13_2一致收敛函数列与函数项级数的性质习题课

x(1,1) 1 x n 1
n1
而右端极限为，
故原级数在(-1,1)不一致收敛。
但限制x [a,a],a 1,则
sup
x(a,a )
|
sn( x)
s( x) |
sup
x(a,a )
| 1 xn 1 x
1 1
x
|
sup | xn | an , x(a,a) 1 x 1 a
[( xn ) 0,单调增] 1 x
故 un( x)在数集D上一致收敛。
n1
证毕。
注1 在这个定理的条件下，可得| un( x) | 也一致收敛。
n1
注2 不是每个收敛级数都有优级数。
例8
sin n
nx
p
,
cos n
nx
p
,(
p
1)在(,)一致收
敛。
优级数均为
1 np
.
(1)n sin nx的优级数为 np
1， np
一致收敛。
xn在[a,a](a 1)的优级数为 an，一致收敛。
an为绝对收敛级数，则 an sin nx, an cos nx
n1
n1
n1
在(,)一致收敛，且| an | 就是其优级数。
n1
全体收敛点的集合称为收敛域。
un( x) s( x)
n1
——和函数。
例5
xn 1 x x2 x3
n0
lim
n
sn( x)
lim
n
1 xn 1 x
1 , 1 x 发散，
| x | 1 | x | 1
xn在（ 1，1）内收敛于s( x)
1
.
n0

有公共的N ( ),与x无关.
2 一致收敛
定义：
设 f n 在点集I上逐点收敛于f ,
若 0, 与x无关N ( ), s.t 当n N时, 对一切x I ,
都有 f n ( x ) f ( x ) ,
称 f n 在I上一致收敛于f .
几何意义: …….
2 一致收敛

例7. (1 x ) x , x [0, a ], (a 1).
n n1
n u ( x ) a , 解： n

一致收敛
例8. ne 在[ , )一致收敛
nx n 1

但是在[ ,)上, un ( x ) ne
n
1 2， 一致收敛 n
说明：
一、函数项级数的定义
u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),定义于[a, b]上的函数列,

u ( x ) 称为[a, b]上函数项级数.
n 1 n
二、函数项级数的敛散性
在[a, b]上任取一点x0 , un ( x0 )是数项级数。
若给定x0 [a , b], un ( x0 )收敛,
fn ( x) f ( x)

2
n sup f n ( x ) f ( x )
xI

2

lim n 0.
n
证明：
若 lim n 0, 0, N ( ) 0, n N ( )时
n
n ,
x I , f n ( x ) f ( x ) n .
k k 1
n
n p
n
n p k 1

1 n 1
12n
2
(2n 2n2x)dx
而
1
lim
0 n
1
1 0dx
n
fn (x)dx
1 2
0
不相等
(2) 定理的条件是充分的, 但不必要
例3 fn (x) nxenx n 1, 2,... 在区间[0,1]上讨论.
f
(x)
lim
n
fn (x)
lim nxenx
n
0
x [0,1]
但在[0,1]上, fn(x) nxenx n 1, 2,...不一致收敛. 事实上,
{ fn(x)}的每一项在[a,b]上有连续的导数, 且{ fn(x)}在[a,b]上一致收敛,
则
d dx
f
(x)
d (lim dx n
fn (x))
lim n
d dx
fn (x)
3. 可微性
定理13.10 设{ fn (x)}为定义在[a,b]上的函数列, x0 [a,b]为{ fn(x)}的收敛点,
f (x)
f (x0 )
lim lim
xx0 n
fn (x)
f (x0 )
又 lim n
fn (x0 )
f (x0 )
lim
x x0
fn (x)
fn (x0 )
lim lim
n xx0
fn (x)
f (x0 )
所以
lim lim
xx0 n
fn
(x)
lim
n
lim
x x0
fn (x)
★ 在一致收敛条件下, 关于x与n极限可以交换极限顺序
fn (x) nxenx 在[0,1]的最大值为:

因为函数列 { fn } 在 [a , b]上一致收敛于 f ，所以
对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对一切
x ∈ [a , b]，
都有
| fn ( x ) － f ( x ) | < ε
b
于是当 n > N 时有
| f n ( x ) dx f ( x ) dx |
由柯西准则知数列 { an } 收敛．
设
lim a n A ,
n
x x0
下面证明： lim f ( x ) A . 因为{ fn } 一致收敛于 f ，数列 { an } 收敛于 A ， 因此对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时， 对任何 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有 | fn(x) – f (x) | <ε/3 和 | an – A | <ε/3 同时成立．特别取 n = N +1，有 | fN+1(x) – f (x) | <ε/3 和 | aN+1 – A | <ε/3
n
( iii ) lim f n ( a ) 不存在，
n
则{ f n ( x )} 在 ( a , b )内不一致收敛
定理 13.9（连续性） 设函数列 { fn } 在区间 I 上一致收敛于 f ，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 I 上连续， 则 f在 I 上也连续．
证 要证：对任何 x0 ∈I , lim f ( x ) f ( x 0 ) .
x x0
由定理 13.8， lim lim lim f ( x ) x x lim f n ( x ) lim x x f n ( x ) n n

