过零点的纵坐标log

对数与对数函数题型一 对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)转化：①利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算．(2)恒等式：关注log a 1＝0，log a a N ＝N ，a log aN ＝N 的应用．(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln2)＝8，则a ＝________. 【解析】设x >0，则－x <0.∵当x <0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝e －ax，∴f (ln2)＝e－a ln2＝(e ln2)－a ＝2－a .又f (ln2)＝8，∴2－a ＝8，∴a ＝－3.【例2】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于________．【解析】由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2，所以m 2＝10，所以m ＝10.【例3】已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．【解析】由题意3b ＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab 2a ＋ab.【例4】．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25等于( )A ．0B ．2C ．4D ．6【解析】log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝2log 23×log 24log 23＋log 5(102×0.25)＝4＋2＝6.题型二 对数函数的图象及应用1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降. (2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎪⎭⎫⎝⎛11，a ，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【例1】已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【解析】因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg(ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－log b x ＝－log1a x ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确． 【例2】在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x 的图象过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21-上单调递减．因此，D 中的两个图象符合．当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，在R 上单调递增，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)，在R 上单调递减，函数y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x 的图象过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21-上单调递增．显然A ，B ，C 都不符合．故选D.题型三 对数函数的性质及应用考查视角一 比较大小比较对数值大小的常见类型及解题方法【例1】已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 【解析】因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5. 因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A. 【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b【答案】D【解析】因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c >a .因为b ＝ln2＝1log 2e <1<log 2e ＝a ，所以a >b .所以c >a >b .考查视角二 解对数不等式 求解对数不等式的两种类型及方法注意对数式的真数大于零，且不等于1.【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】若a >0，则log 2a >log 12a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12(－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，所以－1<a <0.综上知，实数a 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．【例4】已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．【解析】原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②， 解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2131，考查视角三 与对数函数有关的函数性质问题 1.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的具体步骤【例5】函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(2，＋∞)【解析】题中隐含a >0，∴ 2－ax 在区间[0,1]上是减函数．∴y ＝log a u 应为增函数，且u ＝2－ax 在区间[0,1]上应恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1<a <2.【例6】．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4. 因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4， 所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不符合题意． 故a ∈(1,2]．．【例5】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】(1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立．所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，.(2)t (x )＝3－ax ，因为a >0，所以函数t (x )为减函数． 因为f (x )在区间[1，2]上为减函数，所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.题型四 数形结合法在对数函数问题中的应用【例1】设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝0C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1 【解析】作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1<0，x 2<0，不妨令x 1<x 2，则x 1<－1<x 2<0，所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1<10x 2，即lg(－x 1)<－lg(－x 2)，由此得lg(x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1，故选D. 【例2】设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________． 【解析】由题意知，在(0，10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点， 所以ab ＝1，0<c <lg10＝1， 所以abc 的取值范围是(0，1)．巩固提升1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－12 D.22【解析】⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝log 212＝－1.故选A.2．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a 【解析】因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a . 故选B.3.(2020·吕梁模拟)已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <c <b D ．a <b <c 【解析】1<a ＝log 35＝12log 325<12log 327＝1.5，b ＝1.51.5>1.5，c ＝ln2<1，所以c <a <b ，故选A.4.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )【解析】.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5.设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( ) A ．ab ＜a ＋b ＜0 B ．a ＋b ＜ab ＜0 C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab【解析】因为a ＝log 0.30.4＞log 0.31＝0，b ＝log 30.4＜log 31＝0，所以ab ＜0，又a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.40.3＋log 0.43＝log 0.40.9∈(0,1)，所以0＜a ＋bab ＜1，所以ab ＜a ＋b ＜0.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1D ．10－10.1【解析】由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.故选A.7.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y【解析】.设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1,x ＝2t,y ＝3t,z ＝5t,因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，所以t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x .8.(2020·黄石模拟)已知2log 311=x x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足331x ⎪⎭⎫ ⎝⎛＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2【解析】由题意可知x 3是函数y 1＝x⎪⎭⎫⎝⎛31与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝x⎪⎭⎫⎝⎛31与y 2＝log 3x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 02log 311<=x ，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.9.已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0,2)上单调递增B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称【解析】f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴D 错误．故选C.10.(2020·湖北宜昌一中模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，且b ＝lg0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 【解析】由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5，又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2，∴复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,5)，∵函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg0.9<0，1<c ＝20.9<2，所以b <c <a . 