函数零点易错点分析

函数零点易错点分析

【摘要】函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习文章就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助。

【关键词】函数零点函数图象零点判定剖析

函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习。下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助。

1．因“望文生义”而致误

错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点。而函数的零点是一个实数，即使f(x)=0成立的实数x，也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

正解：由f(x)=x2-3x+2=0得，x＝１和２，所以选Ｄ．

点拨：求函数的零点有两个方法：⑴代数法：求方程f(x)=0的实数根；⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标，

即是所求。

2．因函数的图象不连续而致误

错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数f(x)=x+ 1 x 的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理。

正解：函数的定义域为：(+∞,0)∪（0，+∞），当x＞0时，f(x)＞0，当x ＜0时，f(x)＜0所以函数没有零点。也可由x+ 1 x得x2+1=0方程无实数解。

点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性。若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0 ,则在区间(a,b) 内，函数f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b) 至少有一个实数解。然而对于函数的f(x)，若满足f(a)f(b)＜0 ，则f(x) 在区间［a,b］内不一定有零

点；反之，f(x)在区间［a,b］内有零点也不一定有f(a)f(b)＜0．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根。如下图所示：

3．因函数值同号而致误

例３．判定函数f(x)=|2x|-3在区间［-1,1］内是否有零点。

错解：因为f(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)f(1)＞0 ，函数f(x)=|2x|-3在区间［-1,1］内没有零点。

错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数f(x)在区间［a,b］上的函数图像是连续曲线，且f(a)f(b)＞0 ，也可能在［a,b］内有零点。如函数g(x)=|2x|-1在区间［-1,1］上有g(-1)g(1)＞0 ，但在［-1，1］内有零点x=± 1 2．

正解：当x∈［-1，1］时，f(x)=|2x|-3≤-1，函数y=f(x) 在［-1,1］上的图象与x轴没有交点，即函数f(x)=|2x| -3在区间［-1,1］内没有零点。

法二：由|2x|-3=0 得x=± 3 2

点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号。如函数y=(x-1) 2 有零点１，（如上图）但函数值没变号。对函

数零点的判定一定要抓住两点：①函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续曲线；②在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0．

4．因忽略区间端点而致误

例４．已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2m 在［0,1］上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。

错解：由函数的零点的性质得f(0)f(1)＜0，即2m(m+2)＜0 ，解得-2＜m＜0 ．

所以实数m的取值范围为(-2,0) ．

错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在［0,1］上有二重根；②终点的函数值可能为０．

正解：⑴当方程x2-(m-1)x+2m=0在［0,1］上有两个相等实根时，△

=(m-1)2-8m=0且0＜m-1 2 ＜1 ，此时无解。

⑵当方程x2-(m-1)x+2m=0有两个不相等的实根时，

①有且只有一根在［0,1］上时，有f(0)f(1)＜0 ，即2m(m+2)＜0 ，解得-2＜m＜0

②当f(0)=0时，m＝０，f(x)=x2+x=0 ，解得x1=0 ，x2=-1,合题意。

③当f(1)=0时，m=-2 ，方程可化为x2+3x-4=0，解得x1=1,x2=-4 合题意。

综上所述，实数的取值范围为［-2,0］．

点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化。