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。

| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第三讲
余项准则 一致收敛函数列的例
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法

又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |

? lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)

lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|

如 un ( x )满足条件 : 定理4′
n1
⒈ u C [a , b], ⒉ ⒊
u ( x )在[a, b]上一致收敛于g( x ), u ( x )至少一点x 处收敛,
n1 n 0 n1 ' n

' n
则un ( x)在[a, b]一致收敛, 其和S ( x) C[a, b],
一、连续性 ⒈ 定理1. f n ( x )在I上连续, 且f n ( x )一致收敛于f ( x ),
则f ( x )在I上连续.
定理1′ 若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
u ( x )在I上一致收敛于S ( x ),
n1 n

若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
都有 un ( x ) a n ,
则 un ( x )在I上一致收敛.
a 称为是 u ( x )的优级数,强级数,控制级数
n1 n n1 n


2.Dirichlet和Abel判别法
a
n1

n
( x )bn ( x )
Dirichlet判别法

a
n1 n

n
( x )bn ( x )
cos nx 在（ ， ）一致收敛， 例1. Ⅰ.n 2 1 n S ( x )在(,)连续

xn Ⅱ. S ( x ) n cos nx 2 ,求 lim S ( x ) x 1 n 0 3 n x un ( x ) , 3 n 2 x 2时, | un ( x ) | , 在[2,2]一致收敛. 3
S ( x ), un ( x ) R[a , b], 定理3' 设 un ( x ) 一致收敛

《数学分析中的一致收敛及其应用-初稿》摘要：由（ⅰ），任给，存在某正整数，使得当及任何正整数，对一切，有又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到 . 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论. 例16 证明函数项级数在上一致收敛，由（ⅰ），存在正数，对一切，有.因此当为任何正整数时， . 对任何一个，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到 . 再由（ⅲ），对任给的，存在正数，当时，对一切，有，所以， . 于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在上一致收敛. 例18 试判别的一致收敛性，因为，，所以 =，．例25 求的值. 解因为，，所以 . 4.4 一致收敛在求导中的应用例26 求在处的阶导数. 解:因为函数在处的泰勒级数为，所以可先将用间接方法展成的幂级数，然后从的系数中解出，进行两次积分：则，即 . 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用定理：设是一个数列，若存在一个函数，使得成立，则称为数列的生成函数. 例27 将一枚硬币不间断扔10次，求出现20的概率是多少目录 1.函数列级数和函数项级数及其一致性 3 1.1函数列级数及其一致收敛性 3 1.2函数项级数一致收敛性 4 2. 函数项级数一致收敛性的基本判别法 6 2.1 定义判别法 6 2.2 M判别法 6 2.3 莱布尼兹判别法 6 2.4 余项判别法 7 2.5 柯西准则 8 2.6 类数项级数判别法的函数项级数判别法 10 2.6.1 比式判别法 10 2.6.2 根式判别法 12 2.6.3 对数判别法 13 2.9 导数判别法 13 2.10 连续性判别法 14 2.11 迫敛性判别法 15 2.12 M判别法的推论 15 3. 关于函数项级数一致收敛的三个重要判别法 16 3.1 阿贝尔判别法 16 3.2 狄利克雷判别法 17 3.3 积分判别法 19 4. 一致收敛的应用 20 4.1 一致收敛在证明等式中的应用 20 4.2 一致收敛在证明不等式中的应用 20 4.3 一致收敛在计算极限中的应用 22 4.4 一致收敛在求导中的应用 22 4.5 一致收敛在概率组合计算中的应用 23 4.6 一致收敛在近似计算中的应用 24 4.7 一致收敛在计算积分中的应用 24 总结 26 参考文献 27 致谢 28 数学分析中的一致收敛及其应用摘要对函数列和函数项级数一致收敛性的研究，是为了解决函数列的极限函数和函数项级数的和函数的分析性质。

2015年11月23日星期一 11
例1 设函数
1 2 n x , 0 x , n 2n 1 1 f n ( x ) 2 n 2n n x , x , 2n n 1 x 1, 0, n
y
n 1, 2, .
(其图象如图13－6所示). 显然 { f n ( x )}是 [0, 1] 上的 连续函数列, 且对任意
O
1 2n
1 n
1
x
因此, { f n ( x )} 在 [0, 1] 上一致 收敛于 0 的充要条件是 n 0( n ) .
2015年11月23日星期一
13
fn ( x)
f ( x ) 当且仅当 lim n 0.
n

1
0
f n ( x )dx
n
2n
,
0
1
f n ( x )dx f ( x )dx 0 当且仅当 l i m n 0. 0 n
如
I
f(x).
f n ( x ) x n , x ( 1,1],
0, x 1, 其极限函数：f ( x ) 1, x 1.
所以 在x=1不连续，
fn ( x)
I
f(x).
7
2015年11月23日星期一
定理13.9
若 fn ( x)
f ( x)
x I,
则f ( x)也在I上连续 . 且n, f n ( x )在I连续，
即极限号与求导符号可交换。 注：在本定理条件下，可推出
fn ( x)
f ( x)
15
2015年11月23日星期一
证
设f n ( x0 ) A,