11.(2020·北京海淀模拟)如图，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3【解析】因为直线BC ∥y 轴，所以B ，C 的横坐标相同；又B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，所以|BC |＝2.即正三角形ABC 的边长为2.由点A 的坐标为(m ，n )，得B (m ＋3，n ＋1)，所以⎩⎨⎧n ＝log 2m ＋2，n ＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以log 2m ＋2＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以m ＝ 3.12．(2020·郑州模拟)函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足在D 内是单调函数且存在[m ，n ]⊆D 使f (x )在[m ，n ]上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡22n m ，，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a ＞0且a ≠1)是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛410，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C ．(0，＋∞) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，41 【解析】因为函数f (x )＝log a (a x ＋t )(a ＞0且a ≠1)在其定义域内为增函数，若函数f (x )为“半保值函数”；则f (x )＝12x 必有两个不同的实数根，log a (a x ＋t )＝12x ⇔a x ＋t ＝ax 2⇔a x －a x2＋t ＝0，令s ＝a x2，则关于s 的方程s 2－s ＋t ＝0有两个不同的正根．所以Δ＝(－1)2－4t ＞0，结合t ＞0，知t ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛410，.13.已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________．【解析】由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178.14．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________． 【解析】由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.15.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6≥4.因为f (x )的值域为[4，＋∞)，所以当a ＞1时，3＋log a x ＞3＋log a 2≥4，所以log a 2≥1，所以1＜a ≤2；当0＜a ＜1时，3＋log a x ＜3＋log a 2，不符合题意．故a ∈(1,2]．16．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________． 【解析】因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得n m＝9.17.已知函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.【解析】函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点A (2,0)，因为点A 在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，所以22＋b ＝0，所以b ＝－4.f (x )＝2x －4.所以f (log 23)＝2log 23－4＝3－4＝－1.18．已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________．【解析】①当a >1时，y ＝log a x 在[2,4]上为增函数．由已知得log a 4－log a 2＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2.②当0<a <1时，y ＝log a x 在[2,4]上为减函数．由已知得log a 2－log a 4＝1，所以log a 12＝1，所以a ＝12. 综上可知，a 的值为2或12. 19.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，则a 的取值范围是________．【解析】当0＜a ＜1时，函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，当a ＞1时，若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，则x 2－ax ＋1≤0有解，所以Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2，综上可知，a 的取值范围是(0,1)∪[2，＋∞)．20.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为________．【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，因为f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，所以函数g (x )在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以12a ≤2且g (2)＞0，所以a ≤4且4＋a ＞0，所以－4＜a ≤4.21.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值．【解析】(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值是f (1)＝log 24＝2.22．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．【解析】(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)，可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1，可得g (x )的定义域为(－1，1)．(3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增，可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第10讲函数零点专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根， 由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数， 从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解， 因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-，在区间（－1，1）上有两个不同的所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<， 所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x <当x →-∞时，所以若有最小值，只需要2∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2021·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1ex =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2.练．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln2ln2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩… ，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩剟 ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，74<b <2， 故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭. 例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2021福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝； 设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x x x x e e x x e e --∴＝，＝， 得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．例3-4（两个曲线）49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点， 即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==． 又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B．f x满足（两个曲线）【2021河北省武邑中学高三】若定义在R上的偶函数() ()()=，则函数()3logf x xy f x x=-的零点个数是+=，且当[]2x∈时，()f x f x0,1（）A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个【答案】B|x|的图象，【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x）=x，|x|的零点的个数等于函数故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：（x）的图象与函数y=log3显然函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（直接解出零点）（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，根据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只需要讨论21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数， 当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x =sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x =或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =有三解，sin x =有三解， 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解， 根据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16， 故选：C.类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402 【答案】A 【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数． 