且()0>x v n ，假设对一切D x ∈，有()()x v x u n n ≥， ,2,1那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛.定理9 逼近法[]5假设对任意的自然数n 和D x ∈,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤成立,又()x v n ∑和()x w n ∑都在数集D 上一致收敛于)(x S ,那么()x u n ∑也在D 上一致收敛于)(x S .证明 设()()x v x V nk k n ∑==1，()()x u x U nk k n ∑==1，()()x w x W nk k n ∑==1因为D x N n ∈∀∈∀+,都有()()()x w x u x v n n n ≤≤,因此D x N n ∈∀∈∀+,有()()()x W x U x V n n n ≤≤.又()x v n ∑,()x w n ∑在区间D 上一致收敛于)(x S ,即 +∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()εε+<<-x S x V x S n 及()()()εε+<<-x S x W x S n ；因此+∈∃>∀N N ,0ε,当N n >时,对一切D x ∈∀有()()()()()εε+<≤≤<-x S x W x U x V x S n n n .由函数项级数一致收敛概念知, ()x u n n ∑∞=1在D 上也一致收敛于)(x S .定理10 由有性质判别若()x u n ∑和()x v n ∑在点集D 上一致收敛，那么[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛证明 由()x u n ∑和()x v n ∑均在点集D 上一致收敛知，对N ∃>∀,0ε（自然数），使 适当N n ≥时，对∀自然数p 和x 有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21 ()()ε<++++++x v x v x v p n n n 21)(因此 ()()()()()())()()(2211x v x u x v x u x v x u p n p n n n n n ++++++++++++()()()+++≤+++x u x u x u p n n n 21()()x v x v x v p n n n ++++++ 21)( εεε2=+<由函数项级数一致收敛的Cauchy 收敛准那么知，[]∑±)()(x v x u nn在D 上也一致收敛定理11 Dini 定理设()()()() ,2,10,0=≤≥n x u x u n n 在[]b a D ,=上持续，又()x u n ∑在[]b a ,上收敛于持续函数，那么函数项级数()x u n ∑在[]b a ,一致收敛．利用步骤：⑴判定()0≥x u n 且持续；⑵求和函数)(x S ；⑶判定求和函数)(x S 在[]b a ,上持续．Abel 引理定理12 Abel 判别法[]1 证明推论6 设函数项级数()x u n ∑在D 上一致收敛，函数()x g 在D 上有界，那么()()x u x g n∑在D 上一致收敛.证明 因为()x g 在D 上有界,因此,0>∃M 使()M x g ≤,对D x ∈∀成立.因()x u n ∑在D 上一致收敛,,0,,0>∃>∀∴p N ε使当N n >,时有()Mx u pn nk k ε<∑+=,对D x ∈∀成立,此式说明()()()()εε=⋅<<∑∑+=+=MM x u x g x u x g p n nk k pn nk k .由Cauchy 准那么知()()x u x g n ∑在D 上一致收敛.定理13 Dirichlet 判别法[]1设(i )()x u n ∑的部份和函数列()()x u x s nk k n ∑==1在I 上一直致有界;(ii )对每一个I x ∈，()x v n 单调; (ⅲ)在I 上()()∞→→n x v n 0,那么级数和()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.证明 充分性 由(i )∃正数M ,对一切I x ∈,有()M x s n ≤,因此当为任何正整数p n , 时()()()()()M x s x s x u x u x u n p n p n n n 221≤-=++++++ ,对任何一个I x ∈,再由(ii )及Abel 引理,取得 ()()()()()x v x v M x v x v x v p n n p n n n ++++++≤+++22)(121 .再由(ⅲ)对,0,0>∃>∀N ε当N n >时,对一切I x ∈,有()ε<x v n ；因此()()()()εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(211=+<++++++于是由一致收敛的Cauchy 准那么级数()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛.注:事实上必要性也成立,即已知()()x u x v n n ∑在I 上一致收敛,可推出(i )(ii )(ⅲ)成立,那个地址再也不赘述.例6 假设数列{}n a 单调且收敛于0,那么级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.证明 由()π2,0,2sin221sin cos 211∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∑=x x xn kx n k 得在[]απα-2,上有212sin 21212sin21212sin 221sin cos 1+≤+≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=αx x x n kx nk ,因此级数∑nx cos 的部份和函数列在[]απα-2,上一致有界,于是令()()nnna x v nx x u ==,cos ,那么由Dirichlet 判别法可得级数∑nx a n cos 在[]()πααπα<<-02,上一致收敛.定理14 积分判别法[]4设()y x f ,为区域(){}+∞<≤∈=y D x y x R 1,|,上的非负函数, ()x u n ∑是概念在数集D 上的正项函数级()()n x f x u n ,=,若是()y x f ,在[)+∞,1上关于y 为单调减函数,假设含参变量反常积分()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,那么()x u n ∑在数集D 上一致收敛.证明 由()⎰+∞1,dy y x f 在数集D 上一致收敛,对0>∀ε,∃一个N ,当N n >时,对一切自然数p 和一切D x ∈,有()ε<⎰+pn ndy y x f ,.由()()()<+++++x u x u x u p n n n 21()ε<⎰+pn ndy y x f ,,因此()x u n ∑在数集D 上一致收敛.例7 设()∑∞=-⋅=1n nx e n x S ,证明()x S 在区间()+∞,0持续.证明 第一对任意取定一点()+∞∈,00x ,都存在0>δ,使得[)+∞∈,0δx ,咱们只要证明()x S 在0x 即可.令()yx e y y x f -⋅=,,[)+∞∈,δx ,由()δy yx e y e y y x f --⋅<⋅=,,[)+∞∈,δx ,而且无穷级数dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1收敛,因此含参积分dy e y y ⎰+∞-⋅δδ1在[)+∞∈,δx 上一致收敛.又因为()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞<≤=∈<-=-δ1,0|,,,01,y x y x R y x yx e y x f yx y 即对任意固定[)+∞∈,δx ,()yx e y y x f -⋅=,关于y 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1δ上是单调递减的,由定理14知,函数级数∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅11δn nxen 在区间[)+∞∈,δx 上是一致收敛的.利用函数项级数的性质可得, ()∑∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⋅=11*δn nxen x S 在区间[)+∞∈,δx 持续,从而()()x S e n x S n nx *11+⋅=∑=-δ在区间[)+∞∈,δx 也持续,因此()x S 在0x 持续,由0x 在()+∞,0的任意性可知, ()x S 在()+∞,0上持续.含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数求和的问题,前者持续作和,后者离散作和,因此它们的一致收敛性概念及判别法都是平行的,而且所表示的函数分析性质(如持续、可微、可积性)也一致,在此不在赘述.由定理14,咱们可利用积分的便利条件判定某些数项级数的一致收敛,也可用函数项级数的一致收敛性判别某些含参变量积分一致收敛.定理15 函数列(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,级数()∑a u n 和级数()||b u n 收敛,那么级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.证明 级数()∑a u n 和()∑b u n 收敛.那么()∑a u n +()∑b u n 收敛.由(){}x u n 在[]b a ,上持续且单调,那么()||x u n <()||a u n +()||b u n ,由M 判别法知,级数()x u n ∑在[]b a ,上一致收敛.