第十三章 函数列与函数项级数 2 一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8：设函数列{f n }在(x,x 0)∪(x 0,b)上一致收敛于f(x)，且对每个n ，x n lim →f n (x)=a n ，则∞→n lim a n 和0x n lim →f(x)均存在且相等.证：∀ε>0，∵{f n }一致收敛于f(x)，∴∃N>0，当n>N 和任意自然数p ， 对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)有，|f n (x)-f n+p (x)|< ε，∴|a n -a n+p |=0x n lim →|f n (x)-f n+p (x)|≤ε，∴{a n }是收敛数列. 设∞→n lim a n =A ，则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈(x,x 0)∪(x 0,b)同时有， |f n (x)-f(x)|<3ε和|a n -A|<3ε. 特别取n=N+1，有|f N+1(x)-f(x)|<3ε和|a N+1-A|<3ε. 又0xn lim →f N+1(x)=a N+1，∴∃δ>0， 当0<|x-x 0|<δ时，|f N+1(x)-a N+1|<3ε，从而当x 满足0<|x-x 0|<δ时，有 |f(x)-A|≤|f N+1(x)-f(x)|+|f N+1(x)-a N+1|+|a N+1-A|<3ε+3ε+3ε=ε， 即0xn lim →f(x)=A ，得证！注：定理13.8指出：∞→→n x n lim lim 0f n (x)=0xn n lim lim →∞→f n (x).定理13.9：(连续性)若函数列{f n }在区间I 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数f 在I 上也连续.证：设x 0为I 上任一点，∵0xn lim →f n (x)=f n (x 0)，由定理13.8知， 0x n lim →f(x)存在，且0x n lim →f(x)=∞→n lim f n (x 0)=f(x 0)，∴f(x)在I 上连续.注：定理13.9指出：各项为连续函数的函数列在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列在区间I 上不一致收敛. 如： 函数列{x n }各项在(-1,1]上都连续，但其极限函数f(x)=⎩⎨⎧=< 1x 11|x |0，，在x=1时不连续，所以{x n }在(-1,1]上不一致收敛.推论：若连续函数列{f n }在区间I 上内闭一致收敛于f ，则f 在I 上连续.定理13.10：(可积性)若函数列{f n }在[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰∞→b an lim f n (x)dx=⎰∞→ban n (x )f lim dx.证：设f 是{f n }在[a,b]上的极限函数. 由定理13.9，f 在[a,b]上连续， ∴f n (n=1,2,…)与f 在[a,b]上都可积. ∵在[a,b]上f n (x)⇉f(x) (n →∞), ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]都有|f n (x)-f(x)|<ε. 根据定积分的性质，当n>N 时，有⎰⎰-baban f(x)dx (x)dx f =f(x))dx (x)(f ban -⎰≤dx f(x )(x )f ban ⎰-≤ε(b-a).∴⎰∞→ban n(x )f lim dx=⎰ba f(x )dx =⎰∞→ba n lim f n (x)dx. 得证！例1：举例说明当{f n (x)}收敛于f(x)时，一致收敛性是极限运算与积分运算交换的充分条件，但不是必要条件.解：如f n (x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<≤ 1x n 10，n 1x n 21x ，2na -a 2n21x 0 ，x 2na n n n , n=1,2,…. 其图像如图：{f n (x)}是[0,1]上的连续函数列，且∀x ∈[0,1]，∞→n lim f n (x)=0=f(x). 又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=a n ，∴{f n (x)}在[0,1]上一致收敛于0的充要条件是：∞→n lim a n =0.∵⎰10n (x )f dx=2na n，∴⎰10n (x )f dx →⎰10f(x )dx=0的充要条件是：2n a lim n n∞→=0. 当a n ≡1时，{f n (x)}在[0,1]上不一致收敛于f(x)，但定理13.10仍成立. 而当a n =n 时，{f n (x)}不一致收敛于f(x)， 且⎰10n (x )f dx ≡21不一致收敛于⎰10f(x )dx=0.定理13.11：(可微性)设{f n }为定义在[a,b]上的函数列，若x 0∈[a,b]为{f n }的收敛点，{f n }的每一项在[a,b]上有连续的导数，且{f ’n }在[a,b]上一致收敛，则())x (f lim dx d n n ∞→=⎪⎭⎫⎝⎛∞→)x (f dx d limn n . 证：设)x (f lim 0n n ∞→=A ，f ’n ⇉g (n →∞), x ∈[a,b]，则对任一x ∈[a,b]，总有f n (x)=f n (x 0)+⎰'x x n 0(t)f dt. 两边对n →∞取极限得：)x (f lim n n ∞→=A+⎰xx 0g(t)dt ，又)x (f lim n n ∞→=f(x)，∴f(x)=A+⎰xx 0g(t)dt. 两边微分得证！