【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-， 所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=， 则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>， 令()0f x '=，解得e2x =，所以当e0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期， 所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意； （2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满足题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称， 所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =， 所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24 【答案】A 【分析】首先判断()f x 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称， 则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61i i i x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36 【答案】C 【分析】根据题意可得函数()f x是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4y k x=与()4=-的交点的横坐标，又函数=--的所有零点转化为()y f xg x f x k x()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合y k x即可求出结果.【详解】∵定义在R上的奇函数()=-，故图象关于1f x f x2f x满足()()x=对称，∴()()2+=-，f x f x--=-，故()()2f x f x∴()()()f x f x f x+=-+=，即周期为4，42又()f x一个对称中心，f x定义在R上的奇函数，所以(4,0)是函数()又因为当[]=，作出函数()f x的草图，如下：f x xx∈-时，()31,1函数()()()4=与()4y k x=-的交点的横坐标，y f xg x f x k x=--的所有零点即为()易知函数()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，y k x又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428ni i x ==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的使用例5-1．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++<【分析】根据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解.根据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=.当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<； 当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A根据分段函数解析式研究()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需研究()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=， 由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<， 由1()21g x x x=-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x<-+<，所以10932t <<故选：A.例5-3（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B．①③C．②③D．①②③ 【答案】D 【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，根据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案根据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d d d-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可，1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.例5-4．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ， 设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-， 所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则t所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 =t ()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________. 【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则根据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<， 作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<， 所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()t h t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________． 【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求． 【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满足一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得： .即 的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x xax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >， 因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->， 因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a '==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+， 因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-， 令()()211g a a a a =-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ． 故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=， 把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题 类型二：复杂函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合使用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围． 【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=， 令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有x y xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析.（1）求出导数()'f x ，按a 分类讨论确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论． 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e x x xx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2xg x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11x g x x x x '=+--⎛⎫⎪⎝⎭.设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-. 列表如下：由表格，可得()g x 的极小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关 思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数 类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2021·江苏高三开学考试）已知函数()ln a f x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<.（2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时显然不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证； 【详解】（1）证明：由()ln af x x x=+，0x >，可得()21af x x x '=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符.当0a >时，令()210af x xx '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.可得当x a =时，()f x 取得极小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln a f x x x=+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的极小值点为x a =，则120x a x <<<.设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--， 所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭.又因为()ln 1th t t =-，则()()211l n 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t t t +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x ，h′(x)＝2－πcos x ，显然h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x ＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞. 由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．知识梳理1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1，log a Na＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．3．对数函数的图象与性质y＝log a x a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．常用结论1．log a b·log b a＝1，log n m ba ＝nm log a b.2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．(×)(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．(√) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点． 答案(3,2) 解析∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案4解析(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3．若函数y＝log a x(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝.答案12或2解析当a>1时，log a4－log a2＝log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2－log a4＝－log a2＝1，∴a＝12，综上有a＝12或2.题型一对数式的运算例1(1)设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.10B．10C．20D．100 答案A解析2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝log m2＋log m5＝log m10＝2，∴m2＝10，∴m＝10(舍m＝－10)．(2)计算：log 535＋212log 2－log 5150－log 514＝.