定理16[]6 设函数()x u n ,() ,2,1=n 在[]b a ,上可微(其中b a ,为有限数),且知足如下条件:(i )函数项级数()x u pn n k k∑++=1在[]b a ,上收敛;(ii )存在常数M ,使得对任意的自然树1≥m ,任意的实数[]b a x ,∈,恒有()M x u n<∑/,那么函数项级数()x u n n∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 对0>∀ε,因为b a ,为有限数,因此存在自然数k ,使得()εεk a b k a +≤≤-+1,咱们在闭区间[]b a ,上插入分点i a x a x i ε+==,0,()1,2,1-=k i ,b x k =,于是,闭区间被分成k 个小区间[]i i x x ,1-,()k i ,2,1=.从而有[]b a ,=[]i i ki x x U ,11-=.又因为函数项级()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上是收敛的,故对任意i x ()1,2,1-=k i ,存在自然数()i x N ,ε,使得()i x N n ,ε>时,对任意p ,有()ε<∑++=pn n j ijx u 1.于是,对任意[]i i x x x ,1-∈,在自然数()i x N ,ε,使得()1,->i x N n ε时, 对任意p ,有()()()()ipn n j jp n n j p n n j ijjpn n j jx u x u x u x u ∑∑∑∑++=++=++=++=+-=1111()()()∑∑∑++=++=++=+-≤pn n j ijpn n j pn n j ijjx u x u x u 111()εε+-≤-++=∑11/i pn n j j x x u()()εεε+--≤-=+=∑∑11/1/i nj jpn j jxx u u()()εεε+-+≤-=+=∑∑11/1/||i nj j pn j j x x u u()ε12+≤M因此,对0>∀ε,存在自然数(){}1,,1,0|,max 0-==k i x N N i ε,使适当0N n >时,任意[]b a x ,∈,任意自然数p ,均有()ε)12(1+<∑++=M x u pn n j j.即函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.定理17 设()x u nn ∑为概念在数集D 上的函数项级数,D x ∈0为()x u nn ∑的收敛点,且每一个()x u n 在上一致可微, ()x u nn ∑/在上一致收敛,记()=x S ()x u nn ∑.定理18 设函数列(){}x u n 在闭区间[]b a ,上持续可微,且存在一点[]b a x ,0∈,使得()x u n n ∑∞=1在点0x处收敛; ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛,那么函数项级数()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明 已知()x u n n ∑∞=1在点[]b a x ,0∈处收敛, ()x u n n ∑∞=1/在[]b a ,上一致收敛.即对()εε1,N o ∃>∀,使得()ε1N n ≥时,对+∈∀N p ,有()ε<∑+=+=p n k n k kx u 1成立.对[]b a x ,∈∀,有()ε<∑+=+=p n k n k k x u 1/.依照拉格朗日中值定理,[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+,有()()∑∑++=++=-pn n k pn n k kkx u x u 11≤()∑+=+=p n k n k ku 1/ξ0x x -<()a b -ε,(ξ介于x 与0x 之间)．于是[]b a x N p N n ,,,∈∀∈∀>∀+，()()()()∑∑∑∑++=++=++=++=+-≤pn n k kp n n k p n n k kkpn n k kx u x u x u x u 1111||()()1+-=+-≤a b a b εεε．即()x u n n ∑∞=1在[]b a ,上一致收敛.引理2 假设函数项级数()x u n ∑在[]b a ,上收敛，()()N n b x u n n bx ∈=-→lim 则()x u n ∑在[]b a ,一致收敛的必要条件是()x b n n ∑∞=1收敛.证明 由函数项级数的柯西收敛准那么有，[]b a x N p N n N N ,,,,,0∈∀∈∀>∀∈∃>∀++ε，有()()()ε<+++++x u x u x u p n n n 21.()4又()n n bx b x u N n =∈∀-→+lim ,,在(4)的两头取极限,令-→b x 得ε≤+++++p n n n b b b 21,于是由Cauchy 收敛准那么知()x b n n ∑∞=1收敛.（①若()n n x b x u b =+∞=+∞→lim ,,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的必要条件是()x b n ∑收敛.②若(){}x u n 在[)b a ,持续,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛()b u n ∑⇒收敛.)