推论：设函数列{f n }定义在区间I 上的，若x 0∈I 为{f n }的收敛点，且{f ’n }在I 上内闭一致收敛，则f 在I 上可导，且f ’(x)=())x (f lim n n '∞→.例2：举例一致收敛性是极限运算与求导运算交换的充分条件，但不是必要条件. 解：如函数列f n (x)=2n 1 ln(1+n 2x 2)及f ’n (x)=22x n 1nx+, n=1,2,… 在[0,1]上都收敛于0，即∞→n lim f n (x)=∞→n lim f ’n (x)=0，∴在[0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.又由][0,1x ∞n max lim ∈+→|f ’n (x)-f ’(x)|=nx 2nx lim∞n +→=21, 知 导函数列{f ’n (x)}在[0,1]上不一致收敛. 但对任意δ>0，有,1][δx sup ∈|f ’n (x)-f ’(x)|=22,1] [δx x n 1nx sup+∈≤22δn 1n+→0 (n →∞), ∴{f ’n }在(0,1]上内闭一致收敛. ∴在(0,1]上，∞→n lim f ’n (x)=(∞→n lim f n (x))’成立.定理13.12：(连续性)若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a,b]上也连续. 即有：∑⎪⎭⎫ ⎝⎛→(x)u lim nx n 0=()∑→(x)u lim n x n 0. 证：设x 0为[a,b]上任意一点，∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛于S(x). 则∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈[a,b]，有|S(x)-S n (x)|<3ε, |S n (x 0)-S(x 0)|<3ε, 又u n (x)在[a,b] 上连续(n=1,2,……)， ∴对取定的n>N ，S n (x)在[a,b]上连续，∴对上述的ε，∃δ>0， 当x ∈[a,b]，且|x-x 0|<δ时，|S n (x)-S n (x 0)|<3ε ，∴当x ∈[a,b]时，|S(x)-S(x 0)|=|S(x)-S n (x)+S n (x)-S n (x 0)+S n (x 0)-S(x 0)| ≤|S(x)-S n (x)|+|S n (x)-S n (x 0)|+|S n (x 0)-S(x 0)|<ε. 即S(x)在x 0连续， 从而在[a,b]上连续. 得证！定理13.13：(逐项求积) 若函数项级数∑(x)u n 在区间[a,b]上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰ba n (x )u dx =⎰∑ba n (x )u dx.定理13.14：(逐项求导) 若函数项级数∑(x)u n 在每一项都有连续的导函数，x 0∈[a,b]为∑(x)u n 的收敛点，且∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛，则∑⎪⎭⎫ ⎝⎛(x )u dx d n =()∑(x)u dxdn . 证：设∑'(x)u n 在[a,b]上一致收敛于S *(x)，∵u ’n (x)在[a,b]上连续， 由定理13.12知，S *(x)在[a,b]上连续. 又由定理13.13知，∀x ∈[a,b]， 有⎰xa *(t)S dt=⎰∑'ba n (t)u dt=∑⎰'xa n (t)u dt =∑(x)u n -∑(a)u n =S(x)-S(a). 等式两端对x 求导得：S ’(x)=S *(x)=∑'(x)u n ，得证！例3：设u n (x)=3n1ln(1+n 2x 2), n=1,2,…. 证明：函数项级数∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛，并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证：对每个n ，易见u n (x)在[0,1]上递增，且当t ≥1时，有ln(1+t 2)<t ， ∴u n (x)≤u n (1)=3n 1ln(1+n 2)<3n 1·n=2n1, n=1,2,… 又∑2n1收敛，∴∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛. 由每一个u n (x)在[0,1]上连续，知其和函数在[0,1]上的连续且可积.又u ’n (x)=)x n 1(n x2n 2232+=)x n 1(n 2x 22+≤)x n 1(n 2nx 222+≤2n 1, n=1,2,…知 ∑'(x)u n在[0,1]上一致收敛. ∴其和函数在[0,1]上可微.例4：证明：函数ζ(x)=∑∞=1n x n 1在(1,+∞)上有连续的各阶导函数. 证：记u n (x)=x n 1, u n (k)(x)=(ln n 1)k x n 1=(-1)k x knn ln , k=1,2,…. 对任意x ∈[a,b]⊂(1,+∞)，有|u n (k)(x)|=xkn nln≤a k nnln , k=1,2,….由∞→n lim 1)/2-(a k n n ln =0知，当n 充分大时，有1)/2-(a k n nln <1，从而 xk n n ln =1)/2-(a k 1)/2(a n n ln n 1⋅+<1)/2(a n 1+, 又∑+1)/2(a n 1收敛， ∴∑∞=1n (k )n (x )u 在[a,b]上一致收敛，从而∑∞=1n (k )n (x)u 在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴ζ(x)在(1,+∞)上有连续的各阶导函数，且ζ (k)(x)=(-1)k xkn nln, k=1,2,….