答案2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋12log (2)2＝log 535150×14＋12log 2＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1(1)已知a>b>1，若log a b＋log b a＝52，ab＝b a，则a＋b＝.答案6解析设log b a＝t，则t>1，因为t＋1t＝52，所以t＝2，则a＝b2.又a b＝b a，所以b2b＝2b b，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.所以a＋b＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.题型二对数函数的图象及应用例2(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1 答案A解析由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a <b <1. (2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为()A．e2＋ln2B．e＋ln2C．2D．4答案C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝log a x ＋b 的图象如图所示，那么函数g (x )＝a x ＋b 的图象可能为()答案D解析结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·西安调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则()A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3答案D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1比较指数式、对数式大小 例3(1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则() A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b 答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则() A ．b <c <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案C解析因为a ，b ，c 都是正数，所以1a ＝log 36＝1＋log 32，1b ＝log 612＝1＋log 62，1c ＝log 1224＝1＋log 122，因为log 32＝lg2lg3，log 62＝lg2lg6，log 122＝lg2lg12，且lg3<lg6<lg12，所以log 32>log 62>log 122，即1a >1b >1c ，所以a <b <c .命题点2解对数方程不等式例4若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3对数性质的应用例5已知函数f (x )＝ln2x ＋12x －1，下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )为奇函数；②f (x )为偶函数；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减； ④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增． 答案①③解析f (x )＝ln 2x ＋12x －1，令2x ＋12x －1>0， 解得x >12或x <－12，∴f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞， 又f (－x )＝ln －2x ＋1－2x －1＝ln 2x －12x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋12x －1－1 ＝－ln 2x ＋12x －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故①正确，②错误；又f (x )＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， 令t ＝1＋22x －1，t >0且t ≠1，∴y ＝ln t ， 又t ＝1＋22x －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减， 且y ＝ln t 为增函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，故③正确； 又f (x )为奇函数，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，故④不正确． 教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a答案B解析∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1，∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3(1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0， 即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ≥2，－log ax －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是． 答案⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则()A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案D解析a＝12＝log77>b＝log75，c＝log87>log88＝12＝a，所以c>a>b.2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于()A．log2x B.12x C．12log x D．2x－2答案A解析函数y＝a x(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝log a x，又f(2)＝1，即log a2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.3.函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()①a>1；②0<c<1；③0<a<1；④c>1.A．①②B．①④C．②③D．③④答案C解析由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.4．(2022·银川模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是()A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案C解析由题意可得，0≤10·lg I I 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，12log (－x )，x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是() A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案C解析由题意得⎩⎨⎧a >0，log 2a >12log a 或⎩⎨⎧a <0，12log (－a )>log 2(－a )， 解得a >1或－1<a <0.6．(2022·汉中模拟)已知log 23＝a ,3b ＝7，则log 2156等于() A.ab ＋3a ＋ab B.3a ＋b a ＋ab C.ab ＋3a ＋b D.b ＋3a ＋ab答案A解析由3b ＝7，可得log 37＝b ，所以log 2156＝log 3(7×23)log 3(3×7)＝log 37＋log 323log 33＋log 37＝b ＋3×1a1＋b ＝ab ＋3a ＋ab .7．(2022·海口模拟)log 327＋lg25＋lg4＋7log 27＋13(8)-的值等于． 答案72解析原式＝log 3323＋lg52＋lg22＋2＋133(2)⨯-＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋(－2)＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋(－2)＝32＋2＋2＋(－2)＝72.8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是． 答案(4，－1)解析令x －3＝1，则x ＝4，∴y ＝log a 1－1＝－1，故点P 的坐标为(4，－1)．9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解(1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )， 且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )， 令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14， 因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12， 因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增， 所以y max ＝log 212＝2＋log 23， 即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解(1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x>0， 2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab <1，∴ab <a ＋b <0.12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则()A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y答案D解析设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．函数f (x )＝log 2x ·2log (2x )的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14， 当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 14．已知函数f (x )＝|log 2x |，实数a ，b 满足0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析∵f (x )＝|log 2x |，∴f (x )的图象如图所示，又f (a )＝f (b )且0<a <b ，∴0<a <1，b >1且ab ＝1，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取等号．又0<a <b ，故a ＋b >2.15．(2022·贵阳模拟)若3a＋log3a＝9b＋2log9b，则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b2答案B解析f(x)＝3x＋log3x，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵3a＋log3a＝32b＋log3b，∴f(2b)＝32b＋log3(2b)>32b＋log3b＝3a＋log3a＝f(a)，∴2b>a.16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．解(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．由f(x)>2，得log2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x>8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)， 所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根， 即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根． 所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根． 令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0， 所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m>0，解得m<0.所以实数m的取值范围是(－∞，0)．。