定理19 利用内闭一致收敛判别[]7假设函数项级数()x u n ∑在[)b a ,内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[]b a ,一致收敛⇔{}[)b x b a x n n n =⊂∀+∞→lim ,,,级数()n n x u ∑收敛. 证明 必要性,充分性用终归法,那个地址再也不赘述.注:仅由闭一致收敛性和引理的必要条件(集函数级数在区间端点收敛或端点的极限级数收敛)是不能取得函数级数在区间一致收敛的.例8 证明∑∞=1sin n n nx在()π2,0内闭一致收敛,且在端点收敛,但在()π2,0不一致收敛. 证明 ∑<<∀nx sin ,0,πεε的部份和函数列(){}x S n 在[]επε-2,一致有界,而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1在[]επε-2,一致收敛于0,于是由Dirichlet 判别法知, ∑nnx sin 在[]επε-2,一致收敛,从而在()π2,0内闭一致收敛.当0=x 或π2时,级数显然收敛.取()+∈∈=N n nx n ,2,02ππ,那么0lim =∞→n n x 但()∑∑∑∞=∞==⋅=1112sin n n n n n nn n x u π发散,故由定理19知, ∑∞=1sin n n nx在()π2,0不一致收敛. 推论7 若()x u n ∑在[)+∞,a 内闭一致收敛,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛的充要条件是{}[)+∞=+∞⊂∀∞→n n n x a x lim ,,, ()x u n ∑皆收敛.证明 与定理19类似,略.定理20[]7 设函数级数()x u n ∑在[)b a ,收敛,且知足引理2中必要条件,那么()x u n ∑在[)b a ,一致收敛⇔[){}[)00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∀∈∀∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 必要性 用反证法.假设[]{}[]00lim ,,,,x x b a x b a x n n n =⊂∃∈∃∞→,而()n n n x u ∑∞=1发散.若a x =0或b x =0,那么由定理20知不可;假设()b a x ,0∈,那么存在{}n x 的子列{}kn x 或00lim ,x x x x k k n k n =≥∞→或00lim ,x x x x k k n k n =≤∞→,于是由定理19知()x u n ∑在()b x ,0或()0,x a 在不一致收敛,从而在[)b a ,不一致收敛,矛盾.必要性获证.充分性 用反证法.设()x u n n ∑∞=1在[)b a ,不一致收敛,那么由定理18的证明可得,{}[)b a x n ,⊂且[]b a x x n n ,lim 0∈=∞→而()n n n x u ∑∞=1发散,矛盾.推论8 设()x u n n ∑∞=1在[)+∞,a 收敛,且知足引理的必要条件,那么()x u n ∑在[)+∞,a 一致收敛⇔[)+∞∈∀,0a x 或{}[)00lim ,,,x x a x x n n n =+∞⊂∀+∞=∞→,()n n n x u ∑∞=1皆收敛.证明 与定理20的类似,略.推论12[]4 设∑)(x u n 使概念在数集D 上的正项函数项级数，)(x u n ，),2,1( =n 在D 上有界，假设D x n ∈∞→,时，1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，设{})(inf x q q =，那么当1>q 时，∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由1>q ，D x n ∈∞→,时,1)()(1-+x u x u nn n 一致收敛于)(x q ，取10-<<∀q ε，11,N n N ≥∃时，对一切D x ∈，有ε<--+)(1)()(1x q x u x u nn n ，因此1)(1)()(1>->->-+εεq x q x u x u n n n ，取22,,1N n N q s ≥∃-<<ε，有sn n q 111+≥-+ε，取{}21,max N N N o =，当O N n >时，对一切D x ∈,有sssn n n n n n q x u x u )1(111)()(1+=+>-+>+ε，因此)()1()(1x u n x u n n s n s ++≥，因此s S O N SOn sn M N x u N x u n O ≤≤)()(，由1>s 时，∑sSO nMN 收敛，由优级数判别法可知∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论13 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设+∈∃N N 对一切的D x N n ∈∀>,，有1)()(1<≤+q x u x u n n ，那么函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．