习题1、讨论下列函数列在所定义的区间上：a. {f n }与{f ’n }的一致收敛性；b. {f n }是否有定理13.9~11的条件与结论.(1)f n (x)=nx n2x ++, x ∈[0,b]；(2)f n (x)=x-n x n , x ∈[0,1]；(3)f n (x)=nx 2-nx e, x ∈[0,1].解：(1)记∞n lim +→f n (x)=nx n2x lim∞n +++→=1=f(x)； b][0,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=nx xsupb][0,x +∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,b]上一致收敛性；记∞n lim +→f ’n (x)=2∞n n)(x nlim++→=g(x)； b][0,x sup ∈|f ’n (x)-g(x)|=2b][0,x n)(x nsup+∈→0 (n →∞)，∴{f ’n }在[0,b]上一致收敛性. 又∵f n (x)=nx n2x ++和f ’n (x)=2n)(x n +, n=1,2,… 在[0,b]上都连续， ∴{f n }有定理13.9~11的条件与结论.(2)记∞n lim +→f n (x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n x -x lim n ∞n =x=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=n x sup n[0,1]x ∈→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=∞n lim +→(1-x n-1)=⎩⎨⎧<≤=1x 01，1 x 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续， ∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性.又f n (x)=x-nx n, n=1,2,… 在[0,1]上都连续，∴{f n }有定理13.9~10的条件与结论，但不具有13.11的条件. 又f ’(x)=x ’=1≠∞n lim +→f ’n (x)，∴{f n }也不具有13.11的条件.(3)记∞n lim +→f n (x)=2-nx ∞n nx e lim +→=0=f(x)； [0,1]x sup ∈|f n (x)-f(x)|=2-nx [0,1]x nxe sup ∈=n ·2)1/2n n(e n21-=1/2e 2n →∞ (n →∞)，∴{f n }在[0,1]上不一致收敛性；记g(x)=∞n lim +→f ’n (x)=2-nx ∞n ne lim +→(1-2nx 2)=⎩⎨⎧=∞+≤<0x ，1x 0 0，；∵{f ’n (x)}各项在[0,1]上连续，而g(x)在[0,1]不连续，∴{f ’n }在[0,1]上不一致收敛性. 从而{f n }不具有定理13.9~11的条件. ∵f(x)=0在[0,1]上连续，∴{f n }有定理13.9的结论.∵⎰+→10nx -∞n 2nx e lim dx=⎰+→10nx -∞n 2e 21lim d(nx 2)=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→n ∞n e 2121lim =21≠⎰+→10n ∞n )x (f lim dx=0. 又{f ’n (x)}在x=0不收敛；∴{f n }不具有定理13.10~11的结论.2、证明：若函数列{f n }在[a,b]上满足定理13.11的条件，则{f n }在[a,b]上一致收敛.证：设f ’n (x)⇉g(x) (n →∞), x ∈[a,b]，则∀ε>0，∃N 1>0，当n>N 1时， 对一切t ∈[a,b]，有|f ’n (t)-g(t)|<)a b (2ε-； 又f n (x)点x 0收敛，∴对上述的ε>0，∃N 2>0，当n>N 2时，有|f n (x 0)-f(x 0)|<2ε. ∵对任意x,x 0∈[a,b]有f n (x)=f n (x 0)+⎰'xx n 0(t)f dt ，∴f(x)=∞→n lim f n (x)=f(x 0)+⎰xx 0g(t)dt. 取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时，有∴|f n (x)-f(x)|=|f n (x 0)-f(x 0)+[]⎰'xx ng(t)-(t)f dt | ≤|f n (x 0)-f(x 0)|+|⎰'xx ng(t)-(t)f dt |<ε. 得证.3、设S(x)=∑∞=1n 21-n nx , x ∈[-1,1]，计算积分⎰x 0S(t)dt .解：∵21-n n x ≤2n 1, x ∈[-1,1]，由M 判别法知∑∞=1n 21-n n x 在[-1,1]上一致收敛.又21-n n x (n=1,2,…)在[-1,1]上连续，∴⎰x 0S(t)dt =∑⎰∞=1n x 021-n dt n t =∑∞=1n 3nnx .4、S(x)=∑∞=1n nn cosnx , x ∈R ，计算积分⎰x0S(t)dt .解：∵nn cosnx ≤nn 1, x ∈R ，由M 判别法知∑∞=1n nn cosnx 在R 上一致收敛.又nn cosnx (n=1,2,…)在R 上连续，∴⎰x0S(t)dt =∑⎰∞=1n xdt nn cosnt =∑∞=1n 2nnsinnx .5、S(x)=∑∞=1n nx -ne , x>0，计算积分⎰ln3ln2S(t)dt .解：由(ne -nx )’=-n 2e -nx <0，知ne -nx 单调减，∴对任何x ∈[ln2,ln3]，有 ne -nx ≤ne-nln2=n 2n . 又由n n 2n =2n n→21<1 (n →∞)，知∑n 2n收敛.