零点问题找点的技巧和模型

函数的零点问题【考点综述】函数的零点是函数与其他知识具有广泛联系的一个链结点，它从不同的角度，将数与形、函数与方程有机地联系在一起由于函数零点涉及到化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法，加之与导数的应用一唱一和，与高等数学相衔接，因此自然成为命题者眼中难以割舍的命题源泉.利用函数零点解决函数问题、方程问题已成为高考命题的一个热点，成为新课程实验后高考的新亮点.【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可. 例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】解题模板选择： 本题中需要确定函数的零点所在的区间，故选取解题方法模板一零点或零点所在区间的确定进行解答.解题模板应用：第一步，直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函數值的乘积是否小于0： 函数()43xf x e x =+-单调递增只有一个零点，而1144113204f e e ⎛⎫=+-=-< ⎪⎝⎭，1102f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭； 第二步，若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可： 由11042f f ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知数的点在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B . 【典型例题】1. 函数()2ln f x x x =-的零点所在的大致区间的 A. ()1,2B. ()2,3C. (),3eD. (),e +∞ 【答案】B【解析】【分析】函数是单调递增函数，则只需()()0f a f b <时，函数在区间（a，b，上存在零点.【详解】函数()2ln f x x x=- ,在x>0上单调递增， ()2210f ln =-< ，()23ln303f =-> 函数f （x ）零点所在的大致区间是()2,3；故选B【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b ）连续，若()()[]00,,,f a f b x a b <∃∈ ()00f x = 确定零点所在的区间. 2. 函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,)eD. (,4)e 【答案】B【解析】【分析】利用导数判断函数()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，结合函数零点的存在性定理可得函数()f x 零点所在的大致区间．【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>， 故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数，再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)，故选：B ．【点睛】本题主要考查用二分法求函数零点的近似值，函数零点的判定定理，属于基础题．3. 已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是（ ）A. (－2，－1)B. (－1，0)C. (0，1)D. (1，2) 【答案】B【解析】【分析】分别计算()1f -，以及()0f 的函数值，根据零点存在性定理，即可判断.【详解】因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f(－1)·f(0)<0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点.故选：B.【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间，属基础题.4. 函数f（x）=log2x-3x-1的零点所在的区间为（）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】C【解析】【分析】连续函数f，x，=log2x-3x-1在（0，+∞）上单调递增且f，3，f，4，，0，根据函数的零点的判定定理可求结果．【详解】∵函数f，x，=log2x-3x-1在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f，3，=log23-1-1，0，f，4，=2-34-1，0，∴根据根的存在性定理得f，x，=log2x-3x-1的零点所在的一个区间是（3，4，，故选C，【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．5. 函数f(x)=23x x+的零点所在的一个区间是A. （-2，-1）B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 视频解题方法模板二：零点的个数的确定使用情景：由所给的函数确定函数零点的个数解题模板：方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第二步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第三步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论. 例2A 函数()3xf x e x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B解析】解题模板选择：本题需要确定函数的零点个数，故选取解题方法模板二定义法进行解答.解题模板应用：第一步，判断函数的单调性:由已知得()30x f x e '=+>，所以()f x 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间：又因为1(1)30f e --=-<，(1)30f e =+>，所以(1)(1)0f f ⋅-<第三步，得出结论：所以()f x 的零点个数是1，故选B ．例2B 方程31()|log |3xx =的解的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】解题模板选择：本题中很明显在考查两个函数交点个数问题，故选取解题方法模板二数形结合法进行解答. 解题模板应用：第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像： 绘制函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和函数3log y x =的图像如图所示：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ： 由图象可知，函数1()3x y =与函数3log y x =有2个交点； 第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论：所以方程有2个解.故选：B .【典型例题】6. 函数()212log 6y x x =-++的零点个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】 【分析】令0y =，判断对数方程根的个数即可.【详解】令0y =，则()212log 60x x -++=， 即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C【点睛】本题考查函数零点的求解，属简单题.7. 函数()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】当0x ≤时，直接解方程()0f x =得x =当0x >时，用函数的图象交点个数判断即可零点个数，两类情况合起来即可得选项.【详解】解：当0x ≤时，直接解方程()0f x =，即220x -=，解得：x = 当0x >时，()0f x =等价于26ln 0x x -+=，即ln 62x x =-，故设1ln y x =，262y x =-，做函数图象如图，故方程26ln 0x x -+=有一个根，所以函数()0f x =有一个实数根.综上，函数()f x 有两个零点.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，考查数形结合思想和方程思想，是基础题.8. 函数3()||x f x e x =-的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据绝对值的性质，分类讨论，结合导数、零点存在原理进行求解即可.【详解】当0x ≤时，3()x f x e x =+，因为2'(30)x f x e x =+>，所以函数此时单调递增，而110,(0))0(11f e f --<==>-，所以此时函数3()x f x e x =+有唯一零点；当0x >时，令3(0)x f x e x =-=， 解得33ln x x e x x ⇒==，此时原函数的零点为函数()3ln g x x x =-零点，'3()1g x x =-，因此当3x >时，'3()10g x x=->，函数单调递增， 当30x >>时，'3()10g x x =-<，函数单调递减， (3)33ln33(1ln3)0g =-=-<，(1)10g =>，(6)63ln 63(2ln 2)0g =-=->，所以函数在30x >>和0x >各有一个零点，所以一共有3个零点.故选：C【点睛】本题考查了求函数零点个数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.9. 函数121()()2x f x x =-的零点个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】将问题转化为2个函数的交点问题，化成函数图象即可得出结论. 【详解】函数121()()2x f x x =-的零点，即令121()()02x f x x =-=，根据此题可得121()2x x =，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数零点，意在考查学生的化归于转化的数学思想，属基础题.10. 已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在0,2π上的零点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.【详解】∵()1cos 02xf x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∵1cos 2xx ⎛⎫⎪=⎝⎭设1()cos 2()xg h x x x ⎛⎫= ⎪=⎝⎭，，画出图像可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C.【点睛】本题考查函数零点的知识点，涉及到将零点的问题转换为函数的交点，考查了数形结合的思想,属于简单题型.考点：函数的零点.