证明 不妨设关于+∈∀N n ,有q x u x u n n ≤+)()(1，即q x u x u n n )()(1≤+，那么1=n ，q x u x u )()(12≤，假设当1-=k n ，111)()()(--≤≤k k k q x u q x u x u 成立，那么当k n =，k k k q x u q x u x u )()()(11≤≤+也成立，故由数学归纳法得11)()(-≤n n q x u x u ，且)(1x u 在D 有界，即0>∃M ，对D x ∈，有M x u ≤)(1因此1)(-≤n n Mq x u ，又已知几何级数∑∞=1n n q 收敛，故级数∑∞=-11n n Mq收敛，由优级数判别法知∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛．推论14 函数列{})(x u n 概念于数集D 上，且)(1x u 在D 上有界，假设D x ∈∀，有1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ，那么函数项级数在D 上一致收敛．证明 因为1)()(lim1<=+∞→l x u x u n n n ．即1-=∃q o ε )1(<<q l ,+∈∃N N ,对一切D x N n ∈∀>,，有1)()(1-≤-+q l x u x u n n ，即q x u x u n n ≤+)()(1，由推论10得函数项级数∑∞=1)(n n x u 在数集D 上一致收敛．例11 判定函数项级数∑∞=1!n nn xn n 在[)+∞,1上一致收敛性． 证明 因为11)(1≤=xx u ， 且 11111lim !)1()!1(lim )()(lim 111<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=∞→++∞→+∞→e xe x n n n x n x n n x u x u nn n n n n n nn n ，由推论13可知函数项级数∑∞=1!n nn x n n 在[)+∞,1上一致收敛． 定理23[]8 （根式判别法）设∑)(x u n 为概念在数集D 上的函数项级数，记n n n x u x q )()(=，假设存在正整数N ，正数q ，使得1)(<≤q x u n n 对一切的N n >，D x ∈成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由定理条件n n q x u ≤)(对一切N n >，D x ∈成立，而几何级数∑n q 收敛，由优级数判别法知，函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．推论15[]8 （根式判别法的极限形式）设)(x u n 为概念在数集D 上的函数列，假设nn x u )(一致收敛于)(x q ，且1)(<≤q x q {}1)(sup (<∈x q Dx ，即1)()(lim <≤=∞→q x q x u n n n ，对D x ∈∀成立，那么函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛．证明 由n n x u )(一致收敛于)(x q )(∞→n ，取q -<<10ε，O N ∃,当o N n >时，对一切D x ∈有ε<-)()(x q x u n n ，因此εε+<+<q x q x u n n )()(，因此n n q x u )()(ε+<，又因为1<+εq ，由优级数判别法知∑)(x u n 在D x ∈上一致收敛．推论51' 设()∑x u n 为概念在数集D 上的正项函数项级数，记()n n n x u q =，假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 由假设()1sup lim <=∈∞→q x q n Dx n ，那么存在正整数N ,使适当N n >时，有()1<≤q x q n ，那么对任意的N n >，D x ∈∀有 ()n n q x u ≤，而几何级数∑n q 收敛，由函数项级数一致收敛性优级数判别法知()∑x u n 在D 上一致收敛，即得证．例12 函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛，（其中r 是实常数且1>r ），因为()xnx u q nn n n ==，设()()+∞⋃-∞-=,,r r D ，()11lim sup lim <==∞→∈∞→r r n x q nn n D x n ，由推论51'得函数项级数∑n xn在()()+∞⋃-∞-,,r r 上一致收敛． 推论16[]8 有函数项级数()∑x u n ，假设对D x ∈∀，有()1lim <=∞→l x u n n n ，那么函数项级数()∑x u n 在D 上一致收敛．证明 因()1lim <=∞→l x u n n n ，那么1-=∃q o ε，1<<q l ，+∈∃N N ，D x ∈∀，有()l q l x u nn -<-，即()1<<q x u n n ，从而()n n q x u <依定理8得函数项级数()∑x u n 在D上一致收敛．