∴∑∞=1n nx -ne 在[ln2,ln3]上一致收敛. 又ne -nx (n=1,2,…)在[ln2,ln3]上连续，∴⎰ln3ln2S(t)dt =∑⎰∞=1n ln3ln2nt-dt ne =∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-1n n n3121=21.6、证明：函数f(x)=∑3n nxsin 在R 上连续，且有连续的导函数. 证：∵3n nx sin ≤3n 1, x ∈R ，由M 判别法知∑3nnxsin 在R 上一致收敛. 又3nnxsin (n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上连续. ∵|(3n nx sin )’|=|2n cosnx |≤2n 1，由M 判别法知∑2n cosnx在R 上一致收敛.又2ncosnx(n=1,2,…)在R 上连续，∴f(x)在R 上有连续的导函数.7、证明：定义在[0,2π]上的函数项级数∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π0n n dt cosnx r =2π. 证： ∵|r n cosnx|≤r n (0<r<1), x ∈[0,2π]，又∑ r n (0<r<1)收敛， 由M 判别法知∑∞=0n n cosnx r 在[0,2π]上一致收敛.又r ncosnx 在[0,2π]上连续，∴∑∞=0n n cosnx r (0<r<1)满足定理13.13条件，且⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=2π0n n dx cosnx r =∑⎰∞=0n 2π0ncosnx dx r . 又⎰2π0dx =2π，⎰2π0cosnx dx =0(n=1,2…)∴⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=2π00n n dt cosnx r =2π.8、讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性：(1)f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…, x ∈[-L,L]； (2)f n (x)=1nx nx+, n=1,2,…, I. x ∈[0,+∞)；II. x ∈[a,+∞) (a>0). 解：(1)∵∞n lim +→f n (x)=0=f(x), x ∈[-L,L]，且L][-L,x sup ∈|f n (x)-f(x)|=L][-L,x sup ∈| x 2-nx e |≤2ne1→0 (n →∞)，∴{f n (x)}在[-L,L]上一致收敛于0，且其极限函数f(x)=0在[-L,L]上连续可积可微. 又f n (x)=x 2-nx e ,n=1,2,…在[-L,L]上连续，∴()⎰+→LL -n ∞n dx (x )f lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+→LL -n ∞n (x)dx f lim . ∵f ’n (x)=2-nx e(1-2nx 2), 且(x)f lim n ∞n '+→=⎩⎨⎧=≠≤≤ 0x 10x L x L -0，，且， ∴[(x)f lim n ∞n +→]’≠(x)f lim n ∞n '+→.(2)∵f(x)=∞n lim +→f n (x)=1=⎩⎨⎧+∞<≤<=x a 010x 0，，,且)[a,x sup +∞∈|f n (x)-f(x)|=1nx 1-sup)[a,x ++∞∈=1na 1+→0 (n →∞)， ∴{f n (x)}在[a,+∞) (a>0)上一致收敛于1，在[0,+∞)上内闭一致收敛. ∴其极限函数不在[0,+∞)上连续可积可微；但在[a,+∞) (a>0)上其极限函数f(x)=1连续可微，但不可积.9、证明：函数S(x)=∑xn 1在(1,+∞)上连续，且有连续的各阶导数. 证：∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，则0<x n 1≤p n1，由M 判别法，知 ∑x n 1在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. 又x n 1在(1,+∞)上连续，∴S(x)在(1,+∞)上连续. 又)k (x n 1⎪⎭⎫ ⎝⎛=x k kn n ln )1(-, k=1,2,…在(1,+∞)上连续. ∀x ∈(1,+∞)，取1<p<x ，使x k kn n ln )1(-≤p k n n ln . 固定k ，取q>p>1， 由p k n n ln /q n 1=q -p k n n ln →0 (n →∞)，及∑q n1收敛，知∑p k n n ln 收敛， ∴∑-x k kn n ln )1(在[p,+∞)上一致收敛，在(1,+∞)上内闭一致收敛. ∴S (k)(x)=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛)k (x n 1=∑-x k kn n ln )1( 在(1,+∞)上连续. 得证！10、设f 在(-∞,+∞)上有任何阶导数，记F n =f (n), 且在任何有限区间内F n ⇉φ (n →∞)，试证：φ(x)=ce x (c 为常数). 证：由条件可知φ’(x)=[∞n lim +→f (n)(x)]’=∞n lim +→[f (n)(x)]’ =∞n lim +→f (n+1)(x)=φ(x). 即有φ(x )(x )φ'=1，两边取积分得：⎰'φ(x )(x )φdx =⎰dx +C ，即⎰φ(x )1d φ(x) =x+c 1， ∴ln φ(x)=x+c 1，即φ(x)=1c x e +=1c e e x =ce x (其中c=1c e 为常数).。