解题方法模板三：与分段、复合函数零点有关的参数取值范围问题使用情景：由分段函数或者复合函数确定参数取值范围解题模板：方法一：内外层分步讨论法 第一步 作出函数的图形第二步 讨论外层复合函数的性质，从而为讨论内层函数奠定基础 第三步 讨论内层复合函数的性质确定结论 方法二：利用组合坐标系处理复合函数的零点问题 第一步 利用组合坐标系作出函数图像第二步 结合组合坐标系综合讨论得到参数的取值范围.例3A 已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 . 【答案】172,4⎛⎤⎥⎝⎦【解析】 解题模板选择：本题中涉及到分段函数和复合函数问题，故选取解题方法模板三内外层分布讨论法进行解答.解题模板应用：第一步 作出函数的图形 根据题意作出函数f (x )的简图：第二步 讨论外层复合函数的性质，从而为讨论内层函数奠定基础由图可得当f (x )∈(0，4]时，有四个不同的x 与f (x )对应，再结合题中“关于x 的函数有8个不同的零点”，问题转化为“关于t 的方程t 2－bt +1=0在t ∈(0，4]上有两个不同的实数根”， 第三步 讨论内层复合函数的性质确定结论即211t b t t t+==+在t ∈(0，4]上有两个不同的实数根，而当t ∈(0，4]时，1172,4t t ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【名师点睛】对于复合函数问题，一定要弄清内函数、外函数以及它们各自的属性，尤其要注意内函数的值域与外函数的定义域之间的区别与联系.例3B 设定义域为R 的函数()lg 1,10,1x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，则关于x 的方程()()20f x bf x c ++=有7个不同实数解的充要条件是（ ）A .b <0，目c >0B .b >0且c <0C .b <0且c =0D .b ≥0且c =0 【答案】C 【解析】 解题模板选择：本题中涉及到分段函数和复合函数问题，故选取解题方法模板三利用组合坐标系处理复合函数的零点问题进行解答. 解题模板应用：第一步 利用组合坐标系作出函数图像令u =f (x )，则有g (u )=u 2+bu +c ，如图作出组合坐标系.第二步 结合组合坐标系综合讨论得到参数的取值范围.可知只有当u 2+bu +c =0的两个根120,0u u =>.此时，在左图中过()()12,0,,0u u 作u 轴的垂线与右图u =f (x )的图像才有可能恰有7个交点，(以右图中的交点的横坐标x 0为例，()01f x u =，又()10g u =，故x 0是方程g (f (x ))=0的一个根).故这7个交点的横坐标1237,,x x x x ⋯能使得()()0,(1,2,37)i g f x i ==⋯，即为1237,,x x x x ⋯为方程g (f (x ))=0的7个根. 故由韦达定理可知12120,0u u b u u c +=->==. 故选：C .【典型例题】11. 已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若关于x 的方程2()3()0()f x f x a a R -+=∈有6个不等的实数根，则a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 2【答案】D 【解析】 【分析】采用数形结合，利用换元法令()f x t =，然后可知230-+=t t a 的两根11t =，22t =，然后利用韦达定理可得a .【详解】函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图所示，令()f x t =，因为2()3()0()f x f x a a R -+=∈有6个不等的实数根，所以方程230-+=t t a 有两个不同的实数根1(1,2)t ∈，2(2,)t e ∈ 或11t =，22t =，由于123t t +=，故11t =，22t =，所以122a t t ==.故选：D【点睛】本题考查根据方程的根的个数求参，本题难点在于根据图形找到方程230-+=t t a 的两个不同的实数根，同时结合换元法的使用，使问题更加清晰，属中档题.12. 若函数()()()34020xa a x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (]1,2 B. (]2,4C. (]3,4D. ()3,5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知0a >且1a ≠，故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有零点，而函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数，故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点，所以得出函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点，函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，再结合图象，根据函数零点存在定理得出a 的范围． 【详解】由题意可知0a >且1a ≠， 当0x >时，函数()3g x x ax 2=-+的导函数为()2g x 3x a '=-，所以函数()3g x x ax 2=-+在为减函数，在)+∞为增函数， 故函数()()3g x x ax 2x 0=-+>最多两个零点；而当0x ≤时，函数()()x h x 4a a x 0=-≤是单调函数， 故函数()()x h x 4a a x 0=-≤最多有一个零点；根据上述分析可以得出：函数()()3g x x ax 2x 0=-+>必须有两个零点，函数()()x h x 4a a x 0=-≤必须有一个零点． 当0x >时，在函数()3g x x ax 2=-+中， 因为(0)20g =>，故3g a 20=-⋅+<，解得3a >， 当0x ≤时，当01a <<时，函数()x h x 4a a =-是单调递减，()h 04a 0=->，不满足题意，当1a >时，函数()x h x 4a a =-是单调递增， 因为()x h x 4a a =-在0x ≤时有一个零点，则()h04a 0=-≥，解得：4a ≤ 综上：34a <≤， 故选：C ．【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，解题时运用了数形结合、还考查了分类讨论等思想方法和运算求解的能力，属于较难题． 13. 已知函数231,0()2,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，函数()g x mx =，若函数()2()y f x g x =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11(,)62 B. 1(,1)3-C. 1(,)6-+∞D. 1(,)2-∞【答案】A【分析】根据所给函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩，画出函数图象，根据()g x mx =及()()2y f x g x =-恰有三个零点，即可根据图象判断m 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数()231,02,0x x f x x x ⎧--≥=⎨-+<⎩的图象如下图所示：()()2y f x g x =-恰有三个零点，即()()2f x g x =有三个不同交点，即()2f x mx =有三个不同交点，由图象可知，当直线斜率在OA k ,OB k 之间时，有三个交点，即2OA OB k m k << 所以1213m -<<，可得1162m -<<.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题．14. 已知()11x f x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (2,1)-- B. (1,0)-C. (0,1)D. (1,2)【答案】A【分析】【分析】利用十字相乘法解()0g x =，得()2f x =或()f x a =-，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【详解】解：若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点， 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根， 即()2f x =或()f x a =-．当()2f x =时，由|1|12x e -+=，即|1|1x e -=，则11x e -=或11x e -=-， 即2x e =或0x e =，则2x ln =或x 无解，此时方程只有一个解， 则()f x a =-．有两个不同的根， 作出()f x 的图象如图：由图象知，则12a <-<，即21a -<<-， 即实数a 的取值范围是(2,1)--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键．15. 若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ()2,e +∞B. {}()21,e ⋃+∞C. 2[1,e ] D. [)1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，将零点问题转化为函数交点问题，计算a 的范围，即可.【详解】当0x >时，由2()2x f x x =-得2x =或4x =（画图确定只有两个解），故()222,0,0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点等价于()200x e a x +-=≤有1个零点，画出()20x y ex +=≤的图像，数形结合可得实数a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞.故选：B.【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了数形结合思想，难度中等.解题方法模板四：由函数零点个数分类讨论，各个击破使用情景：函数的零点问题不易确定，需要分类讨论 解题模板：第一步 确定需要讨论的对象和它的取值范围；第二步 逐类进行讨论，得出各类结果 第三步 归纳各类结论，得出结论.例4 设m ，k 为整数，方程mx 2－kx +2=0在区间(0，1)内有两个不同的根，则m +k 的最小值为( )A.－8B.8C.12D.13 【答案】D 【解析】 解题模板选择：本题中所给的零点问题比较复杂，需要分类讨论，故选取解题方法模板四由函数零点个数分类讨论进行解答.解题模板应用：第一步 确定需要讨论的对象和它的取值范围；记f (x )=mx 2－kx +2，则：2(0)20(1)(2)001280mf m mf m m k k m k m =>⎧⎪=-+>⎪⎪⎨<<⎪⎪∆=->⎪⎩，据此可得：022m m k k m⎧>⎪+>⎨⎪<<⎩，所以2m >m >2，又m 为整数，故m ≥3. 需要对参数m 进行分类讨论.第二步 逐类进行讨论，得出各类结果 当m =3时，5k <<，无整数k ； 当m =4时，6k <<，无整数k ； 当m =5时，7k <<，无整数k ；当m =6时，8k <，整数k =7，方程mx 2－kx +2=6x 2－7x +2=0的根为12,23满足题意.