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第五章 S域分析、极点与零点解析

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零极点分析(高等教学)

零极点分析(高等教学)

5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x(1) (t) b0 x(t) 若 y(k) (0 ) 0, x(k ) (0 ) 0
（1）
对式（1）两边取拉氏变换得：
Yzs
(s)
bmsm an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 X (s) a1s a0
古柏文书
2
H (s)
Yzs (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 a1s a0
--------- “系统函数”或“网络函数”
t
（2）
v2 (t) h(t) x(t)
h( )x(t )d
0
t Ke Ee (t )d u(t) 0
KE (et et )u(t) ( )
古柏文书
10
x(t) Eetu(t)
H (s) K
s
或：
V2 (s) H (s) X (s)
KE
(s )(s )
KE [ 1 1 ]
第5章 连续时间系统的s域分析
5.1 系统函数与冲激响应
5.2 零、极点分布与时域响应特性
5.3 零、极点分布与系统的频率响应特性的关系
5.4 典型系统的频响特性
5.5 全通系统与最小相位系统
5.6 模拟滤波器的基本概念与设计方法
5.7 系统模拟及信号流图
5.8 系统的稳定性
古柏文书
1
5.1 系统函数与冲激响应
1Ω

连续时间系统的s域分析讲解

连续时间系统的s域分析讲解

1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)

第5章-连续系统的s域分析

第5章-连续系统的s域分析

L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足


1 st e s
例：求L[ (t )]


0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0

-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2



F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域

第五章S域分析,极点与零点

第五章S域分析,极点与零点
jω
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0

信号与系统 第五章 连续系统的s域分析

信号与系统 第五章 连续系统的s域分析

Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f (t) e t e j t d t
f (t) e ( j )t d t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t=
1
2
Fb (
j) e j
td
f (t) 1
2
Fb (
j ) e( j )t d
令s = + j,d =ds/j，有
第5-3页
n1
f(n)(t) ←→ snF(s) – s n1m f (m) (0 ) m0
若f(t)为因果信号，则f(n)(t) ←→ snF(s)
例1:(n)(t) ←→?
例2: d [cos2t (t)] ?
dt
例3: d [cos2t] ?
dt
第5-19页
■
信号与系统 电子教案
5.2 拉普拉斯变换性质
例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 1
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2) ←→
s 1
2 (s1)
e3
(s 1)2 9
例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ?
解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
0
s2
2 0
第5-10页
■
信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
4、周期信号fT(t)
FT (s)
0
fT
(t) est d t
T 0
fT (t) est d t

第5章 系统函数与零、极点分析改

第5章 系统函数与零、极点分析改
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
电子与信息工程学院
例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
电子与信息工程学院
该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
电子与信息工程学院

第五章 S域分析


• 这样，频域的傅里叶变换就推广到了 复频域的拉普拉斯变换。
第4-5页
§5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
第4-6页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
• 频谱函数
• 存在问题
F (j ) f (t ) e jt d t
令 s j ,则
Fb ( s)
d
ds j
,得
双边拉普拉斯变换对



f (t )e st d t
1 f (t ) 2



Fb ( j ) e ( j )t d
Fb ( s) 称为 f (t )
的双边拉普拉斯变换（或象函数） f (t ) 称为 Fb ( s) 的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）
第五章 连续系统的S域分析
电子与信息工程学院
连续系统的S域分析 目 录
5.1 5.2 5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 复频域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
电子与信息工程学院
第4-2页
目 录
5.1
拉普拉斯变换
电子与信息工程学院
第4-3页
引言
上一章的频域分析是以虚指数信号ejωt为基本信号。
时域卷积定理 复频域（s域）卷积定理
f1 (t ) f 2 (t ) 2 j 1
c j c j
则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s)
F1 ( ) F2 ( s ) d
(t ) f (t ) d F (s) ds
d n F ( s) d sn
jω
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。

第五章-拉普拉斯变换-前5节

第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。

当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。

(){}(){}||0sgn lim sgn 0t t e t σσσ-→=>F F ，。

因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。

为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。

对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d t tttef t f t eet f t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰@@，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰@@L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。

定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。

注：()()0O t f t e σ=。

()F s 存在：()F s <∞。

第五章 连续系统的S域分析


Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞

−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。

清华大学信号与系统课件第五章 S域分析、极点与零点

没有零点
42

U2
幅频特性
U1
0,

1 RC
j ( j )
32
e(t ) Em sin 0t
Em 0 E ( s) 2 2 s 0
R( s ) E ( s ) H ( s ) n k j 0 k j 0 ki s j 0 s j 0 i 1 s pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
1
M1 1.414
450
M2
j1
2 M 2 0.517 2 150
M3
3
j1
j1 (450 150 750 ) 1350
1 1 H ( j1) M 1M 2 M 3 2
M3 1.932 3 750
37
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析 • 已知该系统的H(s)的极零点在S平面 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
Re pi 0
Re pi 0
等幅 衰减
24
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数 • 增幅，在稳定系统的作 Re[ p ] 0 k 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 • 等幅，稳态 Re[ p ] 0
k
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。 e(t )
U 2 ( s) R s H ( s) U1 (s) R 1 s 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j ( ) H ( j ) e M
40
U2
U1
0, N 0, M 1 RC N M 0
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tg1( a )
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
j
0
p1
h(t)
0
et t
H (s) 1
S
h(t) et
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) 1
h(t) sin1t.u(t)
S 2 12
8
（2） 几种典型的极点分布——
(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
s
n0
1 s
(1 es ) (1 esT )
26
（2）求系统函数H(s)
j
H (s)
1 Cs
1
RC
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
E(s).H (s)
(1 es ) s(s )(1 esT
)
V 0(s) V0t (s) V0s (s)
暂态
稳态
27
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
• 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
22
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Re pi 0 增幅
• 临界稳定系统 Re pi 0 等幅
• 稳定系统 Re pi 0 衰减
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
3
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
强迫响应就是稳态响应
• 正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫 响应
• 若激励本身为衰减函数，强迫响应与只 有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
e(t) R
t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的 esnT
hi (t)
i 1
i 1
总特性
第 i个极点决定
4
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1
t
H (s) 1 S
h(t) u(t)
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H (s) 1
S
h(t) et
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
r(t) kie pit kk e pkt
i 1
k 1
强迫响应
21
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
• 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
• E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
15
j
一阶极点
16
j
二重极点 17
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
• 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣 势
• 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
• 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
18
（4） 零点的影响
H1(s)
(s
sa
a)2 2
23
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数
• 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 Re[ pk ] 0
某零点相抵消
• 等幅，稳态
Re[ pk ] 0
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
24
稳态响应和暂态响应
• 对于稳定系统：H（S）极点的实部都小 于0
• 自由响应就是暂态响应 • 若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
1
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) R(s) E(s)
• 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
2
系统函数的极零点分布
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
11
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t)
0
t
H (s)
1 S2
h(t) t
12
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
1
)2
h(t) tet
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
2S 2 12 )2
h(t) t sin1t
14
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H
(s)
[(
2 (S ) S )2 12
]2
h(t) tet sin1t
H2 (s)
(s
s a)2
2
零点移动
z0
到原点
z0
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
tg1( a )
19
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t) eat cost
幅度多了
一个因子 h(t) eat 1 a 2 cos(t )