y S(x)
y Sn (x)
I
x
定理(柯西收敛原理)

un ( x)在I上一致收敛于S( x) 0, N ( ) N ,
n1
当n N ( )时, x I ,p N , un1( x) un p( x) .

推论 若 un ( x)在I上一致收敛，则 {un( x)}在I上一致 n1
即 0, N ( x0 , ) 0,当n N ( x0 , )时, | fn ( x0 ) f ( x0 ) |
定义 设 fn(x)在点集I上逐点收敛于f (x)，且对
任意 0, 存在与x无关N ( ), 使得当n N时, 对一
切x I , 都有 fn(x) f (x) , 则称 fn(x)在I上一
>
N
时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S(x) 1 . x 1
余项 rn (x) 一致收敛于 0
几何解释 : (如图)
0, N N , 当n > N 时, S(x) Sn (x) 表示 曲线 y Sn (x) 总位于曲线 y S(x) 与y S(x)
之间.
y S(x)
y S(x)


例.
求证fn ( x)

1
x n2
x2
在(, )上一致收敛.
证明： x (, ),
lim
n
fn ( x)

x
lim
n
1

n2
x
2

0, 逐点收敛于f ( x)

是单调递减的．
又对任意
故
由狄利克雷判别法知
致收敛．
（3）因为|x|＞r≥1，所以
在
上一
当 r＞1 时，因级数
收敛，所以 在| x |＞r＞1 上一致收敛．
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当 r＝1 时，
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所以级数
上不一致收敛．
（4）因
时．
，而
上不一致收敛． 考虑区间[0，M]时，
所以 在[0，M]上一致收敛且
上内闭一致收敛．
（5）任意给定的
（i）
，考虑区间[－1，1]时，
由（ii）知 在[0，＋∞）
（ii）D＝（－∞，＋∞）时．
故 但由（i）知 在
所以
在（－∞，＋∞）上不一致收敛．
上内闭一致收敛．
2．证明：设
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若对每一个正整数 n 有
证明：必要性
总存在 的一个邻域 和 I 的一个内闭区间[a，b]，使得
所以
而 在[a，b]上一致收敛于 f，因此 在
上一致收敛于 f．
充分性
由已知
使得 在
上一致收敛于
f．从而
当
时
有
显然，当
取遍[a，b]上所有点时，
覆盖[a，b]．由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b]．不妨设
取
，则当 n＞N 时，
证明：不妨设存在 M≥0，对任意
有|g（x）|＜M．因
在 D 上一致收敛于
S（x），故对任意
存在 N＞0，当 n＞N 时，对任意
，均有
从而，对任意
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x x0
f ( x),
且对每个 n,
lim f n ( x ) a n , 则 lim a n 和 lim f ( x ) 均 存 在 且 相 等 . 即
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
n x x0
(1 )
证 先证 { a n } 是收敛数列. 对任意 对一切
a 由于 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) ， n 收敛于A , 因此对任
意 0,
存在正数 N , 当 n
有
| f n ( x ) f ( x ) |
N
时, 对任意 x ( a , x 0 )
( x0 ,b) ,

3
和
| a n A |

3
同时成立. 特别当 n
,
n 1, 2 ,
在 [0 , 1] 上都收敛于0, 由于
lim m a x | f n ( x ) f ( x ) |
n x [ 0 , 1 ]
1 2
,
所 以 导 函 数 列 { f n ( x )} 在 [ 0 , 1] 上 不 一 致 收 敛 , 但 有
lim f n ( x ) 0 [ lim f n ( x )] .
致收敛于 f , 请读者自己证明.
与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看下例.
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例2 函数列
fn ( x ) 1 2n nx 1 n x
2 2
ln (1 n x ),
2 2
n 1, 2 ,
与