又当m 增大时，k 的值不会减少，所以m +k 的最小值为13， 第三步 归纳各类结论，得出结论. 综上可得，m +k 的最小值为13. 故选：D .【名师点睛】分类讨论是我们求解含参问题最常用的策略对于含参的函数零点问题也不例外若我们无法通过等价转化的思想将原问题化归为相对容易的问题，那也只能报据题设要求合理地对参教的取值进行分类，并逐一对每种情况进行仔细斟酌求解利用该策略求解一般要求我们能深思熟虑严而不漏，这对培养学生思维的严密性很有好处. 解题方法模板五：参变分离处理零点问题使用情景：参数易于分离，且分离后所得函数的性质容易讨论解题模板：第一步 将需要求值(求范围)的变量放置在等式的一侧，其余变量放置在等式另一侧 第二步 利用导函数或者其他工具讨论不含所求变量一侧函数的性质 第三步 确定所求参数的值(或范围)例5 已知函数2()22ln f x x ax a x =--，当a >0时，若函数y =f (x )存在唯一零点，求a 的值. 【答案】12【解析】 解题模板选择： 本题中由0f x 易于分类参变量，故选取解题方法模板五参变分离处理零点问题进行解答.解题模板应用：第一步 将需要求值(求范围)的变量放置在等式的一侧，其余变量放置在等式另一侧由f (x )=0，得()22ln x a x x =+，显然0x lnx +≠，从而22(ln )x a x x =+. 第二步 利用导函数或者其他工具讨论不含所求变量一侧函数的性质记2()2(ln )x g x x x =+，则()2(2ln 1)'2(ln )x x x g x x x +-=+，令ln 0x x +=的解为x 0，则当()00,x x ∈时，g (x )<0，当()0,1x x ∈时，2ln 10x x +-<，()'0g x <，g (x )单调递减， 当x ∈(1，+∞)时，2ln 10x x +->，()'0g x >，g (x )单调递增， 所以g (x )的极小值为()112g =. 从而画出g (x )的草图，第三步 确定所求参数的值(或范围)当a >0时，函数y =f (x )存在唯一零点，则只能()112a g ==. 【名师点睛】本题命题组给出的答案构造函数求出函数零点，对能力有较高的要求本题通过将原函数中的变参数进行分高后变形为a =g (x )，则原函数的零点问题化归为与y 轴垂直的直线y =a 和函数y =g (x )图像的交点问题而迎刃而解利用该方法求解零点问题的显著优势在于既可以回避对参数取值情况的复杂讨论，又形象直观，一目了然，参变分高，演绎了角色转换.【典型例题】16. 已知函数24,0()(2)1,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. (2,)+∞ B. (4,)+∞C. (2,4)D. (3,4)【答案】A 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图象，设()2g x m =，数形结合得24m >，即得解. 【详解】画出函数()f x 的图象，如图所示.当0x >时，4()4f x x x=+. 设()2g x m =，则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根， 即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可知，24m >，即2m >， 故实数m 的取值范围是(2,)+∞. 故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 已知函数()24sin54π=--+f x x x a x 有唯一的零点，则常数a =（ ）A. 14- B. 1C.14D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】()24sin 54π=--+f x x x a x 有唯一的零点可转化为()245g x x x =-+与()sin 4π=h x a x 有唯一交点问题，在同一坐标系作出函数图象即可得出结果.【详解】()24sin54π=--+f x x x a x 有唯一的零点，设()245g x x x =-+，()sin4π=h x a x ，∴()245g x x x =-+与()sin4π=h x a x 有唯一交点，在同一坐标系作出函数图象，如图所示：由图可知当2x =时，1a =，有唯一交点. 故选：B【点睛】本题考查函数的零点，同时考查三角函数的图像，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.18. 已知()2sin(2)6f x x m π=--在[0,]2x π∈上有两个零点，则m 的取值范围为 A. （1，2） B. [1，2]C. [1,2)D. （1，2]【答案】C 【解析】 【详解】【分析】由题意()2sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点可转化为2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y m = 在]2[0x π∈， 上有两个不同交点，作出如图的图象，由于右端点的坐标是,12π⎛⎫⎪⎝⎭ 由图知，[)1,2m ∈故选C【点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方法，熟练作出相应函数的图象对解答本题很重要19. 已知函数3ln ,0()2,0x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若()()g x f x ax =-有3个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】()11,12,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】【分析】首先根据题意等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点，利用导数得到函数的单调性，分别画出函数()f x 与y ax =的图象，根据两图象的交点有3个，结合图象即可得到答案.【详解】由题可知：()()g x f x ax =-有3个零点 等价于函数()f x 与y ax =的图象有3个交点 当0x >时，()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-= 可知()0,1x ∈，()0f x '<，则函数单调递减 若()1,x ∈+∞，()0f x '>，则函数单调递增当0x ≤时，()32=+g x x x ，则()2320'=+>g x x则函数()g x 在(],0-∞单调递增. 又直线y ax =恒过原点 如图当直线y ax =与()ln f x x x =-相切时，设切点为()00,A x y ，()1x f x x-'=，()0001x f x ax -'==，又因为00y ax =，000ln =-y x x ，所以00000001ln x y x x x x x --==，解得0x e =，即()0111e a f x e e-='==-. 当直线y ax =与()32=+g x x x 相切时，切点为原点. 所以()232'=+g x x ，则()02a g ='=.由函数()ln f x x x =-在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()110≥=>f x f ，所以ln x x >又函数()f x 与y ax =的图象有3个交点，则11,1(2,)⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭a e .故答案为：11,1(2,)e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数零点个数求参问题，常常使用等价转化的思想，转化为两个函数交点个数问题，数形结合，解决问题，属中难题. 20. 若关于x 的方程210x x a ---=在[]1,1-上有解，则实数a 的取值范围是________．【答案】5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由210x x a ---=可得21a x x =--，求得二次函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】由210x x a ---=可得21a x x =--，由题意可知，实数a 的取值范围是函数21y x x =--在区间[]1,1-上的值域，当[]1,1x ∈-时，221551,1244y x x x ⎛⎫⎡⎤=--=--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.因此，实数a 的取值范围是5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用方程在区间上有解求参数的取值范围，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.解题方法模板六：一分为二，等价转化处理零点问题使用情景：可以将一个函数零点的问题转化为两个函数交点的问题 解题模板：第一步 将零点问题转化为两个函数交点个数的问题第二步 绘制相应的函数图像，结合临界值确定参数的值(或范围). 例6 对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,1a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩，设函数()()22()2,f x x x x x R =-⊗-∈，若函数y =f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2]1,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．3(,2]1,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B 【解析】解题模板选择：本题中所给的函数式整理之后是一个分段函数的形式，需要绘制函数图像进行讨论，故选取解题方法模板六等价转化处理零点问题进行解答. 解题模板应用：第一步 将零点问题转化为两个函数交点个数的问题 函数的解析式即：()f x =()()2222222,21,21x x x x x x x x x ⎧----≤⎪⎨---->⎪⎩=2232,123,1, 2x x x x x x ⎧--≤≤⎪⎪⎨⎪-<->⎪⎩或，由y =f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点可知f (x )与y =c 的图像恰有两个公共点， 第二步 绘制相应的函数图像，结合临界值确定参数的值(或范围). 绘制函数图像如图所示，由图像知c ≤－2，或314c -<<-. 故选：B .【名师点睛】对于函数F (x )的零点问题，我们常会将F (x )分解成两个相对简单的函数即F (x )=f (x )－g (x )，借助f (x )和g (x )的图像交点来求解F (x )的零点，克服了直接求解F (x )零点带来的技术难题.利用一分为二求解，精彩演绎了等价转化.31。

