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第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。
当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。
(){}(){}||0sgn lim sgn 0t t e t σσσ-→=>F F ，。
因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。
为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。
对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d t tttef t f t eet f t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰@@，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰@@L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。
定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。
注：()()0O t f t e σ=。
()F s 存在：()F s <∞。
在控制系统理论中，s参数（或拉普拉斯变换域中的复频率s）的零点和极点是非常重要的概念，它们对系统的稳定性和频率响应特性有着决定性的影响。
本文将详细介绍零点和极点的定义、物理意义、数学表达方式以及它们对系统性能的影响。
一、零点和极点的定义零点（Zeros）在控制系统中，零点是指使系统传递函数为零的s域值。
系统传递函数通常表示为系统输出与输入之比，形式上为一些多项式的比值。
当这个比值的分子多项式等于零时，对应的s值就是零点。
数学上，如果系统传递函数为：\[ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]其中，\( N(s) \)是分子多项式，\( D(s) \)是分母多项式，则\( N(s) \)的根就是系统的零点。
极点（Poles）相对地，极点是指使系统传递函数趋向无穷大的s域值。
在上述传递函数中，当分母多项式\( D(s) \)等于零时，对应的s值就是极点。
数学上，\( D(s) \)的根就是系统的极点。
二、零点和极点的物理意义零点和极点反映了系统在复频率域内的动态行为。
极点直接关联到系统的自然响应，而零点则影响系统的强制响应。
系统的稳定性主要由极点的位置决定，极点位于左半s平面表示系统是稳定的，若有极点位于右半s平面或者虚轴上，则系统是不稳定的。
零点虽然不直接决定系统的稳定性，但会影响系统的增益和相位，从而影响系统的频率响应。
在某些频率下，零点可以导致系统增益减小，甚至产生相位的变化，这对系统的性能有着重要的影响。
三、数学表达方式传递函数的一般形式可以通过因式分解来表示其零点和极点：\[ G(s) = K \frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \]其中，\( z_i \)表示第i个零点，\( p_j \)表示第j个极点，K是增益系数。
这种表达方式可以直观地看出系统的零点和极点的位置，以及它们对系统性能的影响。