例13 判别函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上的一致收敛性．证明 因()1012lim lim 12<=+=∞→+∞→n xn nnn x n ，依推论15函数项级数nn x ∑⎪⎭⎫⎝⎛+12在R 上一致收敛．定理24[]8 （对数判别法）设()x u n 为概念在D 上的正的函数列，假设()()x p nx u n n =-∞→ln ln lim 存在，那么①若D x ∈∀，()1>>p x p 对，那么函数项级数()∑x u n 一致收敛；②假设对D x ∈∀，()1<<p x p ，那么函数项级数()∑x u n 不一致收敛．证明 由定理条件知，对任意0>ε，N ∃，使得对一切N n >，有()()()εε+<-<-x p nx u x p n ln ln ， 即()()()εε-+<<x p n x p n x u n 11，那么当()1>>p x p 对D x ∈∀成立时，有()pn n x u 1<，而p 级数∑p n 1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数()∑x u n 在D 上一致收；而当()1<<p x p ，对D x ∈∀成立时，有()p n n x u 1>，而p 级数∑p n1当1<p 时发散，从而函数项级数()∑x u n 不一致收敛．定理25 设函数项级数()∑x u n ，()∑x v n 都是概念在数集D 上的正项函数项级数，当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，设(){}1inf q x q D x =∈，(){}2sup q x q D x =∈；①当+∞<=21,0q q 时，假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n 在D 上也一致收敛． ②当+∞=>21,0q q 时，假设()∑x u n 在D 上一致收敛，那么()∑x v n 在D 上也一致收敛． ③当+∞<>21,0q q 时，()∑x u n 与()∑x v n 在数集D 上同时一致收敛，或同时不一致收敛． 证明 由当D x ∈，∞→n 时，()()x v x u n n 一致收敛于()x q ，那么任取0>ε，总+∈∃N N ，当N n >时，对一切D x ∈有()()()ε<-x q x v x u n n，取得()()()()εεεε+<+<<+-≤+-21q x q x v x u x q q n n 即()()()()()x v q x u x v q n n n εε+<<-21．①当+∞<=21,0q q 时，由上式的右半部份可知假设()∑x v n 在D 上一致收敛，那么()∑x u n在D 上也一致收敛；②当+∞=>21,0q q 时，由上式左半部份可知假设()∑x u n 在D 一致收敛，那么()∑x v n在D 上也一致收敛；③当+∞<>21,0q q 时，取1q <ε易知()∑x u n 与()∑x v n 同时一致收敛或同时不一致收敛．Lipschitz （莱布尼茨）型函数项级数一致收敛判别[]5概念4 设有函数项级数()()∑+-x u n n 11，其中()x u n ,(),,2,1 =n 是区间[]b a ,上的持续函数()0≥x u n ,且函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少收敛于0，那么称这种级数为Lipschitz 型函数项级数．定理26 假设()()∑+-x u n n 11，[]b a x ,∈为L 型函数项级数，那么①此级数在[]b a ,上一致收敛；②()()()()()()()()()x u x u x u x u x u n p n p n n n n n pn n k k k 211111231211≤-++-+-=-+++++++++=+∑ ．证明 ①因为()x u n 是[]b a ,上的持续函数，函数列(){}x u n 在区间[]b a ,上单调减少且收于持续函数()0=x u ．因此()()x u x u k k 1+-在[]b a ,持续非负，而()()()[]()x u x u x u x u n k k k n 1111--=-∑-=+，由Dini 定理知函数项级数()()[]()x u x u x u n k k 111--∑∞=+在区间[]b a ,一致收敛于0，从而函数列(){}x u n 在[]b a ,一致收敛于0．又()⎩⎨⎧=+==+-+-=-∑==k n k n nk k 2,012,111111111，因此()1111≤-∑=+n k k ,故()∑=+-nk k 111一致有界，由Dirichlet 判别法知交织函数项级数()()∑+-x u n n 11在区间[]b a ,上一致收敛．②由①得()()∑+-x u n n 11一致收敛，设()()()x s x u n n =-∑+11，于是()()()()()()()()x s x s x s x s x s x s x u n p n n p n pn n k k k -+-==-++++=+∑111()()()()()()()()()()().211x u x u x u x u x u x r x r x s x s x s x s n n n p n n p n n n p n =+≤+≤+=-+-≤+++++例14 试证()∑+--211x n n 在区间[]b a ,一致收敛．