零点问题是一个在数学中常见的问题，它涉及到函数在某个区间内的零点的数量和位置。

零点是指函数图象与x轴的交点，即函数值为零的点。

在解决零点问题时，我们需要考虑函数的性质、函数的单调性、极值点等因素。

首先，我们需要了解函数的性质和特点。

对于一个函数f(x)，我们需要观察它的图像，了解它在哪些区间内是单调的，哪些区间内是凹凸的，以及它的极值点和拐点等信息。

这些信息可以帮助我们更好地理解函数的性质，为解决零点问题提供依据。

接下来，我们需要考虑函数的零点。

在解决零点问题时，我们需要观察函数在哪些点上有零点。

我们可以通过代数方法或几何方法来确定函数的零点。

代数方法是通过解方程来找到零点，而几何方法则是通过观察函数图像与x轴的位置关系来找到零点。

此外，我们还可以通过分析函数的导数或微分来找到函数的极值点和拐点，从而确定零点的位置。

在解决零点问题时，我们需要考虑多种因素，如函数的性质、函数的单调性、极值点、拐点等。

我们需要通过分析这些因素来找到函数的零点，并确定它们的位置和数量。

在某些情况下，我们还需要考虑函数的其他性质和特点，如周期性、对称性等。

这些因素可能会影响零点的位置和数量，因此我们需要认真考虑它们的重要性。

通过解决零点问题，我们可以更好地了解函数的性质和特点，从而更好地应用函数来解决实际问题。

在实际应用中，零点问题是非常常见的，例如在经济学、物理学、工程学等领域中都有涉及。

通过解决零点问题，我们可以更好地理解这些领域的实际问题，并找到更好的解决方案。

总之，零点问题是数学中的一个重要问题，需要我们认真考虑多种因素来找到函数的零点并确定它们的位置和数量。

通过解决零点问题，我们可以更好地了解函数的性质和特点，从而更好地应用函数来解决实际问题。

在未来的学习和工作中，我们应该继续探索和研究零点问题的更多方面，不断提高自己的数学素养和应用能力。

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y ＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内，有f (a )·f (b )<0成立，那么y ＝f (x )在(a ，b )内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B ．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12．∴当x＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．【答案】 22．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ．设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】22．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，2)D ．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．【答案】B3．已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，由图象知f (x 1)＜0．【答案】A4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x－a ＝1x－a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…．f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32．【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0 B ．－2，0 C ．12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．【解析】D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x－a ＝0，即2x＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a 2－4a ＞0，3a ＞0，a ＞0，∴a ＞49，故49＜a ≤1．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1必记结论 有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1【解析】y ＝cos x 是偶函数，且存在零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数，但不存在零点．【答案】A2．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)【解析】由题意知f (1)·f (2)＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3． 【答案】C3．(2016·东城期末)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上． 【答案】B4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，15D ．(－∞，－1)【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15．【答案】B5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．【答案】B6．(2014·开封模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9．【答案】C7．(2014·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．【解析】∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2，3]，即a ＝2，b ＝3．∴a ＋b ＝5．【答案】58．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．【解析】因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点． 【答案】69．若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．【解析】函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】810．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【解析】令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞)【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1． 【答案】B2．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(1，＋∞) D ．(0，1)【解析】函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与函数y ＝x ＋a (a ＞0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函数y ＝a x(a ＞1)的图象与y 轴交于点(0，1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a ＞1．【答案】C3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ．若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2【解析】函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点．【答案】D4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点． 【答案】A5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2．当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点． 故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D【解析】由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【解析】C2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2．5，3)【解析】∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，∴f (3)·f (4)＞0，∴零点x 0所在的区间为(2，3)． 【解析】C3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【解析】设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n＜0．001，即2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7． 【解析】7Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