第十三章 函数列与函数项级数§ 1 一致收敛性一．函数列及极限函数：对定义在区间I 上的函数列)}({x f n ，介绍概念：收敛点，收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ），极限函数等概念.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N −ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞−内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N −ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (−, 且∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n x =⎩⎨⎧=<.1 , 1 ,1 || , 0 x x 例2 )(x f n=n nxsin . 用“N −ε”定义验证在) , (∞+∞−内∞→n lim )(x f n =0. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: ) (∞→n .⑴ )(x f n=x x xx n n n n −−+−. )(x f n →,sgn x R ∈x .⑵)(x f n =121+n x.)(x f n →,sgn x R ∈x .⑶ 设L L ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令)(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x L L 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.⑷)(x f n =2222x n xe n −. )(x f n →0, R ∈x . ⑸ )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤−<≤−−+ . 121 , 0,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n nn nn有)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n . （ 注意∫≡101)(dx x f n .）二. 函数列的一致收敛性:问题: 若在数集D 上)(x f n →)(x f , ) (∞→n . 试问: 通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()∫∫∞→≠110)(lim )(dxx f dx x f n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限 函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓 “整体收敛”的结果.定义 ( 一致收敛 )一致收敛的几何意义.Th1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列}{n f 在数集D 上一致收敛,⇔N , 0∃>∀ε, , , N n m >∀⇒ ε<−n m f f .( 介绍另一种形式ε<−+n p n f f .)证 )⇒ ( 利用式.f f f f f f n m n m −+−≤−))⇐ 易见逐点收敛. 设∞→n lim)(x f n =)(x f ,……,有2 |)()(|ε<−x f x f n m .令∞→m , ⇒εε<≤−2|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)(x f n⎯→⎯⎯→⎯)(x f ,) (∞→n ，∈x D .系1 在D 上nf ⎯→⎯⎯→⎯f , ) (∞→n ，⇔ 0|)()(|sup lim =−∞→x f x f n Dn . 系2 设在数集D 上)(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使0 |)()(|→/−n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .应用系2 判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常选 n x 为函数=)(x F n )(x f n ―)(x f 在数集D 上的最值点.验证函数一致收敛性:例4 )(x f nn nxsin =. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5)(x f n 2222x n xe n −=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛. 证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n −= )(x f n 在点n x =n 21处取得极大值22121→/=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n不一致收敛. 例6221)(x n xx S n +=. 证明在) , (∞+∞−内)(x S n ⎯→⎯⎯→⎯0, ) (∞→n .证 易见 ∞→n lim.0)()(==x S x S n 而n nx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=− 在) , (∞+∞−内成立.由系1 , ⇒ ……例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<−≤≤=. 11 , 0),, 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n L证明: ∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛. [1]P 38—39 E3, 参图.证 10≤<x 时, 只要1−>x n , 就有)(x f n=0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有 )(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.例8)(x f n =12sin2+n x. 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:⑴ )0( , ] , [>−l l l ; ⑵ ) , 0 [∞+.Ex [1]P 44—46 1⑴—⑸，2，9⑴； P 53—54 1⑴，2，3⑴.三. 函数项级数及其一致收敛性:1． 函数项级数及其和函数：，∑)(x un, 前n 项部分和函数列)}({x S n ，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.例9 定义在) , (∞+∞−内的函数项级数( 称为几何级数 )LL +++++=∑∞=n n nx x x x201的部分和函数列为 )1 ( 11)(≠−−=x x x x S nn , 收敛域为) 1 , 1 (−.2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 ( Cauchy 准则 ) 级数∑)(x un在区间D 上一致收敛, ⇔ N ,0∃>∀ε,, , N ∈∀>∀p N n ⇒ ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n L 对∈∀x D 成立.系 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛, ⇒ nu )(x ⎯→⎯⎯→⎯0, ) (∞→n .Th3 级数∑)(x u n在区间D 上一致收敛, ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =−∈x S x S n x D.例10 证明级数∑∞=−+−121) 1(n n n x在R 内一致收敛 .证 令n u )(x =n x n +−−21) 1(, 则∞→n 时≤++−+−++=+++++++ |) 1(11||)()()(|21221pn x n x x u x u x u p p n n n L L11112→+≤++≤n n x 对∈∀x R 成立. ……例11 几何级数∑∞=0n nx在区间] , [a a −)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(−内非一致收敛.证 在区间] , [a a −上 , 有11sup |)()(|sup ],[],[→−=−−=−−−a a a x x S x S n na a n a a , ) (∞→n . ⇒∑一致收敛 ;而在区间) 1 , 1(−内 , 取∈+=1n nx n ) 1 , 1(−, 有∞→⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≥−=−−−−1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nn n n n n nn n n x x x S x S , ) (∞→n . ⇒∑非一致收敛.( 亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(−内非一致收敛于零,⇒ ∑非一致收敛.)几何级数∑∞=0n nx虽然在区间) 1 , 1(−内非一致收敛 , 但在包含于) 1 , 1(−内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数∑∞=0n nx在区间) 1 , 1(−内闭一致收敛 .Ex [1]P 44—45 1 ⑹⑺， 4，6.四. 函数项级数一致收敛判别法:1.M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass 判别法 ) 设级数∑)(x un定义在区间D 上,∑nM是收敛的正项级数.若当n 充分大时, 对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤, 则∑在D 上一致收敛 .证,|)(| )( 1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤pi pi i n pi i n i n pi i n M M x u x u 然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数∑)(x un在区间D 上存在优级数 , 则级数∑)(x u n在区间D 上一致收敛 . 应用时, 常可试取|})({|sup x u M n Dx n∈=.但应注意, 级数∑)(x u n在区间D 上不存在优级数 , ⇒/ 级数∑)(x u n在区间D 上非一致收敛. 参阅[1]P 45 8.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在.例12 判断函数项级数∑∞=i n n nx 2sin 和 ∑∞=i n n nx 2cos 在R 内的一致收敛性 . 例13 设) , 2 , 1 ( )(L =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明 : 若级数∑)(a un与∑)(b un都绝对收敛, 则级数∑)(x un在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.……2. Abel 判别法:Th 5 设 ⅰ> 级数∑)(x un在区间I 上收敛; ⅱ> 对每个∈x I , 数列)}({x v n单调 ; ⅲ> 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M , 使对I ∈∀x 和n ∀, 有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 . ( [1]P 43 )3。

13 2一致收敛函数列与函数项级数的性质13&period;2一致收敛函数列与函数项级数的性质§2 一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性．教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别．(1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．(2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明．教学建议：(1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论．(2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题．教学过程：主要讨论连续性、可积性、可微性。

定理13.2.1 设函数列{f n (x ) }在(a , x 0) ⋃(x 0, b ) 上一致收敛于 f (x ) ，且对∀n ，x →x 0li m f n (x ) =a n ，则lim a n 、lim f (x ) 均存在，且相等，即 n→∞x →x 0lim lim f n (x ) =lim lim f n (x ) 。

（即在一致收敛的条件下两种极限可换序）n →∞x →x 0x →x 0n →∞定理13.9（连续性）若函数列{f n (x ) }在区间I 上一致收敛于f (x ) ，且对∀n ，f n (x ) 在I 上连续，则f (x ) 在I 上也连续。

说明：若各项为连续函数的函数列{f n (x ) }在区间I 上其极限函数不连续，则此函数列{f n (x ) }在区间I 上不一致收敛。

如：x n 在(-1, 1]上。

定理13.10（可积性）若函数列{f n (x ) }在[a , b ]上一致收敛，且每一项都连续，则⎰lim f n (x ) dx =lim ⎰f n (x ) dx 。

a n →∞n →∞a b b {}注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序；注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。