证明 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21x n 是任意闭区间[]b a ,上的持续函数列且[]b a x ,∈∀，()()x u x u n n ≤≤+10，()0lim =∞→x u n n 由定理26知函数项级数()∑+--211x n n 在[]b a ,上一致收敛．推论17 设函数列(){}x S n 在[]b a ,上收敛于)(x S ，假设()x S n 可写成L 型函数项级数的部份和，那么函数列(){}x S n 在上一致收敛于)(x S ．证明 设有L 型函数项级数()()∑+-x u n n 11一致收敛于()x u ，[]b a x ,∈而()()()x u x S k n k k n ∑=+-=111，那么对[]b a x ,∈∀，都有()()()()()x S x S x u x u n n nk k k n ==-=∞→=+∞→∑lim 1lim 11，即()()x S x u =，故函数列(){}x S n 在[]b a ,上一致收敛于)(x S ．例15 证明()∑-xnn 11在[)+∞,δ上一致收敛． 证明 因为[)+∞∈∀,δx ，()x xnn 1110≤+≤，01lim =∞→x n n ．由②[)+∞∈∀,δx ，+∈∀N p 有()()()δn x u x u n pn n k k K2211≤≤-∑++=，由δn 2与x 无关且02lim =∞→δn n 故()()εδ<≤-∑++=n x u pn k n k k211，由Cauchy 准那么证毕．定理27[]9 利用结论：设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径0>R ，那么①当∑∞=1n nn R a (或()∑∞=-1n nn R a )收敛时，∑∞=1n n n x a 在[]R ,0或()0,R -一致收敛；②∑∞=1n nn x a 在(]R R ,-内一致收敛，当且仅当∑∞=1n n n x a 在[]R R ,-上一致收敛．注：1 Cauchy 准那么与M 判别法比较有效一样优先考虑；2 Cauchy 准那么、M 判别法、放大法要实现对函数项级数一致收型性的判别，均要对必然的表达式进行有效是我放大．三 非一致收敛性的判别 1 利用非一致收敛的概念概念3，略．例16 讨论函数项级数()[]()∑++-111nx x n x在()+∞∈,0x 是不是一致收敛．解 ()()[]()()111)11111(11111+-=+-+-=++-=∑∑==nx kx x k kx x k x x s nk nk n 当()+∞∈,0x 时，有()()1lim ==∞→x s x s n n ．取o ε使210≤<o ε，不管n 多大只要nx 1='，就有()()o n n n s n s x s x s ε≥=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛='-'2111，故()[]()∑++-111nx x n x 在()+∞,0上非一致收敛．2 利用确界原理的逆否命题定理28 假设函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛的充要条件是()0sup lim ≠∈∞→x R n Dx n ．证明 它是确界原理的逆否命题，故成立．例17 函数项级数()∑x u n 的部份和函数为()xx x S nn --=11，讨论()∑x u n 在()1.1-上是不是一致收敛．证明 部份和函数()xx x S nn --=11，当1<x 时，()(),11lim x x S x S n n -==∞→又当∞→n 时，()()()()∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----∈11,11,11111supsup n nnx n x n n n n nn n x x x S x S ，故()∑x u n 在()1.1-内非一致收敛．注：极限函数明白时值得用3 利用定理5的逆否命题定理29 设()()x S x u n =∑，假设存在{}D x n ⊂使得()0lim ≠∞→n n n x r ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．证明 略．注：此定理比较有效．4 利用Cauchy 准那么逆否命题定理30 函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛的充要条件是存在0>o ε，+∈∀N N ,N n o >∃,D x ∈'∃，+∈N p 使得()opn n k kx u ε≥'∑++=1证明 它是Cauchy 准那么的逆否命题，故成立． 例18 讨论∑nnxsin 在[]π2,0=D 上的一致收敛性． 