思路探寻函数零点问题的难度通常较大.常见的命题形式有：（1）判断零点的个数；（2）由函数的零点求参数的取值范围；（3）证明与函数零点有关的不等式.那么如何破解这三类函数零点问题呢？下面举例加以探究.一、判断函数零点的个数判断函数零点的个数，实质上是判断函数的图象与x 轴的交点的个数，或求函数为0时的解的个数.因此判断函数零点的个数，往往有两种思路：（1）令函数为0，通过解方程求得零点的个数；（2）判断出函数的单调性、奇偶性、对称性，画出函数的图象，通过研究图象与x 轴的交点，来判断函数零点的个数.例1.已知函数f ()x =ln x -()a -1x +1.（1）若f ()x 存在极值，求a 的取值范围；（2）当a =2，且x ∈()0,π时，证明：函数g ()x =f ()x +sin x 有且仅有2个零点.解：（1）略；（2）当a =2时，g ()x =ln x -x +1+sin x ，得g ′()x =1x-1+cos x ，令h ()x =g ′()x ，因为x ∈()0,π，则h ′()x =-1x2-sin x <0，所以h ()x =g ′()x 在()0,π上单调递减，又因为g ′()π3=3π-1+12=3π-12>0，g ′()π2=2π-1<0，所以g ′()x 在()π3,π2上有唯一的零点α，当x ∈()0,α时，g ′()x >0，当x ∈()α,π时，g ′()x <0，所以g ()x 在()0,α上单调递增，在()α,π上单调递减，可知g ()x 在()0,π存在唯一的极大值点α（π3<α<π2），而g ()α>g ()π2=ln π2-π2+2>2-π2>0，g()1e 2=-2-1e 2+1+sin 1e 2=-1e 2+()sin 1e 2-1<0，g ()π=lnπ-π+1=lnπ-()π-1，令F ()x =ln x -()x -1，F ′()x =1x -1=1-x x ，则x ∈()0,1，F ′()x >0；x ∈()1,+∞，F ′()x <0，所以F ()x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，得F ()x max =F ()1=0，故F ()π<F ()1=0，即g ()π=lnπ-()π-1<0，可知g ()x 在()0,α和()α,π上分别有1个零点，所以当x ∈()0,π时，g ()x 有且仅有2个零点.函数式g ()x =f ()x +sin x 中含有对数、三角函数式，我们很难通过画图、解方程求得零点的个数，于是对函数求导，研究函数的单调性、极值，从而画出函数的图象；进而借助函数的图象来确定函数零点的个数.在解答函数零点问题时，经常要用到函数的零点存在性定理，但运用该定理只能判断函数在某个区间上是否含有零点，却不能确定函数在某区间上零点的个数，此时往往需结合函数的图象进行判断.二、由函数的零点求参数的取值范围根据函数的零点求参数的取值范围问题比较常见.在解题时，往往要先通过解方程或画图，利用函数的零点存在性定理，判断函数的零点的存在性和个数，确定零点的范围；然后建立关于参数的关系式，进而求得参数的取值范围.例2.已知函数f ()x =x 2+x ln x ．（1）求函数f ()x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）若F ()x =f ()x -ax 3有2个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）f ()x max =f ()e =e 2+e .（过程略）（2）由题意可知函数f ()x =x 2+x ln x 的定义域为()0,+∞，由f ()x =ax 3可得a =x +ln xx 2，令g ()x =x +ln x x 2，其中x >0，则g ′()x =1-x -2ln xx 3，令h ()x =1-x -2ln x ，其中x >0，则h ′()x =-1-2x<0，所以函数h ()x 在()0,+∞上为减函数，且h ()1=0，当0<x <1时，h ()x >0，则g ′()x >0，所以函数g ()x 在()0,1上单调递增，当x >1时，h ()x <0，则g ′()x <0，所以函数g ()x 在()1,+∞上单调递减，所以g ()x max =g ()1=1，49思路探寻令p ()x =x +ln x ，其中x >0，则p ′()x =1+1x>0，则函数p ()x 在()0,+∞上为增函数，因为p()1e =1e-1<0，p ()1>0，则存在x 0∈()1e,1，使得p ()x 0=0，当0<x <x 0时，f ()x =x ()x +ln x <0；当x >x 0时，f ()x =x ()x +ln x >0.由题意可知，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，如图所示.由图可知，当0<a <1时，直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点，故实数a 的取值范围是0<a <1.解答本题需抓住关键信息：函数F ()x =f ()x -ax 3有2个零点.于是令F ()x =f ()x -ax 3=0,并将其变形为a =x +ln x x2，再构造新函数，将问题转化为直线y =a 与函数g ()x 的图象有2个交点的问题.利用导数与函数g ()x 单调性的关系判断函数的单调性，并画出函数g ()x 的图象，即可通过讨论直线y =a 与函数g ()x 的图象的位置关系，确定参数a 的取值范围.在求参数的取值范围时，若容易从方程中分离出参数来，往往可以采用分离参数法求参数的取值范围.三、证明与函数零点有关的不等式问题与函数零点有关的不等式问题通常较为复杂，且具有较强的综合性.在解题时，需根据函数零点的分布情况,构造新函数或新方程，再根据导数的性质讨论新函数的性质或方程的根，从而证明不等式.例3.已知函数f ()x =me x -x 2-x +2.（1）若函数f ()x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若m <0，且f ()x 有2个零点x 1,x 2，证明：||x 1-x 2<3+m 3.解：（1）m ≥2e -12；（过程略）（2）不妨设x 1<x 2，由题意可得me x 1-x 21-x 1+2=0，me x 2-x 22-x 2+2=0，即x 1,x 2为方程m =x 2+x -2e x的2个根，因为m <0，所以x 2+x -2<0，解得：-2<x <1，所以x 1,x 2∈(-2,1)，设h (x )=x 2+x -2e x(-2<x <1)，则h ′(x )=-x 2+x +3e x，令h ′(x )=0得x =1-132，则h (x )在()-2,1-132上单调递减，在()1-132,1上单调递增，而h (x )在()-2,0处的切线方程为y =-3e 2(x +2)，设h 1(x )=-3e 2(x +2),则h (x )>h 1(x )，设h (x )在()x 0,x 20+x 0-2ex 0处的切线方程过点(1,0)，其切线的斜率为-x 20+x 0+3ex 0，取x 0=-1，则h (x )在()-1,-2e 处的切线斜率为e ，则切线的方程为y +2e =e ()x +1，即y =ex -e ，可知h 2(x )=ex -e 单调递增,可得h (x )≥h 2(x )，记y =m 与y =h 1(x )和y =h 2(x )交点的横坐标分别为x 3,x 4，则h (x 1)=m =h 1(x 3)=-3e 2(x 3+2)，故x 3=-2-m3e2，因为h 1(x 3)=h (x 1)>h 1(x 1)，所以h 1(x )单调递减，所以x 1>x 3，h (x 2)=m =h 2(x 4)=e (x 4-1)，故x 4=1+me，由h 2(x 4)=h (x 2)≥h 2(x 2)，知h 2(x )单调递增，所以x 2≤x 4，由于m <0，所以||x 1-x 2=x 2-x 1<x 4-x 3=3+m e +m3e 2=3+m()1e +13e 2<3+m ()13+127<3+m 3.故不等式成立.解答本题，要先将x 1,x 2视为方程m =x 2+x -2e x的两根，根据方程确定两根的取值范围；然后构造新函数h (x )，讨论导函数h ′(x )的性质和几何意义，以确定y =m ，h (x )与其切线y =h 1(x )、y =h 2(x )的交点之间的大小关系，从而证明不等式.函数零点问题一般都可以转化为方程问题或函数单调性问题.因此在解答函数零点问题时，需根据题意构造出相应的方程和函数，灵活运用方程思想和数形结合思想,通过研究该函数的图象与性质、方程的根来求得问题的答案.（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）50。

零点问题的类型及解决方法嘿，咱今儿就来唠唠这零点问题！你说啥是零点问题呀？简单来说，就好比你找一个函数图像和 x 轴交点的时候，那交点不就是零点嘛！零点问题那可是有好些类型呢！就像是不同脾气的小孩。

有的零点问题啊，就像个害羞的孩子，藏得可深了，得你费劲巴拉地去挖掘才能找到它。

还有的呢，就像个调皮鬼，东躲西藏的，让你好一通找。

那咋解决这些让人头疼的零点问题呢？别急呀！咱一个一个说。

比如说，咱可以用画图的办法呀！就像你要找个宝藏，先画个地图，心里不就有底了嘛。

把函数图像一画，零点在哪儿，那不是一目了然嘛！这就好比你在迷宫里有了指南针，一下子就能找到出路啦。

还有啊，代数方法也不错呀！通过各种计算，把零点给算出来。

这就像解谜题一样，一点点地分析，一点点地推导，最后谜底揭开，零点也就现身啦！你想想，那感觉是不是特棒？再或者，咱可以试着把复杂的问题简单化呀！就像你吃一大块肉，一下子咬不下去，那就切成小块嘛。

把复杂的函数拆分成几个简单的部分，分别去研究，不就容易多了嘛。

举个例子吧，有个函数长得特别复杂，一看就头大。

那咱就把它拆成几个小函数，一个一个地去研究它们的零点。

就好像你要打一个大怪兽，先把它的手脚打断，再慢慢收拾它，是不是就轻松多啦？有时候啊，解决零点问题就像爬山，看着那高高的山峰，心里直犯嘀咕，能上去吗？可只要你一步一步地往上爬，总会爬到山顶的呀！遇到难题别退缩，办法总比困难多嘛！咱可不能小瞧了这零点问题呀，它在好多地方都有用呢！比如在数学研究里，那可是重要得很呢！要是搞不清楚零点问题，好多难题都没法解决啦。

所以啊，咱得重视零点问题，学会怎么去解决它。

别觉得难就打退堂鼓，要像个勇士一样，勇敢地去面对！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人嘛！你说是不是？咱只要用心去钻研，就没有解决不了的零点问题！相信自己，一定能行！。

求零点的方法在数学中，零点是指一个函数在坐标系中与x轴相交的点，也就是函数的根或者零解。

求解一个函数的零点，对于数学学习者来说是一个基础而又重要的问题。

下面我们将介绍几种常见的求零点的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、图像法。

图像法是一种直观、直接的求解零点的方法。

对于给定的函数，我们可以通过作出函数的图像来找到它的零点。

具体步骤是先将函数在坐标系中画出来，然后观察函数图像与x轴的交点，这些交点就是函数的零点。

通过观察图像，我们可以直观地了解函数的零点分布情况，从而更好地理解函数的性质。

二、因式分解法。

对于一些特定的函数，我们可以通过因式分解的方法来求解它的零点。

具体步骤是先将函数进行因式分解，然后分别令每个因式等于零，得到每个因式的零点，最终得到整个函数的零点。

因式分解法对于一些简单的多项式函数是非常有效的，能够快速地求解函数的零点。

三、牛顿迭代法。

牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来求解函数的零点。

具体步骤是先选取一个初始值作为迭代的起点，然后通过不断迭代的方式逼近函数的零点。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但需要选取合适的初始值，并且对一些特定的函数可能会出现迭代不收敛的情况。

四、二分法。

二分法是一种简单而又有效的求解函数零点的方法。

具体步骤是先找到函数的两个零点的区间，然后取区间的中点作为当前的估计值，通过比较中点处函数值的符号来缩小区间，最终逼近函数的零点。

二分法的优点是简单易行，但需要对函数的零点区间有一定的预估。

五、追赶法。

追赶法是一种用来求解三对角线性方程组的方法，但也可以用来求解函数的零点。

具体步骤是将函数表示为三对角形式，然后通过追赶法的迭代过程来逼近函数的零点。

追赶法对于特定形式的函数有较好的适用性，能够快速地求解函数的零点。

以上就是几种常见的求零点的方法，每种方法都有其适用的范围和特点。

在实际问题中，我们可以根据函数的性质和具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和应用数学知识。