解 取21sin 31=o ε，对+∈∀N N ,N n o >∃,1+=o n p ，及()[]π2,0121∈+=o o n x 使()()()()()1212sin121122sin 21121sin 11++++++++++++=-+o o o o o o o o o o n p n n n n n n n n n n x s x s o o ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++>121211121sin o o o n n n 21sin 31>o ε= 故∑nnxsin 在[]π2,0=D 上非一致收敛． 注：该类型关键是要找出o x 与o n 及p 之间的关系，从而凑出o ε，该类型题也有一种简便方式，即取1=p 能适用于很多例题．此方式比较有效，优先考虑．推论18 函数列(){}x u n 在上非一致收敛于0，那么函数项级数()∑x u n 在数集D 上非一致收敛．证明 它是推论1的逆否命题，故成立． 例19 设()()()()12sin 1212cos +⋅++=n n x n n n x u n ，()∞∞-∈,x ．讨论函数项级数()∑x u n的一致收敛性．解 取()12+=n n x n ，那么()()1sin 12cos lim 0lim +=-∞→∞→n x u n n n n ，此极限不存在，因此(){}x u n 在概念域内非一致收敛于0，那么()∑x u n 在()∞∞-∈,x 内非一致收敛．推论19[]9 假设函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收敛，且在区间D 中存在一点列{}n x ，使()0lim≠∞→n n n x u ，那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛． 例20 讨论∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上的一致收敛性．解 因为()0.,,0a x ∃+∞∈∀使a x ≤，有ax nx e n a e nx n x e n 222211≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-，知∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-nx n x e n 11在()+∞,0上非一致收敛． 5 利用求极值的方式定理31 ()()∑∞+==1n k kn x u x R ，假设()0sup lim ≠∈∞→x R nDx n ，那么()∑x u n 在D 上不一致收敛．例21 证()∑-n n x x 1在[]1,0上处处收敛，但不一致收敛．证明 因为()∑∑∑-=-n n n n x x x x 21，对[)1,0∈x ，∑n x 与∑n x 2都收敛，因此()∑-nnx x 1收敛，1=x 时()01=-∑nnx x 收敛，故()∑-nnx x 1在[]1,0上处处收敛；而()∑---=++x x x x x R n n n 11221,因此[]()22211,01111111sup ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-≥++∈n n n n x R n n n x ，又+∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→22211111111lim n n n n n n n ，故()∑-n n x x 1在[]1,0非一致收敛． 注：极限函数明白时，可考虑用．6 利用一致收敛函数列的一个性质判别[]10引理2 假设持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀，o n n x x =∞→lim ，有()()o n nn x f x f=∞→lim证明 由(){}x f n 在D 上一致收于()x f ，即有()()0sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n ,D x o ∈∀，{}D x n ⊂∀：o n n x x =∞→lim ，有()()()()x f x f x f x f n Dx n n n -≤-∈sup ，得()()0lim =-∞→x f x f n n n ．依照持续函数列(){}x f n 在区间D 上一致收敛于()x f ，那么()x f 也必在D 上持续，从而()()o n n n x f x f =∞→lim ．定理32 持续函数项级数()∑x u n 在区间D 上逐点收于)(x S ，且D x o ∈∃，{}D x n ⊂∃o n n x x =∞→lim ，有()()o n n n x S x S ≠∞→lim 那么函数项级数()∑x u n 在区间D 上非一致收敛于)(x S ．例22 讨论∑+221xn x在()+∞∞-,上一致收敛性． 解 显然()∑x u n 在()+∞∞-,上逐点收，且每一项都在()+∞∞-,上持续，取() ,2,11==n n x n ，那么0lim =∞→n n x ．再设()221x k xx u k +=，由定积分概念。