零点问题解题技巧
零点问题是数学题目中常见的概念，它的解题技巧非常重要。

首先，要明确零点的概念，它是指函数在某一点的值等于零。

这个点可以是一个实数，也可以是一个虚数，甚至也可以是一个复数。

其次，在解决零点问题时，要特别注意函数的特性。

如果函数是单调递增或单调递减的，可以使用分段函数的方法计算零点。

而如果函数是周期函数，可以使用三角函数的性质来解决零点问题。

此外，解决零点问题时，还可以使用一些数学工具，如图像、函数图象、积分、微分
方程等，帮助我们更好地理解函数的特性，从而更准确地计算出零点。

最后，在解决零点问题时，最重要的是要耐心，不要急于求成，多结合函数的定义，
仔细分析，结合数学工具，才能更准确地解决零点问题。

导数零点问题方法归纳导数零点问题啊，这可真是个有趣的家伙！你想想看，它就像是数学世界里的一个神秘宝藏，等待着我们去挖掘。

在面对导数零点问题时，咱得有耐心，就像钓鱼一样，不能着急。

有时候，那零点就像狡猾的小鱼，藏得可深了，得慢慢找。

咱先来说说怎么找这些零点吧。

就好像在一个大迷宫里找出口，得仔细观察那些线索。

咱得看看函数的单调性，这就像是给迷宫画出了几条路，顺着走，也许就能找到零点的大致位置。

然后呢，再用各种方法去试探，看看到底是不是零点。

这过程不就跟探险家在荒山野岭里找宝贝一样嘛！有时候啊，我们可能一下子就找到了零点，那感觉，就像是瞎猫碰上死耗子，哈哈，可高兴了。

但有时候呢，怎么找都找不到，急得人抓耳挠腮的。

这时候可不能泄气啊，得换个思路，换个方法，说不定就柳暗花明又一村了呢！还有啊，在解决导数零点问题时，可别死脑筋。

就像走路一样，不能只知道走直路，有时候得拐拐弯，说不定就能发现新的风景。

比如说，我们可以试着把问题转化一下，也许就会变得简单很多呢。

再说说计算吧，那可得细心细心再细心，就跟绣花似的，不能有一点马虎。

要是不小心算错了，那可就前功尽弃啦，就像好不容易快挖到宝藏了，结果一锄头下去，把宝藏给弄坏了，那多可惜呀！遇到难题的时候，也别害怕。

你想想，那些厉害的数学家不也是从一个一个难题中走过来的嘛。

咱就把难题当成是一个挑战，挑战成功了，那得多有成就感呀！总之呢，导数零点问题虽然有时候会让人头疼，但只要我们有耐心，有方法，有勇气，就一定能把它拿下！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人！咱可不能被这点小困难给吓住了，要勇往直前，去探索数学世界的奥秘！你说是不是呢？。

高中数学零点解题技巧
1、解方程时采用“分类讨论法”，将不同情况拆分开来分析，以简化问题。

2、用变量代替“陌生”的表达式，降低复杂度，引入简化的替代形式。

3、比较相似的数学题，学会利用已求出的结果求新题。

4、学会发现和使用规律，找出规律性强的题目是解决数学难题的有力帮助。

5、用适当的图形可以帮助理解题意，并更容易把握思维定势。

6、多方考虑，考虑问题有多种解决方式，用尽量简单易懂的方法解出来更容易被考官接受。

7、把一个复杂的问题分解成多个相互联系的小问题，再分别解决，解决一次可能较难的问题，也是分析数学知识的一种有效方法。

谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。

掌握高考数学中的函数方程与零点问题技巧有哪些要点函数方程与零点问题是高考数学中的一个重要考点，对于学生来说，掌握相关技巧和要点是提高数学成绩的关键。

以下是关于高考数学中函数方程与零点问题技巧的要点总结：1. 正确理解函数方程的概念：函数方程是指含有未知函数的等式。

在解函数方程时，首先需要准确理解函数的定义、性质和相关概念，如定义域、值域、单调性等。

只有建立起对函数的准确理解，才能更好地解决函数方程与零点问题。

2. 利用函数图像来分析问题：在高考数学中，经常需要通过函数图像来分析问题。

掌握函数图像的性质和形状对于解决函数方程与零点问题非常重要。

可以通过绘制函数图像、观察图像的对称性、变化趋势等来加深对函数的理解，并进一步解决函数方程与零点问题。

3. 运用函数性质求解方程：函数的性质可以帮助我们求解函数方程。

例如，奇偶性和周期性可以用来简化方程式。

利用函数的奇偶性，可以缩小方程的解的范围，快速找到部分或全部解。

利用函数的周期性，可以通过求解一个周期内的方程来得到所有解。

4. 使用二次函数相关技巧：高考数学中的二次函数常常涉及函数方程与零点问题的解答。

对于二次函数，要掌握如何求解方程和判别式的应用。

通过化简方程、配方法解方程、分析判别式的值等方法，可以快速求解二次函数的零点和方程。

5. 联立方程求解问题：在解决函数方程与零点问题时，有时需要利用联立方程的方法。

对于多元函数方程，可以通过联立相关方程来求解问题。

通过合理构建方程组、利用消元法或其他解法，可以快速求得多元函数方程的解。

6. 注意边界条件与特殊情况：在解决函数方程与零点问题时，需要特别注意边界条件和特殊情况。

边界条件是指函数的定义域和值域的限制，对于边界上的点，需要进行特殊考虑。

另外，一些特殊情况可能出现在解函数方程时，对于这些情况需要通过分析、代入等方法进行判断。

7. 多样化解题思路和方法：在解决函数方程与零点问题时，要灵活运用不同的解题思路和方法。

【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容,其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容,因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点。

其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查。

【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景:一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0;第二步 若其乘积小于0,则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ )A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B考点：零点存在定理． 【变式演练1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得,设函数()22x f x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B 。

考点：函数的零点.【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间( ）A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C 【解析】 试题分析：()211(1)log 1110,2122f f =-=-<=-=,()()120f f ∴⋅< ，故函数21()log f x x x=-的零点所在区间为(1,2)． 考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1:定义法使用情景:一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0;若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2。

求函数零点的几种方法函数的零点，也被称为函数的根或方程的解，是函数取值为零的点。

寻找函数的零点是解决许多数学和工程问题的重要步骤之一、在这里，我将分享一些常见的求函数零点的方法。

1.图像法：函数的图像法是最常用的方法之一、通过将函数绘制成图像，可以直观地看到函数的零点。

当函数在一些点的函数值为零时，就可以确定此点是函数的零点。

这个方法特别适用于简单的函数，如线性函数或二次函数。

2. 代数法：代数法是通过代数运算来寻找函数的零点。

对于一些简单的函数，可以直接进行求解。

例如，对于一元一次方程ax+b=0，可以通过求解x=-b/a来得到零点。

对于一些更复杂的函数，可能需要应用代数运算规则，如二次方程求根公式，来求解零点。

3.迭代法：迭代法是一种数值计算方法，通过迭代的方式逐步逼近函数的零点。

迭代法的基本思路是从一个初始值开始，应用迭代公式，不断地计算接近零点的新值，直到满足给定的精度要求。

常见的迭代方法包括二分法、牛顿法和割线法。

-二分法：二分法是最简单和最直观的数值方法之一、它将函数的定义域一分为二，然后判断零点在哪一半，并再次将该半区间一分为二、通过这种方式不断迭代，可以逐渐逼近零点。

-牛顿法：牛顿法基于泰勒级数的思想，通过迭代来逼近函数的零点。

它首先通过选择一个初始点，然后应用切线的思想来确定下一个点，直到满足给定的精度要求。

牛顿法适用于函数具有良好的可导性和初始点选择合适的情况下。

- 割线法：割线法类似于Newton法，但是不需要计算导数。

它利用两个初始点的连线来逼近零点。

在每一步迭代中，割线的交点成为新的逼近零点。

割线法相对于牛顿法的优势是不需要计算导数，但迭代速度可能较慢。

4.数值求解方法：数值求解方法基于数值计算技术，通过将函数的求解转化为数值问题的求解。

常用的数值求解方法包括插值法、最小二乘法和拟合法。

这些方法适用于复杂的非线性方程组或高维函数的零点求解。

-插值法：插值法通过构造一个插值多项式来逼近函数，在拟合逼近的过程中，可以确定函数的零点。

函数零点讨论是数学中一个重要的概念，它涉及到函数在某一点的值为零的情况。

通过对函数零点的讨论，我们可以更好地理解函数的性质和行为。

以下是一些常见的函数零点讨论的方法：
1. 代数法：通过解方程来找到函数的零点。

例如，函数f(x) = x^2 - 4x 的零点可以通过解方程x^2 - 4x = 0 来找到，解得x = 0 或x = 4。

2. 图像法：通过观察函数的图像来确定函数的零点。

例如，函数f(x) = x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，它与x 轴的交点即为函数的零点，即x = 0。

3. 导数法：通过研究函数的导数来确定函数的零点。

例如，函数f(x) = x^3 的导数为f'(x) = 3x^2，当f'(x) > 0 时，函数单调递增；当f'(x) < 0 时，函数单调递减。

因此，函数在x = 0 处由递减变为递增，即函数在x = 0 处有零点。

4. 定理法：通过应用数学定理来讨论函数的零点。

例如，根据介值定理，如果函数在区间[a, b] 上连续且在端点处的函数值异号（即f(a) * f(b) < 0），则函数在区间内至少存在一个零点。

这些方法可以单独使用，也可以结合使用，以便更全面地了解函数的零点情况。

通过对函数零点的讨论，我们可以进一步探索函数的性质和行为，并解决相关的数学问题。

专题02函数零点问题-2024高考数学尖子生辅导专题函数的零点问题在数学中是一个非常重要的概念和问题。

而在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个重点内容。

下面，我们来详细探讨一下这个问题。

函数的零点问题即是求解函数的解析式方程$f(x)=0$的解$x$。

在实际问题中，函数的零点往往表示了其中一种特定情况下的平衡点或者特殊点，因此求解函数的零点问题是非常实用和重要的。

那么，如何求解函数的零点问题呢？下面，我们将从三个方面进行讨论。

首先，我们可以通过图像来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过画出函数的图像来判断函数的零点。

函数的零点为函数与$x$轴相交的点，在图像上表现为函数曲线与$x$轴的交点。

通过观察函数图像上哪些点与$x$轴相交，我们可以找到函数的零点。

对于简单的函数，我们可以手工画出函数图像，对于复杂的函数，我们可以借助计算机软件进行绘图。

其次，我们可以通过函数的解析式来求解函数的零点问题。

对于一般的函数，我们可以通过解方程$f(x)=0$来求解函数的零点。

通过将方程变形化简，最终得到$x$的解析表达式。

这种方法适用于存在解析解的函数，对于一些特殊函数，解析解并不存在，我们需要采用其他方法进行求解。

最后，我们可以通过数值计算方法来求解函数的零点问题。

对于一些无法通过解析式求解的函数，我们可以采用数值计算方法进行求解。

数值计算方法包括二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法等。

这些方法通过迭代计算，逐渐接近函数的零点。

在实际计算中，我们可以通过计算机软件来进行数值计算，以提高计算的精度和效率。

综上所述，函数的零点问题在数学中具有重要的意义，我们可以通过图像、解析式和数值计算方法等多种途径来求解函数的零点。

在2024高考的数学尖子生辅导专题中，函数的零点问题无疑是一个关键的内容，掌握这个问题对于学生的数学能力提高和应试能力提升都具有重要作用。

因此，我们应该重视并加以学习和实践。

求函数零点的四种解题方法
1.图像法：
图像法是通过绘制函数的图形来求函数零点的一种方法。

首先，根据函数的表达式或数据，绘制函数的图形，然后寻找其图形上的零点，从而求出函数的零点。

2.分段表示法：
分段表示法是根据函数的表达式，将函数分成多段，然后求出每一段的零点，从而求出函数的整体零点。

3.二分法：
二分法是指将函数的定义域分成两个部分，求解函数在每个部分上是单调函数的情况，然后对比函数的值。

如果函数在两边都接近零点，那么可以缩小搜索范围，直到找到所求的精确的函数零点。

4.牛顿迭代法：
牛顿迭代法是基于泰勒公式和函数的一阶导数来求函数零点的方法。

首先，选择一个初始值作为零点的近似值，然后用牛顿迭代公式来求函数零点的值，得到一个接近零点的新值，不断重复上述过程，直到求得函数零点的值。

零点赋值找点技巧随着科技的发展，人们对于数据分析的需求越来越高。

而数据分析的核心就是找出数据中的规律和趋势。

在数据分析中，零点赋值是一种常用的技巧，可以帮助我们找到数据中的特殊点。

什么是零点赋值？零点赋值是一种技巧，它通过将一些已知的未找到的点（通常为0）赋值给这些点，以提供更准确的数据分析结果。

这种技巧在一些特殊情况下非常有效，特别是当数据存在缺失、错误或异常值时。

如何使用零点赋值找点？1.确定需要找点的数据集：首先，你需要确定需要进行零点赋值的数据集。

这个数据集可以是一个一维数组，一个表格或者一个数据库中的表。

2.分析数据集：在开始进行零点赋值之前，你需要先对数据集进行分析，了解数据集的特点和存在的问题。

这可以通过数据可视化和统计分析来完成。

3.寻找需要进行零点赋值的点：在分析数据集的过程中，你可能会发现一些数据缺失、错误或异常的点。

这些点可能对数据分析结果产生较大的影响。

你需要仔细检查这些点，并判断它们是否需要进行零点赋值。

4.进行零点赋值：一旦确定需要进行零点赋值的点，你可以将这些点的值设为0。

这样，你可以在数据分析的过程中将这些点考虑进去，不会对分析结果产生较大的偏差。

5.数据分析：在进行零点赋值之后，你可以对数据集进行进一步的数据分析。

这包括计算统计量、绘制图表和进行数据模型的建立等。

通过这些分析，你可以更准确地找到数据中的特殊点，发现数据中的规律和趋势。

零点赋值的优点和注意事项：零点赋值作为一种数据分析的技巧，具有一定的优点。

首先，它能够帮助我们找到数据中的特殊点，提供更准确的数据分析结果。

其次，零点赋值可以快速地进行，不需要过多的计算和分析。

最后，它可以帮助我们发现数据中的问题，修正数据的错误和异常值。

然而，使用零点赋值也需要注意一些事项。

首先，零点赋值只适用于一些特殊情况下，不能滥用。

其次，你需要根据数据集的特点和问题，合理地选择需要进行零点赋值的点。

最后，你需要评估零点赋值对数据分析结果的影响，确保分析结果的准确性。